Phương pháp phát hiện biên ảnh

Phát hiện biên là quá trình định vị các điểm trong khi làm nổi biên, hay nó làm tăng độ tương phản giữa các vùng và nền cho đến khi biên đó có thể thấy được một cách dễ dàng.. Hiện nay,

ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẶNG QUANG HUY

PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN BIÊN ẢNH

LUẬN VĂN THS CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Người hướng dẫn PGS.TS Ngô Quốc Tạo

Hà Nội 2007

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT 4

DANH MỤC CÁC BẢNG 5

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 6

MỞ ĐẦU 8U CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ BIÊN 10

1.1 TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ ẢNH 10

1.2 BIÊN VÀ ỨNG DỤNG 11

1.2.1 Biên và các phương pháp phát hiện biên cơ bản 11

1.2.2 Một số khái niệm về biên 14

1.2.3 Ứng dụng của biên 15

CHƯƠNG 2 - NHỮNG PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN BIÊN 17

2.1 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH 17

2.1.1 Phương pháp đạo hàm bậc nhất Gradient 17

2.1.2 Phương pháp đạo hàm bậc hai Laplace 35

2.1.3 Phát hiện biên thích ứng 48

2.1.4 Đánh giá phương pháp tuyến tính 51

2.2 PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN 52

2.2.1 Phát hiện biên hình chóp 52

2.2.2 Phương pháp Sobel 53

2.2.3 Toán tử la bàn Kirsch 54

2.2.4 Đánh giá nhận xét phương pháp phi tuyến 55

2.3 PHƯƠNG PHÁP NÂNG CAO 57

2.3.1 Phương pháp Canny 58

2.3.2 Phương pháp Shen - Castan 66

CHƯƠNG 3 - PHÁT HIỆN BIÊN DỰA VÀO WAVELET 71

3.1 PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN BIÊN 71

3.2 SỬ DỤNG WAVELET ĐỂ PHÁT HIỆN BIÊN 72

3.3 KẾT QUẢ SO SÁNH 78

KẾT LUẬN 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

DANH MỤC CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

Kí hiệu Giải thích

BLI Ảnh nhị phân

DOG Toán tử Gaussian khác

DWT Biến đổi Wavelet rời rạc

FDOG Toán tử đạo hàm bậc một Gaussian ISEF Bộ lọc mũ đối xứng vô hạn

LOC Hàm định vị

LOG Laplace của Gaussian

SNR Tỉ số tín hiệu nhiễu

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2-1: Bảng cung cấp các ngưỡng tối ưu 33

Bảng 2-2: Bảng đánh giá phương pháp Sobel 55

Bảng 2-3: Bảng đánh giá phương pháp la bàn 56

Bảng 3-1: Bảng giá trị trung bình của các phương pháp 80

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1-1: Quá trình xử lý ảnh 10

Hình 1-2: Các bước cơ bản trong một hệ thống xử lý ảnh 11

Hình 1-3: Tập ảnh để đánh giá các phương pháp 16

Hình 2-1: Mô hình biên 18

Hình 2-2: Chênh lệch Gradient của ảnh quả ớt 19

Hình 2-3: Gradient của ảnh quả ớt 20

Hình 2-4: Toán tử hướng phát hiện biên với quy ước 3x3 21

Hình 2-5: Gradient Prewitt, Sobel và Frei Chen với ảnh quả ớt 22

Hình 2-6: Mảng 3x3 thúc đẩy trả lại toán tử biên Gradient trực giao khác 23

Hình 2-7: Boxcar, Kim tự tháp, Argyle, Macleod và FDOG với ảnh quả ớt 25 Hình 2-9: Ma trận đáp ứng mẫu Gradient 3x3 29

Hình 2-10: Hình ảnh quả ớt cho bốn toán tử Gradient mẫu 3x3 30

Hình 2-11: Các mật độ xác suất điều kiện Gradient biên điển hình 31

Hình 2-12: Lấy ngưỡng trong phương pháp Sobel 35

Hình 2-13: Hình ảnh làm mảnh bản đồ biên của những quả ớt 36

Hình 2-14: Các đáp ứng của ảnh quả ớt ngọt 39

Hình 2-15: Vùng Laplace theo phép lấy Gaussian 40

Hình 2-16: Các mẫu Laplace đổi dấu 41

Hình 2-17: Mảng đáp ứng xung tương ứng 3x3 với Chebyshev 46

Hình 2-18: Các đáp ứng Chebtshev cho ảnh Ớt ngọt đơn sắc 48

Hình 2-19: Trùng khớp biên theo một chiều và hai chiều 49

Hình 2-20: Mô hình biên toán học tiếp tuyến 50

Hình 2-21: Kết quả áp dụng phương pháp Sobel và la bàn Kirsch 57

Hình 2-22: Quá trình nonmax-suppress (lọc các điểm biên) 62

Hình 2-23: Các bước khác nhau trong quá trình xử lý bàn cờ 64

Hình 2-24: Quá trình phân ngưỡng trễ 65

Hinh 2-25: So sánh tương quan giữa hai phương pháp Canny và Shen-Castan.

