chuyen de so phuc " nguyễn đức kiên hưng hà thái bình"

ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 1 I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i 2 = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi . i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. z = z’  ' ' a a b b      3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: ' ( ') ( ') ' ( ') ( ') z z a a b b i z z a a b b i              5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: ' ' ' ( ' ' ) zz aa bb ab a b i     6. Số phức liên hợp. Cho số phức z = a + bi. Số phức z = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z = a bi  = a - bi Chú ý: 1 0 ) z = z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 2 0 ) z. z = a 2 + b 2 *) Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z  (2): ' ' z z z z    (3): . ' . ' z z z z  (4): z. z = 2 2 a b  (z = a + bi ) 7. Môđun của số phức. ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 2 Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau: - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì z = OM  = 2 2 a b  - Nếu z = a + bi, thì z = . z z = 2 2 a b  8. Phép chia số phức khác 0. Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a 2 +b 2 > 0 ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z -1 của số phức z ≠ 0 là số z -1 = 2 2 2 1 1 z z a b z   Thương ' z z của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: 1 2 ' '. . z z z z z z z    Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 1. Cho số phức z  0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:  + 2k, k  Z. 2. Dạng lượng giác của số phức. Xét số phức z = a + bi  0 (a, b  R) Gọi r là môđun của z và  là một acgumen của z. Ta có: a = rcos , b = rsin z = r(cos  +isin  ), trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0. z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số của z. 3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(cos  +isin  ) z' = r’(cos  ’ +isin  ’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0) thì: z.z’ = r.r[cos(  +  ’) +isin(  +  ’)]   ' ' os( ' ) isin( ' ) z r c z r         khi r > 0. 4. Công thức Moivre. [z = r(cos  +isin  )] n = r n (cos n  +isin n  ) 5. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Cho số phức z = r(cos  +isin  ) (r>0) ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 3 Khi đó z có hai căn bậc hai là: os isin 2 2 r c          và - os isin 2 2 r c          = os isin 2 2 r c                          B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN. : DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1: Các phép tính về số phức. Phương pháp giải: Sử dụng các công thức cộng , trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức. Chú ý cho HS: Trong khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức… 1: Cho số phức z = 3 1 2 2 i  Tính các số phức sau: z ; z 2 ; ( z ) 3 ; 1 + z + z 2 Giải: a) Vì z = 3 1 2 2 i   z = 3 1 2 2 i  b) Ta có z 2 = 2 3 1 2 2 i          = 2 3 1 3 4 4 2 i i   = 1 3 2 2 i   ( z ) 2 = 2 2 3 1 3 1 3 1 3 2 2 4 4 2 2 2 i i i i               ( z ) 3 =( z ) 2 . z = 1 3 3 1 3 1 3 3 2 2 2 2 4 2 4 4 i i i i i                    Ta có: 1 + z + z 2 = 3 1 1 3 3 3 1 3 1 2 2 2 2 2 2 i i i         Nhận xét: Trong bài toán này, để tính   3 z ta có thể sử dụng hằng đẳng thức như trong số thực. 2: Tìm số phức liên hợp của: 1 (1 )(3 2 ) 3 z i i i      Giải: Ta có : 3 3 5 5 (3 )(3 ) 10 i i z i i i i           ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 4 Suy ra số phức liên hợp của z là: 53 9 10 10 z i   3: Tìm mô đun của số phức (1 )(2 ) 1 2 i i z i     Giải: Ta có : 5 1 1 5 5 i z i     Vậy, mô đun của z bằng: 2 1 26 1 5 5 z          4: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i  (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i  3 2 1 5 x y y x x y         Giải hệ này ta được: 1 7 4 7 x y           5: Tính: i 105 + i 23 + i 20 – i 34 Giải: Để tính toán bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đó suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau: Ta có: i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = i 3 .i = 1; i 5 = i; i 6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i 4n = 1; i 4n+1 = i; i 4n+2 = -1; i 4n+3 = -i;  n  N * Vậy i n  {-1;1;-i;i},  n  N. Nếu n nguyên âm, i n = (i -1 ) -n =   1 n n i i           . Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được: i 105 + i 23 + i 20 – i 34 = i 4.26+1 + i 4.5+3 + i 4.5 – i 4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 6: Tính số phức sau: z = (1+i) 15 ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 5 Giải: Ta có: (1 + i) 2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i) 14 = (2i) 7 = 128.i 7 = -128.i z = (1+i) 15 = (1+i) 14 (1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. 7: Tính số phức sau: z = 16 8 1 1 1 1 i i i i                  Giải: Ta có: 1 (1 )(1 ) 2 1 2 2 i i i i i i         1 1 i i i     . Vậy 16 8 1 1 1 1 i i i i                  =i 16 +(-i) 8 = 2 8 9 10 11 ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 6 12 13 14 15 ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 7 16 17 18 ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 8 19 ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 9 Dạng 2: Các bài toán chứng minh. Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức. Để giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun của số phức đã được chứng minh. 1: Cho z 1 , z 2  C. CMR: E = 1 2 1 2 . z z z z   R Để giải bài toán này ta sử dụng một tính chất quan trọng của số phức liên hợp đó là: z  R  z = z Thật vậy: Giả sử z = x + yi  z = x – yi. z = z  x + yi = x – yi  y = 0  z = x  R Giải bài toán trên: Ta có E = 1 2 1 2 1 2 1 2 . z z z z z z z z    = E  E  R 2: Chứng minh rằng: 1) E 1 =     7 7 2 5 2 5 i i    R 2) E 2 = 19 7 20 5 9 7 6 n n i i i i                   R Giải: 1) Ta có: 1 E =             7 7 7 7 7 7 1 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 i i i i i i E              E 1 R         2 19 7 (9 ) 20 5 (7 6 ) 19 7 20 5 2) 9 7 6 82 85 164 82 170 85 2 2 82 85 n n n n n n n n i i i i i i E i i i i i i                                                          2 2 E E   E 2  R 3: Cho z  C. CMR: 1 1 2 z   hoặc |z 2 + 1| ≥ 1 Giải: Ta chứng minh bằng phản chứng: Giả sử 2 1 1 2 1 1 z z          Đặt z = a+bi  z 2 = a 2 – b 2 + 2a + bi ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 10 2 1 1 2 1 1 z z           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 2( ) 4 1 0 2 ( ) 2( ) 0 (1 ) 4 1 a b a b a a b a b a b a b                          Cộng hai bất đẳng thức trên ta được: (a 2 + b 2 ) 2 + (2a+1) 2 < 0  vô lý  đpcm Dạng 3: Các bài toán về môđun của số phức và biểu diễn hình học của số phức. Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức). Khi đó ta giải bài toán này như sau: Giả sử z = x+yi (x, y  R). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Ta có: OM = 2 2 x y  = z Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M. Lưu ý: - Với số thực dương R, tập hợp các số phức với z = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn tâm O, bán kính R. - Các số phức z, z < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R) - Các số phức z, z >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R) 1 : Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: 1. 1 z i   =2 2. 2 1 z i    3. 2 2 z z    4. 4 4 10 z i z i     5. 1≤ 1 2 z i    Giải: 1) Xét hệ thức: 1 z i   =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y  R)  z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i. Khi đó (1)  2 2 ( 1) ( 1) 2 x y      (x-1) 2 + (y + 1) 2 = 4. Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2. 2) Xét hệ thức 2 z z i    (2) (2)  ( 2) z z i     (*) Gọi A là điểm biểu diễn số -2, còn B là điểm biểu diễn số phức i (A(-2;0); B(0;1)) -2 -1 1 2 -2 -1 1 2 x y A B O . PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 6 12 13 14 15 ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 7 16 17 18 ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN . -4), bán kính R=2. Bài tâp ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 17 . ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 18 Dạng 4: phương trình bậc nhất Dạng 4: Tìm căn. sử z 3 = x+yi Để các điểm biểu diễn của z 1 , z 2 , z 3 tạo thành một tam giác đều thì ÔN THI ĐH- CĐ SỐ PHỨC GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 14 1 2 1 3 1 2 2 3 z z z z z z z z            