Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 1 Ch : HÀM S LNG GIÁC I- LÝ THUYT: 0. Gii thiu tng quan v các hàm s lng giác: ∀ ∈ − ≤ ≤ − ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) π π π π ∀ ∈ + = + = ∀ ∈ + = + = * Các giá tr c bit: π π π π π π π π π π π π π = ⇔ = = − ⇔ = − + = ⇔ = + = ⇔ = + = ⇔ = = − ⇔ = + = ⇔ = = ⇔ = + π π π π π π π π = − ⇔ = − + = ⇔ = + = ⇔ = + = − ⇔ = − + 1. Hàm s y = sin x: * TX: = * Tp giá tr: ∀ ∈ − ≤ ≤ . * Hàm s y = sin x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k: π = . th: 2. Hàm s y = cos x: * TX: = * Tp giá tr: ∀ ∈ − ≤ ≤ . * Hàm s y = cos x là hàm s chn. * Tun hoàn vi chu k: π = . th: y x - π π π 2 - π 2 O 1 y x 1 -1 O - π 2 π 2 π - π O α cotang tang sin cos Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 2 3. Hàm s y = tan x: * TX: π π = + ∈ * Tp giá tr: ∀ ∈ ∈ . * Hàm s y = tan x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k: π = . th: 3. Hàm s y = cot x: * TX: { } π = ∈ * Tp giá tr: ∀ ∈ ∈ . * Hàm s y = cot x là hàm s l. * Tun hoàn vi chu k: π = . th: Dng toán 1: TP XÁC NH CA HÀM S LNG GIÁC *Nhc li: Mt s dng tìm Tp xác nh hàm s thng gp: ≥ = ≥ = ∈ = ! "#$% ! ! + ∈ = ≠ = "#$% ! ! y x O y x O Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 3 ( ) ( ) ( ) = ≠ ⇔ ≠ + ( ) ( ) ( ) = ≠ ⇔ ≠ Bài tp 1: (Mc c bn) Tìm TX ca các hàm s sau: π = − = − − + = = − − Hng dn: π π π π π π π π π π π π π − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + = + ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ = ≠ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + = ≠ &'( ) &'( &'( { } π π π π + + + ≥ ∀ ∈ ≥ − − ≥ ∀ ∈ ≠ ≠ ⇔ ≠ = * + ,-./0 &'( Bài tp 2: (Mc trung bình) Tìm TX ca các hàm s sau: 2 2 3 3 2 a) b) c) sin cos 2sin 1 cos cos3 = = = − − − y y y x x x x x Hng dn: 2 3 3 sin 2 \ 2 1 5 2sin 1 sin \ 2 , 2 5 2 2 3 2 cos3 cos 3 2 π π π π π π π π π π π π π π π π = = − − ≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + = + ≠ + ≠ ⇔ ≠ ⇔ = + + ≠ + ≠ ≠ + ≠ ⇔ ⇔ ≠ − + &'( ) &'( y x x x x x k x k D R k x k x x D R k k x k x k x x k x x x x k . \ 4 4 π π π = ≠ &'( D R k x k Dng toán 2: TÌM GIÁ TR NH NHT- GIÁ TR LN NHT CA HSLG Phng pháp: Bc 1: S dng các k nng bin i có các BT và kt lun GTLN- GTNN. Bc 2: Ch rõ GTLN- GTNN xãy ra trong trng hp nào? Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 4 Bài tp 1: (Mc c bn) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s sau: = − = − = + = − Hng dn: π π ∀ ∈ − ≤ ≤ ⇔ ≥ − ≥ − ⇔ − ≤ − ≤ − ≤ ≤ = − = ⇔ = − ⇔ = − + 1 &'( 23 .4.56 70 2 π = − − = − ⇔ = ⇔ = ∀ ∈ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ − − ≤ ≤ − = − 1 1 .4.56 ) &'( 23 .4 π π π − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = + = − − = − ⇔ = ⇔ = ∀ ∈ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ ≤ 1 .56 70 2 .4.56 π π π + ≤ ≤ ≤ = + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = + = ⇔ = ⇔ = + 1 1 &'( 23 .4.56 70 2 .4.56 π ∀ ∈ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ − − ≤ ≤ − = − − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = = − − = − ⇔ 1 1 * &'( 23 .4.56 70 2 .4.56 π π = ⇔ = ⇔ = + Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 5 Bài tp 2: (Mc trung bình) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s sau: 2 4 4 a) 2sin cos2 b) sin cos 4 c) cos cos 3 π = − = + + = + − y x x y x x y x x Hng dn: 2 2 4 2 2 2sin 2sin 1 2 1 1 sin 4 1 sin 2 4 5 sin 2 2 2 2 3 6 π π = − = − ⇔ = − = + + ⇔ = − + = − = + − = − " 7089: 5)0'9;- ) 7089: 5)0'9;- y x x y x x y x y x x y x x y x x x 3 3 3 6 6 π π = − − ≤ ≤ 7089: 5)0'9;- x y Bài tp 3: (Mc khá) Tìm GTLN- GTNN ca các hàm s sau: ( ) 2 2 a) 3sin cos 2 b) 2sin 2 sin 2 4cos2 2 cos c) 3sin 5cos 8sin cos 2 d) sin cos 2 = − + = − + = + − − = + + y x x y x x x x y x x x x y x x Hng dn: Chú ý: iu kin phng trình sin cos = <) y t t có nghim là: 2 2 2 + ≥ a b c a) 3sin cos 2 3sin cos 2 (*) = − + ⇔ − = −y x x x x y Min giá tr ca hàm s trên là ∀ ∈ y R sao cho phng trình sau: 3sin cos 2 − = − x x y có nghim ∈ x R ( ) 2 2 3 1 2 4 0 0 4 4 3sin cos 2 2 sin 1 2 2 6 6 2 3 0 3sin cos 2 π π π π π π ⇔ + ≥ − ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ = − = ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = + = − = − 1 1 &'( 23 .4.56 70 2 .4.56 y y y y y x x x x k x k y x x sin 1 2 2 6 6 2 3 π π π π π π ⇔ − = − ⇔ − = − + ⇔ = − + x x k x k Hng khác: Hng 2: 3 1 3sin cos 2 2 sin cos 2 2sin 2 2 2 6 π = − + = − + = − + y x x x x x 7089: 5)0'9;- Hng 3: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3sin cos 3 1 sin cos 4 2 4 2 2 2 0 4 − ≤ + + = − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ " =>"> 9 x x x x y y y 7089: 5)0'9;- Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 6 ( ) 2 2 1 cos4 2sin 2 sin 2 4cos2 2sin 2 8sin 2 cos2 2 4sin 4 2 4sin 4 cos4 1 1 1 3sin 5 8sin 2 3 − = − ⇔ = − = − ⇔ = − − + − + = + − − ⇔ = ) 7089: 5)0'9;- < x y x x x y x x x x y x x x x y x x x x y ( ) ( ) 4sin 2 2 2 cos sin cos 2 2 cos sin 1 cos 2 2 sin cos 2 − − + = ⇔ + + = + ⇔ + − = − + + 7089: 5)0'9;- * x x y y x x x y x y x y x x Vi iu kin có nghim ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 + − ≥ − y y y 7089: 5)0'9;- BÀI TP T LUY!N: Bài tp 1: Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca các hàm s: 2 2 2 2 2 2 2 1 4cos 1) 2 