70

Hình 3-1: Biên của ảnh cái hộp 71

Hình 3-2: Xác định biên của con chó nằm trên bậc thang 72

Hình 3-3: Biên ảnh của Filopodia 72

Hình 3-4: Dùng DWT cho biến đổi Neurite 73

Hình 3-5: Đặc điểm thấy được ở một hộp đơn 75

Hình 3-6: Các đặc điểm thấy được từ ảnh con chó nằm ở bậc thang 75

Hình 3-7: Sử dụng 3 trong 5 tiêu chuẩn cho ảnh con chó nằm bậc thang 76

Hình 3-8: Sử dụng 3 tiêu chuẩn cho ảnh của Filopodia 76

Hình 3-9: Sử dụng tự liên kết trong ảnh hộp đơn 77

Hình 3-10: Sử dụng tự liên kết trong ảnh con chó nằm bậc thang 77

Hình 3-11: Sử dụng tự liên kết trong của Filopodia 77

Hình 3-12: Đường biên được tìm thấy 81

Hình 3-13: Khoảng cánh từ tâm biên 81

MỞ ĐẦU

Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của mọi lĩnh vực khoa học, kinh

tế, xã hội v.v… việc ứng dụng Công nghệ Thông tin vào tất cả các lĩnh vực đã đem lại hiệu quả cao Ở nước ta, ngành Công nghệ Thông tin tuy mới được hội nhập nhưng tốc độ phát triển khá nhanh và ngày càng được ứng dụng rộng trong nhiều lĩnh vực của nền kinh tế, góp phần thúc đẩy sự phát triển của xã hội Một trong những lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong thực tiễn đó là Xử Lý ảnh

Xử lý hình ảnh là khâu quan trọng trong việc trao đổi thông tin giữa người và máy Theo thống kê cho thấy thì có khoảng 79% thông tin mà con người thu nhận được bằng thị giác là qua hình ảnh Xử lý ảnh đã góp phần quan trọng cho việc quan sát trở nên tốt hơn

Có nhiều ứng dụng cần tới các thông tin hình ảnh như: Xử lý ảnh trong

hệ thống thông tin văn phòng, trong quân sự, trong quảng cáo, trong thăm dò địa chất, vẽ bản đồ, trong các cửa hàng siêu thị, trong hoạt hình

Trong xử lý ảnh, việc nhận dạng và phân lớp các đối tượng đòi hỏi rất nhiều các quá trình và thao tác khác nhau, nhưng thông dụng hơn vẫn là quá trình dò tìm biên ảnh Cùng với sự phát triển của ngành Công nghệ Thông tin,

xử lý ảnh ngày càng được áp dụng rộng trong nhiều lĩnh vực thì dò tìm biên càng trở thành một công cụ cần thiết hơn

Phát hiện biên là quá trình định vị các điểm trong khi làm nổi biên, hay

nó làm tăng độ tương phản giữa các vùng và nền cho đến khi biên đó có thể thấy được một cách dễ dàng Mặc dù có nhiều phưng pháp nhưng nói chung tất cả các phương pháp đều thiết lập giá trị của điểm ảnh vào một mức xám nhất định (cùng màu) để có thể nhận ra chúng dễ dàng Kết quả là từ các phương pháp này ta thu được tập hợp đại diện cho các đối tượng Dựa vào các tập hợp, các thao tác của xử lý ảnh như: tính kích thước của đối tượng, nhận

dạng, phân lớp các đối tượng có thể được thực hiện Trước đây, các phương pháp tìm biên thường sử dụng những toán tử đơn giản để thực hiện việc phát hiện biên

Hiện nay, các phương pháp phát hiện biên hiện đại được xây dựng trên

cơ sở phân tích lý thuyết một cách chặt chẽ nhiễu được đưa vào trong mô hình của bài toán Cách phát hiện ra các điểm biên ảnh không còn đơn giản như trước nữa mà sử dụng một loạt phưng pháp phức tạp như loại trừ điểm không cực đại, phù hợp Gradient,

Luận văn được trình bày trong ba chương chính Chương 1 nêu tổng quan về biên và xử lý ảnh, chương 2 nêu một số phương pháp phát hiện biên

và chương 3 nêu ra việc áp dụng Wavelet cho việc phát hiện biên Nội dung chi tiết các chương được trình bày chi tiết ở những phần tiếp theo

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ BIÊN

Trong chương này, chúng ta tìm hiểu những khái niệm, thuật ngữ cơ bản được sử dụng trong xử lý ảnh cũng như dùng trong luận văn này

1.1 TỔNG QUAN VỀ XỬ LÝ ẢNH

Xử lý ảnh (Image Processing) là đối tượng nghiên cứu của lĩnh vực thị giác máy, là quá trình biến đổi ảnh từ một ảnh ban đầu sang một ảnh mới với các đặc tính mà tuân theo ý muốn của việc xử lý Xử lý ảnh có thể là quá trình phân tích, phân lớp các đối tượng làm tăng chất lượng ảnh, phân đoạn và tìm cạnh, gán nhãn cho vùng hay quá trình biên dịch các thông tin hình ảnh của ảnh

Cũng như xử lý dữ liệu bằng đồ hoạ, xử lý ảnh số là một lĩnh vực của tin học ứng dụng Xử lý dữ liệu bằng đồ hoạ đề cập đến những ảnh nhân tạo, các ảnh này được xem xét như là một cấu trúc dữ liệu và được tạo bởi các chương trình Xử lý ảnh số bao gồm các phương pháp và kỹ thuật để biến đổi,

để truyền tải hoặc mã hoá các ảnh tự nhiên Như vậy mục đích của xử lý ảnh bao gồm:

Hình 1-1: Quá trình xử lý ảnh Ảnh trong xử lý có thể xem như ảnh n chiều Bởi vì, ảnh có thể xem là tập hợp các điểm ảnh Trong đó, mỗi điểm ảnh được xem như là đặc trưng

cường độ sáng hay một dấu hiệu nào đó tại một vị trí nào đó của đối tượng trong không gian và do đó nó có thể xem như một hàm n biến P(c1, c2, , cn)

Sơ đồ tổng quát của một hệ thống xử lý ảnh:

Hình 1-2: Các bước cơ bản trong một hệ thống xử lý ảnh

1.1.1 Thu nhận ảnh: Ảnh có thể nhận được qua quá trình thu nhận, thường là

các thiết bị thu nhận tín hiệu tương tự (nhưng cũng có thể các thiết bị thu nhận số), sau đó tín hiệu này sẽ được số hóa trước khi chuyển sang giai đoạn xử lý hoặc lưu trữ lại

1.1.2 Tiền xử lý: Dùng những kỹ thuật xử lý ảnh làm cho ảnh tốt hơn theo

mục đích của người sử dụng trước khi đưa ra xử lý, tùy thuộc vào quá trình xử lý tiếp theo trong giai đoạn này sẽ thực hiện các công đoạn khác nhau như: Xóa nhiễu, nổi biên, nắn chỉnh hình học, vv

1.1.3 Trích lọc đặc điểm: Các đặc điểm của đối tượng được trích chọn tùy

theo mục đích nhận dạng các đối tượng ảnh chính xác, với tốc độ tính toán cao và dung lượng nhớ lưu trữ giảm

1.1.4 Đối sánh, nhận dạng: Nhận dạng tự động, mô tả đối tượng, phân loại

và phân nhóm các mẫu là những vấn đề quan trọng trong thị giác máy Khi biết một mẫu nào đó, để nhận dạng và phân loại mẫu đó

1.2 BIÊN VÀ ỨNG DỤNG

1.2.1 Biên và các phương pháp phát hiện biên cơ bản

Biên là vấn đề quan trọng trong xử lý ảnh, vì các đặc điểm được trích chọn trong quá trình phân tích ảnh chủ yếu dựa vào biên Muốn nhận dạng

Hậu

xử lý

Đối sánh rút

ra kết luận

được các đối tượng trước hết phải tìm đường biên của các đối tượng, đa số các hệ nhận dạng đều dùng đến biên

Một điểm được gọi là điểm biên nếu ở đó có sự thay đổi đột ngột về mức xám Thông thường hay sử dụng hai phương pháp phát hiện cơ bản:

“Phương pháp trực tiếp” và “Phương pháp gián tiếp”

Phát hiện biên trực tiếp: Phương pháp này làm nổi biên dựa vào sự

biến thiên mức xám của ảnh Kỹ thuật chủ yếu dùng để phát hiện biên ở đây

là dựa vào sự biến đổi theo hướng Nếu lấy đạo hàm bậc nhất của ảnh ta có kỹ thuật Gradient, nếu lấy đạo hàm bậc hai của ảnh ta có kỹ thuật Laplace

Phát hiện biên gián tiếp: Nếu bằng cách nào đó ta phân được ảnh

thành các vùng thì ranh giới giữa các vùng đó gọi là biên Kỹ thuật dò biên và phân vùng ảnh là hai bài toán đối ngẫu nhau vì dò biên để thực hiện phân lớp đối tượng mà khi đã phân lớp xong nghĩa là đã phân vùng được ảnh và ngược lại, khi đã phân vùng ảnh đã được phân lớp thành các đối tượng, do đó có thể phát hiện được biên

1.2.1.1 Phương pháp phát hiện biên trực tiếp

a) Kỹ thuật phát hiện biên Gradient

Theo định nghĩa Gradient là một vectơ có các thành phần biểu thị tốc

độ thay đổi giá trị của điểm ảnh

b) Kỹ thuật phát hiện biên Laplace

Các phương pháp đánh giá Gradient ở trên làm việc khá tốt khi mà độ sáng thay đổi rõ nét Khi mức xám thay đổi chậm, miền chuyển tiếp trải rộng, phương pháp cho hiệu quả hơn đó là pương pháp sử dụng đạo hàm bậc hai Laplace

1.2.1.2 Phương pháp phát hiện biên gián tiếp

a) Một số khái niệm cơ bản

* Ảnh và điểm ảnh: Ảnh là một mảng số thực 2 chiều (Iij) có kích thước (mxn), trong đó mỗi phần tử Iij(i=1, ,m, j=1, ,n) biểu thị mức xám của ảnh tại (i,j) tương ứng

* Các điểm 4 và 8 láng giềng

Giả sử (i,j) là một điểm ảnh, các điểm 4 và 8 láng giềng là:

N4={(i’,j’) : |i-i’|+|j-j’|=1}, N8={(i’,j’) : max|i-i’|,|j-j’|=1}

b) Chu tuyến của một đối tượng ảnh

Định nghĩa 1: [Chu tuyến]

Chu tuyến của một đối tượng ảnh là dãy các điểm của đối tượng ảnh

P1, , Pn sao cho Pi và Pi+1 là các 8 láng giềng của nhau (i=1, , n-1) và P1 là 8 láng giềng của Pn, ∀i ∃Q không thuộc đối tượng ảnh và Q là 4 láng giềng của

Pi (hay nói cách khác ∀i thì Pi là biên 4) Kí hiệu <P1P2 Pn> Hình vẽ dưới đây biểu diễn chu tuyến của ảnh, P là điểm khởi đầu chu tuyến

Định nghĩa 2: [Chu tuyến đối ngẫu]

Hai chu tuyến C=<P1P2 Pn> và C1= <Q1Q2 Qn> được gọi là đối ngẫu của nhau khi và chỉ khi ∀i ∃j sao cho:

1 – Pi và Qj là 4 láng giềng của nhau

2 – Các điểm Pi và vùng thì Qj là nền và ngược lại

Định nghĩa 3: [Chu tuyến ngoài]

Chu tuyến C được gọi là chu tuyến ngoài khi và chỉ khi:

1 – Chu tuyến đối ngẫu C1 là chu tuyến của các điểm nền

2 - Độ dài của C nhỏ hơn độ dài C1

Định nghĩa 4: [Chu tuyến trong]

Chu tuyến C được gọi là chu tuyến trong khi và chỉ khi:

1 – Chu tuyến đối ngẫu C1 là chu tuyến của các điểm nền

2 - Độ dài của C lớn hơn độ dài C1

c) Thuật toán dò tìm biên tổng quát

Về cơ bản, các thuật toán dò tìm biên trên một vùng đều bao gồm các bước sau:

• Xác định điểm biên xuất phát

• Dự báo và xác định điểm biên tiếp theo

• Lặp bước 2 cho đến khi gặp điểm biên xuất phát

* Thuật toán dò tìm biên tổng quát

Bước 1: Xác định cặp nền – vùng xuất phát

Bước 2: Xác định cặp nền – vùng tiếp theo

Bước 3: Lựa chọn điểm biên

Bước 4: Nếu gặp lại cặp xuất phát thì dừng, nếu không quay lại bước 2

1.2.2 Một số khái niệm về biên

a) Biên lý tưởng: Biên lý tưởng được định nghĩa là sự thay đổi giá trị cấp xám

tại một vị trí xác định Nếu sự thay đổi cấp xám giữa các vùng trong ảnh càng lớn thì biên càng dễ dàng nhận ra Trong trường hợp này sự thay đổi từ cấp xám cho ta thấy một biên Sự thay đổi này lại diễn ra tại một điểm nên biên có

độ rộng là một điểm ảnh và vị trí của biên chính là vị trí thay đổi cấp xám đó b) Biên dốc: Biên dốc xuất hiện khi sự thay đổi cấp xám trải rộng qua nhiều

điểm ảnh Vị trí của biên được xem như vị trí chính giữa của đường dốc nối giữa cấp xám thấp và cấp xám cao Tuy nhiên đây chỉ là đường dốc trong toán học, từ khi ảnh được kỹ thuật số hoá thì đường dốc không còn là đường thẳng

mà thành những đường lởm chởm, không trơn

c) Biên không trơn: Trong trường hợp không nhiễu (lý tưởng), bất cứ một sự

thay đổi cấp xám nào cũng thông báo sự tồn tại của một biên Trên thực tế,

những trường hợp như vậy hiếm khi xảy ra, thường là do các nguyên nhân sau:

+ Hình dạng của đối tượng không sắc nét

+ Nhiễu: do một loạt các yếu tố như: kiểu thiết bị nhập ảnh, cường độ sáng, nhiệt độ, hiệu ứng áp suất, chuyển động, bụi , chưa chắc rằng hai điểm ảnh có cùng giá trị cấp xám khi được nhập lại có cùng cấp xám đó trong ảnh Kết quả của nhiễu trên ảnh gây ra một sự biến thiên ngẫu nhiên giữa các điểm ảnh Sự biến thiên ngẫu nhiên làm đường dốc của sự thay đổi cấp xám không còn là đường thẳng mà sẽ là đường gồ ghề, cạnh không nhẵn xuất hiện

1.2.3 Ứng dụng của biên

Trong cuộc sống con người chủ yếu tiếp nhận thông tin qua hình ảnh và âm thanh Con người nhận dạng được đối tượng nhờ sự nhận thức trực quan đối với đường bao đối tượng Một người quan sát thông thường có thể nhận rõ ranh giới đối tượng trong một cảnh thực, tuy nhiên đa số những người quan sát lại khó khăn trong việc ghi lại sự quan sát của họ bằng việc đánh dấu đối tượng Việc nhận dạng cạnh đã mang lại kết quả hết sức hữu ích dưới dạng những bản vẽ phác thảo trong việc miêu tả cảnh thực

Phát hiện biên được sử dụng trong rất nhiều phần mền xử lý ảnh hiện nay, đây chính là một phần trong việc nhận dạng ảnh Biên rất quan trọng trong xử lý ảnh và hệ thống nhận dạng, quá trình nhận dạng có hai giai đoạn cần thực hiện:

+ Giai đoạn học: Các đặc điểm của đối tượng mẫu được lưu trữ (gọi là

học mẫu) và tập các phần tử mẫu được chia thành các lớp

+ Giai đoạn nhận dạng: Khi có đối tượng cần nhận dạng, các đặc điểm

của đối tượng sẽ được trích chọn và sử dụng hàm quyết định để xác định đối tượng cần nhận dạng thuộc lớp nào

CHƯƠNG 2 - NHỮNG PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN BIÊN

2.1 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH

Phương pháp tuyến tính hay còn gọi là phương pháp phát hiện biên trực tiếp, phương pháp này nhằm phát hiện biên dựa vào sự biến thiên về cường độ sáng của điểm ảnh

Phương pháp dùng chủ yếu ở đây là phương pháp đạo hàm Nếu lấy đạo hàm bậc nhất của ảnh ta có phương pháp Gradient, nếu lấy đạo hàm bậc hai ta có phương pháp Laplace Các phương pháp này được mô tả chi tiết dưới đây:

2.1.1 Phương pháp đạo hàm bậc nhất Gradient

Phép toán Gradient là phép toán cơ bản dùng để phát hiện biên theo phương pháp tuyến tính, đây là phép toán lấy đạo hàm bậc nhất trong không gian hai chiều

Có hai phương pháp cơ bản để tạo ra đạo hàm bậc nhất Cách thứ nhất tạo ra các Gradien theo hai hướng trực giao trong một ảnh; cách thứ hai dùng một tập các đạo hàm theo hướng

2.1.1.1 Tạo các Gradient trực giao

Một biên trong một vùng biên liên tục F( x, y) có thể được tìm thấy bởi việc thiết lập Gradient một chiều liên tục dọc theo hướng trực giao với đường biên dốc, với một góc θ so với trục hoành Gradient một chiều liên tục dọc theo hướng trực giao với đường biên dốc có thể được tính dưới dạng các đạo hàm dọc theo các trục trực giao

θ

θ ( , ) sin cos

) , ( )

,

(

y

y x F x

y x F y

x

G

∂

∂ +

∂

∂

Hình 2-1: Mô hình biên

Hình 2-1: Miêu tả việc tạo một Gradient biên G(x, y) trong miền rời rạc dưới dạng một Gradient dòng GR(j, k) và Gradient cột GC(j, k) Gradient không gian biên độ được tính bởi:

G(j, k)=[[GR(j, k)]2 + [GC(j, k)]2]1/2 (2.1.1.2)

Để tính toán hiệu quả, Gradient biên độ thỉnh thoảng được tính xấp xỉ bởi việc phối hợp độ lớn:

G(j, k)=|GR(j, k)| + |GC(j, k)| (2.1.1.3) Hướng của Gradient không gian đối với trục hoành là:

),(arctan)

,(

k j G

k j G k

GR(j, k) = F(j, k) – F(j, k - 1) (2.1.1.5a)

