chuyên đề đại học môn tóan - đa thức

chuyên đề đại học môn tóan - đa thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...

Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu 1 Chuyên đề 2: ĐA THỨC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC Đa thức : (Đa thức một biến) 1. Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n  ) là biểu thức có dạng        n n 1 n n 1 1 0 P(x) a x a x a x a với n a 0 Các số 0 1 n a ,a , ,a gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức P(x) Ví dụ:     3 2 P(x) 2x 9x 12x 4 là đa thức bậc ba 2. Đa thức đồng nhất – Đa thức đồng nhất khơng: a) Đa thức đồng nhất: Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trò với bất cứ giá trò nào của biến số  Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu : P(x) Q(x)               P(x) Q(x) x : P(x) Q(x) b) Đa thức đồng nhất không: Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trò nào của biến số  Nếu P(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu : P(x) 0               P(x) 0 x : P(x) 0 Hệ quả:                         n n 1 n n 1 n n 1 1 0 0 a 0 a 0 . P(x) a x a x a x a 0 . . a 0 Chuyên đề LTĐH THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu 2 Ví dụ 1 : Tìm các hệ số a, b để đa thức 2 P(x) 6x 16x 2   và 2 ( ) ( 2) ( 1) Q x a x x b x      đồng nhất với nhau. Ví dụ 2: Tìm các hệ số a, b để đa thức 4 3 2 P(x) x 2x ax 2x b     là bình phương của một đa thức Bài giải: Giả sử   2 4 3 2 2 x 2x ax 2x b x mx n        với mọi x 4 3 2 4 2 2 2 3 2 x 2x ax 2x b x m x n 2mx 2nx 2mnx           với mọi x       3 2 2 2 2m 2 x m 2n a x 2mn 2 x n b 0          với mọi x Áp dụng định lý về đa thức đồng nhất không ta được: 2 2 2m 2 0 m 2n a 0 2mn 2 0 n b 0                           Giải hệ ta được: m 1 n 1 a 3 b 1                    . Vậy khi a 3; b 1  thì   2 4 3 2 2 x 2x 3x 2x 1 x x 1        Ví dụ 3: Dạng 1 : Biểu diễn một đa thức theo các đa thức khác Bài 1: Tìm các số ,a b sao cho     3 1 1 x a x b x      Bài 2: Tìm các số , ,a b c sao cho     2 2 2 10 3 1 6 1 3 x x a x b x c       Bài 3: Tìm các số , ,a b c sao cho     2 2 3 8 5 2 1 1 x x a x b x c       Bài 4: Tìm các số , ,a b c sao cho     2 2 2 11 21 4 4 4 4 x x a x b x c       Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu 3 Dạng 2 : Phân tích một phân thức thành tổng các phân thức đơn giản Bài 5: Tìm các số A, B, C sao cho 2 3 2 2 5 3 1 2 2 x x A B C x x x x x x          Bài 6: Tìm các số A, B, C sao cho   2 3 2 3 3 3 1 2 3 2 1 x x A B C x x x x x           3. Nghiệm của đa thức:  Nếu khi x = a đa thức P(x) có giá trò bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của P(x)           đn a là một nghiệm của P(x) P(a) 0 4. Phép chia đa thức: Đònh lý: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) khác không. Tồn tại duy nhất đa thức h(x) và r(x) sao cho  P(x) Q(x).h(x) r(x) Trong đó  r(x) 0 hoặc r(x) 0 và bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) Đa thức Q(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia P(x) cho Q(x) Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức     3 2 P(x) 2x 9x 12x 4 cho đa thức x 1 Ví dụ 2: Cho đa thức 4 3 2 P(x) x 3x bx ax b     và 2 Q(x) x 1  Tìm a và b để P(x) chia hết cho Q(x). Bài giải: Vì P(x) Q(x) nên ta có thể giả sử rằng   2 P(x) x 1 .Q(x)   (1) với mọi x Thay x 1 vào hai vế của (1) ta được: P(1) 1 3 b a b 0 a 2b 2 (2)         Thay x 1  vào hai vế của (1) ta được: P( 1) 1 3 b a b 0 a 2b 4 (3)            Từ (2) và (3) ta suy ra được 1 a 3;b 2    Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu 4 5. Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783) Đònh lý BEZOUT: Đònh lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) thì số dư là R = P(a) Chứng minh: Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử được thương là h(x) và dư là hằng số R. Ta có:   P(x) x a h(x) R   với mọi x Do đó với x = a thì P(a) 0.h(a) R R P(a)    (đpcm) Hệ quả:            P(x) chia hết cho (x a) P(a) 0 Hệ quả: Đa thức P(x) có nghiệm là a khi và chỉ khi P(x)  (x-a)           P(a) = 0 P(x) = (x a).Q(x), trong đó Q(x ) là một đa thức 6. Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837) Để tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa thức        n n 1 n n 1 1 0 P(x) a x a x a x a cho (x - a) ta có thể dùng sơ đồ HOOCNE sau đây n a n 1 a  n 2 a  1 a a 0 a n b n 1 b  n 2 b  1 b 0 b Trong đó: n n n 1 n n 1 n 2 n 2 n 2 0 1 0 b a b a.b a b a.b a . . . b a.b a             Khi đó:               n 1 n 2 n n 1 1 0 P(x) (x a).Q(x) r Thương là : Q(x) b x b x b Dư là : r b Chuyờn LTH THPT Chuyờn Nguyn Quang Diờu 5 Vớ d 1: Tỡm thửụng vaứ dử cuỷa pheựp chia ủa thửực 3 2 P(x) 2x 9x 12x 4 cho ủa thửực x 1 Vớ d 2: Tỡm thửụng vaứ dử cuỷa pheựp chia ủa thửực 4 2 P(x) 2x 3x 4x 5 cho ủa thửực x 1 7. Phõn tớch a thc ra tha s nh lý: Gi s a thc n n 1 n n 1 1 0 n P(x) a x a x a x a (a 0) cú n nghim l 1 2 n x , x , , x thỡ n 1 2 n P(x) a x x x x x x Vớ d: Phõn tớch a thc 3 2 P(x) x 9x 11x 21 thnh nhõn t MT S NG DNG CA A THC GII PHNG TRèNH Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh 1) 4 3 2 2 6 5 3 2 0 x x x x 2) 4 3 2 2 3 16 3 2 0 x x x x 3) 4 3 2 4 3 2 6 0 x x x x 4) 5 4 2 9 13 22 8 0 2 x x x x 5) 5 4 3 2 11 25 14 0 x x x x x Bi 2: Gii phng trỡnh 2 3 2 11 21 3 4 4 0 x x x Bi 3: Gii phng trỡnh 2 3 2 1 1 3 1 x x x x Bi 4: Gii phng trỡnh 2 2 10 3 1 6 1 3 x x x x Ht . Chun đề LTĐH THPT Chun Nguyễn Quang Diêu 1 Chuyên đề 2: ĐA THỨC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC Đa thức : (Đa thức một biến) 1. Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo.  3 2 P(x) 2x 9x 12x 4 là đa thức bậc ba 2. Đa thức đồng nhất – Đa thức đồng nhất khơng: a) Đa thức đồng nhất: Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá. hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu : P(x) Q(x)               P(x) Q(x) x : P(x) Q(x) b) Đa thức đồng nhất không: Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức