SKKN_Phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung véc tơ và tọa độ_Hình học 10

- Vấn đề ngôn ngữ nói chung và ngôn ngữ toán học nói riêng đã được nhiềunhà giáo dục trong và ngoài nước quan tâm và cho rằng, Toán học không chỉ làmột hệ thống nào đó các sự kiện và phư

I Phần thứ nhất: Đặt vấn đề.

Nghiên cứu vấn đề phát triển ngôn ngữ toán học của học sinh trong quá trìnhhọc tập môn toán là một yêu cầu cấp thiết và đúng đắn Điều này được chứngminh dựa trên những lý do sau:

- Đổi mới trong giáo dục đã và đang được toàn xã hội quan tâm, đặc biệt giaiđoạn hiện nay Trong đó, vấn đề đổi mới nội dung và phương pháp dạy học rấtđược chú trọng Với môn toán lớp 10, trong lần thay sách gần đây (năm 2006),sách giáo khoa (cả đại số và hình học) đã có sự cải biên rõ rệt Các hoạt độngnhằm phát triển ngôn ngữ toán học được tăng cường và nêu lên trong mục tiêudạy học chứng tỏ đã có sự thay đổi cách tiếp cận ngôn ngữ toán học trong nộidung và phương pháp dạy học

- Vấn đề ngôn ngữ nói chung và ngôn ngữ toán học nói riêng đã được nhiềunhà giáo dục trong và ngoài nước quan tâm và cho rằng, Toán học không chỉ làmột hệ thống nào đó các sự kiện và phương pháp mà trước hết phải là ngôn ngữ để

mô tả các sự kiện và phương pháp trong các khoa học khác nhau và trong hoạtđộng thực tiễn , giải quyết đúng đắn mối quan hệ giữa nội dung tư tưởng toán học

và hình thức ngôn ngữ toán học là một cơ sở phương pháp luận quan trọng củagiáo dục học Chứng tỏ trong dạy học Toán, ngôn ngữ toán học có vị trí quantrọng và rất cần được quan tâm

- Qua nghiên cứu chủ đề vectơ, toạ độ ở hình học 10 theo hướng tiếp cậnngôn ngữ toán học tôi thấy, vectơ, toạ độ đã tạo nên bước phát triển đáng kể trongtoán học Nhờ các công cụ này mà nhiều sự kiện toán học đặc biệt là hình học đãđược trình bày và chứng minh gọn gàng hơn Hơn nữa học sinh còn có thêm haiphương pháp giải toán quan trọng và chủ yếu là phương pháp vectơ (PPVT) vàphương pháp toạ độ (PPTĐ) Với mỗi học sinh, nắm vững hai phương pháp này lànắm “mã” giải toán hình học mới, loại ngôn ngữ mới Những bài toán hình họctừng được diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp, sau khi “phiên dịch” sangngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ toạ độ sẽ chuyển thành bài toán đại số thuần tuý, tậndụng được những công cụ của đại số để giải Nghĩa là khả năng sử dụng ngôn ngữ

toán học của học sinh đã nâng lên một bước so với trước đó Điều này đòi hỏi trongdạy học hình học 10, giáo viên phải có những nguyên tắc và biện pháp sư phạmhợp lí để phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh.

Do đó,tôi lựa chọn nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm : “Phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung véc tơ và tọa độ- Hình học 10”.

II Phần thứ 2: Nội dung

1 Cơ sở khoa học để đề xuất sáng kiến kinh nghiệm.

Trong dạy và học toán, có ba thứ ngôn ngữ có tác động đến nhận thức của họcsinh Đó là ngôn ngữ với các thuật ngữ (phản ánh các khái niệm toán học), ngônngữ kí hiệu, ngôn ngữ tự nhiên (ngôn ngữ thường ngày, với chúng ta là TiếngViệt) Ba thứ ngôn ngữ này khác nhau nhưng không tách biệt nên gây ra không ítkhó khăn cho học sinh khi học và nghiên cứu toán học Trong ba thứ ngôn ngữ

đó, toán học sử dụng hai thứ trên, đó là ngôn ngữ đặc trưng của nó, còn gọi làngôn ngữ toán học Ngôn ngữ toán học là kết quả của việc hoàn thiện ngôn ngữ

tự nhiên (NNTN) theo ba khuynh hướng khác nhau:

i) Loại bỏ sự cồng kềnh,ii) Tính đơn trị,

iii) Mở rộng khả năng biểu thị

Ngôn ngữ toán học, khác với NNTN, được gọi là ngôn ngữ kí hiệu Mặc dùchính ngôn ngữ toán học cũng sử dụng các kí hiệu xác định - các chữ cái và dấu

