tài liệu mã hóa kênh truyền

• Bên thu: Nhận thông tin bổ sung ở phía phát, kiểm tra, phát hiện và sửa lỗi... ∗ Dạng sai lầm của mã hiệu được truyền tuỳ thuộc tính chất thống kê của kênh:∗ sai độc lập dẫn đến sai ng

CHƯƠNG 5

Mã hóa kênh truyền

1

∗ Khái niệm về mã phát hiện sai và sửa sai.

– Cơ chế phát hiện sai của mã hiệu.

– Khả năng phát hiện và sửa sai.

– Hệ số sai không phát hiện được.

Vấn đề

3

Lỗi khi truyền dữ liệu trên một hệ thống truyền tin:

• Lỗi khi truyền tin là một điều khó tránh

• Nguyên nhân: Do nhiễu bên ngoài xâm nhập, tác động lên kênh truyền, làm thông tin truyền

Nguyên lý mã hóa kiểm soát lỗi

4

• Nguyên lý chung là thêm vào tập mã cần truyền một tập bit kiểm tra nào đó để bên nhận có thể kiểm soát lỗi

• Bên phát: Bổ sung thêm thông tin (thêm bit) vào bit cần gửi

• Bên thu: Nhận thông tin bổ sung ở phía phát, kiểm tra, phát hiện và sửa lỗi

Với n-k: bit kiểm tra

Bộ mã KSL + (n-k) bit

k bit

Thông tin

k+n-k = n bit

∗ Dạng sai lầm của mã hiệu được truyền tuỳ thuộc tính chất thống kê của kênh:

∗ sai độc lập dẫn đến sai ngẫu nhiên: 1 hoặc 2 sai

∗ Sai tương quan dẫn đến sai chùm (sai cụm)

⇒ Người ta thống kê: sai ngẫu nhiên xẩy ra 80%, sai chùm xảy ra 20%

∗ Xác suất xuất hiện một từ mã n ký hiệu có t sai bất kỳ:

p(n,t) = Cntpst(1-ps)n-t

5

Khái niệm về mã phát hiện sai và sửa sai.

∗ Số từ mã có thể có: N0 = 2n

∗ Số từ mã mang tin: N = 2k.

∗ Số từ mã không dùng đến: 2n –2k (số tổ hợp cấm)

∗ Để mạch có thể phát hiện hết i lỗi thì phải thỏa mãn điều kiện:

∗ Trong đó EΣ = E1 + E2+ + Ei

∗ E1, E2, Ei là tập hợp các vector sai 1,2 i lỗi.

∗ Để phát hiện và sửa hết sai 1 lỗi ta có:

6

Cơ chế phát hiện sai của mã hiệu.

∑ +

≤

E

n k

1

2 2

1

2 2

+

≤

n

n k

∗ Trọng số Hamming của vector t: ký hiệu: w(t) được xác định theo số các thành phần khác không của vector.

∗ Ví dụ: t1 = 1 0 0 1 0 1 1 ⇒ w(t1) = 4

∗ Khoảng cách giữa 2 vector t1, t2: ký hiệu, d(t1, t2) được định nghĩa là số các thành phần khác nhau giữa chúng.

∗ Ví dụ: t2 = 0 1 0 0 0 1 1 ⇒ d(t1, t2) = 3 chúng khác nhau ở vị trí 0, 1 và 3

∗ Điều kiện để một mã tuyến tính có thể phát hiện được t sai:

∗ Ví dụ: đối với bộ mã (5,2) có trọng số Hamming w =2 ta xác định được hệ số sai không phát hiện

• Gọi từ mã phát đi là T.

• Gọi từ mã nhận được là R

• Gọi từ mã sai do đường truyền gây ra là E

⇒phương trình đường truyền:

∗ Vector sai: E = (e0, e1, …, en)

∗ Ví dụ: E = (1 0 0 1 0 1 0) → sai ở vị trí 0, 3, 5

∗ Trong các hệ thống truyền số liệu có 2 cơ chế sửa lỗi:

• Cơ chế ARQ(Automatic Repeat Request-cơ chế tự động phát lại): cơ chế yêu cầu phát lại số liệu một cách tự động (khi

phát hiện sai) cơ chế này có 3 dạng cơ bản:

Cơ chế ARQ dừng & chờ (stop and wait ARQ)

Cơ chế ARQ quay ngược N vector (N go back ARQ).

