Trong trường hợp các dữ liệu không chính xác, phương pháp nội suy thông thường không phải là sự lựa chọn tốt nhất. Thực tế ta thường giải quyết bài toán bình phương tối tiểu sau
min ( N X j=1 |s(xj)−f(xj)|2+ksk2Hτ(Rd) :s ∈Hτ(Rd) ) (∗)
với tập dữ liệu X = {x1, x2, . . . , xN} và f|X = (f(x1), f(x2), . . . , f(xn))T
và tham số trơn hóa là > 0. Như chúng ta đã biết, nghiệm này của bài toán này có dạng s = N X j=1 αjΦ(·, xj),
với Φ là nhân tái tạo của không gian Hτ(Rd) và hệ số α được xác định bởi hệ
(A+I)α = f|X
trong đó, A = (Φ(xi, xj)), I là toán tử đồng nhất trong Rd, xem [7].
Ta thấy lời giải của bài toán (∗) là s chỉ phụ thuộc vào giá trị của hàm
f trên tập X nên xấp xỉ và trơn hóa cho hàm f cũng giống với việc cấp xỉ và trơn hóa cho Ef. Tất nhiên ta có thể sử dụng quá trình khôi phục trong thuật toán đa thang bậc, với hàm khôi phục địa phương sj nghiệm đúng min X x∈Xj |ej−1(x)−s(x)|2+jksk2Φj : s∈ Hτ(Rd) . (3.9)
Vì s= Eej−1 thỏa mãn điều kiện s|Xj = ej−1|X nên ta có
kejkL∞(Xj) = kej−1−sjkL∞(Xj) ≤ √jkEej−1kΦj, (3.10)
ksjkΦj ≤ kEej−1kΦj. (3.11) Chúng ta cần dùng bất đẳng thức sau được suy ra từ [9].
Bổ đề 3.7. Giả sử Ω ⊆ Rd là miền bị chặn có biên Lipschitz, τ > d/2. Khi đó, tồn tại hằng số C > 0 thỏa mãn với mọi tập hữu hạn X ⊆ Ω với chuẩn mạng lưới h đủ nhỏ ta có
kfkL2(Ω) ≤ C(hτkfkHτ(Ω)+kfkL∞(X)), ∀f ∈ Hτ(Ω).
Với kết quả này chúng ra sẽ chỉ ra thuật toán đa thang bậc hội tụ với tham số trơn hóa bất kỳ.
Định lý 3.3. Cho Ω ⊆ Rd là miền bị chặn có biên Lipschitz. X1, X2, . . . là dãy các tập hợp điểm trong Ω với chuẩn mạng lưới thỏa mãn cµhj ≤
hj+1 ≤ µhj,∀j = 1,2, . . . với µ ∈ (0,1), c∈ (0,1]cố định và h1 đủ nhỏ. Gọi
Φ là nhân nguyên thủy của không gian Hτ(Ω), tức là Φ thỏa mãn (3.4),
Φj được xác định theo (3.7) tương ứng với hệ số co giãn δj = νhj và
1/h1 ≥ ν ≥ γ/µ với γ >0 cố định . Giả sử hàm mục tiêu f ∈Hτ(Ω). Gọi sj là hàm khôi phục xác định theo (3.9) và giả sử tham số trơn hóa thỏa mãn j ≤ κ(hj/δj)2τ với hằng số κ > 0 cố định. Khi đó, tồn tại hằng số C1 >0, C1 phụ thuộc vào γ thỏa mãn
kEejkΦj+1 ≤ αkEej−1kΦj, với α = C1µτ, j = 1,2, . . .
và tồn tại hằng số C > 0 thỏa mãn
kf −fnkL2(Ω) ≤ CαnkfkHτ(Ω), với n = 1,2, . . .
Vì vậy, hàm xấp xỉ đa thang bậc fn hội tụ đến hàm f theo chuẩn L2 nếu α < 1.
Chứng minh. Từ Bổ đề 3.1 và (3.11) ta có
kejkHτ(Ω) = kej−1−sjkHτ(Ω) = kEej−1−sjkHτ(Ω)
≤ Cδj−τkEej−1−sjkΦj
≤ Cδj−τkEej−1kΦj. (3.12)
Tương tự như chứng minh Định lý 3.1, ta có
kEejk2Φj+1 ≤ 1 c1 Z Rd |Eedj(ω)|2 1 +δ2j+1kωk2τ dω := 1 c1 (I1+I2) với I1 := Z kωk≤δj1 +1 |Eedj(ω)|2 1 +δ2j+1kωk2τ dω, I2 := Z kωk≥ 1 δj+1 |Eedj(ω)|2 1 +δ2j+1kωk2τ dω.
Với tích phân thứ nhất, ta sử dụng Bổ đề 3.7, (3.10), (3.12), Bổ đề 3.1 và các giả thiết với µ, hj, δj.
I1 ≤ CkEejk2L2( Rd) ≤ Ckejk2L2(Ω) ≤ C hτjkejkHτ(Ω)+kejkL∞(Xj)2 ≤ C hj δj τ kEej−1kΦj +√ jkEej−1kΦj 2 = C hj δj τ +√ j 2 kEej−1k2Φj ≤ Cµ2τkEej−1k2Φj.
Với tích phân thứ hai ta sử dụng cách đánh giá như trong Định lý 3.1 kết hợp với (3.12). I2 ≤ Cδj+12τ kEejk2Hτ(Rd) ≤ Cδ2τj+1kejk2Hτ(Ω) ≤ C δj+1 δj 2τ kEej−1k2Φj ≤ Cµ2τkEej−1k2Φj. Kết hợp lại ta có kEejkΦj+1 ≤ αkEej−1kΦj, với α =C1µτ.
Để chứng minh phần còn lại của định lý, ta áp dụng Bổ đề 3.7, (3.10) và (3.12) cho en = f −fn kf −fnkL2(Ω) = kenkL2(Ω) ≤ C hτnkenkHτ(Ω)+kenkL∞(Xn) ≤ C hn δn τ kEen−1kΦn +√ nkEen−1kΦn ≤ CµτkEen−1kΦn ≤ αkEen−1kΦn.
Tiếp theo ta áp dụng n−1 lần kết quả chứng minh phần đầu của định lý
kf −fnkL2(Ω) ≤ CαnkEfkΦ1 ≤ CαnkEfkHτ(Rd) ≤ CαnkfkHτ(Ω),
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại kết quả đã được công bố trong các bài báo [11], [10], [12] theo 3 chương. Nội dung của Chương 1 là trình bày một số kiến thức bổ trợ như các khái niệm, tính chất của hàm Gamma, hàm Bessel, hàm bán kính, phép biến đổi Fourier của hàm bán kính, không gian nguyên thủy...Đặc biệt Chương 1 còn giới thiệu lớp hàm Wendland là hàm bán kính xác định dương dạng (1.4) -Định lý 1.12 chỉ ra công thức xác định theo truy hồi, Định lý 1.15 chỉ ra lớp hàm Wendland có bậc cực tiểu. Nội dung của Chương 2 là đánh giá các cận trên, cận dưới của biến đổi Fourier các hàm Wendland
c1(1 +kωk2)−d/2−k−1/2 ≤ Φbd,k(ω) ≤ c2(1 +kωk2)−d/2−k−1/2, ∀ω ∈ Rd,
từ đó suy ra các tính chất của không gian nguyên thủy sinh bởi các hàm Wendland - Định lý 2.2 chỉ ra không gian nguyên thủy tương ứng với hàm bán kính cơ sở Φd,k trùng với không gian Sobolev cấp s = d/2 +k+ 1/2
NΦd,k(Rd) = Hs(Rd)
và chuẩn của hai không gian này tương đương. Định lý 2.3 chỉ ra bậc xấp xỉ của phép nội suy theo hàm bán kính cơ sởΦd,k . Nội dung của Chương 3 trình bày thuật toán xấp xỉ đa thang bậc - Thuật toán 1 và chứng minh sự hội tụ của thuật toán trong trường hợp không gian xấp xỉ cùng độ trơn với hàm mục tiêu - Định lý 3.1, trường hợp hàm mục tiêu có độ trơn bé hơn - Định lý 3.2, và trường hợp xấp xỉ sử dụng tham số trơn hóa - Định lý 3.3.
Tài liệu tham khảo
[1] A.Y.Chanysheva (1990), "Positive definite functions of a special form", Moscow University Math. Bull. 45 57-59.
[2] DeVore R.A., Sharpley R.C. (1993),"Besov spaces on domains in Rd", Trans. AMS 335, 843–864 .
[3] G.Gasper (1975), "Positive integrals of Bessel functions", SIAM J. Math. Anal. 6, No. 5, 868-891.
[4] Le Gia Q.T., Sloan I., Wendland H. (2010), "Multiscale analysis in Sobolev spaces on the sphere", SIAM J. Numer. Anal. Vol 48, No. 6, 2065-2090.
[5] Narcowich F.J., Ward J.D., Wendland H. (2006), "Sobolev error esti- mates and a Bernstein inequality for scattered data interpolation via radial basis functions", Constr. Approx, 24, 175–186 .
[6] Stein E.M. (1971), "Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions", Princeton University Press, Princeton .
[7] Wahba G., "Spline Models for Observational Data", CBMS-NSF, Re- gional Conference Series in Applied Mathematics, Siam, Philadelphia. [8] G. N. Watson (1996), "A Treatise on the Theory of Bessel Functions",
Cambridge University, Press, Cambridge, UK.
[9] Wendland H., Rieger C. (2005), "Approximate interpolation with ap- plications to selecting smoothing parameters" Numer. Math, 101, 643–662.
[10] Wendland H. (1998),"Error Estimates for Interpolation by Compactly Supported Radial Basis Functions of Minimal Degree", Journal of Ap- proximation Theory 93, 258-272 .
[11] Wendland H. (1995),"Piecewise polynomial, positive definite and com- pactly supported radial functions of minimal degree", AICM 4, 389-396. [12] Wendland H. (2010), "Multiscale analysis in Sobolev spaces on
bounded domains", Numer. Math. 116,493–517.
[13] Wendland H. (2005), "Scattered Data Approximation", Cambridge University Press.
[14] Z. Wu and R. Schaback (1993), "Local error estimates for radial basis function interpolation of scattered data", IMA J. Numer. Anal. 13, 13-27.