4cos 2) 3 8sin .cos 3) 4) 2sin cos2 3 5) 3 2 sin 6) cos cos 7) cos 2cos2 8) 5 2 sin .cos 3 x y x y x x y y x x y x y x x y x x y x x π + = + = − = = − = − = + − = + = − Bài tp 2: Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca các hàm s: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1) sin 4sin 2 2) sin cos 0 3) 3sin 5cos 8sin cos 2 4) 2s in 4cos 8sin cos 1 5) sin cos y x x y a x b x a b y x x x x y x x x x y x x = − − = + + > = + − − = − + − = + 6 6 6) sin cosy x x= + BÀI TP T LUY!N: Bài tp: Tìm tp xác nh ca các hàm s: 1 1) sin3 2) cos 3) sin 4) cos 3 1 7 cot sin 2 5) 6) cot 2 7) 8) 2cos 4 cos 1 cos 1 9) cos 1 π − = = = = + + = = − = = − + = + x x y x y y x y x x x y y x y y x x x y x 2 2 3 2 10) 11) 12) tan cot sin cos cos cos3 = = = + − − y y y x x x x x x Dng toán 3: XÁC NH TÍNH CH"N L# CA CÁC HÀM S LNG GIÁC Phng pháp: Bc 1: Tìm tp xác nh D ca hàm s ( ) y f x = , lúc ó: + Nu D là tp i xng (tc là ∀ ∈ − ∈ ), ta thc hin bc 2. + Nu D không là tp i xng ( ∃ ∈ − ∉ ), ta kt lun hàm s ( ) y f x = không chn cng không l. Bc 2: Xác nh − . Lúc ó: − = = − = − = ?02@ /0 02 A ?02@ /0 02/B Lu ý: V mt hình hc: 1. th hàm s ch$n nhn trc tung Oy làm trc i xng. 2. th hàm s l% nhn gc to O làm tâm i xng. Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 7 Nhn xét: Vi các hàm s l ng giác c b!n, ta có: a. Hàm s = /0 02@ A . b. Hàm s = = = /0% 02@/C . Bài tp 1: Xác nh tính chn, l ca các hàm s: 3 4 3 sin a) 1 cos3 b) 1 cos sin 2 c) sin3 d) 2 cos2 π − = + = + − = = x x y x x y x x y x x y x Hng dn: a) TX: = D R . Ta có: ∀ ∈ − ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1− = + − − = − ≠ − ≠ − 70 ?02@.D /0 02 E A E /B;-1 y x x x x x y x y x y x b) 3 1 sin 2 1 cos cos 2 2 π = + − = − y x x x x TX: = D R . Ta có: ∀ ∈ − ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos cos2 cos2 − = − − − − = F ?02@.D /0 02 A;-1 y x x x x x y x c) TX: = D R . Ta có: ∀ ∈ − ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 sin3 sin 3− = − − − = − F ?02@.D /0 02/B;-1 y x x x x x y x d) TX: \ 4 2 π π = + D R k . Ta có: ∀ ∈ − ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 sin sin sin − − − − + − − = = − = − − F ?02@.D /0 02/B;-+ x x x x x x y x y x x x x BÀI TP T LUY!N: Bài tp: Xác nh tính chn, l ca các hàm s: 3 3 2000 sin cos2 1) cos3 3) sin 3 4) 5) cos2 1 cos 6) sin 2 7) 1 cos 8) 9) sin cos2 1 cos 10) − = = = = + = − = − = = + − = x x x y x x y x x y y x x x y x x y x y y x x x x y 2 2010 sin 2010 11) 12) sin 2 sin tan cos + = = + x y y x x x x x Dng toán 4: XÁC NH TÍNH TU&N HOÀN CA CÁC HÀM S LNG GIÁC Phng pháp: 1. Chng minh hàm s ( ) y f x = tun hoàn Xét hàm s ( ) y f x = , tp xác nh D, ta d oán có s thc dng 0 T sao cho: ( ) ∀ ∈ − ∈ + ∈ + = 70 2. Chng minh là chu k ca hàm s ( ngh"a là dng nh nht tho! mãn h (1) và (2)). Thc hin bng phn chng. Bc 1: Gi! s có s T sao cho < < tho! mãn các tính cht (1) và (2): ( ) ∀ ∈ + = ⇔ < < GH I7JK 8 Bc 2: Mâu thu#n này chng t là s dng nh nht tho! mãn (2). Kt lun: Vy là chu k ca hàm s ( ) y f x = . 