Cơ chế ARQ chọn lựa vi c lặp lại ệ

• Cơ chế FEC (Forward Error Control): phát hiện và tự sửa sai sử dụng các loại mã sửa lỗi.

Khi có sai đơn (1 sai) người ta thường dùng các loại mã như: mã khối tuyến tính, mã Hamming, mã vòng…

Khi có sai chùm (> 2 sai) người ta thường dùng các loại mã như: mã BCH, mã tích chập, mã Trellis, mã Tubor, mã Tubor Block, mã tổng hợp GC…

11

Vector sai – cơ chế sửa lỗi

• Mã tuyến tính C(n,k) có mục đích mã hóa những khối tin (hay thông báo) k bit thành những từ

mã n bit Hay nói cách khác trong n bit của từ mã có chứa k bit thông tin

• Ví dụ: C (7,4): Từ mã dài 7 bit Thông tin cần truyền: 4 bit.

Cách biểu diễn mã – Ma trận sinh

13

• Mã tuyến tính C(n,k) là một không gian k chiều của không gian vectơ n thành phần, cho nên tồn tại k từ mã độc lập tuyến tính (g0,g1,…,gk-1) sao cho mỗi từ mã trong C là một tổ hợp tuyến tính của k từ mã này :

• k từ mã này tạo thành một ma trận sinh cấp k x n như sau:

Với: gi = (gi0, gi1… gi(n-1)) với i = 0, 1, …, k-1

) 1 , ,

1 , 0 }

1 , 0 { (

1 1

1 1 0

+

k i

a

g a g

a g

a w

i

k k

1 ( 1

) 1 ( 0

) 1 (

) 1 ( 1 11

10

) 1 ( 0 01

00

1

1 0

k k

n n

k

n k

g g

g

g g

g

g g

Cách mã hĩa

14

• Nếu u = (a0,a1,…,ak-1) , với ai =0/1 và 0≤i ≤k-1, là thơng tin cần được mã hĩa

• Gọi t là từ mã phát đi: t = t0 t1 ….tn-1 , Với tj = 0 hoặc 1 và 0 ≤ j ≤ k-1 thì từ mã w tương ứng với t

được hình thành bằng cách lấy t x G

w = t x G = a0g0 + a1g1 +…+ ak-1gk-1

• Vì các từ mã tương ứng với các thơng báo được sinh ra bởi G theo cách trên nên G được gọi là ma trận sinh của bộ mã

• Mã khối tuyến tính hệ thống có cấu trúc:

n-k bits kiểm tra K bits mang tin

← Độ dài từ mã : n

Ví dụ

15

• Cho ma trận sinh của một mã tuyến tính C(7,4) sau:

• Nếu u = (u0 u1 u2 u3) = (1101) là thông tin cần mã hóa thì từ mã tương ứng là:

t0 = u0.1 + u1.0 + u2.1 + u3.1 = u0+ u2 + u3 = 1 + 0 +1 = 0

t1 = u0.1 + u1.1 + u2.1 + u3.0 = u0 + u1 + u2 = 1+ 1 +0 = 0

t2 = u0.0 + u1.1 + u2.1 + u3.1 = u1 + u2 + u3 = 1+0+ 1 = 0

t3 = u0.1 + u1.0 + u2.0 + u3.0 = u0 = 1

t4 = u0.0 + u1.1 + u2.0 + u3.0 = u1 = 1

t5 = u0.0 + u1.0 + u2.1 + u3.0 = u2= 0

t6 = u0.0 + u1.0 + u2.0 + u3.1 = u3= 1

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 1

g g g

g G

3 2 1

0 7

• Bất kỳ k từ mã độc lập tuyến tính nào cũng có thể được dùng để làm ma trận sinh cho bộ mã.

• Một bộ mã tuyến tính (không gian mã) có thể có nhiều ma trận sinh khác nhau cùng biểu diễn.

