Bất Phương trình vô tỷ

Nguyễn Anh Thương BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NĂM 2013 Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ 1. Các hằng đẳng thức * 2 ( ) 2 (A 0;B 0)A B A B AB      * ( )( ) (A 0;B 0)A B A B A B      * 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 .( )A B A B AB A B     * 3 3 3 3 3 2 2 ( )( )A B A B A AB B    2. BPT bậc hai 2 0ax bx c   ( 0a  ) 1 1 2 2 ( ) x x x x x x          * 0a  : + 2 0ax bx c   1 2 x x x x         + 2 0ax bx c   1 2 x x x   * 0a  : + 2 0ax bx c   1 2 x x x   + 2 0ax bx c   1 2 x x x x         3. Các BPT vô tỉ đơn giản * 2 0 0 A A B B A B                 ; 2 0 0 A A B B A B                 * 0 0 A A B B            hoặc 2 0B A B            ; 0 0 A A B B            hoặc 2 0B A B            * 0B A B A B            ; 0B A B A B            II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BPT VÔ TỈ 1. Biến đổi BPT đã cho về BPT vô tỉ đơn giản Ví dụ 1. Giải BPT: 2 2 2 7 3 6x x x    (1) Giải Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 2 (1) 2 2 6 0 4(2 7) 9(6 ) x x x x x                  2 2 6 0 9 17 26 0 x x x x                 3 2 1 26 9 x x x                          1 2 26 3 9 x x              Ví dụ 2. Giải BPT: 2 3 6 2 4x x x    (2) Giải (2) 2 3 6 4 2x x x     2 2 2 6 0 4 2 0 4 2 0 9(6 ) (4 2) x x x x x x x                                         2 2 3 1 2 1 2 2 0 x x x x x                                            1 2 2 1 2 1 2 x x x                              1 2 2 1 2 2 x x              2 2x    Ví dụ 3. Giải BPT: 2 7 8 6x x x    (3) Giải (3) 2 7 8 -6x x x    2 2 2 7 8 0 6 0 7 8 ( 6) x x x x x x                      2 7 8 0 6 0 5 44 x x x x                   8 1 6 44 5 x x x x                              44 8 5 x   Ví dụ 4. Giải BPT: 3 2 4 x x    (4) Giải (4) 3 4 4 x x     3 4 0 4 x x      5 13 0 4 x x     13 4 5 x   Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 3 Ví dụ 5. Giải BPT: 2 1 3 3 2 x x    (5) Giải (5) 2 1 0 3 2 2 1 9 3 2 x x x x                     2 1 0 3 2 25 17 0 3 2 x x x x                      17 25 2 3 x x           hoặc 2 3 1 2 x x          1 2 17 25 x x           BÀI TẬP Bài 1: Giải các BPT sau: 1) 2 1 5x   2) 2 10 3 5x x   3) ( 2)( 5) 8x x x    4) 1 3x x   5) 9 20x x  6) ( 4)(2 1) 2( 4)x x x    7) 2 12x x x   8) 2 3 4x x   9) 2 12 1x x x    10) 2 4 4 2x x x    11) 2 2 3 5 1x x x    12) 2 12 8x x x    13) 2 4x x   14) 2 2 6 1 1x x x    15)   2 1 2 1x x   16) 2 1 1 4 3 2 4x x    Bài 2: Giải các BPT sau: 1) 3 2 1x   2) 2 4 3x x x   3) 2 2 6 1 2 0x x x     4) 2 3 2 3 0x x x     5) 2 2 3 10x x x    6) 2 5 6 8 2x x x    7) ( 5)(3 4) 4( 1)x x x    8) ( 3)( 1) 3( 1)x x x    9) 2 3 22 22 7x x x   10) 2 5 6 3x x x    11) 2 2 1x x x   12) 2 2 7 5 1x x x    13) 1 4 2 1x x   14) 2 2 5 4 3x x x     15) 4 2 1 1x x x    Bài 3: Giải BPT sau: 2 1 1 0x x    . 2. Phương pháp nâng lên lũy thừa Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 4 Biến đổi bất phương trình có chứa căn bậc chẵn sao cho hai vế không âm sau đó nâng lên lũy thừa để khử dấu căn. * 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x f x g x g x f x g x                 ; 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x f x g x g x f x g x                 * 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x g x f x g x                                 ; 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x g x f x g x                                 * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x      ; 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x      * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x      ; 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x      Ví dụ 1. Giải BPT: 3 2 2 3 3 1 2 1x x   (1) Giải: (1) 2 2 3 1 2 1x x    2 2x  2 2x    Ví dụ 2. Giải BPT: 3 4 2x x    (2) Giải: (2) 3 2 4x x     4 3 4 4 4 4 x x x x                  4 4 4 3 x x              4 16( 4) 9 x x            73 4 16 x   Ví dụ 3. Giải BPT: 1 1 2x x    (3) Giải: (3) 2 1 1 1 2 1 4 x x x x                  2 1 1 2 x x x               2 2 1 2 0 1 4 4 x x x x x                    1 2 5 4 x x                5 1 4 x   Ví dụ 4. Giải BPT: 3 1 2 1x x x     (4) Giải: (4) 3 1 2 1x x x      2 1 3 1 2 1 2 2 3 1 x x x x x x                    2 1 2 2 3 1 5 2 x x x x                Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 5 2 2 1 5 2 0 4(2 3 1) 25 20 4 x x x x x x                     2 5 1 2 4 8 21 0 x x x                  5 1 2 7 3 2 2 x x                    3 1 2 x   Ví dụ 5. Giải BPT: 1 2 1x x    (5) Giải: (5) 1 1 2x x     2 1 1 2 2 2 x x x x                  2 2 1 x x              2 2 1 x x            3x  Ví dụ 6. Giải BPT: 2 1x x x    (6) Giải (6) 2 1x x x     2 0 2 1 2 x x x x x x                  2 0 2 1 x x x x               0 1 0 x x            hoặc 2 2 0 1 0 4( ) 1 2 x x x x x x                   2 1 0 1 3 6 1 0 x x x x                        1x  hoặc 0 1 3 2 3 3 3 2 3 3 x x x                                  1 2 3 3 1 3 x x            2 3 3 3 x    Ví dụ 7. Giải BPT: 9 1 4x x x x      (7) Giải: (7) 2 2 0 2 9 2 9 2 5 2 5 4 x x x x x x x                    2 2 0 9 2 5 4 x x x x x                 2 2 2 0 9 4 4 9 5 4 x x x x x x x                   Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 6 2 0 9 x x x x               0x  Ví dụ 8. Giải BPT: 2 3 5 2 1 x x x    (8) Giải: ĐK: 2 1 1 0 1 x x x            . * 1x   : BPT (8) vô nghiệm. * 1x  : (8) 2 2 2 2 2 2 45 4 1 1 x x x x x       4 2 2 2 2 45 0 4 1 1 x x x x       2 2 5 2 1 x x    2 2 5 1 2x x   4 2 4 25 25 0x x    2 2 5 5 4 x x          5x  hoặc 5 2 x  Kết hợp với điều kiện 1x  , ta được nghiệm của BPT (8) là: 5 5; 1 2 x x   . Ví dụ 9. Giải BPT: 3 2 3 2 2 3 x x     (9) Giải (9) 2 3 0 3 (2 3) 2 2 3 x x x                 2 3 0 2 3 3 x x x                2 2 3 0 3 0 2 3 9 6 x x x x x                     2 3 3 2 8 12 0 x x x                  3 3 2 6 2 x x x                        3 2 2 x   BÀI TẬP Bài 1: Giải các BPT sau: 1) 4 4 1 2x x    2) 2 2 4 1 2x x    3) 9 2 4 5x x    4) 2 2 3 2 1 1x x x x      5) 1 3 1 2 x x    6) 2 2 25 7 3x x x    7) 1 3 4x x    8) 4 2 7 2 7 28x x    Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 7 9) 2 1 4 3x x    10) 2 2 3 5 7 3 5 2 1x x x x      11) 2 2 1 1 3x x    12) 1 3 2 3 9 2 2 2 x x    Bài 2: Giải các BPT sau: 1) 3 1 2x x x     2) 2 3 2 4 0x x x      3) 3 1 2 6x x x     4) 3 4 3 4 9x x x     5) 3 2 8 7x x x     6) 7 13 3 9 5 27x x x     7) 3 1 4 4 5 0x x x      8) 6 1 2 5x x x     9) 2 1 1 2 3x x x     10) 2 3 2 0x x x     11) 2( 24) 1 7x x x     12) (A-05) 5 1 1 2 4x x x     13) 2 2 2 1 1 2 6 2x x x x x x        14) 2 2 2 8 15 2 15 4 18 18x x x x x x        Bài 3: Giải các BPT sau: 1) 4 2 2 2 x x     2) 3 2 2 2 x x x     3) 2 16 5 3 3 3 x x x x       4)   2 2 16 7 3 3 3 x x x x x        5) 2 2 2 1 1 2 4 2 4 x x x       6) 2 2 7 4 2 1 4 2 x x x      7) 2 3 4 2 2 x x x      Bài 4: Giải các BPT sau: 1) 2 17 15 2 0 3 x x x     2) 2 1 3 2( 3) 2 2x x x x       Bài 5: 1) Chứng minh [ 1; 1]x   , ta có: 2 2 1 1 1 1 2x x x x        . 