3. Xét tính tun hoàn các các hàm s l ng giác, ta s dng m$t s kt qu!: Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 8 a. Hàm s π = = L 07J M . b. Hàm s π = = L 07J M . M rng: (cm) c. Hàm s ( ) ( ) π = + = + > L 07J M . d. Hàm s ( ) ( ) π = + = + > L 07J M . nh lý: Cho cp hàm s tun hoàn trên tp M có các chu k ln l t là 70 ∈ 7J . Khi ó, các hàm s: = + = cng tun hoàn trên M. H qu: Hàm s = + tun hoàn vi chu k T là b$i chung nh nht ca 0 . Bài tp 1: Chng minh r%ng m&i hàm s sau là m$t hàm s tun hoàn và hãy tìm chu k ca nó: 2 1) 2sin 2) cos 5 3) tan 4) cos2 4 3 4 5) cos 6) sin cos 7) sin cos 8) 4sin 2 4 9) y x y x y x y x x y y x x y x x y x y π π π π = + = − − + = + = = + = + = = = 1 sin x SAI L&M ' ÂU? Xét bài toán: Tìm chu k ca hàm s: ( ) ( ) sin ; ( 0) = + ≠ f x ax b a ( Trc nghim Nghuyn Vn Nho HSP2006 và nhiu sách khác) Mt h(c sinh gii nh sau: Bc 1: Gi T là chu k ca hàm s ã cho. Bc 2: Lúc ó: ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin + = ⇔ + + = + f x T f x a x T b ax b ( ) ( ) sin sin ⇔ + + = + ax b aT ax b (*) Bc 3: Do hàm s sin = y x tun hoàn vi chu k 2 T π = T' (*) 2 aT π ⇔ = 2 T a π ⇔ = Vy chu k ca hàm s ã cholà 2 T a π = . (ycbt) Bài gi!i ca hc sinh trên ã úng cha? Nu cha thì sai ( bc nào? *Lu ý: Nhìn tng th thì bài gi!i có v úng nhng b!n cht thì sai. Sai vì cha hiu rõ th nào là chu k ca mt hàm s. Nhc: T c gi là chu k ca hàm s ( ) y f x = khi ch) khi: + ( ) ( ) f x T f x + = (*) + T là s dng nh nht tho! (*) Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 9 Nh vy i vi bài gi!i trên, ch) úng khi 0 > a . Vy trong tr*ng h p tng quát thì sao? Ta gi!i nh sau: TH1: 0 > a gi!i nh trên. TH2: 0 < a . Thc hin phép bin i: ( ) ( ) sin sin + = − − − ax b ax b . Lúc này ta a bài toán v TH1. Bài tp: Tìm chu k ca các hàm s sau: a) ( ) cos 2 4 = − y x b) ( ) cot 3 1 = − + y x c) 2 tan 1 3 = − x y c) ( ) sin 4 2 = − + y x Bài toán: Cho hàm s ( ) sin sin f x a ux b vx = + , trong ó , , , a b u v là các s thc khác 0. a) Chng minh r%ng: Nu hàm s ( ) y f x = tun hoàn thì u v là s h+u t). b) Ng c l,i nu u v là s h+u t) thì hàm s ( ) y f x = tun hoàn. Chng minh: a) Gi! s hàm s ( ) y f x = tun hoàn vi chu kì T. Ta có: ( ) : ( ) x f x T f x ∀ + = . Cho 0 x = , ta có: ( ) (0) sin f T f a uT b vT b = ⇔ + = . Cho x T = − , ta có: ( ) (0) sin f T f a uT b vT b − = ⇔ − + = . T' (1) và (2) suy ra : 1 2 2 2 sin 0 π π π π = = ⇔ = ⇔ = ∈ = = vT vT k vT k v k Q uT uT m uT m u m (.p.c.m) b) Gi! s = ∈ v m Q u n vi , m n là các s nguyên khác 0. Chn 2 2 m n T u v π π = = . Khi ó: ( ) 2 2 sin π π + = + + + m n f x T a u x b v x u v ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2 cos 2 sin cos ( ) π π = + + + = + = a ux m b vx n a ux b vx f x Vy hàm s ( ) y f x = tun hoàn (.p.c.m) nh lý: Cho cp hàm s tun hoàn trên tp M có các chu k ln l t là ∈ 70 7J . Khi ó, các hàm s: = + = cng tun hoàn trên M. H qu: Hàm s = + tun hoàn vi chu k T là b$i chung nh nht ca 0 . Ví d) minh h(a 1: Xác nh chu kì ca các hàm s sau: 2 2 1 1) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2 6 3 2 1 1 4) sin sin 2 sin3 5) 2tan 3tan 6) cos 2cos 2 3 2 3 y x y x y x x x x y x x x y y x x π π = + = + = + = + + = − = + Gii: 4) Ta có: Hàm s sin y x = tun hoàn chu kì 2 π . Hàm s sin 2 y x = tun hoàn chu kì π . Chuyên PHNG TRÌNH LNG GIÁC Luyn thi i hc 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BO T Toán THPT Phong in 10 Suy ra, hàm s 1 sin sin 2 2 y x x = + tun hoàn vi chu kì 2 T π = . Hàm s sin3 y x = tun hoàn chu kì 2 3 π . Vy hàm s 1 1 sin sin 2 sin3 2 3 y x x x = + + tun hoàn vi chu kì 2 π Ví d) minh h(a 2: Cho hàm s ( ) f x x = . Chng minh r%ng hàm s trên không tun hoàn phi. Gii: Gi! s hàm s ã cho là tun hoàn ph!i. Khi ó có tn t,i s dng T sao cho: 0 : x x T x ∀ ≥ + = Cho 0 x = , ta có: 1 2 T T k π = ⇔ = (1) Cho x T = , ta có: 2 1 2 2 T T T m π = = ⇔ = Lp t) s (1) (2) , ta c: 2 = ∈ k Q m . Mâu thu#n. Vy hàm s ó không tun hoàn ph!i. Ví d) minh h(a 3: Tìm tt c! các s nguyên n khác 0 hàm s: 5 ( ) cos .sin x y f x nx n = = tun hoàn vi chu kì 3 π . Gii: Gi! s hàm s ã cho là tun hoàn vi chu kì 3 π . Lúc ó, ta có: 5( 3 ) 5 : ( 3 ) ( ) cos ( ).sin cos .sin x x x f x f x n x nx n n π π π + ∀ + = ⇔ + = Thay 0 x = ta c: 15 15 sin 0 15 k kn n n π π π = ⇔ = ⇔ = . Tc là n là c ca 15, do ó: { } 1; 3; 5; 15 n ∈ ± ± ± ± !o l,i: { } 1; 3; 5; 15 n ∀ ∈ ± ± ± ± thì: 5( 3 ) 5 ( ) cos ( ).sin cos .sin x x f x n x nx n n π π + = + = Tht vy, vì 3 n và 15 n là các s nguyên l nên : cos ( ) cos( ) cos . 5( 3 ) 5 15 5 sin sin sin n x nx n nx x x x n n n n π π π π + = + = − + = + = − Do ó các giá tr n cn tìm là { } 1; 3; 5; 15 n ∈ ± ± ± ± (y.c.b.t) BÀI TP T LUY!N: Bài tp: Xác nh chu k ca các hàm s: 2 2 1 1) tan 3 2) 2cos 2 3) sin sin 2 6 3 2 1 1 4) sin sin 2 sin3 5) 2tan 3tan 6) cos 2cos 2 3 2 3 y x y x y x x x x y x x x y y x x π π = + = + = + = + + = − = +