TRƯỜNG THCS YÊN MỸ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT YÊN MÔ - NINH BÌNH Năm học: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm) 1) Tìm số x không âm biết 2.x = 2) Rút gọn biểu thức P= 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 + − + − ÷ ÷ + − 3) Giải hệ phương trình 3 5 5 2 6 x y x y + = + = Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình 2 ( 2) 8 0x m x+ − − = , với m là tham số. 1) Giải phương trình khi m = 4. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 sao cho biểu thức Q = 2 2 1 2 ( 1)( 4)x x− − có giá trị lớn nhất Bài 3: (1,5 điểm). Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của nó bằng 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì ta được số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị. Bài 4: (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN. 1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh OI.OH = R 2 . 3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: ( 1,0 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 9a b c S b c a c a b a b c = + + + − + − + − . BÀI GIẢI Bài 1: 1) Với x không âm ta có 2 4x x= ⇔ = 2) P= 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 + − + − ÷ ÷ + − = 3 2 2 3 2 2 1 1 + − ÷ ÷ = 9 8 − = 1 3) 3 5 (1) 5 2 6 (2) x y x y + = + = 3 5 (1) 4 (3)( (2) 2 (1)) x y x pt pt + = ⇔ − = − − 4 7 x y = ⇔ = − Bài 2: 1) Khi m = 4 pt trở thành : 2 2 8 0 1 3 2 1 3 4x x x hay x+ − = ⇔ = − + = = − − = − ( do ' 9 ∆ = ) 2) ( ) 2 2 8 0m∆ = − + > với mọi m. Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Do 1 2 8x x = − nên 2 1 8 x x − = 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 64 16 ( 1)( 4) ( 1)( 4) 68 4( ) 68 4.8Q x x x x x x = − − = − − = − + ≤ − = 36 (Do 2 1 2 1 16 x x + ≥ 8) . Ta có Q = 36 khi và chỉ khi 1 2x = ± Khi 1 2x = thì m = 4, khi x 1 = -2 thì m = 0. Do đó ta có giá trị lớn nhất của Q = 36 khi và chỉ khi m = 0 hay m = 4 . Bài 3 Gọi số tự nhiên cần tìm là ab (với a, b ∈ N và 0 <a<10, 0 ≤ b<10) Vì tổng 2 chữ số la 11 nên a + b =11 (1) Khi đổi chỗ 2 chữ số ta được số mới là ba . Vì số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị nên ta có: ba - ab = 27 <=>10b + a – (10a + b) = 27 <=> 9b – 9a = 27 <=> a – b = -3 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 11 3 a b a b + = − = − <=> 2 8 4 11 7 a a a b b = = <=> + = = (thoả mãn điều kiện). Vậy số tự nhiên cần tìm là 47. Bài 4 3) + AMB∆ ∽ ACM∆ (g-g) ⇒ 2 AM AB AM AB.AC AC AM = ⇒ = + AME∆ ∽ AIM∆ (g-g) ⇒ 2 AM AE AM AI.AE AI AM = ⇒ = ⇒ AB.AC = AI.AE (*) Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố định nên từ (*) suy ra E cố định. Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm E cố định Bài 5 Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 nên a b c 2 + + = . Đặt b c a x; c a b y; a b c z + − = + − = + − = do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên x,y,z 0> . H E I B N O A M C Suy ra x y z 2+ + = (do a b c 2 + + = ) và y z x z x y a ; b ; c 2 2 2 + + + = = = . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 4 x z 9 x y 4 x z 9 x y y z 1 y z S 2x 2y 2z 2 x y z + + + + + + = + + = + + 1 y 4x z 9x 4z 9y 2 x y x z y z = + + + + + ÷ ÷ ÷ Ta có: 2 y 4x y x 2 2 2 x y x y + = − + ≥ ÷ 2 z 9x z x 3 6 6 x z x z + = − + ≥ ÷ 2 4z 9y z y 2 3 12 12 y z y z + = − + ≥ ÷ ( ) 1 S 4 6 12 11 2 ⇒ ≥ + + = Dấu “=” xảy ra khi 1 x y 2x 3 z 3x 2 y 2z 3y 3 z 1 x y z 2 = = = ⇔ = = = + + = 5 2 1 a ; b ; c 6 3 2 ⇔ = = = Khi đó: 2 2 2 a b c= + ABC ⇔ ∆ vuông Vậy min S 11 = ⇔ ABC ∆ vuông 5 2 1 a ; b ; c 6 3 2 = = = . . TRƯỜNG THCS YÊN MỸ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT YÊN MÔ - NINH BÌNH Năm học: 2013 – 2014 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2,0 điểm) 1). số mới lớn hơn số ban đầu 27 đơn vị nên ta có: ba - ab = 27 <=>10b + a – (10a + b) = 27 <=> 9b – 9a = 27 <=> a – b = -3 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 11 3 a. khi x 1 = -2 thì m = 0. Do đó ta có giá trị lớn nhất của Q = 36 khi và chỉ khi m = 0 hay m = 4 . Bài 3 Gọi số tự nhiên cần tìm là ab (với a, b ∈ N và 0 <a< ;10, 0 ≤ b< ;10) Vì tổng