Nguyễn Anh Thương BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NĂM 2013 Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ 1. Các hằng đẳng thức * 2 ( ) 2 (A 0;B 0)A B A B AB * ( )( ) (A 0;B 0)A B A B A B * 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 .( )A B A B AB A B * 3 3 3 3 3 2 2 ( )( )A B A B A AB B 2. BPT bậc hai 2 0ax bx c ( 0a ) 1 1 2 2 ( ) x x x x x x * 0a : + 2 0ax bx c 1 2 x x x x + 2 0ax bx c 1 2 x x x * 0a : + 2 0ax bx c 1 2 x x x + 2 0ax bx c 1 2 x x x x 3. Các BPT vô tỉ đơn giản * 2 0 0 A A B B A B ; 2 0 0 A A B B A B * 0 0 A A B B hoặc 2 0B A B ; 0 0 A A B B hoặc 2 0B A B * 0B A B A B ; 0B A B A B II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BPT VÔ TỈ 1. Biến đổi BPT đã cho về BPT vô tỉ đơn giản Ví dụ 1. Giải BPT: 2 2 2 7 3 6x x x (1) Giải Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 2 (1) 2 2 6 0 4(2 7) 9(6 ) x x x x x 2 2 6 0 9 17 26 0 x x x x 3 2 1 26 9 x x x 1 2 26 3 9 x x Ví dụ 2. Giải BPT: 2 3 6 2 4x x x (2) Giải (2) 2 3 6 4 2x x x 2 2 2 6 0 4 2 0 4 2 0 9(6 ) (4 2) x x x x x x x 2 2 3 1 2 1 2 2 0 x x x x x 1 2 2 1 2 1 2 x x x 1 2 2 1 2 2 x x 2 2x Ví dụ 3. Giải BPT: 2 7 8 6x x x (3) Giải (3) 2 7 8 -6x x x 2 2 2 7 8 0 6 0 7 8 ( 6) x x x x x x 2 7 8 0 6 0 5 44 x x x x 8 1 6 44 5 x x x x 44 8 5 x Ví dụ 4. Giải BPT: 3 2 4 x x (4) Giải (4) 3 4 4 x x 3 4 0 4 x x 5 13 0 4 x x 13 4 5 x Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 3 Ví dụ 5. Giải BPT: 2 1 3 3 2 x x (5) Giải (5) 2 1 0 3 2 2 1 9 3 2 x x x x 2 1 0 3 2 25 17 0 3 2 x x x x 17 25 2 3 x x hoặc 2 3 1 2 x x 1 2 17 25 x x BÀI TẬP Bài 1: Giải các BPT sau: 1) 2 1 5x 2) 2 10 3 5x x 3) ( 2)( 5) 8x x x 4) 1 3x x 5) 9 20x x 6) ( 4)(2 1) 2( 4)x x x 7) 2 12x x x 8) 2 3 4x x 9) 2 12 1x x x 10) 2 4 4 2x x x 11) 2 2 3 5 1x x x 12) 2 12 8x x x 13) 2 4x x 14) 2 2 6 1 1x x x 15) 2 1 2 1x x 16) 2 1 1 4 3 2 4x x Bài 2: Giải các BPT sau: 1) 3 2 1x 2) 2 4 3x x x 3) 2 2 6 1 2 0x x x 4) 2 3 2 3 0x x x 5) 2 2 3 10x x x 6) 2 5 6 8 2x x x 7) ( 5)(3 4) 4( 1)x x x 8) ( 3)( 1) 3( 1)x x x 9) 2 3 22 22 7x x x 10) 2 5 6 3x x x 11) 2 2 1x x x 12) 2 2 7 5 1x x x 13) 1 4 2 1x x 14) 2 2 5 4 3x x x 15) 4 2 1 1x x x Bài 3: Giải BPT sau: 2 1 1 0x x . 2. Phương pháp nâng lên lũy thừa Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 4 Biến đổi bất phương trình có chứa căn bậc chẵn sao cho hai vế không âm sau đó nâng lên lũy thừa để khử dấu căn. * 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x f x g x g x f x g x ; 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x f x g x g x f x g x * 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x g x f x g x ; 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x g x f x g x * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x ; 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x ; 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] k k f x g x f x g x Ví dụ 1. Giải BPT: 3 2 2 3 3 1 2 1x x (1) Giải: (1) 2 2 3 1 2 1x x 2 2x 2 2x Ví dụ 2. Giải BPT: 3 4 2x x (2) Giải: (2) 3 2 4x x 4 3 4 4 4 4 x x x x 4 4 4 3 x x 4 16( 4) 9 x x 73 4 16 x Ví dụ 3. Giải BPT: 1 1 2x x (3) Giải: (3) 2 1 1 1 2 1 4 x x x x 2 1 1 2 x x x 2 2 1 2 0 1 4 4 x x x x x 1 2 5 4 x x 5 1 4 x Ví dụ 4. Giải BPT: 3 1 2 1x x x (4) Giải: (4) 3 1 2 1x x x 2 1 3 1 2 1 2 2 3 1 x x x x x x 2 1 2 2 3 1 5 2 x x x x Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 5 2 2 1 5 2 0 4(2 3 1) 25 20 4 x x x x x x 2 5 1 2 4 8 21 0 x x x 5 1 2 7 3 2 2 x x 3 1 2 x Ví dụ 5. Giải BPT: 1 2 1x x (5) Giải: (5) 1 1 2x x 2 1 1 2 2 2 x x x x 2 2 1 x x 2 2 1 x x 3x Ví dụ 6. Giải BPT: 2 1x x x (6) Giải (6) 2 1x x x 2 0 2 1 2 x x x x x x 2 0 2 1 x x x x 0 1 0 x x hoặc 2 2 0 1 0 4( ) 1 2 x x x x x x 2 1 0 1 3 6 1 0 x x x x 1x hoặc 0 1 3 2 3 3 3 2 3 3 x x x 1 2 3 3 1 3 x x 2 3 3 3 x Ví dụ 7. Giải BPT: 9 1 4x x x x (7) Giải: (7) 2 2 0 2 9 2 9 2 5 2 5 4 x x x x x x x 2 2 0 9 2 5 4 x x x x x 2 2 2 0 9 4 4 9 5 4 x x x x x x x Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 6 2 0 9 x x x x 0x Ví dụ 8. Giải BPT: 2 3 5 2 1 x x x (8) Giải: ĐK: 2 1 1 0 1 x x x . * 1x : BPT (8) vô nghiệm. * 1x : (8) 2 2 2 2 2 2 45 4 1 1 x x x x x 4 2 2 2 2 45 0 4 1 1 x x x x 2 2 5 2 1 x x 2 2 5 1 2x x 4 2 4 25 25 0x x 2 2 5 5 4 x x 5x hoặc 5 2 x Kết hợp với điều kiện 1x , ta được nghiệm của BPT (8) là: 5 5; 1 2 x x . Ví dụ 9. Giải BPT: 3 2 3 2 2 3 x x (9) Giải (9) 2 3 0 3 (2 3) 2 2 3 x x x 2 3 0 2 3 3 x x x 2 2 3 0 3 0 2 3 9 6 x x x x x 2 3 3 2 8 12 0 x x x 3 3 2 6 2 x x x 3 2 2 x BÀI TẬP Bài 1: Giải các BPT sau: 1) 4 4 1 2x x 2) 2 2 4 1 2x x 3) 9 2 4 5x x 4) 2 2 3 2 1 1x x x x 5) 1 3 1 2 x x 6) 2 2 25 7 3x x x 7) 1 3 4x x 8) 4 2 7 2 7 28x x Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 7 9) 2 1 4 3x x 10) 2 2 3 5 7 3 5 2 1x x x x 11) 2 2 1 1 3x x 12) 1 3 2 3 9 2 2 2 x x Bài 2: Giải các BPT sau: 1) 3 1 2x x x 2) 2 3 2 4 0x x x 3) 3 1 2 6x x x 4) 3 4 3 4 9x x x 5) 3 2 8 7x x x 6) 7 13 3 9 5 27x x x 7) 3 1 4 4 5 0x x x 8) 6 1 2 5x x x 9) 2 1 1 2 3x x x 10) 2 3 2 0x x x 11) 2( 24) 1 7x x x 12) (A-05) 5 1 1 2 4x x x 13) 2 2 2 1 1 2 6 2x x x x x x 14) 2 2 2 8 15 2 15 4 18 18x x x x x x Bài 3: Giải các BPT sau: 1) 4 2 2 2 x x 2) 3 2 2 2 x x x 3) 2 16 5 3 3 3 x x x x 4) 2 2 16 7 3 3 3 x x x x x 5) 2 2 2 1 1 2 4 2 4 x x x 6) 2 2 7 4 2 1 4 2 x x x 7) 2 3 4 2 2 x x x Bài 4: Giải các BPT sau: 1) 2 17 15 2 0 3 x x x 2) 2 1 3 2( 3) 2 2x x x x Bài 5: 1) Chứng minh [ 1; 1]x , ta có: 2 2 1 1 1 1 2x x x x . 