Và Gradient theo cột là:

GC(j, k) = F(j, k) – F(j + 1, k) (2.1.1.5b)

Các định nghĩa Gradient theo dòng và cột, và các mở rộng tiếp theo được chọn mà GR và GC là dương với một biên mà biên độ tăng từ trái qua phải và từ dưới lên trên trong một ảnh

Với các biên dốc, tìm biên dựa theo sự sai khác không thể khoanh vùng biên thành một điểm ảnh đơn Hình 2-2 đưa ra các ví dụ phân biệt các Gradient theo chiều ngang và chiều dọc của ảnh đơn sắc các quả ớt Trong đó

và tiếp theo các bức ảnh Gradient hiển thị, phạm vi Gradient được vẽ theo tỷ

lệ trên toàn bộ phạm vi độ tương phản của bức ảnh Thể hiện bề ngoài từ bức ảnh mà sử dụng kỹ thuật sai khác là rất nhạy cảm với các sự dao động nhỏ trong độ chói của ảnh và các đường biên vật thể không được mô tả chính xác

Hình 2-2: Chênh lệch Gradient của ảnh quả ớt

Các Gradient biên chéo có thể đạt được bằng việc thiết lập các sai khác liên tiếp của các bộ chéo của các điểm ảnh Đây là cơ sở của toán tử Roberts[4]mà được định nghĩa theo giá trị tuyệt đối như sau:

G(j, k) = |G1(j, k)| + |G2(j, k)| (2.1.1.6a)

Và dưới dạng căn bậc hai như sau:

G(j, k) = [[G1(j, k)]2 + [G2(j, k)]2]1/2 (2.1.1.6b) Với:

G1(j, k) = F(j, k) – F(j + 1, k + 1) (2.1.1.6c)

G2(j, k) = F(j, k + 1) – F(j + 1, k) (2.1.1.6d) Hướng biên đối với trục hoành là

=

) , (

) , ( arctan 4

) , (

1

2

k j G

k j G k

Hình 2-3 đưa ra các biên Gradient của ảnh các quả ớt với toán tử Roberts Nhìn bề ngoài các vật thể trong ảnh xuất hiện trở lên mảnh phân biệt

dễ hơn với căn bậc hai Roberts so với Gradient trị tuyệt đối

Hình 2-3: Gradient của ảnh quả ớt

Mặc dù góc biên được khoanh vùng phù hợp, nhưng phương pháp di truyền hướng sai khác điểm ảnh tách biệt vẫn rất nhạy cảm với sự dao động

ánh sáng trong ảnh Vấn đề này có thể được hạn chế bằng cách sử dụng các toán tử hai chiều thực hiện đồng thời vi phân theo một hướng và lấy trung bình không gian theo hướng trực giao

A0 A1 A2

A7 F(j,k) A3

A6 A5 A4 Hình 2-4: Toán tử hướng phát hiện biên với quy ước 3x3

Prewitt[3] đã giới thiệu toán tử hướng biên 3x3 được mô tả bởi hình

2-4 Phương pháp tìm biên căn bình phương toán tử Prewitt được định nghĩa:

G(j,k) = ([Gr(j,k)]2 + [Gc(j,k)]2)1/2 (2.1.1.8a) Với :

Gr(j,k) =

2

1 +

k [(A2 + KA3 + A4) – (A0 + KA7 + A6)] (2.1.1.8b)

Gc(j,k) =

2

1 +

k [(A0 + KA1 + A2) – (A6 + KA5 + A4)] (2.1.1.8c) Trong đó: K=1 Trong công thức này, hướng theo hàng và cột được đơn giản hoá để đưa ra các đơn vị tăng trung bình trọng lượng âm và dương về một vị trí biên tách biệt Bộ phát hiện biên toán tử Sobelrất khác so với bộ dò biên Prewitt bởi vì các giá trị điểm hướng đông, tây, nam và bắc được gấp hai lần (ví dụ K=2) Mục đích việc gán hệ số trọng lượng này là để đưa ra tầm quan trọng tương xứng cho mỗi điểm ảnh trong cách thức nó đóng góp cho hướng không gian Frei và Chen[5] đã đề nghị đánh hệ trọng số đông, tây, nam và bắc bởi K = 2 vì thế hướng là tương tự nhau theo các biên dọc, ngang

và chéo Hướng biên G(j,k) cho các toán tử này cùng một hàng trong mô hình biên dọc biến đổi điểm ảnh đơn

Trong toán tử Frei-Chen với K = 2, Gradient biên là tương tự nhau tại trung tâm biên với biến đổi điểm ảnh đơn trong các mô hình biên chéo và biên dọc Gradient Prewitt cho biên chéo bằng 0,94 lần biên dọc Hệ số tương ứng

cho bộ dò biên Sobel là 1,06 Kết quả là toán tử Prewitt nhạy cảm theo biên dọc và biên ngang hơn là biên chéo; ngược lại đối với toán tử Sobel Các Gradient cùng một hàng trong mô hình biên chéo biến đổi mềm khác so với biên chéo và dọc với tất cả ba bộ dò biên 3x3 Không cái nào trong số chúng

có thể khoanh vùng biên cho điểm ảnh đơn

Hình 2-5: Gradient Prewitt, Sobel và Frei Chen với ảnh quả ớt

Hình 2-5 đưa ra ví dụ các Gradient Prewitt, Sobel và Frei-Chen của mô hình ảnh quả ớt Lý do mà các toán tử này dường như là rõ ràng tốt hơn cho

các biên của đối tượng phác hoạ so với toán tử Roberts là ở chỗ nó có kích thước lớn hơn, đưa ra trung bình của các dao động ánh sáng nhỏ

Gr(j,k) = F(j,k) 8 Hr(j,k) (2.1.1.9a)

Gc(j,k) = F(j,k) 8 Hc(j,k) (2.1.1.9b) Trong đó HR(j,k) và HC(j,k) là các mảng 3x3 tương ứng hàng và cột, như đã xác định ở hình 2-6

Toán tử Gradient hàng Gradient cột

1 1 0

0 0 0

0 1 0

0 1 0

0 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1

1 0 1

0 0 0

1 1 1

2 0

2

1 0 1

0 0 0

1 2 1

101

20

2

10122

000

121

221

Hình 2-6: Mảng 3x3 thúc đẩy trả lại toán tử biên Gradient trực giao khác Một giới hạn bình thường cho toán tử di truyền Gradient biên được định nghĩa trước đây là không có khả năng để dò biên chính xác trong môi

trường có độ nhiễu cao Vấn đề này có thể được hạn chế bởi việc mở rộng hợp lý kích thước các toán tử lân cận thông qua đó Gradient sai phân được tính toán Một ví dụ, toán tử Prewitt loại 7x7 có dạng tương ứng Gradient sau:

1110111

1110111

1110111

1110111

1110111

1110111

Một toán tử của loại này được gọi là toán tử boxcar Hình 2-7 biểu diễn

Gradient của một ma trận boxcar 7x7

Hình 2-7: Boxcar, Kim tự tháp, Argyle, Macleod và FDOG với ảnh quả ớt Abdou[6] đưa ra toán tử kim tự tháp mà ở đó có trọng lượng giảm tuyến tính với các điểm ảnh từ trung tâm của biên Ma trận đáp ứng Gradient hàng cho toán tử kim tự tháp 7x7 được cho như sau:

1230321

1230321

1230321

1220221

1110111

chú ý đến hàm Gaussian vùng liên lục với độ lệch chuẩn s Sử dụng kí hiệu

này, toán tử ma trận Argyle đáp ứng phối hợp ngang có thể được biểu diễn như là kiểu được lấy mẫu của đáp ứng vùng liên tục:

⎩

⎨

⎧−

) , ( ) , ( 2

) , ( ) , ( 2 ) , (

t y g s x g

t y g s x g k

j

với x < 0 (2.1.1.13b) Trong đó s và t là các hệ số trải Hàm đáp ứng dọc có thể được biểu diễn một cách tương tự Hàm toán tử Macleod đáp ứng Gradient ngang được biểu diễn như sau :

HR(j,k) = [g(x + s,s) – g(x – s,s)] g(y,t) (2.1.1.14) Toán tử Argyle và Macleod, không giống toán tử Boxcar, đưa ra sự giảm thiểu quan trọng cho các điểm ảnh xa từ trung tâm của lân cận Hình 2-7 biểu diễn các ví dụ cho Gradient Argyle và Macleod

Toán tử Gradient sai phân kích thước mở có thể được xem xét như là các toán tử phức hợp trong đó hoạt động làm mềm được thực hiện trên một ảnh nhiễu được tiếp theo bởi hoạt động sai phân Đáp ứng Gradient phức có thể được viết như sau:

H(j,k) = HG(j,k) 8 HS(j,k) (2.1.1.15)

Trong đó HG(j,k) là một trong các toán tử đáp ứng Gradient của hình

2-6 và HS(j,k) là một đáp ứng bộ lọc thấp Ví dụ, nếu HS(j,k) là toán tử Gradient hàng Prewitt 3x3 và HS(j,k) = 1/9, đối với mọi (j,k), là một toán tử làm mềm không đổi, toán tử kết quả Gradient hàng 5x5, sau việc đơn giản hoá thành các đơn vị âm dương trở thành:

∂

∂

− [ ( , ) ( , )]

(2.1.1.17a) dựa trên ưu điểm vi phân :

HR(j,k) = ( , 2) ( , )

s

t y g s x xg

−

(2.1.1.17b)

Tất cả các toán tử tăng cường biên vi phân được đưa ra trước đây đều ở dạng khám phá bước đầu Canny đã tiến gần đến việc phân tích để lựa chọn các toán tử này Phát triển của Canny dựa trên mô hình vùng liên tục một hướng bước nhảy biên của nhiễu trắng Gaussian cộng thêm vào biên độ hE cùng với khởi đầu tiêu chuẩn là σn Giả thiết rằng dò tìm biên được thực hiện

bằng kết hợp một tín hiệu biên nhiễu vùng liên tục một chiều f(x) với một hàm đáp ứng bất đối xứng h(x)nó có giá trị biên độ bằng không nếu nó ngoài vùng [-W,W] Vấn đề này sẽ nêu chi tiết hơn ở phần sau

2.1.1.2 Tạo các Gradient mẫu biên

Với công nghệ làm nổi biên vi phân trực giao đã được bàn luận trước đây, Gradient biên được tính toán theo hai hướng trực giao, thông thường theo hàng, cột sau đó hướng biên được can thiệp bởi việc tính toán vector tổng của Gradient Một điều khác nữa là tính toán Gradient trong số lượng lớn các hướng bằng cách kết hợp một ảnh với các ma trận đáp ứng Gradient mẫu Gradient mẫu biên được xác định bởi:

G(j,k) = MAX{|G1(j,k)|, , |Gm(j,k)|, , |GM(j,k)|} (2.1.1.21a) Trong đó:

Gm(j,k) = F(j,k) 8 Hm(j,k) (2.1.1.21b) Gradient trong hướng thứ m thu được bởi kết hợp một ảnh với một ma trạn đáp ứng Gradient Hm(j, k) Góc biên được xác định bởi hướng của Gradient lớn nhất

Hình 2-9 xác định 8 ma trận đáp ứng Gradient vòng đơn giản hoá tăng được đề xuất bởi Prewitt Tên của vòng chỉ ra hướng dốc của đáp ứng lớn nhất Kirsh đã đề nghị một Gradient hướng được định nghĩa bởi:

7 G(j,k) = MAX{|5Si – 3Ti|} (2.1.1.22a)

i=0 Trong đó:

Si = Ai + A1+1 + Ai+2 (2.1.1.22b)

Ti = Ai+3 + Ai+4 +Ai+5 + Ai+6 (2.1.1.22c)

Hình 2-9: Ma trận đáp ứng mẫu Gradient 3x3

Các kí hiệu Ai được đánh giá modulo Nó có khả năng tính toán Gradient Kirsch bằng cách tổ hợp trong phương trình (2.1.1.21b) Hình 2-9 xác định ma trận đáp ứng toán tử Kirsch đơn giản hoá Cấu trúc này xác định cho hai bộ ma trận đáp ứng đơn giản tăng khác được đưa ra bởi Robinson[13], được gọi là toán tử ba mức Robinson và toán tử năm mức Robinson, được

khởi đầu từ toán tử Prewitt và Sobel Hình 2-10 đưa ra sự so sánh Gradient biên của hình ảnh quả ớt cho bốn toán tử Gradient mẫu 3x3

Hình 2-10: Hình ảnh quả ớt cho bốn toán tử Gradient mẫu 3x3

2.1.1.3 Sự chọn lựa ngưỡng

Sau khi Gradient biên được tính toán theo các phương pháp phát hiện biên vi phân, Gradient này được so sánh với 1 ngưỡng để xác định xem liệu biên có tồn tại không Giá trị ngưỡng này xác định độ nhạy của bộ phát hiện biên Đối với các ảnh không có nhiễu, ngưỡng này có thể được chọn sao cho tất cả các sự không liên tục về biên độ của 1 mức tương phản nhỏ nhất sẽ được phát hiện là biên, và tất cả những phần khác được gọi là không biên Với các ảnh có nhiễu, việc lựa chọn ngưỡng này trở thành 1 thỏa hiệp giữa các biên hợp lệ bị bỏ qua và các biên sai do nhiễu được tạo thành

Phát hiện biên có thể coi như một bài toán kiểm tra giả thiết để xác định liêu một vùng ảnh có bao gồm biên hay không, cho P(edge) và P(no-edge) kí hiệu xác suất cho trước của những sự kiện này Như thế quá trình xác định có thể được đặc tính hóa bởi xác suất khả năng phát hiện biên đúng

trong đó t là ngưỡng phát hiện biên, p(G|edge) và p(G|no-edge) là mật

độ xác suất điều kiện Gradinet biên G(j,k) Hình 2-11 là một phác họa của các mật độ điều kiện Gradient biên điển hình Xác suất của lỗi xác định nhầm cóc thể biểu diễn là: PE = (1 - PD) P(edge) + (PF) P(no-edge) (2.1.1.24)

Hình 2-11: Các mật độ xác suất điều kiện Gradient biên điển hình

lỗi này sẽ là cực tiểu nếu ngưỡng được chọn sao cho một biên được cho là tồn tại khi:

p(G|edge) P(no-edge) p(G|no-edge) ≥ P(edge) (2.1.1.25) ngược lại thì giả thiết không biên được chấp nhận Phương trình (2.1.1.25) định nghĩa việc kiểm thử tỷ số cực đại được kết hợp với luật quyết định lỗi cực tiểu Bayes của lý thuyết quyết định cổ điển Một phương pháp quyết định

phổ biến khác được gọi là kiểm thử Neyman – Pearson, là chọn ngưỡng t để

PF đủ nhỏ với một PD khả quan cố định

Việc ứng dụng các luật ra quyết định để thống kê xác định giá trị ngưỡng yêu cầu thông tin về các xác suất biên ưu tiên và mật độ điều kiện của Gradient biên Các xác suất có thể được ước lượng từ các ảnh cùng loại qua phân tích Mặt khác, tỷ số xác suất có thể coi như một yếu tố điều khiển độ nhạy phát hiện biên Các mật độ điều kiện có thể được xác định, về mặt nguyên tác đối với mô hình thống kê của một biên lý tưởng cộng với nhiễu Abdou đã có kết quả các mật độ xác suất này với các toán tử phát hiện biên 2x2 và 3x3 cho trường hợp một biên dốc có đọ rộng w=1 và nhiễu cộng Gauss

Có hai khó khăn gặp phải khi sử dụng cách tiếp cận thống kê để xác định ngưỡng bộ phát hiện biên: độ tin cậy của các mô hình biên thống kê và các phân tích để nhận được các mật độ điều kiện Gradient Một cách tiếp cận khác được phát biểu bởi Abdou và Pratt là nó dựa trên kỹ thuật nhận dạng mẫu, tránh được các khó khăn của phương pháp thống kê trên Phương pháp nhận dạng mẫu này tạo ra một số lượng lớn các mẫu của vùng ảnh nhiễu, một

số chưa biên và một số khác thì không Những mẫu này sau đó được sử dụng như là một tập huấn luyện để tìm kiếm ngưỡng mà sai phân là nhỏ nhất

Bảng 2-1: Cung cấp một bảng các ngưỡng tối ưu cho một vài bộ phát hiện biên 2x2 và 3x3, các thiết lập này được đánh giá bởi 250 tập không có trong tập huấn luyện Bảng này cũng liệt kê xác suất của phát hiện biên đúng và sai

đã được định nghĩa trong công thức (2.1.1.23), chúng được tính toán theo lý thuyết từ các mật độ điều kiện Gradient Trong bảng này, ngưỡng được chuẩn hóa sao cho tN = t/GM, trong đó GM là biên độ lớn nhất của Gradient khi

không có nhiễu Tỷ số tín hiệu trên nhiễu được định nghĩa là: SNR = (h/σn)2,

trong đó h là độ cao biên và σn độ lệch chuẩn của nhiễu Trong hầu hết các trường hợp của bảng 2-1 ngưỡng tối ưu suy ra xấp xỉ khi PF = 1 – PD Kết quả này sẽ nhận được khi sử dụng thủ tục Bayes khi các biên và không biên có khả năng ngang nhau Các kiểm thử gắn liền với bảng 2-1 được suy ra với các ảnh có tỉ số tín hiệu trên nhiễu tương đối Phần sau cung cấp các ví dụ của các ảnh như thế Đối với các ảnh mà tín hiệu trên nhiễu cao, ngưỡng tối ưu sẽ

nhỏ hơn nhiều Kết quả là, với điều kiện PF = 1 – P D, ngưỡng phát hiện biên

có thể được lấy tí lệ tuyến tính với SNR Do đó, với một ảnh SNR = 100, ngưỡng này khoảng 10% của giá trị Gradient đỉnh

