Bài tập xử lý số liệu thực nghiệm

Phương pháp bình phương tối thiểu tuyến tính;Bài tập: Cho nguồn chuẩn gamma Eu 152 với các thông tin sau T12 =13,522 năm, hoạt độ ban đầu A0 (Bq) = 407600.Bài tập: Cho các số liệu thực nghiệm, sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dùng các đa thức trực giao khớp một đa thức thích hợp đáp ứng các dữ liệu trên...Phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến.Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm...

KHOA SAU ĐẠI HỌC

I BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TUYẾN TÍNH 1

a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 dữ liệu trên: 2 b) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số xác định đường chuẩn hiệu suất ở bậc 2 và 3 tương ứng Bậc nào thích hợp với các số liệu thực nghiệm 3 c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên 8 d) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dùng đa thức trực giao có trọng số xác định đường cong hiệu suất với x = lnE, y = lnε với bậc 2 và bậc

3 9 e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên 13

Bài tập 2: Cho các số liệu thực nghiệm, sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dùng các đa thức trực giao khớp một đa thức thích hợp đáp ứng các

dữ liệu trên 15

II BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU PHI TUYẾN 24Bài tập 1: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm 26Bài tập 2: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm 29Bài tập 3: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm 32

I BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TUYẾN TÍNH

Bài tập 1: Cho nguồn chuẩn gamma Eu -152 với các thông tin sau T1/2 =13,522 năm,

Ngày sản xuất: 01/01/1982 12:00:00

Ngày giờ đo: 03/07/2012 16:31:24

Thời gian đo (s) 57737,036

Số liệu phân tích cho:

STT Năng lượng E

(KeV)

Hiệu suất phát

SS hiệu suất phát

a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 điểm dữ liệu trên

b) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số xác định đường chuẩn hiệu suất

ở bậc 2 và 3 tương ứng Bậc nào thích hợp với các số liệu thực nghiệm

c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên

d) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dung đa thức trực giao có trọng số xác định đường cong hiệu suất với x = lnE, y = lnε với bậc 2 và bậc 3

e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên và so sánh với kết quả câu c

Bài giải:

Thời gian từ lúc sản xuất nguồn đến lúc thực hiện đo là t = 962512284 giây tương

Do đó, hoạt độ của nguồn ở thời điểm đo là:

) ( 24433 ,

85264

962512284 )

2 (ln )

2 (ln

0 0

2 1

Bq e

e A e

A

A

T t t

a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 dữ liệu trên:

Hiệu suất được xác định theo công thức:



 AI t

N

d



tia bức xạ gamma ở năng lượng tương ứng, A hoạt độ nguồn γ

Sai số hiệu suất:

2 2

N

Khi đó ta có bảng kết quả hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính ứng với từng năng lượng như sau:

Bảng 1: Kết quả tính toán hiệu suất tính và sai số liệu suất tính





Trọng số

2 2

Xác định đường chuẩn hiệu suất bậc 2:

Đa thức bậc hai có dạng: y = b0 + b1lnE + b2 (lnE)2 = b0 +b1x +b2x2

2 2 2 1 1 2 0 0

1 1

2 2 1 1 1 1 0 0

0 0

2 2 0 1 1 0 0 0

,,

,,

,,

,,

,,

,,

g Y g

g b g g b g g b

g Y g

g b g g b g g b

g Y g

g b g g b g g b

Sử dụng kết quả trong bảng 1 ta tính được:

g

1

0 0 0

g

1

0 1 0

g

1

0 2 0

g

1

1 0 1

g

1

1 1 1

g

1

1 2 1

g

1

2 0 2

g

1

2 1 2

g

1

2 2 2

Y

1

0 0

Y

1

1 1

Y

1

2 2

469633b 474313129,

515179b 72712453,6

483269b 11301441,1

226573 14462404,1

515179b 72712453,6

483269b 11301441,1

299963b 1784432,90

73758 2310563,80 483269b

11301441,1 299963b

1784432,90 354193b

286788,734

2 1

0

2 1

0

2 1

0

Tổng bình phương các sai số SSE:

887

,

267

) ( ) ( )

( ) ( )

( )

(

1 2 2

1 1 0

i i n

i

n i

n i

i i i

i T

T T

y g b y g b y b

y Y

g b Y

Y

Bình phương trung bình sai số MSEω:

35337389,

243

14

8871128,

Xác định đường chuẩn hiệu suất bậc 3:

Đa thức bậc ba có dạng: y = b0 + b1lnE + b2 (lnE)2 + b3 (lnE)3 = b0 +b1x +b2x2 + b3x3

Đặt g0 = 1; g1 = lnE = x ; g2 = (lnE)2 = x2, g3 = (lnE)3 = x3

Hệ phương trình chuẩn của phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số là:

3 3 3 2 2 3 1 1 3 0 0

2 2

3 3 2 2 2 2 1 1 2 0 0

1 1

3 3 1 2 2 1 1 1 1 0 0

0 0

3 3 0 2 2 0 1 1 0 0 0

,,

,,

,

,,

,,

,

,,

,,

,

,,

,,

,

g Y g

g b g g b g g b g g b

g Y g

g b g g b g g b g g b

g Y g

g b g g b g g b g g b

g Y g

g b g g b g g b g g b

g

1

0 0 0

1

0 1 0

g

1

0 2 0

    72712453,6 515179 ,

1

0 3 0

g

1

1 0 1

g

1

1 1 1

g

1

1 2 1

    474313129, 469633 ,

1

1 3 1

g

1

2 0 2

g

1

2 1 2

g

1

2 2 2

    3131019044 ,85911 ,

1

2 3 2



    72712453,6 515179 ,

1

3 0 3



    474313129, 469633 ,

1

3 1 3



    3131019044 ,85911 ,

1

3 2 3



    2087979747 1,4568 ,

1

3 3 3

Y

1

0 0

Y

1

1 1

Y

1

2 2

    -595531546 ,855329 ,

1,4568b 2087979747 ,85911b

3131019044 469633b

474313129, 515179b

72712453,6

581659 92100781,7 ,85911b

3131019044 469633b

474313129, 515179b

72712453,6 483269b

11301441,1

226573 14462404,1 469633b

474313129, 515179b

72712453,6 483269b

11301441,1 299963b

1784432,90

73758 2310563,80 515179b

72712453,6 483269b

11301441,1 299963b

1784432,90 354193b

286788,734

3 2

1 0

3 2

1 0

3 2

1 0

3 2

1 0

Tổng bình phương các sai số SSE:

8941696

,

73

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

(

1 3 3 1

2 2

1 1 0

i i i

n i i n

i

n i

n i

i i i

i T

T T

y g b y g b y g b y b

y Y

g b Y

Y

Bình phương trung bình sai số MSE  :

7176518,

6314

8941696,

Kết luận: Đường cong bậc 3 thích hợp với các số liệu thực nghiệm hơn đường cong bậc

2

c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên

Từ câu b đường cong bậc hai ta có:

515179 72712453,6

483269 11301441,1

515179 72712453,6

483269 11301441,1

299963 1784432,90

483269 11301441,1

299963 1784432,90

354193 286788,734

100487,10001264,

00003736,

0

0001264,

000153006,

00045366,

0

0003736,

00045366,

00135081,

0)

-7.6

-7.4

Bậc 3

Hiệu suất tính Poly (Hiệu suất tính)

Hình 1: Đồ thị đường chuẩn hiệu suất và đường khớp bởi phương trình bậc 3

00003736,

0

0001264,

000153006,

00045366,

0

0003736,

00045366,

00135081,

0)

1162,0

100487

2

1

0

5 2

2

2

b b b

3131019044 469633

474313129, 515179

72712453,6

,85911 3131019044 469633

474313129, 515179

72712453,6 483269

11301441,1

469633 474313129,

515179 72712453,6

483269 11301441,1

299963 1784432,90

515179 72712453,6

483269 11301441,1

299963 1784432,90

354193 286788,734

106497435,

30006546,

00038688,

00075310,

0

0006546,

00117502

,00695133,

01354410,

0

0038688,

00695133,

04116349,

08028407,

0

0075301,

01354410

,08028407,

05674750,

1)

106497435,

30006546,

00038688,

00075310,

0

0006546,

00117502

,00695133,

01354410,

0

0038688,

00695133,

04116349,

08028407,

0

0075301,

01354410

,08028407,

05674750,

1)

642 , 0

252 , 1

10 6497435

2

2

2

b b b b

x x

B

0

)(



 ( ) ( ),

2

1 0 0

0

n i

i x x

g g

286788,734

2999631784432,90

)(

2

1 1 1

1



i n

i

i x x

g g

g

65,83667123564604

198491,820

9763511158531,49

()(

1 1

) 2 1

i 

1 0,69211861 734354193

, 286788

820564604 ,

0)222116455,

6)(

2

1 2 2

2



i n

i

i x x

g g

j

n i

i i j i j

x x

g

x x g y b

1

2 1

)()(

)()(





Nên

31 -8,0566756 354193

286788,734

73758 2310563,80 -

) ( ) (

) ( ) (

0 1

2 0

1 0

x g

x x g y

i

i i

n i

i i

198491,820

3823985807,0375-

)222116455,

6()