• Mỗi ma trận sinh tương ứng với một cách mã hóa khác nhau.

16

Ma trận sinh

b5 = a2 (6)b6 = a2 + a3 (7)

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 1

4 3 1 0

7

4

g g g g G

Cách giải mã (tt)

18

• Chọn bốn phương trình đơn giản nhất để giải các ai theo các b1

• Chọn các phương trình (4), (5), (6), (7) ta giải được:

a0 = b3 + b4 a1 = b4 a2 = b5a3 = b5 + b6

• Hệ phương trình trên gọi là hệ phương trình giải mã

• Có thể có nhiều hệ phương trình giải mã khác nhau, nhưng kết quả sẽ giống nhau

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 1

4 3 1 0

7

4

g g g g G

Mã tuyến tính hệ thống

19

• Một mã tuyến tính C(n,k) được gọi là mã tuyến tính hệ thống nếu mỗi từ mã có một trong hai dạng sau:

• Dạng 1: Từ mã bao gồm phần thông tin k bit đi trước và phần còn lại (gồm n-k bit) đi sau

(phần này còn được gọi là phần dư thừa hay phần kiểm tra)

• Dạng 2: Ngược lại của dạng 1, từ mã bao gồm phần kiểm tra đi trước và phần thông tin đi

sau

k bit thông tin n - k bit kiểm tra

n - k bit kiểm tra k bit thông tin

0 1 1 1

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0

1

) 7 4

) 1 )(

1 (

) 1 (

0

1 ) 1 (

11 01

0 ) 1 (

10 00

) (

) 1 ( 1

1

0 0

0

1 0

k n k

k n

k k

k k

k n k kk

n

k

P

P P

P

P P

P

P

P P

I

xét mã khối tuyến tính C(7,4)có thông báo cần mã hóa

u = (u0, u1, u2, u3) & từ mã phát đi tương ứng

) 7 , 4

(

~

G

21

Cho tin cần phát đi: u = (u0, u1, u2, u3) = (1 0 1 1) ta tìm từ mã phát đi theo 2 công thức 5 & 8 từ đó rút ra nhận xét

Ví dụ

 

  (u0, u1, u2, u3)

t0 = u0.1 + u1.0 + u2.0 + u3.0 = u0 = 1

t1 = u0.1 + u1.1 + u2.0 + u3.0 = u0 + u1= 1+0 = 1

t2 = u0.0 + u1.1 + u2.1 + u3.0 = u1 + u2= 0+1 = 1

t3 = u0.1 + u1.0 + u2.1 + u3.1 = u0 + u2 + u3= 1+1 + 1 = 1

t4 = u0.0 + u1.1 + u2.0 + u3.1 = u1 + u3= 0+1 = 1

t5 = u0.0 + u1.0 + u2.1 + u3.0 = u2= 1

t6 = u0.0 + u1.0 + u2.0 + u3.1 = u3= 1

Vậy ta có từ mã phát đi t = (1 1 1 1 1 1 1) không có dạng mã khối tuyến tính

22

(u0, u1, u2, u3)

t0 = u0.1 + u1.0 + u2.1 + u3.1 = u0+ u2 + u3 = 1 + 1 +1 = 1

t1 = u0.1 + u1.1 + u2.1 + u3.0 = u0 + u1 + u2 = 1+ 0 + 1 = 0

t2 = u0.0 + u1.1 + u2.1 + u3.1 = u1 + u2 + u3 = 0+1+ 1 = 0

t3 = u0.1 + u1.0 + u2.0 + u3.0 = u0 = 1

t4 = u0.0 + u1.1 + u2.0 + u3.0 = u1 = 0

t5 = u0.0 + u1.0 + u2.1 + u3.0 = u2= 1

t6 = u0.0 + u1.0 + u2.0 + u3.1 = u3= 1

Vậy ta có từ mã phát đi: ( 1 0 0 1 0 1 1) có dạng mã khối tuyến tính 23

Ví dụ

24

• Dùng các phép biến đổi sơ cấp biển đổi các ma trận sinh sau thành ma trận sinh hệ thống

• Không phải mọi ma trận sinh đều có thể biến đổi thành ma trận sinh hệ thống

1 0 0 0

0 1 1 0

1 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 1

1 0 0 0

0 0 1 0

1 1 0 1

0 1 1 0

0 0 1 1

1 0 0

1

7 4

G

Phát hiện sai và sửa sai

25

• Nguyên lý phát hiện sai: Kiểm tra xem tổ hợp nhận có phải là từ mã hay không, nếu không thì tổ hợp nhận là sai.

• Nguyên lý sửa sai: Kiểm tra xem tổ hợp nhận có khoảng cách Hamming gần với từ mã nào nhất, thì đó chính là từ mã đúng đã

phát đi.

• → Nguyên lý khoảng cách Hamming tối thiểu.

 Không gian bù trực giao:

• Cho S là một không gian k chiều của không gian V n chiều Gọi Sd là tập tất cả các vectơ v trong V sao cho:

• Sd được chứng minh là một không gian con của V và có số chiều là n-k.

• Sd được gọi là không gian bù trừ trực giao của S và ngược lại.∀ u ∈ S , u × v = 0

• Nếu v là một từ mã được sinh ra từ ma trận G có ma trận trực giao tương ứng là H thì: V x HT = 0

• Ngược lại nếu V x HT = 0 thì v là một từ mã.

Cho G không hệ thống, tính H?

• VD: trên Z3, cho ma trận sinh của một mã như sau

• Ta chuyển thành ma trận sinh của mã hệ thống tương đương

0 1 1 1

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0

1

) 7 4 (

0

0 1

0

0 0

1

1 0

1

1 1

1

1 1

0

0 1

1

) 7 3 (

ht

H

Cách sửa sai

30

Syndrome – vectơ sửa sai (corrector)

 S= v x HT được gọi là Syndrome hay vectơ sửa sai của v và được kí hiệu là s(v) v là từ mã khi

– Gọi từ mã phát đi : t = (t0 t1 tn-1) (1)

– Gọi từ mã thu được: r = (r0 r1 rn-1) (2)

– Vector sai : e = (e0 e1 en-1) (3)

– Trong đó ei = 1 nếu ti ≠ ri và ei = 0 nếu ti = ri

Để phát hiện sai ta dùng thuật toán thử Syndrome:

– S = r.HT = (s0 s1 sn-k-1) (4)

gồm n-k thành phần

– S=0 nếu và chỉ nếu r là từ mã phát (r ≡ t) hoặc là tổ hợp tuyến tính của các từ mã (gọi là vector sai không phát hiện được).

– S ≠ 0 thì r không phải là từ mã phát đi (r ≠ t) và do đó có sai (e ≠ 0)

Phương pháp giải mã mã khối tuyến tính:

31

Từ ma trận kiểm tra thành phần của Syndrome như sau:

∗ S0 = r0 + rn-kp00 + rn-k-1p10 + + rn-ipk-1,0

∗ S1 = r1 + rn-kp01 + rn-k-1p11 + + rn-ipk-1,1

∗ Sn-k-1 = rn-k-1 + rn-kp0,n-k-1 + rn-k+ip11 + + rn-ipk-1,n-k-1

Từ (5) tương tự như mạch mã hóa, ta có mạch tính Syndrome như sau:

Phương pháp giải mã mã khối tuyến tính

32

∗ Tính Syndrome của mã khối tuyến tính C(7,4) với ma trận H đã cho với vector thu: r = (r0 r1 r2 r3 r4 r5 r6)

Ví dụ:

34

∗Khi xác định được một giá trị Syndrome S = (S0, S1 Sn-k-1) ta có đến 2 k vector sai tương ứng, nhưng ta chỉ chọn các vector sai nào có trọng số nhỏ nhất là vector sai có nhiều khả năng nhất

∗Trong thực tế khi tìm được Syndrome ta thấy S trùng với cột nào của ma trận kiểm tra H thì có sai ở vị trí tương ứng

∗Ví dụ: “ 1 1 1” trùng với cột thứ sáu tính từ trái sang của ma trận H, ta kết luận vector nhận được r sai ở vị trí r5 Ta chỉ việc đổi trị số của r5 từ 0 sang 1 hoặc ngược lại là được vector nhận được đúng (r=t)

0 1 1 1

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0

1

) 7 4 (

ht

G

0 1 1 1

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0

1

) 7 4

0 0 1

0 0 0

1 1 0

1 1 1

1 1 1

0 0 1

1

) 7 3

0

0 1

0

0 0

1

1 0

1

1 1

1

1 1

0

0 1

1

) 7 3 (

T ht

H

Cách sửa sai

39

• Qua ví dụ trên, ta thấy:

• S(v) = (111) trùng với cột thứ 3 của H, nên ta sửa giá trị ở vị trí thứ 3.

v ⊕ r = t

1011011 ⊕ 0010000 = 1001011 Vậy tin gửi đi là: 1001

Mã Hamming

40

•Với mọi số nguyên dương m ≥ 3, tồn tại mã Hamming với các thông số sau:

Chiều dài từ mã: n = 2m – 1.

Chiều dài phần tin: k = 2m – m – 1.

Chiều dài phần kiểm tra: m = n –k

Khả năng sửa sai: t = 1

• Cấu trúc ma trận kiểm tra H với các cột là một vector m chiều khác không.

• H = [Imxm | P(n-k)k]

• Mỗi cột của ma trận P là vector m chiều, có trọng số là 2 hoặc lớn hơn.

Ví dụ: với m = 3, ma trận kiểm tra của mã (7,4) được viết dưới dạng

Để việc tạo mã đơn giản ta chọn các bit kiểm tra x, y, z ở các vị trí tương ứng 2i với i = 0, 1, 2, , nghĩa là các vị trí thứ nhất, thứ hai & thứ tư của các ký hiệu từ mã: t = (x, y, u0, z, u1, u2, u3) (3)Tạo mã:

t.HT= (x, y, u0, z, u1, u2, u3) x

t = (x, y, u0, z, u1, u2, u3)

(2)

x.0 +y.0 +u0.0 +z.1 + u1.1 + u2.1 + u3.1 =0 ⇒ z = u1 + u2 + u3 x.0 +y.1 +u0.1 +z.1 + u1.0 + u2.1 + u3.1 =0 ⇒ y = u0 + u2 + u3x.1 +y.0 +u0.1 +z.1 + u1.1 + u2.0 + u3.1 =0 ⇒ x = u0 + u1 + u3

43

⇒ Vậy từ mã phát đi sẽ là: t = ( 0 1 1 0 0 1 1) không có dạng mã khối.

Giải mã Haming cũng giống như giải mã khối tuyến tính nhưng đơn giản hơn nhờ sử dụng ma trận kiểm tra H có dạng 2 Khi đó việc xác định vị trí ký hiệu sai tương đối thuận tiện.

Ví dụ:

44

1 1 1

1 1 1

0 0 1

1 1 0

0 0 1

0 0 0

1

73

H

Mã Hamming (tt)

46

• Trong thực tế để việc tạo và giải mã Hamming một cách đơn giản người ta đổi vị trí các cột trong ma trận H Khi

đó các bit kiểm tra xen kẽ với các bit mang tin chứ không còn tính chất khối Và giá trị của cột hi khi này bằng i (i

1 0 1

1 1 0

1 0 0

1 1 1

0 0 1

0 1 0

0

7 3

H

0 1

1

1 0

1

0 0

1

1 1

0

0 1

0

1 0

0

Giải mã

49

• Cách giải mã giống với giải mã, phát hiện lỗi sai và sửa lỗi của mã khối tuyến tính

• Tính Syndrome – vectơ sửa sai

• S(v) = v.HT

• Nếu S(v) khác 0, ta xem giá trị s(v) trùng với cột thứ mấy của ma trận H, thì có sai ở vị trí

đó, và sửa lỗi

Giải mã

50

• Với từ mã thu được v = 0 0 1 1 0 1 1

• S(v) = v x HT = 110 Trùng với cột thứ 6 của ma trận H Có nghĩa ký hiệu sai là ký hiệu thứ 6

⇒ v = 0 0 1 1 0 0 1

⇒ u = 1001