Hình 2-12: Lấy ngưỡng trong phương pháp Sobel và khi lấy đạo hàm lần thứ nhất của phương pháp Gaussian khi dò tìm biên trong ảnh quả ớt ngọt Hình 2-12 thể hiện các hiệu ứng khi thay đổi ngưỡng bộ phát hiện biên đạo hàm bậc nhất đối với các bộ phát hiện Sobel FDOG 3x3 và 11x11 áp dụng cho ảnh Ớt ngọt, nó là một ảnh có SNR(tỷ số tín hiệu nhiễu) tương đối Đối với cả hai bộ phát hiện, biến thiên của ngưỡng này thể hiện một thỏa hiệp giữa việc phát hiện biên mạnh và bỏ qua biên yếu

2.1.2 Phương pháp đạo hàm bậc hai Laplace

Các phương pháp phát hiện biên dựa vào đạo hàm bậc hai sử dụng một

số dạng sai phân không gian bậc hai để tăng cường được nhận ra, đánh dấu nếu đạo hàm bậc hai không gian ảnh thay đổi Có hai phương pháp đạo hàm bậc hai được xét ở đây: Laplacian và đạo hàm bậc hai có hướng

Torre và Poggio đã nghiên cứu các tính chất toán học của Laplace

của một hàm ảnh Họ đã tìm ra rằng: nếu F(x) thỏa mãn một số ràng buộc trơn nào đó, sự đổi dấu của G(x) là các đường cong sát nhau

Hình 2-13: Hình ảnh làm mảnh bản đồ biên của những quả ớt

Trong miền rời rạc, xấp xỉ đơn giản nhất của Laplace tương tự là tính sai phân của các sườn theo mỗi trục tọa độ:

G(j,k) = [F(j,k) – F(j,k-1)] - [F(j,k+1) – F(j,k)] +

[F(j,k) – F(j+1,k)] - [F(j-1,k) – F(j,k)] (2.1.2.2) Laplace lân cận 4 có thể được tạo ra bằng phép toán chập:

với:

0 2 0

0 1 0

0 0 0

1 2 1

0 0 0

1 4 1

0 1 0

Trong đó hai ma trận của phương trình (2.1.2.4a) lần lượt tương ứng với đạo hàm bậc hai theo các hàng và cột của ảnh như là trong Laplace liên tục của phương trình (2.1.2.1b) Laplace lân cận 4 thường được chuẩn hóa để các điểm ảnh được lấy trọng số âm và số dương có mức trung bình đơn vị trong một lân cận 3x3

141

0104

1

(2.1.2.5)

Đáp ứng xung lân cận 4 đã chuẩn hóa theo định nghĩa của Prewitt, trong đó Laplace lân cận 8 được định nghĩa bởi một mảng đáp ứng xung đã chuẩn hóa bởi:

181

1118

222

1111

21

121

121

Trong đó, các sai khác của các sườn được lấy trung bình trong 3 hàng

và 3 cột Công thức được chuẩn hóa của Laplace lân cận 8 là:

141

2128

0

và biên này nằm tại điểm ảnh chuyển dấu tại trung tâm

Hình 2-14 thể hiện các đáp ứng Laplace của ảnh Ớt ngọt (peppers) đối với ba kiểu của Laplace 3x3 Trong những ảnh này, các giá trị âm xác định là tối hơn so với các giá trị độ xám giữa, và các giá trị đuơng lại sáng hơn các giá trị độ xám giữa

Marr and Hildrith[14] đã đề xuất Toán tử phát hiện biện Laplace của Gaussian (LOG), trong đó việc làm trơn Gaussian được thực hiện trước khi áp dụng Laplace Gradien LOG miền liên tục là:

G(x,y) = -∇2 {F(x,y) 8 HS(x,y)} (2.1.2.9a) Trong đó, G(x,y) = g(x,s)g(y,s) (2.1.2.9b)

Hình 2-14: Các đáp ứng của ảnh quả ớt ngọt

là đáp ứng xung của hàm làm trơn Gaussian được định nghĩa bởi công thức (2.1.1.12) Do sự tuyến tính của phép toán đạo hàm bậc hai và sự tuyến tính của tích chập có thể biểu diễn đáp ứng LOG là:

Trong đó: H(x,y) = -∇2{g(x,s)g(y,s)} (2.1.2.10b)

Tùy thuộc vào phép toán chúng ta nhận được:

(2.2.11)(2.1.2.11)

Hình 2-15 là một hình ảnh chéo qua các phần của đáp ứng xung miền liên tục LOG, nó thường được gọi là bộ lọc mũ Mêhicô Có thể thấy đáp ứng xung LoG có thể biểu diễn:

(2.1.2.12)

Do vậy, thao tác nếp cuộn quấn lại, xoắn lại có thể tính toán phân ra theo hàng và cột Nó có thể thực hiện gần như đáp ứng xung LOG đóng bởi toán tử Gaussian khác (DOG) Kết quả đáp ứng xung là:

H(x,y) = g(x,s1) g(y,s1) – g(x,s2) g(y,s2) (2.1.2.13)

Hình 2-15: Vùng Laplace theo phép lấy Gaussian Trong đó s1<s2 Marr và Hildrith đã tìm ra tỉ số s2/s1 = 1.6, cung cấp một xấp xỉ tốt cho LOG đó

Một bản sao miền rời rạc của toán tử LOG có thể nhận được bằng cách lấy mẫu hàm đáp ứng xung miền liên lục của phương trình (2.1.2.11) trong một cửa sổ WxW Để tránh các hiệu ứng cắt xóa, kích thước của mảng nên