Lược đồ đa thang bậc xấp xỉ hàm số thuộc không gian Sobolev

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN - CƠ - TIN NGUYỄN ANH NGỌC LƯỢC ĐỒ ĐA THANG BẬC XẤP XỈ HÀM SỐ THUỘC KHÔNG GIAN SOBOLEV LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN

NGUYỄN ANH NGỌC

LƯỢC ĐỒ ĐA THANG BẬC XẤP XỈ HÀM SỐ

THUỘC KHÔNG GIAN SOBOLEV

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60460102

Người hướng dẫn: GS.TSKH Đinh Dũng

HÀ NỘI- 2014

Lời cảm ơn

Trước hết, em xin chân thành cảm ơn GS TSKH Đinh Dũng, Việncông nghệ thông tin- Đại học Quốc gia Hà Nội Thầy đã trực tiếp hướngdẫn và chỉ bảo em trong quá trình thực hiện luận văn

Đồng thời, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán- Cơ- Tin, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đạihọc Quốc gia Hà Nội, đã tận tình dạy bảo em trong thời gian học tập tạikhoa

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô bộ môn toán Giải tích- Khoa KHCB,trường Đại học Giao thông vận tải, đã động viên, đóng góp ý kiến và tạomọi điều kiện thuận lợi để giúp đỡ em hoàn thành luận văn

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Học viênNguyễn Anh Ngọc

Mục lục

Mở đầu iii

Chương 1 Các khái niệm cơ bản 1

1.1 Hàm Bessel 1

1.2 Biến đổi Fourier 5

1.3 Hàm xác định dương 10

1.4 Hàm bán kính 12

1.5 Hàm Wendland 14

1.6 Không gian Sobolev 19

1.7 Không gian nguyên thủy (Native space) 20

1.8 Một số khái niệm khác 22

Chương 2 Sai số xấp xỉ bằng phương pháp nội suy sử dụng hàm bán kính cơ sở 24

2.1 Dáng điệu tiệm cận của biến đổi Fourier 24

2.2 Sai số xấp xỉ 30

Chương 3 Lược đồ xấp xỉ đa thang bậc hàm số thuộc không gian Sobolev 33

3.1 Lược đồ xấp xỉ đa thang bậc 33

3.2 Nội suy đa thang bậc 38

3.3 Nội suy đa thang bậc hàm thô 42

3.4 Nội suy đa thang bậc và quá trình trơn hóa 47

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo 52

Mở đầu

Lớp các hàm bán kính cơ sở là công cụ quan trọng trong phép xấp xỉhàm nhiều biến, được ứng dụng trong các ngành tin học, kỹ thuật, địavật lý chẳng hạn được sử dụng trong mạng neural, học máy (machinelearning), mô tả các đối tượng hình học Lớp hàm này cho phép ta xâydựng các không gian hàm xấp xỉ với số chiều tùy ý và độ trơn bất kỳ.Những không gian này có nhiều tính chất đẹp nhưng việc xấp xỉ đòi hỏi

độ phức tạp tính toán cao Đây được xem là nguyên tắc "trả giá" Với sự

ra đời của hàm bán kính cơ sở có giá compact năm 1995 (hàm Wendland)

đã mang lại hi vọng giải quyết sự bất lợi này Tuy nhiên các kiểm tra số

đã cho thấy vẫn có sự "trả giá", nó phụ thuộc vào cách chọn bán kính giá.Trong trường hợp tổng quát, bán kính giá nhỏ dẫn đến hệ rời rạc có điềukiện tốt nhưng tốc độ hội tụ thấp; trong khi bán kính giá lớn cho ta tốc

độ hội tụ cao nhưng đổi lại hệ có điều kiện xấu Vì vậy việc chia tập dữliệu thành nhiều phần và trên mỗi phần lại sử dụng hàm bán kính cơ sở

có giá khác nhau là hợp lý Đây cũng là ý tưởng ra đời của thuật toán xấp

xỉ đa thang bậc Tập dữ liệu được chia nhỏ, ta thu được một dãy tập saocho các tập này ngày càng mịn Thuật toán xấp xỉ đa thang bậc được thựchiện như sau: đầu tiên ta xấp xỉ hàm đã cho với tập dữ liệu thô nhất vàbán kính giá lớn, tiếp theo ta xấp xỉ phần dư của hàm mục tiêu và hàmnội suy vừa có được qua bước một bằng cách nội suy trên tập dữ liệu mịnhơn và bán kính giá nhỏ hơn, quá trình cứ thế tiếp tục Và hàm xấp xỉ tathu được là tổng các hàm xấp xỉ qua các cấp độ

Mục tiêu của luận văn này là trình bày các kết quả được công bố trongcác bài báo [11], [10], [12] về sự hội tụ của thuật toán xấp xỉ đa thang bậc

cho trường hợp hàm mục tiêu thuộc không gian Sobolev có miền xác định

bị chặn Hơn thế, ở đây không có sự hạn chế cho độ trơn của hàm mụctiêu và độ trơn của hàm bán kính cơ sở Có nghĩa là hàm mục tiêu có thểcùng độ trơn với hàm cơ sở bán kính hoặc hàm mục tiêu thô hơn, thuậttoán cũng hội tụ với "tham số trơn" chọn thích hợp

Luận văn có bố cục gồm 3 chương Chương 1 trình bày một kiến thức bổtrợ như hàm gamma Γ, hàm Bessel, biến đổi Fourier, hàm bán kính vàquan trọng nhất là định nghĩa lớp hàm Wendland [11], không gian nguyênthủy tương ứng với nhân có dạng φ(x, y) = Φ(x − y) với Φ là hám bán kínhxác định dương Chương 2 trình bày kết quả của bài báo [10] về đánh giátiệm cận của biến đổi Fourier đối với hàm Wendland, từ đó chỉ ra sai sốxấp xỉ bằng phương pháp nội suy sử dụng hàm bán kính Chương 3 trìnhbày các định lý là kết quả của bài báo [12] về tính hội tụ của thuật toánxấp xỉ đa thang bậc trong không gian Sobolev Thuật toán xấp xỉ này thựchiện xấp xỉ hàm mục tiêu trên các không gian nguyên thủy tương ứng vớinhân Φj(x, y) = δ−dj Φ((x − y)/δj)

Chương 1

Các khái niệm cơ bản

Nội dung của chương này được viết dựa theo tài liệu [13], với mụcđích định nghĩa một số ký hiệu sử dụng trong luận văn, trình bày cáckhái niệm cơ bản (như hàm gamma Γ, hàm Bessel, biến đổi Fourier, hàmWendland ) cũng như một số tính chất sẽ được sử dụng trong các chươngtiếp theo

Định nghĩa 1.2 Hàm Bessel loại 1 cấp ν ∈ C được định nghĩa như sau

Tiếp theo, sử dụng khai triển hàm mũ ta có

Z π 0

với ak := R0πcoskθ sind−2θdθ Bằng quy nạp ta chứng minh được a2k+1 = 0và

a2k = (2k)!Γ ((d − 1)/2) Γ(1/2)

22kk!Γ ((d + k)/2) .Kết hợp lại ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.4 Hàm Bessel có dáng điệu tiệm cận như sau

+ O(r−3/2) khi r → ∞ và ν ∈ R;(3) Jd/22 (r) ≤ 2

Jν(t)tν+1e−rtdt = 2

ν+1Γ(ν + 3/2)r

√π(r2+ 1)ν+3/2.Chứng minh Với 0 ≤ t < 1 và µ > 0, từ khai triển Taylor của hàm(1 + t)−µ và định nghĩa hàm gamma Γ ta có

−2m (1.1)

Từ công thức nhân đôi Legendre (Mệnh đề 1.1)với z = ν + m + 1 dẫn đến

Γ(ν + m + 3/2) =

√πΓ(2ν + 2m + 2)

≤ cνt2ν+1e−rtet,điều này dẫn đến tổng chuỗi trên thuộc L1[0, ∞) với điều kiện r > 1 Theođịnh lý hội tụ Lebesgue ta có thể đổi thứ tự phép lấy tích phân

Như vậy ta đã chứng minh đẳng thức đúng với r > 1 Nhưng vì cả hai

vế của đẳng thức đều là hàm giải tích trong miền <(r) > 0 và |=(r)| < 1nên đẳng thức vẫn đúng với r > 0 nhờ thác triển giải tích

Bổ đề 1.3 Với r > 0 ta có đẳng thức sau

Z ∞ 0

J0(t)e−rtdt = 1

(1 + r2)1/2

Chứng minh Từ công thức Legendre đối với hàm gamma Γ suy ra

Γ(m + 1/2) = (2m)!

√π

22mm! .Như chứng minh của Bổ đề 1.2 ta có biểu diễn sau

Z ∞ 0

Định nghĩa 1.3 Với mỗi hàm f ∈ L1(Rd) biến đổi Fourier của nó đượcđịnh nghĩa như sau

Định lý 1.1 Giả sử f, g ∈ L1(Rd) khi đó ta có các khẳng định sau làđúng

có công thức như sau [f ∗ g = (2π)d/2fbbg.

(3) Với Taf (x) := f (x − a), a ∈ Rd ta có dTaf (x) = e−ixTaf (x).b

(4) Với Sαf (x) := f (x/a), α > 0 ta có dSαf = αdS1/αf b

Định lý 1.2 Hàm G(x) := e−kxk2/2 thỏa mãn bG = G

Chứng minh Ta có

bG(x) = (2π)−d/2

biến đổi Fourier của d biến Gaussian G bằng tích của biến đổi Fouriercủa các Gaussian một biến g(t) = e−t2/2 vì thế ta chỉ cần tính toán trongtrường hợp một biến là đủ

Từ định lý tích phân Cauchy ta có

bg(r) = (2π)−1/2

Định nghĩa 1.4 Ta nói hàm f là tăng chậm nếu tồn tại hằng số m ∈ N0

sao cho f (x) = O(kxkm2 ) khi kxk → ∞

Định nghĩa 1.5 Không gian Schwartz S là không gian chứa các hàm

γ ∈ C∞(Rd) thỏa mãn

|xαDβγ(x)| ≤ Cα,β,γ, ∀x ∈ Rd,trong đó α, β ∈ Nd0 là các đa chỉ số, hằng số Cα,β,γ phụ thuộc vào α, β, γ.Định lý 1.3 Xét hàm gm(x) = (m/π)d/2e−mkxk2, m ∈ N, x ∈ Rd Khi đócác khẳng định sau đây đúng

Với  > 0 bất kỳ, vì Φ liên tục nên tồn tại δ > 0 sao cho |Φ(ω)−Φ(0)| <

/2 với mọi kωk ≤ δ Mặt khác Φ là hàm tăng chậm nên tồn tại ` ∈ N0

và M > 0 sao cho |Φ(ω)| ≤ M (1 + kωk)` hay ta có thể chọn đượchằng số C = Cδ sao cho |Φ(ω) − Φ(0)| ≤ Ckωk`

≤Z

kωk≤δ

|Φ(ω) − Φ(0)| gm(ω)dω+ C

e−kωk2/2kωk`dω

≤ 

với m đủ lớn Trường hợp x 6= 0 chứng minh hoàn toàn tương tự chỉthay Φ bởi Φ(· + x)

Giả sử Ω ⊆ Rd là tập đo được Không gian Lp(Ω)(1 ≤ p < ∞) gồm tất

cả các hàm đo được f thỏa mãn |f |p khả tích trên Ω, tức là

Z

Ω

|f (t)|pdt < ∞

Lp(Ω) là không gian gồm các lớp tương đương các hàm trong Lp(Ω), trong

đó hai hàm được gọi là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi

Lp(Ω) là không gian Banach với chuẩn

Định lý 1.4 Biến đổi Fourier là một tự đẳng cấu trên không gian S Ánh

xạ ngược chính là phép biến đổi Fourier ngược Hơn nữa, ta có

k bf kL2(Rd ) = kf kL2(Rd ).Chứng minh Từ Định lý 1.1 suy ra biến đổi Fourier và biến đổi Fourierngược là các tự đồng cấu trên S Sử dụng Định lý 1.1 và Định lý 1.3 ta có

Z

Rd

bg(ω)eix T ωdω = g(x).kết hợp với Định lý 1.1 ta có

từ đây suy ra điều phải chứng minh

Định lý 1.4 chỉ ra biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính bị chặntrên không gian con trù mật S của L2(Rd) Vì vậy tồn tại duy nhất toán

tử thác triển T của toán tử này lên toàn bộ không gian L2(Rd), ta gọi nó

là biến đổi Fourier trên L2(Rd) và ký hiệu bf = T f với f ∈ L2(Rd)

Hệ quả 1.1 Tồn tại duy nhất một đẳng cấu T : L2(Rd) → L2(Rd) thỏamãn

(1) kT f kL2(Rd ) = kf kL2(Rd ), ∀f ∈ L2(Rd);

(2) T f = bf , ∀f ∈ L2(Rd) ∩ L1(Rd);

(3) T−1g = g∨, ∀g ∈ L2(Rd) ∩ L1(Rd).

Định lý 1.5 Giả sử Φ ∈ L1(Rd) ∩ C(Rd) là hàm theo bán kính, tức làΦ(x) = φ(kxk), x ∈ Rd Khi đó biến đổi Fourier bΦ cũng là hàm theo bánkính, tức là bΦ(ω) =Fdφ(kxk)

Fdφ(r) = r−(d−2)/2

Z ∞ 0

td−1Z

S d−1

Φ(tkωk)e−itxTωdS(ω)dt

= (2π)−d/2

Z ∞ 0

Chứng minh Vì Φ là hàm nhận giá trị thực, xác định dương nên từ Mệnh

đề 1.5 suy ra Φ là hàm chẵn và hiển nhiên thỏa mãn điều kiện thứ hai.Ngược lại ta cần chỉ ra hàm Φ thỏa mãn điều kiện trong định lý là xácđịnh dương Với αj = aj + ibj

N

X

j,k=1

akbjΦ(xj − xk) − Φ(xk − xj)

Vì Φ là hàm chẵn nên tổng thứ hai trong vế phải bằng 0 Tổng thứ nhất

là không âm do giả thiết và nó chỉ bằng 0 nếu aj = bj = 0

Định lý sau cho ta một tiêu chuẩn kiểm tra hàm xác định dương, nóđược chứng minh bởi Bochner

Định lý 1.7 Hàm Φ : Rd → C là xác định dương nếu và chỉ nếu biến đổiFourier d chiều của nó

bΦ(x) = Fdφ(r) = (2π)−d/2

φ trên Rd

Độ trơn của hàm nhiều biến Φ được xác định theo độ trơn của hàmthác triển chẵn của hàm một biến φ Đây là lý do vì sao ta luôn giả thiếtcác hàm φ là hàm chẵn được xác định trên toàn bộ R bằng phép thác triểnchẵn

Định lý 1.8 Giả sử φ ∈ C[0, ∞) thỏa mãn r → rd−1φ(r) ∈ L1[0, ∞) Khi

đó φ xác định dương trên Rd nếu và chỉ nếu tích phân

Fdφ(r) := r−(d−2)/2

Z ∞ 0

φ(t)td/2J(d−2)/2(rt)dtkhông âm và không triệt tiêu

Chứng minh Từ r → rd−1φ(r) ∈ L1[0, ∞) ta có Φ := φ(k·k) thuộc L1(Rd).Hơn nữa ta có bΦ(x) = Fdφ(kxk)

Bổ đề 1.5 Ta định nghĩa hàm f0 = 1 − cos r và

fn(r) =

Z r 0

f0(t)fn−1(r − t)dtvới n ≥ 1 Đặt

Bn = 2

n+1/2n!(n + 1)!

√

π .

Khi đó fn thỏa mãn

Z r 0

(r − t)n+1tn+1/2Jn−1/2(t)dt = Bnfn(r) (1.3)Chứng minh Ký hiệu tích phân trong vế trái của (1.3) là g(r) Ta có

g(r) =

Z r 0

g1(r − s)g2ds,

trong đó g1(s) := sn+1, g2(s) := sn+1/2Jn−1/2(s) Vì thế biến đổi Laplacecủa g(r) bằng tích các biến đổi Laplace của hàm g1 và g2 Ta tính biến đổiLaplace đối với hàm g1 nhờ biểu diễn của hàm gamma Γ

Lg1(r) =

Z ∞ 0

sn+1e−rsds = r−n−2

Z ∞ 0

tn+1e−tdt = Γ(n + 2)

rn+2

= (n + 1)!

rn+2 Biến đổi Laplace của hàm g2 được tính theo Bổ đề 1.2 Nếu ta đặt ν =

n − 1/2 > −1 thì

Lg2(r) :=

Z ∞ 0

sn+1/2Jn−1/2(s)e−rsds = n!2

n+1/2r

√π(1 + r2)n+1

với r > 0 Kết hợp hai biểu thức lại ta có

Lg(r) = 2n+1/2n!(n + 1)!√

π

1

rn+1(1 + r2)n+1

Dễ dàng tính được biến đổi Laplace của f0 = 1 − cos r là 1/[r(1 + r2)] Từ

đó suy ra biến đổi Laplace của fn là

Định lý 1.9 Hàm lũy thừa chặt cụt

φ`(r) = (1 − r)`+ :=  (1 − r)` nếu r ≤ 1

0 nếu r > 1xác định dương trên Rd với ` ∈ N thỏa mãn ` ≥ bd/2c + 1

Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp số chiều lẻ d = 2n + 1 và

` = bd/2c + 1=n+1 Ta có

r3n+2F2n+1φn+1(r) =

Z r 0

Vì thế nên φb2n/2c+1 xác định dương trên R2n+1 và dẫn đến nó cũng xácđịnh dương trên R2n

Trong phần này ta sẽ xét các hàm Φ(x) = φ(kxk) có dạng sau:

φ(r) =p(r) 0 ≤ r ≤ 1

0 r > 1, (1.4)trong đó p(r) =

N

P

j=0

cjrj, cN 6= 0 là đa thức một biến Hiển nhiên hàm φ

có thể thác triển thành một hàm chẵn trên toàn bộ đường thẳng thực.Nội dung chính của mục này là chỉ ra cấu trúc hàm Wendland - các hàmdạng (1.4) thuộc PDd ∩ C2k với bậc nhỏ nhất Hàm này được HolgerWendland định nghĩa lần đầu tiên trong bài báo [11] và nó có vai trò quantrọng trong các bài toán xấp xỉ, được ứng dụng để xậy dựng các mạng lướineural, cũng như xây dựng và mô hình hóa các đối tượng hình học

Định nghĩa 1.8 (1) Cho φ thỏa mãn t 7→ tφ(t) thuộc L1[0, ∞), ta địnhnghĩa toán tử I như sau

(Iφ)(r) =

Z ∞ r

Chú ý rằng hàm Dφ liên tục tại diểm không Vì φ ∈ C2(R) là chẵn nên

φ0(t) = −φ0(−t) và đặc biệt φ0(0) = 0 Điều này có nghĩa là φ0(t) = O(t)khi t → 0 và vì vậy Dφ(t) = O(1) khi t → 0 Hơn nữa toán tử I và D lànghịch đảo của nhau theo nghĩa sau đây

Bổ đề 1.6 Nếu φ là hàm liên tục và thỏa mãn t 7→ tφ(t) ∈ L1[0, ∞) khi

đó DIφ = φ Ngược lại nếu φ ∈ C2(R) là hàm chẵn và φ0 ∈ L1[0, ∞) thìIDφ = φ

Z ∞ r

|φ(t)|trd−3dtdr

=

Z R 0

Z R r

|φ(t)|trd−3dtdr +

Z R 0

Z ∞ R

|φ(t)|trd−3dtdr

và cả hai tích phân cuối cùng đều bị chặn Với tích phân thứ nhất ta thựchiện phép đổi biến và thu được

Z R 0

Z R r

|φ(t)|trd−3dtdr =

Z R 0

Z t 0

|φ(t)|trd−3drdt

= 1

d − 2

Z R 0

|φ(t)|trd−3dtdr = R

d−2

d − 2

Z ∞ R

td−1|φ(t)|t−d+2dt

≤ 1

d − 2

Z ∞ R

td−1|φ(t)|dt

≤ 1

d − 2

Z ∞ 0

(Iφ)(t)t(d−2)/2J(d−4)/2(rt)dt

= r−(d−2)/2

(Iφ)(t)t(d−2)/2J(d−2)/2(rt)

∞

0 +

Z ∞ 0

φ(t)td/2J(d−2)/2(rt)



=Fdφ(r)

Vì tính khả tích của hàm t 7→ (Iφ)(t)td−3 nên ta có Iφ(t) = O(t−d+2)

khi t → ∞ Dáng điệu tiệm cận của hàm Bessel từ Mệnh đề 1.4 cho ta

Jν(t) = O(1/√

t) Vì thế nên (Iφ)(t)t(d−2)/2J(d−2)/2(rt) = O(t−(d−1)/2) khi

t → ∞ và triệt tiêu tại vô cùng Với biên dưới ta sử dụng dáng điệu tiệm

cận của hàm Bessel Jν(t) = O(tν) khi t → 0 và ν ≥ 0, kết hợp với tính

bị chặn của hàm Iφ ta có (Iφ)(t)t(d−2)/2J(d−2)/2(rt) = O(td−2) khi t → 0,

vì thế hàm cũng triệt tiêu tại không Ta đã hoàn thành chứng minh phần

đầu của định lý

Với phần thứ hai, ta định nghĩa ψ := Dφ Khi đó ψ liên tục và thỏa

mãn t → ψ(t)td+1 ∈ L1[0, ∞) Đặc biệt ta có Iψ = IDφ = φ Cuối cùng

ta áp dụng phần đầu của định lý cho ψ

Fd+2(Dφ) =Fd+2(ψ) =Fd(Iψ) =Fd(φ)

Ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.7 Giả sử φ là hàm chẵn có dạng (1.4) trên nửa dương của trục

số và có đạo hàm liên tục đến cấp 2k tại 0 và đạo hàm liên tục cấp ` tại

1 Khi đó Iφ có đạo hàm liên tục đến cấp 2k + 2 tại 0 và đạo hàm liên tụccấp ` + 1 tại 1 Nếu k, ` > 1 khi đó Dφ có đạo hàm cấp liên tục đến cấp2k − 2 tại 0 và đạo hàm liên tục đến cấp ` − 1 tại 1

Chứng minh Các toán tử I, D biến đa thức thành đa thức, mặt khác ta

có thể chứng minh được rằng các hàm chẵn thác triển từ dạng (1.4) cóđạo hàm tại 0 cấp 2k nếu và chỉ nếu k hệ số bậc lẻ đầu tiên bằng 0, từ đó

ta có được điều phải chứng minh

Định lý 1.11 Giả sử φ là hàm chẵn dạng (1.4) xác định dương trên Rd.Khi đó φ thỏa mãn φ ∈ Cbd/2c(0, ∞)

Định nghĩa 1.9 Với φ`(r) = (1 − r)`+ ta định nghĩa hàm φd,k như sau:

φd,k = Ikφbd/2c+k+1.Bằng phép quy nạp ta có thể chứng minh được định lý sau về biểu diễncủa hàm φd,k

d(`)j,0 = (−1)j`

j

, 0 ≤ j ≤ `,

d(`)j,s+1 = −d

(`) j−2,s

j , s ≥ 0, 2 ≤ j ≤ ` + 2s + 2.

Định lý 1.13 Với d, k ∈ N tồn tại hàm φ có dạng (1.4) với bậc deg =bd/2c + 3k + 1 và φ ∈ PDd∩ C2k.

Chứng minh Chọn ` = b(d + 2k)/2c + 1 = bd/2c + k + 1 Khi đó ta có

φ` ∈ PDd+2k ∩ C0 Theo Định lý 1.10 ta có φ`,d ∈ P Dd Từ Bổ đề 1.7 ta

có φ`,d có đạo hàm liên tục đến cấp 2k tại 0 và có đạo hàm liên tục đếncấp 2k + bd/2c tại 1

Bổ đề 1.8 Giả sử φ là có dạng (1.4) hàm liên tục, xác định dương trên

Rd khi đó φ có bậc không bé hơn bd/2c + 1

Bổ đề trên được chứng minh bởi Chanysheva [1]

Ký hiệu deg P để chỉ bậc của đa thức P Giả sử P (x) =

n

P

j=0

ajxj, an 6= 0,khi đó deg P = n

Định lý 1.14 Không tồn tại hàm φ dạng (1.4) thỏa mãn φ ∈ PDd∩ C2k

và deg φ < bd/2c + 3k + 1

Chứng minh Giả sử tồn tại hàm φ thỏa mãn các điều kiện của định lý

Vì φ ∈ C2k nên ta có thể viết p(r) = q(r2) + r2k+1h(r) với h, q là các

đa thức và bậc của q bằng k Khi đó ψ := Dkφ là hàm có dạng (1.4) và

ψ ∈ PDd+2k ∩ C0, deg ψ < b(d + 2k)/2 + 1c Điều này mâu thuẫn với Bổ

Chứng minh Từ Định lý 1.9 ta có φbd/2c+k+1 xác định dương trên Rd+2k.Lại có Fdφd,k = Fd+2kφbd/2c+k+1 từ Định lý 1.10 nên ta có φd,k là xác định

φd,k sai khác nhau một hằng số nhân.

Sau đây là một vài ví dụ về hàm Wendland

Số chiều Hàm Wendland Độ trơn

Với s ≥ 0 không gian Sobolev cấp s được định nghĩa như sau

Đặc biệt nếu k = 0 tức là s > d/2 thì các hàm thuộc không gian Sobolev

Hs(Rd) liên tục trên Rd

Định nghĩa 1.10 Giả sử Ω là miền mở trong Rd Hàm Φ : Ω × Ω → Rđược gọi là nhân đối xứng, xác định dương nếu:

• Φ(x, y) = Φ(y, x) với mọi x, y ∈ Ω;

• với mọi n ∈ N, các điểm phân biệt x1, x2, , xn ∈ Ω, với mọi αj ∈R\{0} ta có

Chứng minh Rõ ràng (·, ·)Φ là dạng song tuyến tính đối xứng vì Φ là đốixứng Hơn nữa, nếu f =

N

P

j=1

αjΦ(·, xj) 6≡ 0 ta có(f, f )Φ =

Gọi FΦ(Ω) là không gian Hilbert bổ sung đủ của FΦ(Ω), tương ứng vớichuẩn k · kΦ Xét ánh xạ tuyến tính R :FΦ(Ω) → C(Ω)