2) Chứng minh: 2 1 1 2 , 1;1 2 x x x x             . Bài 6: Giải các PT sau: Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 8 1) 2 2 12 6 2 1 2x x x x      . Hint: BPT 2 2 12 6 2 1 2x x x x       (BPT đẳng cấp) 2) (A-10)   2 1 1 2 1 x x x x      . Hint:   2 1 2 1 0x x    ; BPT   2 2 1 1x x x x          2 2 1 0 3 5 2 2 1 1 x x x x x x x                       3) 2 1 ( 3) 2( 3) 2 2x x x x       Hint: BPT           2 2 1 1 3 2 3 1 3 2 1 x x x x x x x                          1 2 3 1 1 x x x x                1x  hoặc   1 2 3 1 x x x              4) 2 2 1 1 2 x x x x x     . Hint: ĐK 1x  . BPT 6 3 1 2x x     . + 3 2x  : + 3 1 2x  : 3. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1. Giải BPT: 2 2 11 31x x   (1) Giải: (1) 2 2 ( 11) 11 42 0x x      (*) Đặt 2 11 (t 0)t x   , PT 2 0 (*) 42 0 t t t               0 7 6 t t             0 6t   2 0 11 6x    5 5x    Ví dụ 2. Giải BPT: 2 2 2 5 6 10 15x x x x     (2) Giải: (2) 2 2 2( 5 6) 5 6 3 0x x x x        (*) Đặt 2 5 6 ( 0)t x x t    , 2 0 (*) 2 3 0 t t t               0 1 3 2 t t t                        1t  2 5 6 1x x    2 5 7 0x x    Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 9 5 53 2 x    hoặc 5 53 2 x   Ví dụ 3. Giải BPT: 2 2 3 3 8 4 6 8 3x x x x     (3) Giải: (3) 2 2 (3 8 4) 3 3 8 4 10 0x x x x        (*) Đặt 2 3 8 4 ( 0)t x x t    , 2 0 (*) 3 10 0 t t t               0 5 2 t t             0 2t   2 0 3 8 4 2x x     2 2 3 8 4 0 3 8 4 4 x x x x                 2 2 3 8 4 0 3 8 0 x x x x                2 2 3 8 0 3 x x x                             8 2 3 2 0 3 x x             Ví dụ 4. Giải BPT: 5 1 5 2 4 2 2 x x x x     (4) Giải: (4) 1 1 2( 1) 5( ) 2 0 4 2 x x x x        (*) Đặt 1 ( 2) 2 t x t x    , 2 (*) 2 5 2 0t t    loaïi) 2 1 ( 2 t t          + 1 2 2 2 t x x     2 4 1 0 2 x x x     0 2 2 2 2 2 2 x x x                                3 2 2 2 x    hoặc 3 2 2 0 2 x    Ví dụ 5. Giải BPT: 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2x x x x x        (5) Giải: (5) [2 2 2 ( 1)( 3)] ( 1 3) 6 0 (*)x x x x x           Đặt 1 3 (t 0)t x x     , 2 0 (*) 6 0 t t t               0 2 3 t t t                      2t  1 3 2x x     . Nguyễn Anh Thương BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NĂM 2013 Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:NATSugarSync_NATTai lieu on thi DHPT-HPT-BPTBPT_2013.doc 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. MỘT SỐ KIẾN. 0x x    . 2. Phương pháp nâng lên lũy thừa Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:NATSugarSync_NATTai lieu on thi DHPT-HPT-BPTBPT_2013.doc 4 Biến đổi bất phương trình có chứa căn. B            II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BPT VÔ TỈ 1. Biến đổi BPT đã cho về BPT vô tỉ đơn giản Ví dụ 1. Giải BPT: 2 2 2 7 3 6x x x    (1) Giải Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:NATSugarSync_NATTai