de thiithudai hoc mon toan

TRNG THPT LNG TI 2 THI TH I HC KHI A LN II Nm hc: 2011 - 2012 Mụn: Toỏn Ngy thi: 19 thỏng 02 nm 2012 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt ================= Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 3 2 x y x = 1/. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2/. Chứng minh với mọi giá trị của m đờng thẳng d: y = x - 2m luôn cắt (C) tại 2 điểm M, N phân biệt. Tìm m để độ dài đoạn MN nhỏ nhất. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. Câu II (3 điểm) Giải phơng trình và bất phơng trình sau 1/. 2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c 2/. 2 2 2 1 2 2 2 2 x x y y y x y + = = 3/. 3 x 2 2012 3x 8 0 x 8x 12 - - + Ê - + Câu III (1 điểm) Tính tích phân 1 2 3 0 ( sin ) 1 x I x x dx x = + + Câu IV (3 điểm) 1/. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, lập phơng trình đờng tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đờng thẳng có phơng trình 8x + 15y - 120 = 0. 2/. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;1;-1), B(1;2;2), C(3;-1;0). Lập phơng trình mặt phẳng (ABC) và tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (Oxy) để P = MA 2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. 3/. Cho hình chóp S.ABC có SA = a, BC = b, SB = SC = AB = AC = 1. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC và tìm a, b để V lớn nhất. Câu V (1 điểm) Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh: 4 4 4 3 3 3 1 ( ) 2 a b c a b c b c c a a b + + + + + + + Hết Đáp án Thang điểm Câu Nội dung Th.điểm I 2 - điểm 1 Học sinh làm đúng các bớc cho điểm 1 2 +)Số giao điểm là số nghiệm PT: 0.25đ 2 2 2 3 2 2 2( 2) 4 3 0(*) x x x m x x m x m = + + + = Chỉ ra (*) có 2 nghiệm PB khác 2 với mọi m +) M(x 1 ; x 1 -2m), N(x 2 ; x 2 -2m) với x 1 , x 2 là nghiệm (*) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2( ) 2( ) 4 . 8( 1) 12 12MN x x x x x x m = = + = = + + 2 3 2 3MN MinMN = khi m = -1 +) 1 2 1 2 2 4 2 2 2 4 : 4 4 2 2 I I I I x x m x m x y I y x x x m y m + + = = = + + = = + + = = 0.25đ 0.25đ 0.25đ II 3 - điểm 1 os x=0 2cos5x =sinx+ 3 cos c x os x=0 2cos5x =sinx+ 3 cos c x cos 0 os5x=cos(x- ) 6 x c = 2 24 2 36 3 x k k x k x = + = + = + 0.5đ 0.5đ 2 K : 0y h 2 2 1 2 2 0 2 1 2 0 x x y x y y + = + = đặt 1 v y = . Hệ PT trở thành : 2 2 2 2 0 2 2 0 x x v v v x + = + = 2 1 2 2 0 x v x v v v x = = + = T ú ta cú nghim ca h (-1 ;-1),(1 ;1), ( 1 3 2 ; 2 3 1 + + ), ( 1 3 2 ; 2 3 1 ) 0.5đ 0.5đ 3 ĐK : 2, 6x x Đặt 3 x f(x) 2012 3x 8 - = - + là hàm số nghịch biến trên R 2 2 f(x) 0 x 3 x 8x 12 0 2 x 6 2 x 3 BPT x 6f(x) 0 x 3 x 2 x 6 x 8x 12 0 ộỡ ộ ỡ Êù ù ù ù ờ ờ ớ ớ ờ ờ ộ ù ù - + < < < < Ê ù ù ờ ờ ợ ợ ờ ờ ờ ờ ỡ ỡ >Ê ù ù ờ ờ ờ ù ù ở ớ ớ ờ ờ ù ù < > - + > ờ ờ ù ù ởợ ởợ 0.25đ 0.75đ III 1điểm Tớnh I 1 = 1 2 3 0 sinx x dx t t = x 3 ta c I 1 = -1/3(cos1 - sin1) Tớnh I 2 = 1 0 1 x dx x+ t t = x ta c I 2 = 1 2 0 1 2 (1 ) 2(1 ) 2 1 4 2 dt t = = + T ú ta cú I = I 1 + I 2 = -1/3(cos1 - 1)+ 2 2 0.25đ 0.5đ 0.25đ IV 3 - điểm 1 Giả sử d: 8x + 15y 120 = 0 cắt Ox, Oy lần lợt tại A,B. Gọi I(a;b) là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABO. Ta có: * 0 < a,b < 8 * Bán kính r = d(I,Ox) = d(I,Oy) = d(I,d) 2 2 3( ) 8 15 120 3 20( ) 17 : ( 3) ( 3) 9 a b tm a b a b r a b l PT x y = = + = = = = = + = 0.25đ 0.5đ 0.25đ 2 Phơng trình mặt phẳng (ABC): 7x + 4y + z 17 = 0 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: * 2 1 (2; ; ) 3 3 G * ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 P AG GM BG GM CG GM AG BG CG GM = + + + + + = = + + + uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur Để P nhỏ nhất thì M là hình chiếu của G lên mp(Oxy) hay 2 (2; ;0) 3 M 0.5đ 0.25đ 0.25đ 3 Gọi M, N lần lợt là trung điểm SA, BC. Ta có: * Chỉ ra 2 2 ( ) 1 ( ) . 1 3 6 4 MBC ab a b SA MBC V SA S + = = = * 1 2 3 1 2. . .(2 ) 6 2 6 2 2 27 2 3 27 ab ab ab ab V ab V = = Dấu = xảy ra khi a = b = 2 3 3 V 1 - điểm Chứng minh bổ đề: 3 3 3 ( ) ,( , 0) 4 x y x y x y + + Cô si: 4 4 4 3 3 4 4 4 3 3 ( ) 2 4 16 a a a b c a a a b c a b c b c b c b c b c b c + + + + + + + + + + + + + + Tơng tự, cộng lại ĐPCM 0.25đ 0.75đ