SKKN CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

ĐỀ TÀI : CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU I- ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là môn khoa học các em học sinh đã được làm quen ngay từ khi bắt đầu học từ trường tiểu học.. Ngoài ra

ĐỀ TÀI :

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

I- ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán học là môn khoa học các em học sinh đã được làm quen ngay từ khi bắt đầu học từ trường tiểu học Nó là bộ môn khoa học dễ gây hứng thú cho các em, gây sự tò mò khám phá kiến thức để phát triển trí tuệ của các

em Song bên cạnh đó cũng còn không ít học sinh học sinh bị ức chế khi học

bộ môn toán, thậm trí gây chán nản trong học tập, sợ hãi khi bước vào học giờ Toán Đặc biệt môn hình học các em bắt đầu làm quen từ bậc trung học

cơ sở các em lại càng cảm thấy khó khăn khi phải làm bài tập chứng minh hình học, không biết bắt đầu bài chứng minh từ đâu, thậm trí gây hoang mang cho các em Là giáo viên dạy môn toán đã nhiều năm, đã tiếp xúc với nhiều thế hệ học trò, qua thực tế giảng dạy, qua chấm bài của học sinh và trao đổi với đồng nghiệp tôi đã đúc kết ra kinh nghiệm, muốn gây được sự hứng thú cho học sinh khi học bộ môn Toán nói chung và làm bài tập hình chứng minh nói riêng Người giáo viên dạy bộ môn Toán khi truyền thụ kiến thức cho các em phải để tự các em khám phá kiến thức trên cơ sở được

sự dẫn dắt của giáo viên để các em hiểu ngay được kiến thức cần truyền thụ tại lớp Ngoài ra để nhớ kiến thức được lâu biết vận dụng kiến thức đã học vào giải quyết các bài tập ứng dụng thì người giáo viên phải biết trang bị cho trò của mình phương pháp học bộ môn Toán như thế nào để kiến thức Thầy trang bị đến đâu các em chiếm lĩnh đến đó, biết tích luỹ vào kho kiến thức của mình từ đó khi làm các bài tập biết lấy ra kiến thức cần sử dụng để giải quyết các yêu cầu của bài toán cho phù hợp và có hiệu quả nhất Có như vậy mới gây được sự hứng thú cho các em mỗi khi học môn Toán cũng như các bộ môn khác, gây cho các em sự phấn khởi khi bước tới trường và phát triển trí tuệ cho các em Sau đây tôi trình bày cách dạy cho học sinh giải quyết các bài tập hình học chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :

Khi học hình học nếu chúng ta chỉ học thuộc lòng các tiên đề, các định nghĩa, các định lý mà Thầy cung cấp cho mà không biết vận dụng các tiên đề, các định nghĩa, các định lý vào giải quyết các bài tập thì việc học của chúng ta chỉ là học vẹt không mang lại hiệu quả gì thậm trí gây hoang mang cho bản thân Muốn vận dụng được các tiên đề, định nghĩa, định lý vào trong quá trình giải các bài tập chứng minh ta cần phải nghiên cứu các phương pháp chứng minh Ở đây ta phân loại các phương pháp chứng minh theo kết luận của định lý chứ không theo cách thức chứng minh ( trực tiếp, gián tiếp) Ta dựa vào tính chất của kết luận mà phân loại bài tập, như loại bài tập chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thảng song song v.v., Chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp chứng minh cho từng loại và những định lý cần dùng đến đem qui nạp và chỉnh lý, sau này khi làm bài tập, gặp phải những bài tập cùng loại ta có thể từ những phương pháp và những định lý đã nghiên cứu cho thấy những phương pháp và định

lý thích hợp để ứng dụng Cho nên việc nghiên cứu các phương pháp chứng minh là một cơ hội tốt để chúng ta luyện tập và vận dụng các định lý đã học vào giải quyết các bài tập khắc sâu trí nhớ cho học sinh, nó giúp ích nhiều cho việc học tập bộ môn hình học

- Bài tập về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau có nhiều, trước tiên ta nghiên cứu phương pháp chứng minh loại bài tập này Những định lý có thể dùng để chứng minh loại bài tập này có nhiều chúng ta đã được học trong sách giáo khoa chúng ta không thể nhắc lại hết được, các định lý tuy nhiều song thường dùng nhiều nhất trong chứng minh vẫn không ngoài các định lý

cơ bản sau:

1) Lợi dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau, ta ghép hai đoạn thẳng đó vào 2 tam giác bằng nhau.

