I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức Công thức cộng a) cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb b) cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb c) sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa d) sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa Công thức nhân đôi a) sin2x = 2sinx.cosx b) cos2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x – 1 = 1 - 2 sin 2 x c) tan2x = x x 2 tan1 tan2 − Công thức nhân ba a) cos3x = 4cos 3 x -3cosx c) tan3x = x xx 2 2 tan31 tan)tan3( − − b) sin3x = 3sinx – 4sin 3 x Công thức biến đổi tổng thành tích a) cosx + cosy = 2cos 2 yx + .cos 2 yx − b) sinx + siny = 2sin 2 yx + cos 2 yx − c) cosx – cosy = -2sin 2 yx + sin 2 yx − d) sinx – siny = 2cos 2 yx + sin 2 yx − Công thức biến đổi tích thành tổng a) cosx.cosy = 2 1 [cos(x + y) + cos(x – y)] b) sinx.siny = 2 1 [cos(x + y) – cos(x – y)] c) sinx.cosy = 2 1 [sin(x + y) + sin(x – y)] d) cosx.siny = 2 1 [sin(x + y) – sin(x – y)] Công thức hạ bậc a) sin 2 x = 2 2cos1 x− ; sin 3 x = 4 3sinsin3 xx − b) cos 2 x = 2 2cos1 x+ ; cos 3 x = 4 3coscos3 xx − Công thức thu gon sinx +cosx a) sinx + cosy = + 4 sin2 π x = − 4 cos2 π x b) sinx – siny = − 4 sin2 π x = - + 4 cos2 π x c) cotx + tanx = x2sin 2 ; d) cotx – tanx = 2cot2x Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I 1 CHỦ ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. KIẾN THỨC Dạng 1: Phương trình sinx = m * Trường hợp 1: m được biểu diễn qua sin góc đực biệt (sinα), khi đó: sinx = sinα ⇔ )( 2 2 Zk kx kx ∈ +−= += παπ πα * Trường hợp 2: m không biểu diễn được qua sin góc đặc biệt, khi đó, nghiệm của pt: +−= += ππ π 2arcsin 2arcsin kmx kmx (k ∈ z) * Các trường hợp đặc biệt: +−=⇔−= +=⇔= =⇔= π π π π π 2 2 1sin 2 2 1sin 0sin kxx kxx kxx (k ∈ Z) Dạng 2: phương trình cosx = m (m = cosα). Khi đó: cosx = cosα +−= += ⇔ πα πα 2 2 kx kx (k ∈ Z) * Các trường hợp đặc biệt: +=⇔−= =⇔= +=⇔= ππ π π π 21cos 21cos 2 0cos kxx kxx kxx (k ∈ Z) Dạng 3: Phương trình tanx = a và cotx = b (với a = tanα ; b = cotβ), khi đó: • tanx = tanα ⇔ x = α + k π (k ∈ Z) • cotx =cotβ ⇔ x = β + k π (k ∈ Z) * Các trường hợp đặc biệt: a) +−=⇔−= +=⇔= =⇔= π π π π π kxx kxx kxx 4 1tan 4 1tan 0tan (k ∈ Z) b) +−=⇔−= +=⇔= +=⇔= π π π π π π kxx kxx kxx 4 1cot 4 1cot 2 0cot (k ∈ Z) B. BÀI TẬP Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I 2 1. Giải các phương trình lượng gác sau: a) −= +− 2 2sin 2 5 cos5sin ππ xxx b) 2cos 3 x + cos2x + sinx = 0 b) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos2x + cos3x. d)(2sinx +1)(3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos 2 x = 3. 2. Giải các phương trình lượng gác sau: a) xxx 10cos 2 1 8cos2sin 22 =− c) 02sinsin3sin =+− xxx b) ( )( ) xxx 2 cos4312sin21sin2 −=−+ d) 03cos.2cos)24(coscos =++ xxxx 3. Giải các phương trình lượng giác sau: a) )cos(sin2cossin 5533 xxxx +=+ c) xxxxx 2cos 4 5 )cos(sin2cossin 101088 ++=+ c) −+=− 4 sin2414cos4sin π xxx d) −= + 24 sin2 42 3 sin xx ππ 4. Giải các phương trình lượng gác sau: a) +=−+ 2 tan.tan1sincoscottan 2 x xxxxx b) )sin1(2 cossin )1(coscos 2 x xx xx += + − c) 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 5. Giải các phương trình lượng gác sau: a) x xxx 2sin 1 2sin22cottan2 +=+ b) ( ) x xx x 4 2 4 cos 3sin2sin2 1tan − =+ b) tan2x + cotx = 8cos 2 x d) 1cot )sin(cos2 2cottan 1 − − = + x xx xx CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (bậc cao) ĐỐI VỚI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I 3 A. Kiến thức Dạng 1: Phương trình bậc hai VD: asin 2 x + bsinx + c = 