2) Chứng minh: 2 1 1 2 , 1;1 2 x x x x . Bài 6: Giải các PT sau: Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 8 1) 2 2 12 6 2 1 2x x x x . Hint: BPT 2 2 12 6 2 1 2x x x x (BPT đẳng cấp) 2) (A-10) 2 1 1 2 1 x x x x . Hint: 2 1 2 1 0x x ; BPT 2 2 1 1x x x x 2 2 1 0 3 5 2 2 1 1 x x x x x x x 3) 2 1 ( 3) 2( 3) 2 2x x x x Hint: BPT 2 2 1 1 3 2 3 1 3 2 1 x x x x x x x 1 2 3 1 1 x x x x 1x hoặc 1 2 3 1 x x x 4) 2 2 1 1 2 x x x x x . Hint: ĐK 1x . BPT 6 3 1 2x x . + 3 2x : + 3 1 2x : 3. Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1. Giải BPT: 2 2 11 31x x (1) Giải: (1) 2 2 ( 11) 11 42 0x x (*) Đặt 2 11 (t 0)t x , PT 2 0 (*) 42 0 t t t 0 7 6 t t 0 6t 2 0 11 6x 5 5x Ví dụ 2. Giải BPT: 2 2 2 5 6 10 15x x x x (2) Giải: (2) 2 2 2( 5 6) 5 6 3 0x x x x (*) Đặt 2 5 6 ( 0)t x x t , 2 0 (*) 2 3 0 t t t 0 1 3 2 t t t 1t 2 5 6 1x x 2 5 7 0x x Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:\NAT\SugarSync_NAT\Tai lieu on thi DH\PT-HPT-BPT\BPT_2013.doc 9 5 53 2 x hoặc 5 53 2 x Ví dụ 3. Giải BPT: 2 2 3 3 8 4 6 8 3x x x x (3) Giải: (3) 2 2 (3 8 4) 3 3 8 4 10 0x x x x (*) Đặt 2 3 8 4 ( 0)t x x t , 2 0 (*) 3 10 0 t t t 0 5 2 t t 0 2t 2 0 3 8 4 2x x 2 2 3 8 4 0 3 8 4 4 x x x x 2 2 3 8 4 0 3 8 0 x x x x 2 2 3 8 0 3 x x x 8 2 3 2 0 3 x x Ví dụ 4. Giải BPT: 5 1 5 2 4 2 2 x x x x (4) Giải: (4) 1 1 2( 1) 5( ) 2 0 4 2 x x x x (*) Đặt 1 ( 2) 2 t x t x , 2 (*) 2 5 2 0t t loaïi) 2 1 ( 2 t t + 1 2 2 2 t x x 2 4 1 0 2 x x x 0 2 2 2 2 2 2 x x x 3 2 2 2 x hoặc 3 2 2 0 2 x Ví dụ 5. Giải BPT: 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2x x x x x (5) Giải: (5) [2 2 2 ( 1)( 3)] ( 1 3) 6 0 (*)x x x x x Đặt 1 3 (t 0)t x x , 2 0 (*) 6 0 t t t 0 2 3 t t t 2t 1 3 2x x . Nguyễn Anh Thương BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NĂM 2013 Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:NATSugarSync_NATTai lieu on thi DHPT-HPT-BPTBPT_2013.doc 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. MỘT SỐ KIẾN. 0x x . 2. Phương pháp nâng lên lũy thừa Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:NATSugarSync_NATTai lieu on thi DHPT-HPT-BPTBPT_2013.doc 4 Biến đổi bất phương trình có chứa căn. B II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BPT VÔ TỈ 1. Biến đổi BPT đã cho về BPT vô tỉ đơn giản Ví dụ 1. Giải BPT: 2 2 2 7 3 6x x x (1) Giải Bất phương trình vô tỉ Nguyễn Anh Thương D:NATSugarSync_NATTai