R(f )(x) := (f, Φ(·, x))Φ.Ảnh của một hàm qua ánh xạ R là một hàm liên tục vì

|R(f )(x) − R(f )(y)| = (f, Φ(·, x) − Φ(·, y))Φ ≤ kf kΦkΦ(·, x) − Φ(·, y)kΦvà

kΦ(·, x) − Φ(·, y)k2Φ = Φ(x, x) + Φ(y, y) − 2Φ(x, y)

Hơn nữa, ta có Rf (x) = f (x) với mọi x ∈ Ω với mọi f ∈ FΦ(Ω)

G là không gian Hilbert với nhân tái tạo Φ Khi đó không gian G và khônggian nguyên thủy NΦ(Ω) cùng với tích vô hướng của chúng là trùng nhau.Định lý 1.18 Giả sử Φ ∈ C(Rd) ∩ L1(Rd) là hàm bán kính thực xác địnhdương Xét tập hợp

G := nf ∈ L2(Rd) ∩ C(Rd) : bf

pb

Φ ∈ L2(Rd)o

và dạng song tuyến tính trên đó

(f, g)G := (2π)−d/2fb

pb

Φ,bg

pb

Ta có hệ quả sau về mối quan hệ giữa không gian nguyên thủy tươngứng với nhân Φ và không gian Sobolev

Hệ quả 1.2 Giả sử Φ ∈ L2(Rd) ∩ C(Rd) là hàm bán kính thỏa mãn

c1(1 + kωk2)−s ≤ bΦ(ω) ≤ c2(1 + kωk2)−s, ∀ω ∈ Rd,

với s > d/2 và hai số thực dương c1 ≤ c2 Khi đó không gian nguyên thủy

NΦ(Rd) tương ứng với nhân Φ(· − ·) trùng với không gian Sobolev Hs(Rd)

và chuẩn của không gian nguyên thủy tương đương với chuẩn của khônggian Sobolev

Định nghĩa 1.12 Với d ∈ N và miền mở, bị chặn Ω ∈ Rd Ký hiệu ∂Ω

là biên của Ω Khi đó Ω được gọi là có biên Lipschitz nếu với mỗi điểm

p ∈ ∂Ω tồn tại số thực r > 0 và ánh xạ hp : Br(p) → Q thỏa mãn các điềukiện sau:

Định nghĩa 1.13 Với hai véc tơ khác không x, v ∈ Rd ta ký hiệu ∠(v, x)

là góc giữa hai véc tơ x và v Giả sử 0 < ρ, 0 < θ < π, tập hợp

C = {y ∈ Rd, y = 0hoặckyk ≤ ρ, ∠(y, v) ≤ θ/2}

gọi là nón có chiều cao ρ, hướng v và khẩu độ θ với đỉnh tại gốc Khi đótập hợp x + C = {x + y, y ∈ C} là nón đỉnh x đồng dạng với nón C.Định nghĩa 1.14 [Điều kiện nón trong đều]

Ω ∈ Rd thỏa mãn điều kiện nón trong đều nếu tồn tại phủ mở hữu hạnđịa phương {Uj} của biên Ω và dãy tương ứng các nón {Cj} đồng dạngvới nón C nào đó thỏa mãn các điều kiện sau:

• Tồn tại M < ∞ sao cho sup

x∈Ω∩U j(x + Cj) ⊂ Ω với mọi j

• Giao của một số hữu hạn các tập Qj là rỗng

Trong đó Ωδ = {x ∈ Ω, dist(x, bdryΩ) < δ}

... data-page="25">

φd,k sai khác số nhân.

Sau vài ví dụ hàm Wendland

Số chiều Hàm Wendland Độ trơn

Với s ≥ không gian Sobolev cấp s định nghĩa sau

Đặc biệt k = tức s > d/2 hàm thuộc không gian Sobolev< /p>

Hs(Rd) liên tục Rd

Định nghĩa 1.10 Giả sử Ω miền mở Rd Hàm Φ : Ω × Ω → Rđược gọi