Một số chuyên đề toán - Luyện thi

———————————————————————- THÂN VĂN CƯƠNG Gv THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang ——————————-t v c———————————- CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ————-BẮC GIANG, THÁNG 09 NĂM 2012————– 51 GD-05 89/176-05 Mã số: 8I092M5 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Phương trình - Hệ phương trình có dạng f u f v . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Về hệ hoán vị vòng quanh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Về phương trình, hệ phương trình dạng A 2 B 2 0 . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Về phương trình, hệ có số ẩn nhiều hơn số phương trình . . . . . . . . . 15 1.1.5 Về phương trình, hệ phương trình sử dụng đồng biến, nghịch biến . . . 15 1.1.6 Về một số phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.7 Giải hệ bằng phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.8 Một số hệ phương trình chọn lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.9 Phương trình, bất phương trình, hệ có tham số . . . . . . . . . . . . . . 22 2 LƯỢNG GIÁC - Biên soạn: Th.s Thân Văn Cương 27 2.1 Một số dạng phương trình thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Các bài toán phương trình Lượng giác trong đề thi . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 HÌNH HỌC - Biên soạn: Th.s Thân Văn Cương 34 3.1 Các bài toán về đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Các bài toán về điểm và đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Các bài toán về phương phá p tọa độ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1 Tọa độ hóa hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2 Tọa độ hóa hình chóp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Một số bài toán về hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 MỤC LỤC 3.5 Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC 56 4.1 Các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2 Tính i n và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5 HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 59 5.1 Câu hỏi phụ hay về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Câu hỏi phụ về khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6 QUAN HỆ SONG SONG - Thân Văn Cương - THPT NSL 65 6.1 Vấn đề c ơ bản của hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.1.1 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.1.2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1.3 Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳ ng đồng quy . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1.4 Xác định thiết diện của hình khối bị cắt bởi một mặt phẳng . . . . . . 68 6.1.5 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1.6 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.1.7 Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 72 Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Chươ ng 1 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương . . . . . . . . . 5 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương 1.1. Tìm giá trị của m để hàm số y 2x 2 m x 2 4x 5 có cực đại. Đs: m 2 1.2. Cho hàm số y f x x x 3 Tìm cực trị của hàm số trên. Đs: x 0, x 1 1.3. Xác định các giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm thực. a) 4m 3 x 3 3m 4 1 x m 1 0 Đs: 7 9 m 9 7 b) 4 x 2 1 x m Đs: 0 m 1 c) m x 2 1 1 x 2 2 2 1 x 4 1 x 2 1 x 2 1.4. Xác định số nghiệm của hệ phương trinh. 6 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH x 2 y 3 2 log 3 x.log 2 y 1 Đs: 2 1.5. Giải hệ phương trình e y 2 x 2 x 2 1 y 2 1 3log 3 x 2y 6 2log 2 x y 2 1 Đs: x, y 7, 7 1.6. Giải hệ phương trình sau x x 2 2x 2 3 y 1 1 y y 2 2y 2 3 x 1 1 1.7. Giải hệ phương trình sau 1 4 2x y .5 y 2x 1 2 2x y 1 1 y 3 4x ln y 2 2x 1 0 1.8. Giải phương trình x 3 log 3 x 5 log 5 x 3 x 2 1.9. Giải bất phương trình x 2 2x 1 3 x 6 4 x 6 2x 1 3 x 2 Đs: 1 2 x 7 1.10. Giải bất phương trình 3 3 2x 5 2x 1 2x 6 1.11. Giải phương trình 3 x 2 9x 2 3 4x 2 1 x x 2 1 0 1.12. Giải phương trình x 3 4x 2 5x 6 3 7x 2 9x 4 1.13. Tìm m để hệ sau có nghiệm 2 xy y x y 5 5 x 1 y m Đs: 1 m 5 1.14. Xác đinh m để phương trình sau có nghiệm thực x x 1 m x 1 x 1 4 x x 1 1 1.15. Tìm m để hệ sau có nghiệm x 1 y 1 3 x y 1 y x 1 x 1 y 1 m 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương 7 1.16. Cho hàm số f x cos 2 2x 2 sinx cosx 3 3sin2x m. Tìm m sao cho f 2 x 36 1.17. Trong các nghiệm x; y của BPT log x 2 y 2 x y 1. Tìm nghiệm để P x 2y đạt GTLN. 1.18. (HSG Nghệ An-2009) Giải phương tr ình 2009 x x 2 1 x 1. Đs: x 0 1.19. (HSG Nghệ An 2009) Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt. x y m y 1 x 2 xy m x 1 Đs: m 3 3 2 1.20. Giải hệ phương trình x 4 y 4 240 x 3 2y 3 3 x 2 4y 2 4 x 8y 1.21. Giải hệ phương trình. x 4 x 3 y 9y y 3 x x 2 y 2 9x x y 3 x 3 7 Đs: x; y 1; 2 1.22. Giải hệ phương trình 4x 2 1 x y 3 5 2y 0 4x 2 y 2 2 3 4x 7 1.1.1 Phương trình - Hệ phương trình có dạng f u f v Chúng ta bắt đầu từ Định lý sau. Định lý 1.1. Nếu hàm số y f x luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên TXĐ D và nếu có f u f v thì u v + Việc chứng minh Định lý này không có gì là khó khăn. Bây giờ chúng ta hãy đi xét các ví dụ ứng dụng cho Định lý này. 8 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1.23. Giải phương trình sau. 2x 5 x 1 1 2x 5 1 x 1 (1) Lời giải. Với bài toán này ta dễ dàng nhận ra hai vế của phương trình có hai biểu thức giống nhau, sử dụng Định lý trên ta có thể giải như sau. Phương trình tương đương với. 2x 5 1 2x 5 x 1 1 x 1 Ta thấy rằ ng phương tr ình trên đã xuất hiện f u f v như vậy công việc còn lại chỉ là đi xét hàm "đăc trưng" cho hai vế của phương trình và chứng minh cho hàm đó đồng biến (hoặc nghịch biến). Thật vậy, xét f t t 1 t với t 0 ta có f t 1 1 t 2 0 với mọi t 0 từ đó suy ra f t luôn đồng biến. Từ phương trình suy ra f 2x 5 f x 1 2x 5 x 1 . Đến đây để tìm ra nghiệm không có gì là khó, xin dành cho các em hs! Với phương trình mũ ta xét Ví dụ 1.24. Giải phương trình sau. e cos 2 x e sin 2 x cos2x Lời giải. Tương tự như bài trên ta có e cos 2 x e sin 2 x cos 2 x sin 2 x e cos 2 x cos 2 x e sin 2 x sin 2 x. Từ đó xét hàm f t e t t với t 0 ta được nghiệm cần tìm. Qua ví dụ này chúng ta cũng thấy rằng để có phương trình trên chúng ta thường phải bắt nguồn từ hàm số đã cho. Chẳng hạn với bài toán trên đó là hàm f t e t t, rồi sau đó ta mới chế biến t sin 2 x và t cos 2 x Như vậy để sáng tạo ra những bài toán dạng này bắt buộc chúng ta phải chọn hàm s ố (quan trọng là chọn hàm như thế nào để ý đồ của ta không dễ bị phát hiện). Ta xét ví dụ tiếp. Ví dụ 1.25. (HSG Quảng Ninh) Giải phương tình. 5x 6 2 1 5x 7 x 2 1 x 1 Gợi ý. Viết lại phương trình đưới dạng. 5x 6 2 1 5x 6 1 x 2 1 x 1 Xét f t t 2 1 t 1 với t 5 7 Xong 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương 9 Ví dụ 1.26. (HSG Quảng Bình 2010) Giải phương trình. x 3 3x 2 4x 2 3x 2 3x 1 Gợi ý. Nếu để ý ta sẽ thấy phương trình tương đương với. x 1 3 x 1 3x 1 3 3x 1 Đến đây ta lại xét f t t 3 t, t 0 Ví dụ 1.27. (HSG Hải Phòng 2010) Giải phương trình 2 3 2x 1 27x 3 27x 2 13x 2 Gợi ý. Phương trình đã cho tương đương với. 2x 1 2 3 2x 1 3x 1 3 2 3x 1 Từ đó ta xét hàm f t t 3 2t Ví dụ 1.28. (Khối A-2010) Giải hệ phương trình. 4x 2 1 x y 3 5 2y 0 4x 2 y 2 2 3 4x 7 Gợi ý. Từ phương trình đầu ta có. 2x 2 1 2x 5 2y 2 1 5 2y Xét hàm số f t t 2 1 t f t 3t 2 1 0, từ đó ta suy ra f 2x f 5 2y hay 2x 5 2y y 5 4x 2 2 . Thế vào phương trình thứ hai ta được. 4x 2 5 4x 2 2 2 2 3 4x 7 với 0 x 3 4 (hàm này nghịch biến trên k hoảng) và có nghiệm duy nhất x 1 2 1.29. Giải hệ phương trình sau. 1) x y cosx cosy x 2 y 3y 18 0 2) x 1 x y 1 y 2x 2 xy 1 0 3) x y e x e y log 2 2 x 3log 1 2 y 2 0 Ta xét tiếp một số ví dụ sau. Ví dụ 1.30. Giải hệ phương trình sau. 2 2x 1 3 2x 1 2y 3 y 2 4x 2 2y 4 6 10 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Lời giải. Biến đổi phương trình (1) ta được phương trình 2 2x 1 3 2x 1 2 y 2 y 2 y 2 Với phương trình trên ta xét hàm số f t 2t 3 t, rõ ràng hàm số đồng biến. Từ đó ta suy ra phương trình trên tương đương f 2x 1 f y 2 2x 1 y 2. Từ phương trình này ta thiết lập được mối quan hệ giữa x và y. Thay vào phương trình (2), giải phương trình vô tỷ ta tìm được nghiệm x; y 1 2 ; 6 Ví dụ 1.31. (HSG Nghệ An) Giải hệ phương trình sau y 3 y x 3 3x 2 4x 2 1 x 2 y 2 y 1 Gợi ý. Phương trình (1) có dạng f y f x 1 với f t t 3 t y x 1. Ví dụ 1.32. Giải hệ phương trình sau e y 2 x 2 x 2 1 y 2 1 3log 2 x 2y 6 2log 2 x y 2 1 Gợi ý. Từ phương trình (1) ta có y 2 1 e y 2 x 2 1 e x 2 Với phương trình này ta xét hàm số f t t 2 1 e t , t 0. Hàm này đồng biến, từ đó ta được phương trình f x 2 f y 2 . Giải hệ ta được nghiệm x; y 4; 4 1.33. Giải hệ phương trình sau. 1) y 4 4x 2 xy 2x 4 5 2 x x 3 y 3 2 y 2) x 11 xy 10 y 22 y 12 7y 4 13x 8 2y 4 3 x 3x 2 3y 2 1 3) x 3 5x y 3 5y x 8 y 4 1 Với bài 2 ở trên ta có thể g iải thông qua ví dụ sau. Ví dụ 1.34. Giải hệ phương trình sau. x 5 xy 4 y 10 y 6 4x 5 y 2 8 6 Gợi ý. Với phươ ng trình thứ nhất, ta chia hai vế của phương trình cho y 5 ta được phương trình [...]... phng trỡnh thng xut hin trong cỏc k thi HSG Chỳng ta thng gp h cú dng sau xf y yf z zf x Cỏch gii loi ny cng c bn ging nhau, ta thc hin theo cỏc bc sau - u tiờn ta xột hm c trng y f t (hm ny thng ng bin, hoc nghch bin) - Gi s h phng trỡnh cú nghim x y (khụng gim tớnh tng quỏt), bng suy lun (hm ng bin, nghch bin) ta s tỡm thy iu vụ lý - T ú suy ra h ch cú nghim x y z - Thay vo phng trỡnh tỡm nghim ... tan2x cos2 2x sin4x g cosx.sin2x.cos3x 4 2.2 cos 2x 4 4 Cỏc bi toỏn phng trỡnh Lng giỏc trong thi Phn ny l tuyn chn cỏc thi th i hc phn lng giỏc ca cỏc trng chuyờn trong ton quc nm 2012 2.26 (Chuyờn Vnh Phỳc) Gii phng trỡnh sau 1 tanx 1 sin2x 1 tanx Gi ý t t tanx v bin i sin2x theo t LNG GIC - Biờn son: Th.s Thõn Vn Cng 32 2.27 (Chuyờn Vnh Phỳc) Gii phng trỡnh: sinx 4sin3 x cosx 0 Gi ý Phng... ta suy ra V T 0 cũn V P ữ y 1 ử x 1 0 (vụ lý) y ta cng suy ra vụ lý Vy x y Gii tip ta c nghim x; y 1; 1 , 2; 2 1.1.8 Mt s h phng trỡnh chn lc Phn ny bao gm mt s h phng trỡnh xut hin trong cỏc k thi i hc, thi hc sinh gii ca cỏc tnh trờn toỏn quc Cỏc bn cú th c v t phõn dng theo ý mỡnh 1.56 Gii h x2 y xy 2 30 x3 y 3 35 Gi ý H i xng nghim x; y 2; 3 , 3; 2 1.57 Gii h xy x y 2 x3 y 3 2 Gi ý t S ... 2z x 8 1.1.3 V phng trỡnh, h phng trỡnh dng A2 B2 0 õy l loi phng trỡnh v h phng trỡnh cng thng c dựng trong cỏc k thi V ni dung ca loi ny, ta ch da vo iu kin A2 B2 0 AB0 Ta xột mt s vớ d sau Vớ d 1.43 Gii phng trỡnh sau ử ử 4cos2 x 3tan2 x 4 3cosx 2 3tanx 4 0 1.1 Mt s chuyờn toỏn - Th.s Thõn Vn Cng 1.1.4 15 V phng trỡnh, h cú s n nhiu hn s phng trỡnh Vi cỏc bi toỏn dng ny, chc chn chỳng ta phi... xyz 15 Ta xột hai trng hp TH1: Nu xyz 15 T (1) ta tỡm c z 5 T (2) ta tỡm c x 3 T (3) ta tỡm c y 1 TH2: Nu xyz 15 (Ta lm tng t) Bỡnh lun Rừ rng h ny khụng khú v chc rng nú s ớt c s dng trong cỏc k thi nu chỳng ta khụng "ch bin" thờm mt chỳt Ta xột vớ d sau Vớ d 1.41 Gii h phng trỡnh sau x xy y 1 y yz z 3 z zx x 7 Li gii Vi bi ny ta ó thy khú phỏt hin ra dng trờn hn bi trc Vỡ ngi ra ó bin i h...1.1 Mt s chuyờn toỏn - Th.s Thõn Vn Cng 11 x 5 x y5 y y y Vi phng trỡnh ny ta xột hm s f t t5 t, T ú s dng cỏch gii nh cỏc vớ d trờn ta tỡm c nghim ca bi toỏn l x; y 1; 1 , 1, 1 Tip tc ta xột vớ d sau Vớ d 1.35 Gii h phng... ta cú th lm trc tip hoc t n ph Ta xột mt s vớ d sau 1.52 Tớnh cỏc tớch phõn sau 1 x3 dx; 1 I ậ 0 1 x2 ln3 ex 2 I ậ dx ữ 0 1 ex 3 2 3 ử dx ử 3 I ậ ; HD t t x2 2 4 5 x x ử ử 4 1.1 Mt s chuyờn toỏn - Th.s Thõn Vn Cng 4 I ậ ử 1 5 I ậ 17 2 x3 1 x2 dx 0 x ử ử dx t t 1 x 1 x 1 e 1 3lnx.lnx 6 I ậ dx x 1 ử sin2x sinx dx, t t 1 3cosx 7 I ậ 2 ử 0 1 3cosx 1 ử 1 1.1.7 Gii h bng phng phỏp ỏnh giỏ gii... x3 2x ln x2 x 1 0 1 p x l hm ng bin v cú p 1 0 Suy ra phng trỡnh cú nghim duy nht Vy h phng trỡnh cú nghim x, y, z 1, 1, 1 Chỳ ý Ta cng cú th m rng bi toỏn dng hoỏn v vũng quanh cho n bin f x g y - Nu dng f y g z vi f l hm tng, cũn g l hm s gim (hoc tng) ta cng f z g x da vo tớnh ng bin, nghch bin suy ra x y z Ta xột vớ d sau Vớ d 1.37 Gii h phng trỡnh sau x2 x 2 3 y 3 x y2 y 2 3 z 3 y z... nghim x; y 1; 1 1.58 Gii h phng trỡnh sau x y x2 1 x y2 Gi ý H i xng vi nghim x; y 1; 1 1.59 Gii cỏc h sau x y xy 5 x y 2xy 2 , 2) 1) 2 2 x y xy 7 x3 y 3 8 1 4 y 1 1 4 2 x y2 1.1 Mt s chuyờn toỏn - Th.s Thõn Vn Cng 19 1.60 Gii h phng trỡnh x3 y 3 7 xy x y 2 Gi ý t S x y; P xy, nghim x; y 1; 2 , 1; 2 1.61 Gii h phng trỡnh sau x3 2x y y 3 2y x Gi ý H i xng loi 2 1.62 Gii h sau ử ử 2x 3 2y... xng loi 2 ỏp s x; y 1; 1 1.64 Gii h 1 1 y x y 2x2 xy 1 0 x Gi ý Vi nhng bi toỏn dng ny ngoi PP gii bng dng h i xng loi 2, chỳng ta cú th gii bng hm s tỡm ra c nghim x y (Cỏc bn xem thờm phn trờn - gii h bng hm s) 1.65 Gii h x y cosx cosy x2 y 3y 18 0 Gi ý H cú nghim x y PHNG TRèNH, H PHNG TRèNH 20 1.66 Gii h x2 y2 3y 2 0 3x 2 0 ử x 1 1.67 Gii h ử y 1 ử ử y 74 x 74 1.68 Gii h phng trinh x3 . TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương . . . . . . . . . 5 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương 1.1. Tìm giá trị của m để hàm số y 2x 2 m x 2 4x 5 có cực. —————————————————————— - THÂN VĂN CƯƠNG Gv THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang ——————————-t v c—————————— - CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ————-BẮC GIANG, THÁNG 09 NĂM 2012————– 51 GD-05 89/17 6-0 5 Mã số: 8I092M5 Mục. phương trình 1.1 Một số chuyên đề toán - Th.s Thân Văn Cương 11 x y 5 x y y 5 y Với phương trình này ta xét hàm số f t t 5 t, Từ đó sử dụng cách giải như các ví dụ trên ta tìm được nghiệm của bài toán là x;