để xây dựng các biểu thức ngôn ngữ (từ và câu) Cách gọi này có ý nghĩa rõ ràng

vì việc sử dụng kí hiệu trong ngôn ngữ toán học và NNTN có sự khác nhau cănbản Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa hẹp) là ngôn ngữ xây dựng trên hệ thống các

kí hiệu toán học Ngôn ngữ toán học (theo nghĩa rộng) bao gồm ngôn ngữ toán họctheo nghĩa hẹp và các thuật ngữ toán học, hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị, … cótính chất quy ước nhằm diễn đạt các nội dung toán học được chính xác, logic vàngắn gọn

Ngôn ngữ toán học khắc phục được các nhược điểm thường gây khó khăn chohọc sinh của NNTN như: sự thiếu cô đọng, nhiều khi không chính xác khi diễnđạt một vấn đề tổng quát nào đó Chẳng hạn, phép tính “1 + 2 = 3” nếu diễn đạtbằng NNTN sẽ rườm rà hơn: “một thêm hai được ba” hoặc “một cộng hai bằngba”

Trong quá trình dạy học chủ đề vectơ và toạ độ ở chương trình hình học 10,nếu tăng cường hợp lý các hoạt động ngôn ngữ toán học thì sẽ góp phần nâng cao kếtquả học tập của học sinh

2.Nội dung cụ thể của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.Bài toán sư phạm về ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ thông

Trong dạy học toán trường phổ thông, cả hai cách tiếp cận để nghiên cứu ngôn ngữ toán học là theo phương diện ngữ nghĩa và theo phương diện cú pháp đềuquan trọng và có ý nghĩa riêng Nếu chỉ giới hạn ở phương diện ngữ nghĩa thì họcsinh sẽ không học được những công cụ toán học hình thức và do đó không giải đượccác bài toán bằng công cụ toán học Nếu chỉ giới hạn ở phương diện cú pháp thì họcsinh sẽ không hiểu ý nghĩa của các biểu thức của ngôn ngữ toán học và không thểphiên dịch được bài toán nảy sinh từ bên ngoài toán học thành bài toán trong toánhọc và do đó kiến thức của học sinh sẽ chỉ mang tính hình thức và không có khảnăng vận dung

Qua theo dõi thực tế học tập toán học nói chung và việc sử dụng ngôn ngữtoán học nói riêng của học sinh, có thể thấy còn tồn tại một số vấn đề sau:

 Học sinh rất khó khăn khi phiên dịch các bài toán trong NNTN hoặc khoahọc khác sang ngôn ngữ toán học và ngược lại

Chẳng hạn, đa số học sinh lúng túng khi giải bài toán sau:

Cho hai lực F1 và F2 cùng có điểm đặt tại O Tìm cường độ lực tổng hợp của

chúng trong trường hợp F1 và F2 đều có cường độ là 100 N, góc hợp bởi F1 và2

Bài toán này nếu phát biểu bằng ngôn ngữ vectơ chỉ đơn giản là: Cho hai

vectơ có độ dài bằng nhau và bằng 100 (đv độ dài), tạo với nhau một góc 120 0

(hình 3) Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ đó.

 Học sinh nắm chưa vững chắc phương diện cú pháp của ngôn ngữ toánhọc

Sai lầm thường thấy ở học sinh khi đọc các biểu thức đại số hay khi biến đổicác biểu thức đại số Chẳng hạn:

( xy )( ab )x ay b

suy ra R R R

R R

R   1 2

2 1

1 1 1

sin2 x 2sin x

sin7xsin6xsin x

Hoặc khi trình bày lời giải một bài toán thì diễn đạt thiếu trong sáng, thậm

chí chưa chính xác ngay cả khi đã hiểu bài

 Về phương diện ngữ nghĩa, khả năng nắm vững các thuật ngữ và kí hiệutoán học của nhiều học sinh còn hạn chế, mắc nhiều nhược điểm

Chẳng hạn: khi giải phương trình, học sinh thường sử dụng các phép biến đổi

 hoặc  một cách tuỳ tiện; dùng những kí hiệu toán học để viết tắt những câutrong ngôn ngữ thông thường; không hiểu chính xác các liên từ “khi”, “ khi chỉ

khi ” nên sử dụng tuỳ tiện trong trình bày bài toán,…

Ngoài những nguyên nhân từ phía học sinh như: thiếu tập trung khi học bài trênlớp; không tích cực, tự giác, chủ động học tập để tích luỹ tri thức, rèn luyện kĩ

năng….Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh còn hạn chế vì một số lí

do sau:

 Do sự kết hợp không đúng đắn các cách tiếp cận theo phương diện ngữnghĩa và theo phương diện cú pháp trong truyền thống dạy toán dẫn tới học sinhchỉ hiểu tri thức toán học một cách hình thức

Chẳng hạn, việc dạy học các yếu tố hình học giải tích (HHGT) thường bộc lộnhược điểm là không cân đối giữa hai phương diện nội dung và hình thức, giữacái cụ thể và trừu tượng, thể hiện ở việc nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thứchình thức trong hình học giải tích nhưng không hiểu đầy đủ ý nghĩa, bản chấthình học của nó; từ đó vận dụng chúng một cách máy móc, hoặc không biết vậndụng chúng trong các tình huống cụ thể

 Chú ý không đầy đủ trong dạy học ngữ nghĩa của ngôn ngữ toán học nênđôi khi giáo viên đã tách rời hình thức với nội dung, hay tách rời công thức và kíhiệu của ngôn ngữ toán học với nội dung toán học nằm ngoài ngôn ngữ

Chẳng hạn khi giải phương trình: 3x 2  4  x (*), nhiều học sinh chỉ máy móc

x x

4 2 3

4 2 3

hoặc xét hai trường hợp

2

3 2

3



 , x

x để phá giátrị tuyệt đối (tức là thành thạo về cú pháp) mà không hiểu tại sao có phép biến đổi

đó và các phép biến đổi đã đảm bảo tương đương chưa Muốn khắc phục nhượcđiểm trên, giáo viên cần giúp học sinh thấy được nguyên nhân các biến đổi là dokhái niệm giá trị tuyệt đối (tức là do mặt ngữ nghĩa của kí hiệu giá trị tuyệt đối):

A

-0 A khi

 Nhiều khi giáo viên quá chú trọng khâu vận dụng kiến thức trong khi học sinh chưahiểu đầy đủ bản chất của kiến thức đó Do đó khi được đặt trong một tình huống cần sángtạo, hoặc quên một thuật toán, công thức, học sinh rất lúng túng không biết làm thế nào đểxây dựng lại thuật toán, công thức đó Chẳng hạn, các công thức tính độ dài đoạn thẳng,góc, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, … ở hình học 10 có thể dễ dàng xâydựng nhờ kiến thức về vectơ, toạ độ kết hợp với các quy tắc đại số

Do đó, để phần nào khắc phục những tồn tại trên, đòi hỏi người giáo viên trướchết phải dạy tốt ngôn ngữ toán học Khi cung cấp một tri thức mới cho học sinh, kể

cả khi xây dựng nội dung lí thuyết cũng như trong lúc giải bài tập, chúng ta cần chú ý:

- Kết hợp hợp lí các cách tiếp cận ngôn ngữ toán học (ở đây tôI muốn đề cậpđến là ngôn ngữ vectơ và toạ độ) theo hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháptrong suốt quá trình dạy học

- Coi trọng mặt cú pháp của ngôn ngữ toán học khi học sinh được học mộtcông cụ mới Nếu có điều kiện cần dạy học sinh phân biệt những cách thức cơbản để thiết lập ngôn ngữ toán học như từ và câu trong ngôn ngữ tự nhiên.

2.2 Một số nguyên tắc và biện pháp sư phạm phát triển NNTH trong dạy học hình học 10.

2.2.1 Một số nguyên tắc phát triển NNTH trong hình học 10

học sinh học hình học tốt hơn

Việc giảng dạy hình học 10 có mục tiêu quan trọng là giáo viên phải trang bịđầy đủ kiến thức, kĩ năng để học sinh có thể thao tác, tính toán trên vectơ, toạ độ;hơn nữa họ phải thuần thục các công cụ này tới mức biết sử dụng vectơ, toạ độnhư là ngôn ngữ để trình bày các nội dung toán học khác Do sự phát triển trong

sử dụng NNTH đó giúp học sinh học tốt hình học hơn, các em có thêm phươngpháp nghiên cứu hình học khác ngoài những phương pháp đã biết

Nguyên tắc 2: Dạy học NNTH ở hình học 10 cần làm cho học sinh biết mô tả

chính xác nội dung toán học liên quan đến vectơ, toạ độ và dùng những kiến thức

đó diễn đạt các sự kiện toán học đã biết khác

Đây là nguyên tắc nhằm trả lời câu hỏi, trong hình học 10 cần phát triểnNNTH nào cho học sinh Khi học hình học 10, đòi hỏi học sinh không chỉ biết mô

tả chính xác các khái niệm, tính chất liên quan đến vectơ, toạ độ, sau đó tự trìnhbày được các bài toán mà còn phải biết dùng ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ toạ độtrình bày nội dung toán học khác

Nguyên tắc 3: Thông qua các hoạt động toán học để phát triển NNTH cho HS

Trong dạy học toán, đặc biệt là dạy học hình học 10, cần thông qua hoạt độngtoán học (hoạt động nhận dạng thể hiện, hoạt động toán học phức hợp, hoạt độngtrí tuệ phổ biến, hoạt động trí tuệ chung, hoạt động ngôn ngữ) để hình thành, rèn

luyện và phát triển NNTH cho học sinh

2.2 2 Một số biện pháp phát triển NNTH trong hình học 10

Nếu các nguyên tắc trên, có thể còn chưa đủ, nhưng đều là các yêu cầu hướngvào người học thì các biện pháp thực hiện lại dành chủ yếu cho người dạy như là

người tổ chức quá trình rèn luyện và phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh.Các biện pháp cụ thể là:

Biện pháp thứ nhất: giáo viên sử dụng ngôn ngữ, kể cả NNTN và NNTH chính

xác và đúng lúc

Khi diễn đạt nội dung toán học, dẫn dắt để học sinh tiếp cận khái niệm haytrình bày bài, giáo viên không được tuỳ tiện sử dụng thuật ngữ, kí hiệu

Biện pháp thứ hai: giáo viên cân đối hợp lí hai phương diện ngữ nghĩa và cú

pháp của NNTH trong quá trình dạy học hình học 10

Cần kết hợp hợp lí hai phương pháp tiếp cận ngữ nghĩa và cú pháp khi nghiêncứu về NNTH Tức là, trong quá trình dạy học toán, cần quan tâm một cách ưutiên đối với mặt ngữ nghĩa của NNTH và sử dụng cú pháp của NNTH khi cần xácđịnh thuật toán

Biện pháp thứ ba: giáo viên tổ chức cho học sinh dùng các hình thức ngôn ngữ

khác nhau trong học tập toán

Yêu cầu giáo viên tổ chức cho học sinh luyện tập ngôn ngữ toán học thường xuyên dưới các hình thức khác nhau như bằng lời nói hoặc chữ viết, hơn nữa, cầnthông qua việc huy động nhiều công cụ nghiên cứu hình học (phương phápHHTH, vectơ, toạ độ) để phát triển NNTH cho học sinh

Biện pháp thứ tư: giáo viên bổ sung câu hỏi bài tập, các chỉ dẫn sư phạm có tính

ngôn ngữ (nhưng không thay đổi bản chất nội dung toán học) trong giờ dạy toán Thông qua các chỉ dẫn, các câu hỏi có tính ngôn ngữ; người thầy không chỉtruyền đạt cho học sinh tri thức, cách suy nghĩ mà còn phát triển ở họ khả năng sửdụng ngôn ngữ toán học Các câu hỏi, chỉ dẫn cần đảm bảo ba yêu cầu: thích hợpvới học sinh; tính logic, hệ thống; tôn trọng thời gian suy nghĩ của học sinh

Biện pháp thứ năm: coi trọng việc phiên dịch giữa các hình thức ngôn ngữ

Ngay sau khi dạy học các khái niệm, nhằm củng cố khái niệm và giúp học sinh

có kĩ năng vận dụng kiến thức đó trong giải toán sau này, giáo viên cho học sinhlập những bảng “từ điển” chuyển đổi giữa các ngôn ngữ HHTH, vectơ, toạ độ.Làm các bài toán vận dụng các kết quả đó, có dịch xuôi, dịch ngược giữa các

ngôn ngữ, qua đó phát triển NNTH cho học sinh

Biện pháp thứ sáu: giáo viên tạo các dạng tương tác trong giờ học toán

Trong giờ học toán, giáo viên cần tạo ra một môi trường hoạt động ngôn ngữ

đa dạng như giữa học sinh với giáo viên, giữa học sinh với học sinh, và giữa họcsinh với chính mình Qua các hoạt động đó, học sinh sẽ tích luỹ tri thức, rèn luyện

và phát triển ngôn ngữ

2.3 Phát triển ngôn ngữ trong dạy học vectơ, toạ độ ở hình học 10

2.3.1 Hoạt động ngôn ngữ trong dạy học khái niệm vectơ, toạ độ

a) Dạy học khái niệm vectơ

Hình học lớp 10 cung cấp cho học sinh một khái niệm mới là vectơ, sau đótrang bị các phép toán về vectơ như tổng của hai vectơ, hiệu của hai vectơ, tíchcủa vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ và sử dụng các phép toán đóvào giải toán Dạy học khái niệm vectơ cần chú ý một số điểm sau:

- Chú ý ngay từ đầu tới mặt ngữ nghĩa của khái niệm, quan tâm hợp lí tới mặt cúpháp; bởi đây là những kiến thức mở đầu, rất cơ bản (theo nguyên tắc thứ hai,biện pháp thứ hai) Trong định nghĩa phép toán, cần cho học sinh thấy phép cộnghai vectơ, phép trừ hai vectơ và phép nhân vectơ với một số xuất phát từ địnhnghĩa có tính chất kiến thiết Do đó phải chú ý tới bản chất của các kí hiệu, phânbiệt nó với các kí hiệu về phép toán trên tập số

Ví dụ 1

Khi dạy học bài: Hiệu của hai vectơ Khái niệm vectơ đối được xây dựng theo

lý thuyết không gian vectơ:

Nếu tổng của hai vectơ a và b là vectơ - không, thì ta nói a là vectơ

đối của vectơ b , hoặc vectơ b là vectơ đối của vectơ a

Vectơ đối của vectơ a được kí hiệu là - a

Cách định nghĩa này thuận lợi cho việc chứng minh mọi vectơ cho trước đều

có vectơ đối, tính duy nhất của vectơ đối, nhưng bước đầu có thể gây khó khăncho học sinh trong việc dựng vectơ đối của một vectơ Đòi hỏi giáo viên phải đưa

ra một quan niệm hình học về vectơ đối qua ví dụ cụ thể, chẳng hạn:

“Cho đoạn thẳng AB thì vectơ đối của vectơ AB là vectơ nào?”

hoặc “Nếu O là trung điểm của đoạn thẳng AB thì vectơ đối của vectơ AO làvectơ nào?”

Sau đó, khi định nghĩa hiệu hai vectơ, phân biệt cho học sinh hai dấu “-” đứngtrước vectơ b ở hai vế của định nghĩa a - b = a + (- b ) có bản chất hoàn toàn

khác nhau Trong khi dấu “-” ở vế trái chỉ phép trừ hai vectơ, một khái niệm cầnđịnh nghĩa, thì dấu “-” ở vế phải biểu thị phép lấy vectơ đối của một vectơ, mộtkhái niệm đã biết

- Cũng như dạy học các khái niệm khác, cần thông qua các hoạt động ngôn ngữ

để phát triển năng lực nhận thức của học sinh và hơn nữa giáo viên đánh giá đúnghọc sinh của mình

Ví dụ 3

Khi dạy học tiết 1, 2 bài “Các định nghĩa” sau khi cho học sinh tiếp cận kiến thức,hình thành định nghĩa; để củng cố định nghĩa chúng ta cho học sinh:

 Phát biểu lại định nghĩa vectơ bằng lời lẽ của mình?

Yêu cầu tối thiểu cần diễn đạt được là: Vectơ

 là đoạn thẳng có hướng;

 có điểm đầu, điểm cuối

Kí hiệu AB (khi biết điểm đầu, điểm cuối)

u (khi không quan tâm đến điểm đầu, điểm cuối)

- Lựa chọn và cung cấp các bài tập có tác dụng rèn luyện, phát triển ngôn ngữvectơ cho học sinh

Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB, các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) AC và BC cùng hướng; b) AC và AB cùng hướng;

c) AC và BC ngược hướng; d) AB  BC ;

e) AC  BC ; f) AB  2BC

Ví dụ 5 Nhằm củng cố, kiểm tra khái niệm tích của một vectơ với một số và kĩ

năng chuyển đổi ngôn ngữ của học sinh, giáo viên đưa ra bài toán:

Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó

thẳng hàng là: a) kR : ABk AC

b) M : MAMCMB.c) ACABBC

d) M : MAMCMC 0

b) Dạy học khái niệm toạ độ

- Nhiệm vụ của dạy học khái niệm toạ độ là cung cấp cho học sinh các biểuthức toạ độ để biểu thị các sự kiện hình học, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộcđường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường,… Khi dạy học khái niệm toạ độ ởhình học 10, ngoài những nguyên tắc và biện pháp nêu trên, còn cần lưu ý một sốđiểm sau:

 Chỉ dạy cho học sinh những khái niệm cơ bản nhất;

 Một số kiến thức không đòi hỏi trình bày quá chặt chẽ, chính xác vàchứng minh một cách đầy đủ;

 Về phương pháp giảng dạy: nên dùng nhiều hình vẽ, bảng, biểu để mô tả

rõ ràng và trực quan các đối tượng và sự kiện hình học

Ví dụ 1 Khi d y h c các khái ni m to ạy học các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh ọc các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh ệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh ạy học các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh cho h c sinh, nh m giúp h c sinhọc các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh ằm giúp học sinh ọc các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh

hi u úng (m t ng ngh a) các khái ni m ó, đ ặt ngữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữ ữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữ ĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữ ệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh đ đồng thời phát triển ngôn ngững th i phát tri n ngôn ngời phát triển ngôn ngữ ữ nghĩa) các khái niệm đó, đồng thời phát triển ngôn ngữtoán h c, có th cho h c sinh l p b ng li t kê m t s khái ni m ọc các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh ọc các khái niệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh ập bảng liệt kê một số khái niệm được diễn ảng liệt kê một số khái niệm được diễn ệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh ộ cho học sinh, nhằm giúp học sinh ố khái niệm được diễn ệm toạ độ cho học sinh, nhằm giúp học sinh được diễnc di nễn

A B

y y y

x x x

;(x A ; y A ), (y A ;

y B ) lần lượt là toạ độ của A, B.

Đường thẳng AB Giá của vectơ AB

t) x x ( x x

A B A

A B A

,(x A ; y A ), (y A ; y B ) lần lượt là toạ độ của

IA

IB IA

Điểm I sao cho:

B A B

; x x

3 1

c B A C B

; x x x

(x A ; y A ), (y A ; y B ), (x C ; y C ) lần

lượt là toạ độ của A, B, C.

- Nói đến toạ độ là nói đến biến, nói đến phương trình, hệ phương trình và cácbiến đổi đại số, do đó dạy học toạ độ có liên quan đến dạy học phương trình, hệphương trình

Ví dụ 2 Khái niệm đường thẳng có liên quan đến phương trình bậc nhất hai ẩn

ax + by + c = 0, toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương

1 1 1

c y b x a

c y b x a

2.3.2 Hoạt động ngôn ngữ trong dạy học tính chất vectơ, toạ độ

Những tính chất quan trọng thường được thể hiện dưới dạng định lí Dạy họccác tính chất toán học là để cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến thức cơ bảncủa bộ môn, là cơ hội thuận lợi để phát triển ở học sinh khả năng suy luận vàchứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ

Trong dạy học định lý, tính chất, các hoạt động ngôn ngữ thường dùng là giáoviên cho học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lý trong khi củng cốđịnh lý; qua đó các em được khắc sâu định lý đó Cao hơn nữa là giáo viên chohọc sinh phát biểu định lý bằng hình thức khác nhằm phát triển năng lực diễn đạtđộc lập ý nghĩ của các em

Như vậy, các hoạt động ngôn ngữ diễn ra trong dạy học định lí là :

Học sinh phân tích cấu trúc logic, nội dung định lí;

Thay đổi hình thức phát biểu định lí

a) Dạy học tính chất về vectơ

- Các tính chất của vectơ chủ yếu được hình thành từ định nghĩa vectơ và phéptoán về vectơ Muốn dạy tốt tính chất vectơ trước hết phải dạy tốt các khái niệm,trên cơ sở khái niệm hình thành tính chất

Ví dụ 1

Khi dạy học tính chất của phép cộng vectơ:

1) Tính chất giao hoán: abba ;

2) Tính chất kết hợp: ( ab )ca( bc ) ;

3) Tính chất của vectơ - không: a 0 a .

Chỉ đòi hỏi chúng ta giúp học sinh nắm vững khái niệm tổng của hai vectơ, biết

vẽ vectơ tổng khi có hai vectơ cho trước Các tính chất được công nhận sau khiminh hoạ bằng hình vẽ cụ thể Sau đó, cho học sinh phân tích cấu trúc của tínhchất để củng cố, hơn nữa còn rút ra: trong phép toán cộng các vectơ, có thể đổichỗ hai hay nhiều vectơ bất kì

Sau khi phân tích cấu trúc định lí, học sinh có thể phát biểu định lý trên bằngngôn ngữ của mình như sau:

Cho hai vectơ a , b không cùng phương và vectơ x bất kỳ, khi đó tồn tại duy nhất cặp m, n sao cho xm an b

Hoặc Trong mặt phẳng, có duy nhất cách biểu diễn một vectơ theo hai vectơ

không cùng phương cho trước.

Hơn nữa, qua hình vẽ minh hoạ (hình 7) giải thích được định lý:

- Các tính chất về vectơ chỉ nhằm mục đích xây dựng phương pháp vectơ saunày, không nhằm xây dựng tường minh một không gian vectơ Do đó trong cácchứng minh không cần quá hàn lâm, chỉ cần tăng cường các hình vẽ để học sinhdùng “trực giác” kiểm tra các tính chất Quan trọng là phải cho học sinh củng cố,luyện tập tính chất trong các bài tập

Ví dụ 3

Trong dạy học các tính chất của phép nhân vectơ với một số, cho học sinh tìm

(hoặc kiểm chứng) tính chất k ( ab )k ak b bằng cách vẽ hình kiểm tra với k =

2 Sau đó, để khắc sâu tính chất, giáo viên cho học sinh tìm sự giống nhau vàkhác nhau của phép nhân vectơ với một số và phép nhân những số đã biết:

k(a + b) = ka + kb k ( ab )k ak b

(k+ m)a = ka + ma (k + m) a = k a + m a

k(ma) = (km)a k(m a ) = (km) a

k.a =0  k = 0 hoặc a = 0 k a =0  k = 0 hoặc a =0

Giống nhau: hình thức (cú pháp) Khác nhau: nội dung (ngữ nghĩa)

Phép nhân các số là phép toán trong, còn phép nhân vectơ với một số là phép toánngoài Do đó không thể áp dụng luật giản ước của các số đối với vectơ (sau nàyhọc về tích vô hướng của hai vectơ sẽ lí giải được

a x

x

a

Hình 7

GA , cho học sinh bài tập: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là

trọng tâm của các ABC và A ' B ' C ' thì 3 GG ' AA 'BB ' CC '

b) Dạy học tính chất về toạ độ

- Nói đến toạ độ là nói đến hai biến, nói đến phương trình và hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn, do đó dạy học tính chất về toạ độ chính là dạy học những kiếnthức liên quan đến đại số như điều kiện để hệ phương trình có nghiệm, số nghiệmcủa một phương trình, hệ phương trình,…

Do toạ độ được xây dựng từ vectơ, các tính chất của toạ độ thường suy ra từngôn ngữ vectơ

Ví dụ 1

Khi xây dựng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngchúng ta cho học sinh nhìn khoảng cách giữa

hai điểm M, M0 dưới hình thức độ dài

vectơ MM0 ; sử dụng ngôn ngữ toạ độ

Toạ độ (x;y) của M là nghiệm của hệ

hai phương trình hai đường thẳng  1

Nhờ vậy, ở các bài học sau học sinh hoàn toàn có thể xác lập được những kếtquả tương tự khi nghiên cứu đường tròn, đường elip,…

2.3.3 Hình thành phương pháp véc tơ, phương pháp tọa độ, trong giải toán hình học 10 theo hướng tiếp cận ngôn ngữ toán học

ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thểxem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Một biểu hiện củaviệc thành thạo ngôn ngữ toán học ở học sinh là khả năng trình bày lời giải một bàitoán Ba yêu cầu chủ yếu của lời giải một bài toán là lời giải không có sai lầm, lậpluận có căn cứ chính xác, lời giải đầy đủ, hơn nữa lời giải đó phải được trình bày ngắngọn, sáng sủa, mạch lạc và sử dụng hợp lý các ký hiệu toán học

2.3.3.1 Hình thành phương pháp véc tơ trong giải toán hình học 10.

Khi có công cụ vectơ, khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học của học sinh đãđược phát triển thêm một bước Học sinh không chỉ làm các phép toán trên vectơ,

mà còn diễn tả nhiều sự kiện hình học đã biết dưới hình thức ngôn ngữ vectơthông qua phương pháp giải toán mới: phương pháp vectơ Để góp phần nâng caohiệu quả dạy học, hình thành phương pháp vectơ cho học sinh, chúng ta cần xácđịnh hai khâu mấu chốt để giải một bài toán bằng phương pháp vectơ, đó là:

- Chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ

- Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ

Muốn thực hiện tốt hai khâu trên, cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển tươngđương (hay phiên dịch) những quan hệ hình học từ cách nói thông thường (hìnhhọc tổng hợp) sang dạng vectơ để có thể vận dụng công cụ vectơ trong giải toán

có thể thực hiện theo 3 bước:

Bước 1 Chuyển bài toán hình học ban đầu sang ngôn ngữ vectơ; bằng cách

lựa chọn một số vectơ gọi là “hệ vectơ gốc”, “phiên dịch” các giả thiết, kết luậncủa bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ vectơ

Bước 2 Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành các

phép biến đổi các hệ thức vectơ theo “hệ vectơ gốc”

Bước 3 Chuyển các kết luận vectơ sang các tính chất hình học tương ứng

Ví dụ 1

Để chuẩn bị các yếu tố cần thiết cho quy trình (các bước 1, 2) giải toán bằng phương

pháp véc tơ, giáo viên cho học sinh làm một số dạng toán chuẩn bị Chẳng hạn, sau khi

học bài “Tổng của hai vectơ” với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và bài “Hiệucủa hai vectơ” với quy tắc về hiệu vectơ, chúng ta cho học sinh làm một số bài tập đòihỏi thay tổng đại số của nhiều vectơ bởi một số vectơ, thay một vectơ bởi tổng đại sốcủa nhiều vectơ hoặc chứng minh đẳng thức vectơ:

Để chuẩn bị cho bước 1: phiên dịch các giả thiết, kết luận sang ngôn ngữ vectơ,

ngay trong mỗi bài học chúng ta cho học sinh làm các bài tập nhằm thành lập “từđiển vectơ” ở đó, mỗi “từ” của “từ điển” biểu diễn mối liên hệ giữa các sự kiện hìnhhọc và các hệ thức vectơ Các “từ ” đó phải được hình thành một cách chặt chẽ, có

cả điều kiện cần và đủ Chẳng hạn, khi hình thành “từ” trung điểm của đoạn thẳng

trong “từ điển” đó, ta cho học sinh làm hai bài toán sau (chỉ sử dụng những kiến thứchình học tổng hợp, kiến thức vectơ đã biết để chứng minh):

a) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, chứng minh rằng :

OAOB 0

b) Cho đoạn thẳng AB, và điểm O thoả mãn đẳng thức OAOB 0

Chứng minh rằng O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Qua đó rút ra mệnh đề: “Điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB là OAOB 0”, nghĩa là “O là trung điểm của đoạn thẳng AB”

đã “dịch” thành “O: OAOB 0” trong ngôn ngữ vectơ

Cuối cùng, từ hệ thống bài tập đó, hình thành một cuốn “từ điển” để phiêndịch giữa ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ hình học tổng hợp Có thể kể ra một số kết quả thường dùng sau:

Ngôn ngữ hình học tổng hợp Ngôn ngữ vectơ

M là trung điểm đoạn AB MAMB 0

AM là trung tuyến của tam giác ABC ABAC 2AM

G là trọng tâm tam giác ABC  GAGBGC 0

nữa là rèn luyện, phát triển ngôn ngữ vectơ Chẳng hạn cho học sinh bài toán:

Cho tam giác ABC Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Hãy phân tích

AM theo hai vectơ uAB , vAC

Bài toán có 2 cách giải, mỗi cách có ưu điểm riêng:

2 3

1 3

Sau hệ thống bài tập chuẩn bị của giai đoạn 1, giáo viên tiếp tục cung cấp một

số dạng toán giải bằng phương pháp véc tơ, được trình bày theo quy trình babước Nhấn mạnh tính ưu việt của phương pháp này so với các phương pháp đãbiết trước đó Chẳng hạn, với bài toán:

Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,

DA Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Chúng ta cần hướng dẫn để học sinh sử dụng được “từ” hai điểm trùng nhau của

Sau đó yêu cầu học sinh trình bày bài toán theo tinh thần 3 bước để khắc sâu phương pháp này:

 Gọi G 1 ; G 2 lần lượt là trọng tâm của tam

giác ANP và CMQ và O là một điểm tuỳ ý.

OM OC

OG OP

ON OA

(1)

 Mặt khác

) OD OC ( ) OC OB ( OA OP

ON

2

1 2

OM

2

1 2

2.3.3.2 Hình thành phương pháp toạ độ trong giải toán hình học 10

Với học sinh lớp 10, yêu cầu cần đạt được sau khi học hình học là :

Biết các phương pháp để lập phương trình đường thẳng, đường tròn và bađường conic khi biết các yếu tố xác định mỗi đường

Từ phương trình các đường, thấy được các tính chất và quan hệ giữa các đường

Lập được phương trình tiếp tuyến cho đường tròn và ba đường conic cùng vớiviệc chứng minh được các tính chất của nó

Nhớ và vận dụng được biểu thức toạ độ để biểu thị một cách chính xác các sự kiện hìnhhọc, chẳng hạn: điều kiện để điểm thuộc đường, vị trí tương đối của các đường

Nghĩa là, khi có mặt phẳng toạ độ, mỗi vectơ, mỗi điểm, đường thẳng, đườngtròn, đường conic và tính chất, quan hệ đơn giản giữa các hình đó đều đã diễn đạtbằng toạ độ Học sinh chỉ phải làm việc, tính toán trên các kí hiệu của đại số:biến, nghiệm, phương trình,…

Q

C P

B N A M

D

Hình 11