0 (a ≠ 0). Ta giải như sau: * Đặt t = sinx , 1≤t . Khi đó phương trình có dạng : at 2 + bt + c = 0. (1) * Giải (1) nghiệm t (so sánh đk) nghiệm x của phương trình. Hoặc: Không cần đặt sinx = t, giải PT bậc hai với sinx bình thường và thêm điều kiện (-1 ≤ sinx ≤ 1) * Phương trình đối với cosx, tanx, cotx Cũng giải tương tự như dạng 1 (với tanx và cotx phải có đkxđ). Dạng 2: Phương trình bậc 3: at 3 + bt 2 + c = 0 (a ≠ 0) (1) * TH1: Phương trình có nghiệm t 0, khi đó: (1) ( ) =++ = ⇔=++−⇔ 0 0)( 2 0 3 0 CBtat tt CBtattt nghiệm x của pt. * TH2: Sử dụng phương pháp biến thiên của hàm số để nghiệm. * TH3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị. Dạng 3: Phương tình bậc 4: at 4 + bt 3 + ct 2 + d = 0 (a ≠ 0) * TH1: Giải phương trình tìm nghiệm t nghiệm x của phương trình * TH2: Sử dụng phương pháp biến thiên của hàm số để nghiệm. * TH3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị. B. BÀI TẬP 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin 4 x + cos 4 x – cos2x + 4 1 sin 2 2x – 2 = 0. b) 4cos 3 x + 23 sin2x = 8cosx c) (sin2x + 3 cos2x) – 5 = cos − 6 2 π x . 2. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 3cos4x – 8cos 6 x + 2cos 2 x + 3 = 0 b) tan2x + sin2x = 2 3 cotx c) sinx.cos2x + cos 2 x(tan 2 x – 1) + 2sin 3 x = 0. 3. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 0 2sin1 1cos2)23sin1(cos 2 = + −−+ x xxx b) 0)cot.2cot1( sin 2 cos 1 48 24 =+−− xx xx 4. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) b) sin3x + sinx – 2cos 2 x = 0 c) 2cos2x – 8cosx + 7 = xcos 1 d) cos2x + cosx(2tan 2 x – 1) = 2 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx A. Kiến thức Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I 4 Phương trình dạng asinx + bcosx = 0, ta giải như sau: * Tính giá trị của biểu thức 22 ba + + Nếu 22 ba + ≤ c 2 phương trình vô nghiệm + Nếu 22 ba + 2 c≥ , khi đó nghiệm của phương trình được tính: * Chia cả hai vế của phương trình cho 22 ba + , ta được: 222222 cossin ba c x ba b x ba a + = + + + Vì 1)()( 2 22 2 22 = + + + ba b ba a , nên tồn tại góc β sao cho: sinx.cosβ + sinβ.cosx = 22 ba c + với ( β cos 22 = + ba a ; β sin 22 = + ba b ) =+⇔ )sin( β x 22 ba c + (đây là phương trình cơ bản của sin) B. BÀI TẬP 1. Giải phương trình lượng giác sau: a) cos 2 x - 3 sin2x = sin 3 x + 1 b) 3sinx - 3 cos3x = 4sin 3 x – 1 c) 2cosx(sinx – 1) = 3 cos2x d) 2sin3x – sin2x + 3 cos2x = 0 2. Giải phương trình lượng giác sau: a) 4sin 3 x – 1 = 3sinx - 3 cos3x b) 4(cos 4 x – sin 4 x) + 3 cos4x = 2 c) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 c) cos 3 x + cos2x + sinx = 0 3. Giải phương trình lượng giác sau: a) sinx + sin2x = 3 (cosx + cos2x) b) 3 sin4x – cos4x = sinx - 3 cosx c) sinx = 3 1 (3 - 3 cosx) d) (1 - 3 )sinx + (1 + 3 )cosx = 2 4. Giải phương trình lượng giác sau: a) sin2x + ( 3 - 2)cos2x = 1 b) 3cosx – sin2x = 3 (cos2x + sinx) c) 3 1sincos2 cossin2cos 2 = −+ − xx xxx d) 4sin 2 2 x – 3 cos2x = 1 + 2cos 2 − 4 3 π x Lê Trọng Thức – Trường THPT Triệu Sơn I 5 . I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức Công thức cộng a) cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb b) cos(a – b) = cosa.cosb +. – b) = sina.cosb – sinb.cosa Công thức nhân đôi a) sin2x = 2sinx.cosx b) cos2x = cos 2 x – sin 2 x = 2 cos 2 x – 1 = 1 - 2 sin 2 x c) tan2x = x x 2 tan1 tan2 − Công thức nhân ba a) cos3x = 4cos 3 x. 2 1 [sin(x + y) – sin(x – y)] Công thức hạ bậc a) sin 2 x = 2 2cos1 x− ; sin 3 x = 4 3sinsin3 xx − b) cos 2 x = 2 2cos1 x+ ; cos 3 x = 4 3coscos3 xx − Công thức thu gon sinx +cosx a) sinx