- Ví dụ A:

GT: Lấy hai cạnh AB và

5 4

1 2

H

G

D B

E F

L

M

3

AC của ABC làm cạnh dựng các hình vuông ABCF, ACGH ra phía ngoài tam giác Dựng

AD BC, kéo dài DA gặp FH tại M

-Suy xét: Trong bài ra có nhiều góc vuông, các cạnh của hình vuộng lại bằng nhau Vì 2 = 3 ( do đều phụ với 1) Những đại lượng bằng nhau đó ta phải lợi dụng Nếu dựng FK  với DM sẽ có AFK = BAD, FK = AD Tương tự dựng HL DM được HL = AD, cuối cùng chỉ cần chứng minh 

FMK = HML là được

Chứng minh:

Dựng FK  DM,

HL  DM

Từ 2 + 1 = 900

3+1 = 900

Có 2 = 3

Có FKA = ADB

FA = KS

Nên AFK = BAD

=> FK =AD

Tương tự HL = AD

=> HK = HL

Từ một điểm ở ngoài đoạn thẳng dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó)

Vì 3 góc kề bù nhau có 1 góc bằng 900

Vì hai góc nhọn của tam giác vuông Cùng phụ với góc 1

Cùng bằng 900 Hai cạnh của hình vuông Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau Theo cách chứng minh trên

Cùng bằng AD

Ta có FKM = HLM

4 = 3

=> FMK = HML

=> FM = MH

Cùng bằng 900 Góc đối đỉnh Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau

2- Dùng đoạn thẳng thứ 3 làm trung gian.(Để chứng minh 2 đoạn thẳng

bằng nhau ta dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian)

VD2 : Nếu một tứ giác nội tiếp trong đường tròn có hai đường chéo vuông góc với nhau thì đường thẳng đi qua giao điểm của đường chéo và vuông góc với một cạnh của tứ giác sẽ chia đôi cạnh đối diện với cạnh đó

Suy xét: Tam giác ABC là tam giác vuông ta phải chứng minh AG = GB nghĩa là G là điểm giữa của cạnh huyền Ta phải biết rằng điểm giữa của cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác vuông Nên lấy GE làm trung gian Muốn chứng minh GE = AG cần phải : 4 = 5, từ đó 4= 1, 5 =2 và 1,2 đều phụ với 3 ta suy ra 1 = 2 nên 4 = 5 có thể chứng minh được:

1 + 3 = 900

2+ 3 = 900

Nên 1 = 2

Nhưng 1 = 4, 2 = 3

 4= 5

 AG = GE

Hai góc nhọn tam giác vuông

Cùng phụ với 3

2 góc đối đỉnh, nội tiếp cùng chắn một cung

- Bắc cầu Hai cạnh của tam giác chắn 2 góc

GT Cho Tứ giác ABCD nội

tiếp trong đường tròn (0)

AC BD Qua E dựng

GE  CD

A

D

C

G B

B

B G

E

F

2 1 3 4 5

Tương tự GB = GE

AB = GB

bằng nhau

Theo cách chứng minh trên

3-Lợi dụng tam giác cân (Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau)

Ta ghép 2 đoạn thẳng đó vào 2 cạnh của một tam giác và chứng minh cho tam giác chứa hai đoạn thẳng đó là tam giác cân

VD3: Cho (0) và đường thẳng xy ở ngoài đường tròn đó Từ O hạ OA xy,

từ A kẻ 1 cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại B và C, tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt xy ở D và E Chứng minh: AD = AE

GT Cho (0) và đường thẳng

xy ở ngoài đường tròn

OA và xy

BD, CE là tiếp tuyến tại

B, C

Suy xét : Ta có OA  DE, nếu OD = OE thì DA = AE Muốn chứng minh

OB = OE ta có thể lợi dụng góc vuông giữa tiếp tuyến và bán kính OBD = OCE, bán kính OB = OC và dùng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông Nhưng giữa OBD và OCE ngoài hai cặp đại lượng bằng nhau ở trên còn có cặp đại lượng thứ 3 nào bằng nhau nữa không? Đó chính là mấu chốt của bài này Đây cũng là điều khó nhất Sau khi nghiên cứu ta thấy tứ giác ODAB và tứ giác ODEA nội tiếp được nên suy ra được ODB = OAB = OFC

Nối CD, OE,OB,OC Cho hai điểm kẻ được một đường thẳng

A

O

E

B D

C

Ta có : OBD = OCE = 900

OAD = OAE = 900

Tứ giác ODAB nội tiếp

=> ODB = OAB = OEC

Ta có : OB = OC

=> OBD = OCE

=> OD = OE

OA = AE

- Hai góc vuông ( Tính chất tiếp tuyến) Hai góc vuông

Bài toán quĩ tích

Góc nội tiếp cùng chắn một cung

- Bán kính

- Trường hợp bằng nhau (GCG) Hai cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau

Tính chất đường cao của tam giác cân

4- Lợi dụng Hình bình hành ( để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau) ta có thể ghép hai đoạn thẳng đó vào hai cạnh đối diện của hình bình

hành hoặc 2 đoạn tạo nên đường chéo hình bình hành để kết luận chúng bằng nhau

VD4: Cho ABC cân, AB = BC, trên AB lấy điểm D, trên AC kéo dài lấy điểm E sao cho BD = CE, nối A với E cắt BC tại F Chứng minh rằng BF = FE

BD = CE

DE cắt BC tại F

S`uy xét: Dựng DG // AE, nếu chứng minh được tứ giác DGEC là hình bình hành thì DE và BC nhất định cắt nhau tại F là trung điểm của DE Muốn chứng minh cho DGEC là hình bình hành chỉ cần có DG = CE là đủ Vì

DG //CE mà giả thiết cho DB = CE trước tiên phải chứng minh DGB = B

C A

B

D

F

E

Ta đã biết DGB = ACB, Chứng minh được B = ACB, nên B = DGB có thể thành lập được

- Đựng DG // AE, nối DC, GE

- Thì DGB = ACB

- Ta có B = ACB

- DBB = B

- DG = DB

Mà CE = DB

DG = CE

Vì DG //CE

=>Tứ giác DGEC là hình bình

hành

 Vậy DF = FE

Kẻ 1 đường thẳng qua một điểm song song vớiđường thẳng đã cho

( 2 góc đồng vị) -Tính chất tam giác cân

-Tính chất bắc cầu

-2 cạnh đối diện của 2 góc bằng nhau trong tam giác

-Theo giả thiết

Theo cách dựng

Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau

Tính chất đường chéo hình bình hành

5- Lợi dụng đường thẳng đi qua điểm giữa của 1 cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thi đi qua điểm giữa cạnh thứ ba.( Định lí

đường trung bình của tam giác )

VD: Cho tam giác ABC có AB = AC , trên AB lấy D trên AC lấy E sao cho

BD = CE Nối AE cắt BC tại F Chứng minh DF = FE

GT ABC , AB = AC

D  AB, EAC, BD =

CE

DE cắt BC tại F

KL DF = EF

C

A

B

F

E

G

2

3 4

Chứng minh Lý do

Dựng DG //BC

Ta có : A = 2 = 3 = 4

Nên AG = AD

mà AC = AB

nên GC = DB

Mà CE = DB

Suy ra GC = CE

DF = FE

Dựa vào phép dựng hình Tính chất tam giác cân và góc đồng vị của hai đường thẳng song song

- Tính chất 2 cạnh đối diện của với hai góc bằng nhau của một tam giác

- Giả thiết

- Hiện hai cặp đoạn thẳng bằng nhau

- Giả thiết

- Tính chất bắc cầu

- Tính chất trong tam giác đường thẳng đi qua điểm giữa một cạnh song song với cạnh thứ hai thì đi qua điểm giữa cạnh thứ ba

6) Lợi dụng đoạn thẳng bằng nhau cho trước rồi biến đổi :

Ta dựa vào tính chất 1(gấp hai đoạn thẳng bằng nhau lên cùng một số lần, hoặc cùng chia hai đoạn thẳng bằng nhau ra cùng một số lần thì được các đoạn thẳng mới bằng nhau.( hoặc tổng hay hiệu hai cặp đoạn thẳng bằng nhau tương đối một bằng nhau) từng đôi một thì bằng nhau

Biến đổi các đoạn thẳng bằng nhau cho trước ta sẽ chứng minh được định lí

7) Lợi dụng đại lượng bằng nhau trong đường tròn.

- Từ định lí “ Khoảng cách từ tâm đến hai dây cung bằng nhau thì bằng nhau” “ Hai dây cung bằng nhau, tạo góc ở tâm bằng nhau, hay hai góc nội tiếp bằng nhau thì hai dây cung tương ứng bằng nhau vv ”

Cuối cùng xin đưa ra một số bài tập quan trọng để các em học sinh vận dụng các phương pháp chứng minh trên vào giải quyết bài tập.

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, E và F là trung điểm của BC và AD.

Chứng minh rằng AF và DE chia AC thành ba phần bằng nhau

Bài 2: Đường kính AB của một đường tròn tâm O và dây cung AC hợp

thành một góc 300, tiếp tuyến tại C cắt AB kéo dài ở D Chứng minh AC = DC

Bài 3: Trên một đường tròn tâm O lấy một điểm B, dựng tiếp tuyến BC, dựng OC  OA cắt AB và tiếp tuyến B lần lượt ở D và C Chứng minh BC

= CD

Bài 4: Cho ABC vuông Lấy một cạnh tam giác vuông làm đường kính dựng đường tròn cắt cạnh huyền tại 1 điểm Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm đó chia đôi cạnh góc vuông kia

Bài 5: Cho ABC , dựng ASD, ACE ra phía ngoài tam giác ABC Lấy

AD, AE làm hai cạnh hình bình hành ADF Chứng minh FBC đều

Bài 6: Cho ABC đường cao BD và CE, gọi F là trung điểm BC, từ F dựng

FG DE Chứng minh DG = GE

Bài 7: Cho ABC, đường cao AD và BE cắt nhau tại H Đường kính của đường tròn ngoại tiếp là AF Chứng minh rằng nếu HF cắt BC tại G thì HG

= GF

II- KẾT LUẬN

Trên đây là một số phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Là người giáo viên đã dạy toán nhiều năm và qua sự trao đổi với đồng nghiệp để các em học sinh say mê với môn học Toán và có hiệu quả cao thì người giáo viên dạy học lĩnh hội kiến thức trên cơ sở học sinh khám phá xây

dựng đồng thời phải làm cho học sinh hiểu biết, vận dụng thành thạo Có như vậy kiến thức của thầy truyền thụ mới đọng lại trong học sinh nếu không “ Chữ thầy lại trả thầy” có như vậy thì chất lượng giờ dạy toán mới cao và mới phát triển trí tuệ cho các em, giúp cho các em niềm đam mê khi học toán

Trên đây là một phần nhỏ kinh nghiệm dạy Toán nói chung và dạy bài toán chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nói riêng của bản thân đã qua thực tiễn nhiều năm và đã đạt hiệu quả cao Rất mong được sự tham gia góp

ý của đồng nghiệp để sáng kiến có chất lượng, hiệu quả cao./

Cộng Hiền, ngày 2 tháng 1 năm 2009

Người viết

Ngô Công Văn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK Toán 7,8,9

2 SGV Toán 7, 8, 9

3 STK Toán 8

Mục lục:

Đặt vấn đề: Trang 1 Giải quyết vấn đề Trang 1

Kết luận Trang 8

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BẢN CAM KẾT

I TÁC GIẢ:

Họ và tên : Ngô Công Văn

Ngày, tháng, năm sinh: 1960

Đơn vị : Trường THCS Cộng Hiền

Điện thoại: .Di động

E-mail:

II SẢN PHẨM:

TÊN SẢN PHẨM: SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU

III CAM KẾT

Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi Nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của bản Cam kết này

Cộng Hiền, ngày 08 tháng 2 năm 2009

Người cam kết

(Ký, ghi rõ họ tên)