Đề và HDG HSG Quảng Nam 2012-2013 Toán

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS Năm học 2012-2013 Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 03/4/2013 Câu 1 (3,0 điểm) a. Rút gọn biểu thức A = ( 53 + + 537 − )( 6621+ + 6621− ) b.Tính giá trị biểu thức B = x 5 – 10x 3 - 15x 2 + 2x + 1, biết rằng x = 2 - 3 Câu 2 (4,0 điểm). a. Giải phương trình (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x+6) = 12x 2 b. Giải hệ phương trình:      =−+ =+− 32))(( 20))(( 22 22 yxyx yxyx Câu 3 (4,0 điểm). a. Chứng minh rằng phương trình x 2 – 2 y = 2013 không có nghiệm nguyên. b. Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5. Chứng minh rằng tổng s 5 + t 5 + x 5 + y 5 + z 5 chia hết cho 5 Câu 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AB = 3AM, AC = 3AN. Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48cm 2 . a. Tính diện tích tam giác AMN. b. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính diện tích tam giác BMO 2. Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn noại tiếp là O. Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a. Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH b. Điểm A là tâm đường tròn bang tiếp tam giác DOE. Câu 5 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: cabcab a c c b b a ++≥++ 333 Đẳng thức xảy ra khi nào? ==== Hết ==== Lưu ý: Học sinh không được đem máy tính bỏ túi vao phòng thi. ĐỀ CHÍNH THỨC HƯƠNG DẪN GIẢI Câu 1 (3,0 điểm) a. Rút gọn biểu thức A = ( 53 + + 537 − )( 6621+ + 6621− ) Tính A 2 = ( 53 + + 537 − ) 2 ( 6621+ + 6621− ) 2 = (3 + 5 + 7 - 3 5 + 2 53 + 537 − )(42 + 2 216441− ) = (10 - 2 5 + 526 + 5614 − )(42 + 2.15) = 12(10 - 2 5 + ( 5 + 1)(3 - 5 )) = 72(10 - 2 5 + 3 5 - 5 + 3 - 5 ) = 72.8 = 576 Do A > 0 Vậy A = 24 b.Tính giá trị biểu thức B = x 5 – 10x 3 - 15x 2 + 2x + 1, biết rằng x = 2 - 3 x 2 = (2 - 3 ) 2 = 7 - 4 3 x 3 = x 2 .x = (7 - 4 3 )(2 - 3 ) = 26 - 15 3 x 5 = x 3 .x 2 = (7 - 4 3 )(26 - 15 3 ) = 362 - 209 3 B = 362 - 209 3 - 10(26 -15 3 ) - 15(7 - 4 3 ) + 2(2 - 3 ) + 1 = 2 - 3 Câu 2 (4,0 điểm). a. Giải phương trình (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x + 6) = 12x 2 Ta có: (x – 2)(x – 1)(x + 3)(x + 6) = 12x 2 ⇔ (x 2 + x – 6)(x 2 + 5x – 6) = 12x 2 (*) Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế của phương trình (*) cho x 2 ≠ 0 ta được: (x - x 6 + 1)( x - x 6 + 5) = 12 Đặt t = x - x 6 ta có phương trình: (t + 1)(t + 5) = 12 khai triển và rút gọn ta được pt: t 2 + 6t - 7 = 0 ⇔    −= = 7 1 t t Với t = 1 => x - x 6 = 1 ⇔ x 2 – x – 6 = 0 ⇔    −= = 2 3 x x Với t = -7 => x - x 6 = -7 ⇔ x 2 + 7x – 6 = 0 ⇔       −− = +− = 2 737 2 737 x x Vậy phương trình có 4 nghiệm … b. Giải hệ phương trình:      =−+ =+− 32))(( 20))(( 22 22 yxyx yxyx ⇔      =−+ =+− 32)()( 40))((2 2 22 yxyx yxyx Trừ hai pt vế theo vế ta được: (x - y) 3 = 8 ⇔ x – y = 2 Hệ pt đã cho tương đương với hệ    =+ =− 10 2 22 yx yx ⇔    =−+ −= 10)2( 2 22 xx xy ⇔    =−− −= 0642 2 2 xx xy ⇔         = −= −= 3 1 2 x x xy ⇔           = =    −= −= 1 3 3 1 y x y x Vậy hệ pt có 2 nghiệm… Câu 3 (4,0 điểm). a. Chứng minh rằng phương trình x 2 – 2 y = 2013 không có nghiệm nguyên. Ta có thể chứng minh bằng phản chứng b. Cho s, t, x, y, z là các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5. Chứng minh rằng tổng s 5 + t 5 + x 5 + y 5 + z 5 chia hết cho 5 Ta chứng minh s 5 – s chia hết cho 5 tương tự các số t, x, t, z rồi cộng lại suy ra điều cần chứng minh. Câu 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AB = 3AM, AC = 3AN. Biết diện tích tứ giác MNCB bằng 48cm 2 . a. Tính diện tích tam giác AMN. S ∆AMN = 6 cm 2 (HD: AMN ABC S S ∆ ∆ = 9) b. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính diện tích tam giác BMO Gọi x là diện tích tam giác AMO và y là diện tích tam giác ANO ta có hệ pt    =+ =+ 183 183 yx yx ⇔ x = y = 4,5 cm 2 từ đó suy ra S ∆BMO = 9cm 2 2. Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn noại tiếp là O. Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a. Tam giác AOC đồng dạng với tam giác ADH b. Điểm A là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác DOE. (dễ dang chứng minh được) Câu 5 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: cabcab a c c b b a ++≥++ 333 Đẳng thức xảy ra khi nào? Với a, b > 0 ta có (a – b) 2 (a + b) ≥ 0 ⇔ a 3 ≥ ab(a + b) - b 3 ⇔ b a 3 ≥ a(a + b) – b 2 = a 2 + ab – b 2 Tương tự ta có 3 BĐT và cộng chúng lại ta suy ra đpcm . SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS Năm học 2012-2013 Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 03/4/2013 Câu 1 (3,0. điểm của BN và CM. Tính diện tích tam giác BMO 2. Cho tam giác nhọn ABC, có trực tâm H và tâm đường tròn noại tiếp là O. Đường trung trực của đoạn thẳng AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng. các số nguyên và tổng s + t + x + y + z chia hết cho 5. Chứng minh rằng tổng s 5 + t 5 + x 5 + y 5 + z 5 chia hết cho 5 Câu 4 (7,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt