CHƯƠNG 4 CÁC PHƯƠNG ÁN THỰC NGHIỆM CẤP HAI

Ví dụ: Có k yếu tố dùng TYT3k số hệ số m được cho trong bảng:... - Để giảm số thí nghiệm ta dùng phương pháp cấu trúc có tâm của Box và Wilson:* Ta dùng nhân là phương án tuyến tính thêm

Chương 4

CÁC PHƯƠNG ÁN

THỰC NGHIỆM

CẤP HAI

- Xét ảnh hưởng của k yếu tố vào thông số tối của y.

- Phương trình hồi qui bậc 2 có dạng:

- Số hệ số trong đa thức bậc 2 được xác 2định: 2

1 11 1

,1 2

1 12 2

2 1

1

()!

2(

!2

!1

2

−

++

=+

++

K

K K

C k

k

- Ở đây: C 2K - Tổ hợp chập 2 từ k yếu tố bằng số hiệu ứng tương tác đôi.

- Số thí nghiệm N không nhỏ hơn số hệ số trong

phương trình Vì thế mỗi yếu tố có mức không nhỏ hơn 3.

- Khi dùng TYT 3 k số thí nghiệm khá lớn khi K > 2.

Ví dụ: Có k yếu tố dùng TYT3k số hệ số m được cho trong bảng:

- Để giảm số thí nghiệm ta dùng phương pháp cấu trúc có tâm của Box và Wilson:

* Ta dùng nhân là phương án tuyến tính thêm một số điểm vào nhân.

Khi k < 5 nhân là phương án TYT 2k

Khi ≥ 5 nhân là phương án TYT 2k-1

* Khi phương trình hồi qui tuyến tính không

tương thích ta bổ sung: 2K điểm sao (*) nằm trên trục của các yếu tố gọi là cánh tay đòn sao (*)

- Làm thêm ηo thí nghiệm ở tâm phương án.

với k yếu tố là:

N = 2 k + 2K + ηo với k < 5

N = 2 k-1 + 2K + ηo với k ≥ 5 Cánh tay đòn α (*) và số thí nghiệm ηo ở tâm được chọn phụ thuộc vào tiêu chuẩn tối ưu.

Ma trận qui hoạch cấu trúc có tâm cấp 2, hai yếu tố

Ma trận thông tin X X của P.án cấu trúc có tâm cấp 2, hai yếu tố có dạng:

x

1

2 0

2 1

∑

=

N

i i

x

1

2 1

∑

=

N

i i

x

1

2 2

∑

=

N

i i

2 1

x

1

4 1

N i

i oi i

oi

N i

N i

i i

N i

oi

x x x

x

x x

x

2 2

2 2

2 1

2 2

2 2

2 1

1 2

2 2

2 2

αα

N i

i i

N i

i i

x x

x x

4 2

4 2

4 1

1

2

2 2

2 1

2 2

2

α

Ma trận qui hoạch cấu trúc có tâm cấp hai, k yếu tố

Ma trận XTX ứng qui hoạch trên có dạng:

2

i

ki x x

Như vậy, phương án cấu trúc có tâm không trực giao

Để dễ dàng cho sự tính toán, ta phải trực giao hóa

những phương án cấu trúc có tâm.

4.2 Phương án trực giao cấp hai:

- Để trực giao hóa ta xác định trị số cánh tay đòn α (*)

từ điều kiện triệt tiêu các phần tử không nằm trên

đường chéo của ma trận thông tin ta có.

α4 + 2 k α2 – 2 k-1 (k + 0,5 ηo ) = 0

α4 + 2 k-1 α2 – 2 k-2 (k + 0,5 ηo ) = 0 khi k ≥ 5

Chuẩn hóa đưa ra bảng sau

x x

x

N i

ji j

j j

2 2

Ta nhận được ma trận thông tin trực giao.

Ví dụ: Trong ma trận qui hoạch cấu trúc có tâm cấp hai, hai yếu tố đặt:

∑ xoi x'ji = ∑ x2ji − Nx −j 2 = 0

N

x x

x x

x

N i

ji j

j j

2 2

'

2

4 9

2 2

2

9

1

2 2 2

2

' 2

2 2

1

9

1

2 1 2

1

' 1

x

x

x x

=

−

=

9 0

2 2

9 1

2 1

2 1

'

9

) 2 4 ( 9 2

4

i oi i

3

2

; 3

2

' 2

2 1

'

x

Ma trận qui hoạch trực giao cấp hai, 2 yếu tố

N i

i i l j jl

N i

ji

N i

i ij

j

x x

y x

x b

x

y

x b

1

2 1

1 2

1

)(

i ji

jj

x

y

x b

1

2

1

) (

Kết quả thay biến mới vào ta được phương trình:

th bjl

n I JI

TH BJ

x x

s s

x

S S

1

2

2 2

1 2

2 2

) (

x

s s

1

2

2 2

) (

)(

)(

2 2

2 2

1 11

1 ,

1 2

1 12 1

1 '

^

k k

kk l

k k

k k k

k o

x x

b x

x b

x x

b x

x b x

b x

b b

y

−+

+

−+

++

++

++

Chuyển vế dạng thông thường.

+

=

k j

j k

j

jj k

s

l j jl j

j

o b x b x x b x b

y

1

2 1

1

2 2

kk o

Kiểm định sự tương thích của phương trình bậc hai

giống như kiểm định của mô hình tuyến tính.

Phương trình nhận được:

Sự tương thích của phương trình được kiểm định bằng tiêu chuẩn Fisher.2 2

1 11

1 ,

1 2

1 12 1

^

k kk

k k

k k k

k i

o

x b x

b

x x

b x

x b x

b x

b b

y

++

+

++

++

++

F =

Tra bảng

Nếu F < F bảng phương trình tương thích

Ý nghĩa của các hệ số được kiểm định theo tiêu chuẩn Student (t).

• f 2 – bậc tự do của phương sai tái hiện

• t j > t bảng hệ số xem là có ý nghĩa

) , (

1 p f1 f2

F −

bj

j j

s b

t = | |

nhận được nhà trực giao được xác định:

;2

α

5

; 2

k j

k khi

s

bej = ; < 5, =1÷ ; ≠

2

khi k

x x

s s

o j

j k

th

+

− +

− +

−

).

2 2

( )

( 2 )

1 (

2 2 2 α 2 2 2 η

5 )

)(

2 2

( )

( 2 )

1 (

+

− +

− +

−

=

x k

x x

s s

j o

j j

k

th jj

η α

Ví dụ: Hãy xác định điều kiện tối ưu phân hủy bonat

bằng hỗn hợp các axit sunfuric và photphoxin Các yếu

tố ảnh hưởng đến mức độ phân hủy được chọn.

1) Z 1 - Nhiệt độ phản ứng.

2) Z 2 - Thời gian phản ứng

3) Z 3 – Định mức axit photphric

4) Z 4 – Nồng độ axit photphoric (P 2 O 5 )

Mức cơ sở và khoảng biến thiên của các yếu tố

Phương trình hồi qui được chọn là:

∆ zj 25 22,5 20 18,8

2 4 44 4

4 1

Để nhận được phương trình hồi qui ta dùng phương

án trực giao cấp 2 với k = 4, η= 1

Số thí nghiệm là: N = 2 4 + 2.4 + 1 = 25

Cánh tay đòn α2 = 2 ; α = 1,414

Số liệu thí nghiệm trình bày ở bảng dưới

Phương sai tái hiện (s 2th ) được xác định theo 4 thí nghiệm bổ sung ở trên.

Phương sai tái hiện (s2th) được xác định theo 4 thí nghiệm bổ sung ở tâm

5 1

4

4 1

2 4

y y

s

Hệ số của phương trình hồi qui:

S bj = 0,545; S bjl = 0,61; S jj = 0,863

Tính ý nghĩa của các hệ số trong phương

trình hồi qui điện kiểm định theo tiêu chuẩn Student: ta có:

s b

t = | |

Tra bảng t p,(f) = t 0,05(3) = 3,18

ttính < ttra bảng loại bỏ : t22, t13, t14, t23, t24, t34

Phương trình hồi qui lúc này có dạng:

2 4

2

3

2 1 2

1 4

3 2

1

2 4

2 3

2 1 2

1

4 3

2 1

^

075,

635

,

3

702,

318

,2235

,47

,4037

,739

,17104

,

61

)8,0(

075,

6)

8,0(

35,3)

8,0(

965,

318

,

2

235,

47

,4037

,739

,1788

,

61

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x x

y

−

++

+

−+

++

=

−

−

−+

−+

+

−+

++

=

Để kiểm định tính phương sai dự:

Giá trị Ftra bảng, p = 0,05; f1 = 16; f2 = 3 là: 8,6;

Ftính< Ftra bảng

Kết luận: Phương trình là tương thích.

;38,

259

25

14,406

y

y s

N i

i i

du

266 ,

4 95

, 5

38 ,