()(

)()(

1 1

2 1

x

g

x x g

y

b n

i

i i

n

i

i i

95352.0126

66370414007,4128

-]692118611,

0)222116455,

6)(

836671236,

5[(

)()(

)()(

2 1

2 2

y x

x

g

x x g

y

b n

i

i i

n

i

i i

103391664,

1146902121

,

0

)692118611,

0)222116455,

6)(

836671236,

5(1(

0,14690212

)222116455,

6(0,43229508-

18,05667563

y

x x

-7.6

-7.4

Bậc 2

Hiệu suất tính Poly (Hiệu suất tính)

Hình 2: Đồ thị đường hiệu suất tính và đường khớp bởi phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2:

6002,103392,11469

Áp dụng công thức gj+1(x) = (x-Bj)gj(x)-Cjgj-1(x), ta có:

g3 = (x-B2)g2(x)-C2g1(x)

55,8760960406033

95352,0126

147278560297,584

()(

2 1

) 2 2

i 

9 0,48038257 564604

198491,820

06033 95352,0126

6(480382579,

0]692118611,

0)222116455,

6)(

836671236,

5)[(

2

1 3 3

3



i n

i

i x x g g

g

0,0841414327399,1852

2305,40665)

()

(

)()(

3 3

1

2 3

x

g

x x

n

i

i i

2725837195,

10655968903,

1084141431

,

0

)222116455,

6(480382579

,

0

]692118611,

0)222116455,

6)(

836671236,

5)[(

876096045,

5(1

0,08414143

)692118611,

0)222116455,

6)(

836671236,

5(1(

0,14690212

)222116455,

6(0.43229508-

18,05667563

-y

2 3

x y

x

x x

x

x x

x

Phương trình bậc 3:

962,27258,10656,1084

,

y

e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên

Từ câu d đường cong bậc hai ta có:

0

0564604

198491,8200

00

354193286788,734

S00

0S0

00S

2 1

6 1

1004874556,

10

0

010

03799997,

50

00

104868873

,

3

0603395352,0126

10

0

0564604

198491,820

10

00

354193286788,734

-7.6

-7.4

Bậc 3

Hiệu suất tính Poly (Hiệu suất tính)

Hình 3: Đồ thị đường hiệu suất tính và đường khớp bởi phương trình bậc 3

6 1

2

1004874556,

10

0

010

03799097,

50

00

104868873,

3)(g g

0022,0

0019,0

1004874556

,

1

1003799097

,

5

104868873

,

3

2 1 0

2

1

0

5 2

6 2

6 2

b b b

0 0

0 06033

95352,0126 0

0

0 0

564604 198491,820 0

0 0

0 354193

286788,734

S 0 0

0

0 S 0

0

0 0 S

0

0 0 0

S

3 2 1 0

6 6

1

106497435,

30

00

010

04874556,

10

0

00

1003799097,

50

00

010

4868873,

3)

6 6

1 2

106497435,

30

00

010

04874556,

10

0

00

1003799097,

50

00

010

4868873,

3)(g g

003 , 0

002 , 0

002 , 0

10 6497435

,

3

10 04874556

,

1

10 03799097

,

5

10 4868873

,

3

3 2 1 0

5 2

6 2

6 2

b b b b

Bài tập 2: Cho các số liệu thực nghiệm, sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu

dùng các đa thức trực giao khớp một đa thức thích hợp đáp ứng các dữ liệu trên

0



n x g g

g

S

n i

i

g1(x) =( x – B0 )g0(x) = x – B0

3333333,

2926

1754)

(),

0 1 0

0 0

x S

x g x

xg

B

n i i n

i i

2 1 1

i

i x x

g g

g

S

8333333,

7656

4595

0 1 0

y S

g

y

b

n i i n

i i

774525318 ,

4 3333333 ,

421

6666670 ,

2011 )

3333333 ,

292 (

,

1 1

1

S

x y S

Tổng bình phương các sai số:

07991 , 15816 3333333

, 421

) 6666670 ,

2011 ( 6

) 4595 (

3544425

3333333 ,

292 (

, ,

2 2

2

1 1

2

0 1 1

2 2

1 1 2

0 0 1

y y

S

g y S

g y y

SSE

n i i i n

i i n

i i n

4595 3544425

2 2

07991 , 15816 1

SSE n

R a

Vậy ta có:

Vậy có 37,78 % các điểm thực nghiệm diễn biến theo đường mô hình ta khớp Do

đó đa thức bậc nhất y = 2161,431 - 4,774x không đáp ứng các điểm thực nghiệm

y = -4.7745x + 2161.6 R² = 0.3778

600 650 700 750 800 850 900

Bậc 1

Thực nghiệm Linear (Thực nghiệm)

Hình 4: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 1

421

2222 , 122948 )

3333333 ,

292 (

S

x x S

g xg

B

2222222 ,

70 6

3333333 ,

70)3333333,

292)(

8074895,

291(

83387 , 85234 1408228

, 584 (

,

1

2 2

i

x g

g

S

7538923,

097785,25080

35608,18908,

1561 97785

, 25080

35608 , 18908 1

15816.0799

, ,

, ,

2

2

2 2 1

2

2 2 1

2 1 0

2 0 1

g y S

g y S

g y y

SSE

n

i

i

% 86 , 93 9385852 ,

0 83333 , 25420

215845 ,

1561 1

1561 1 6 1

SSE n

Bậc 2

Thực nghiệm Poly (Thực nghiệm)

Hình 5: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 2

Với

8870439,

29497785,25080

415,7396055833387

,852341408228

,584)

(),

(

2 1

2 2

2

2 2

x S

x g x

xg

B

n i

i i

i

33333 , 421

97785 , 25080 1

,2574300278667

,

879

)3333333,

292(

5276373,

59)83387,852341408228

,584)(

8870439,

294

(

2 3

2 3

x

x x

x x

g

5486 , 783368 )

290 , 25117246 8667

, 257430 0278667

, 879 (

1

3 3

3



x x

x g

g

S

n i i

015072086,

054860,783368

99829,11806,

, 783368

99829 , 11806 215845

,

1561

, ,

, ,

,

2

3

2 3 2

3

2 3 2

2 2 1

2 1 0

2 0 1

g y S

g y S

g y S

g y y

25975 , 1383 1

SSE n

R a

Vậy có 94,56 % các điểm thực nghiệm diễn biến theo đường mô hình

1,226436089)

(),(

3 1

2 3

3

3 3

x g x xg

B

n i

i i

97785 , 25080

5486 , 783368 2

Thực nghiệm Poly (Thực nghiệm)

Hình 6: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 3

g4 = (x-289,0543532)(x3 – 879,0278667 x2 +257430,8667 x -25117246,29) -31,2335728 (

94 , 26015415 )

7257587193 16

, 99510514 4646

, 511486 08222

, 1168 (x

n

1 i

4 4

4



x x

x g

g

S

0067466 ,

0 94 , 26015415

4644 , 175515 ,

199 94

, 26015415

4644 , 175515 25975

,

1383

, ,

, ,

, ,

2

4

2 4 3

4

2 4 3

2 3 2

2 2 1

2 1 0

2 0 1

g y S

g y S

g y S

g y S

g y y

128066 ,

199 1

199 1 6 1

SSE n

Thực nghiệm Poly (Thực nghiệm)

Hình 7: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 4

,13827 7582329716 )

( ),

(

4

4 4

S

x g x

xg

629872 783368.548

129452 26015388.5

5

S

69424165 0,00069748

131311360

84375 91587,9589 ,

84375 91587,9589 6

63,8981275

,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

,

2

5 5

2 5 4

5 5

2 5 4

4

2 4 3

3

2 3 2

2

2 2 1

1

2 1 0

0

2 0 1

g

g y g

g

g y g

g

g y g

g

g y g

g

g y g

g

g y y

9999993421 ,

0 8333 , 25420

1 0,01672209 1

Vậy với đường cong bậc 5 có 99,99 % các điểm thực nghiệm diễn biến theo đường

mô hình

Kết luận:

Vậy để lựa chọn phương trình tối ưu nhất với các số liệu đã cho, ta cần thực hiện các giả thiết:

0 0

0 0

0 1 26015388,5 0

0 0

0

0 0

6 783368,548 0

0 0

0 0

0 5

25080,9778 0

0

0 0

0 0

3 421,333333 0

0 0

0 0

0 6

0 0 0 0

0

0 0

0 0

0

0 0 0

0

0

0 0 0 0

0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

5 4 3 2 1

0

S S S S S

Thực nghiệm Poly (Thực nghiệm)

Hình 8: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 5

0 0

0 0

0 08

3,84388E 0

-0 0

0

0 0

06 - 1,27654E 0

0 0

0 0

0 05

3,98709E 0

-0

0 0

0 0

8 0,00237341 0

0 0

0 0

0 7

64791463,8981275

4 2

SSE MSE

1 0.00712045

1 , 2

- Giả thiết 2: Với phương trình bậc 3

H0: b3 = 0; Ha: b3 ≠ 0 tại mức có nghĩa α = 0,05

46

61382,89973

3 2

SSE MSE

6 0,01508591

- Giả thiết 3: Với phương trình bậc 2

H0: b2 = 0; Ha: b2 ≠ 0 tại mức có nghĩa α = 0,05

36

91561,18254

2 2

SSE MSE

0,14404360

1 0,75389318

II BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU PHI TUYẾN

Bài tập 1: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định các tham số

θ1, θ2, θ3 của phiến hàm

3

x x

e e

x r x

r x r x

Biểu diễn theo số điểm thực nghiệm (n là số điểm thực nghiệm)

Xét trong trường hợp bài toán ta có:

 T

r r

r r

r

r

r ( ) ( ) ( )

)(

)(

)(

)

(

) (

* 3 ) (

* 3

) (

* 3 ) (

* 3 2

) (

* 3 ) (

* 3 1 )

(

2 2 1

1

2 2 2 2

1 1

1 2 2 1

1 1

n

x n

x x

x x

k

e e

y

e e

y

e e

)(

)(

)(

)(

)()

(

23 2 2 23

1 1

2 2 2 2

1 1

1 2 2 1

1 1

) ( 3 )

( 3 23

) ( 3 )

( 3 2

) ( 3 )

( 3 1

23

2 1

)

(

x x

x x

x x

k

e e

y

e e

y

e e

y

r

r

r r

)()

(

)(

)()

)()

(

)(

)()

2 2 23

1 1

22 2 2 22 1 1 22

2 2 22

1 1

2 2 2 1 2

2 2

1

1 2 1 1 1

2 1

1

) ( )

( )

( 3 23 2 ) ( 3 23 1

) ( )

( )

( 3 22 2 ) ( 3 22 1

) ( )

( )

( 3 2 2 )

( 3 2 1

) ( ) ( )

( 3 1 2 )

( 3 1 1

3 23 2 23 1

23

3 22 2 22 1

22

3 2 2 2 1

2

3 1 2 1 1

1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

r

e e

e x e

x

e e

e x e

x

e e

e x e

x

e e

e x e

x

r r r

r r r

r r r

r r r

)(

)(

)(

)()

(

)()

(

)()

(

)()

(

23 2 2 23 1 1 22

2 2 22 1 1 2

2 2 1 1

2 1 1

23 2 2 22

2 2 2

2 1

2

23 1 1 22

1 1 2

1 1

1

) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) (

) ( 3 23 2 )

( 3 22 2 )

( 3 2 2 )

( 3 1

2

) ( 3 23 1 )

( 3 22 1 )

( 3 2 1 )

( 3 1

1

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

T

r

e e

e e

e e

e e

e x e

x e

x e

x

e x e

x e

x e

( 2 ) ( ) ( ( 23

1

3 2 )

( 2

23

1

3 1

) ( 2 ) ( ) ( ( 23

1

3 2 23

1

) ( 2 2 3 2 2 23

1

) ( ) ( ( 2 3 2 1

) ( 2 23

1

3 1 23

1

) ( ) ( ( 2 3 2 1 23

1

) ( 2 2 3 2 1

)(

)(

)()

()(

)(

)()

()

()(

)(

)()

()()

(

2 2 1 1 2

2 2

2 1 1 2

2 1

2 2 2

2 1 1 2

2 2

2 1 1

2 2 1

2 2 1 1 1

1

i

x x

x x

x i

i x

x x

i

i

x x

x i

i i

x i

i

x x i

i

x x x

i

i i

x x i

i i

x i

r

T

r

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i i

i i i

e e

e e

x e

e x

e e

x e

x e

x x

e e

x e

x x e

x J

23

1

) ( 3 2

23

1

) ( 3 1

)(

)(

)(

1 2 1 1

2 2

1 1

i

x x

i i

x i

i i

x i i

T

r

e e

r

e x r

e x r r

Với các ma trận trên và chọn các tham số ban đầu (0) (1;2;3)(12,0;1,0;25,0)

chúng ta có thể áp dụng hai thuật toán Gauss – Newton hay Levenberg – Marquardt để giải tìm các tham số tối ưu của bài toán