de thi hco sinh gioi toan 8 huyen nong cong nam 2013

Gọi O là giao điểm của AC và BD; các đờng kẻ từ A và B lần lợt song song với BC và AD cắt các đờng chéo BD và AC tơng 1... Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tai P

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

§Ò 1 Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Thật vậy xét tam giác BCE có BC =

CE (gt) => tam giác CBE cân tại C

C B E B  C mà AC // BM

(ta vẽ) => 1  1 1

2

nên BO là tia phân giác của CBM

Hoàn toàn tơng tự ta có CD là tia

phân giác của góc BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O => MO

là phân tia phân giác của góc CMB

Mà : BAC BMC , là hai góc đối của hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giáccủa góc A theo gt tia phân giác của góc A còn song song với OK => K,O,M thẳnghàng

1

4 3

K

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Câu 4 Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O là giao điểm của AC và BD; các

đờng kẻ từ A và B lần lợt song song với BC và AD cắt các đờng chéo BD và AC tơng

1

4 3 2

1 3 2

2007 2006 2005

2 4

3 2

2 3

1 4

3

1 3 2

1 3

669 1004 1003 2008

2007 2006 2 2007

2006

1 2

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Câu 4 a) Do AE// BC =>

OC

OA OB

F O

OE

 => EF // ABb) ABCA1 và ABB1D là hình bình hành => A1C = DB1 = AB

Vì EF // AB // CD nên

DC

AB AB

CK

OB AH

1

2

1

4

OD CK

OD AH S

S

.

2 1

2 1

1

S

S S

đề 3 Câu 1: a Rút gọn biểu thức:

y a

x

(1) và    2

z

c y

b x

a

(2)Tính giá trị của biểu thức A=

c b

bc c

b a

19 1997

Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M  đơng chéo AC Gọi E,F theo thứ tự là hình

chiếu của M trên AD, CD Chứng minh rằng:

a.BM  EF

b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy

Câu 5: Cho a,b, c, là các số dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của

P= (a+ b+ c) (

c b a

1 1 1



Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta có:

A= (2-1) (2+1) (22+1) + 1

O K

E H F

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Vì x2=y2 + z2  (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x –5y)2

Câu 2: ( 1,25 điểm) a Từ (1)  bcx +acy + abz =0

Từ (2)    2  2    0 

2 2 2 2

2

yz

bc xz

ac xy

ab c

z b

y a

2 2 2 2 2

z b

y a x

2

2   

ca bc

bc ab ab

Câu 3: ( 1,25 điểm)

1988

2007 1997

2007 2006

H là giao điểm của EF và BM

b a

c c

a a

b b

a b

c a

c c

b a

b c

a b

a

3 1 1

Mặt khác   2

x

y y

x

với mọi x, y dơng  P  3+2+2+2 =9Vậy P min = 9 khi a=b=c

-đề 4 Bài 1 (3đ):

Bài 3 (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC )

1) Kẻ đờng cao BM; CN của tam giác Chứng minh rằng:

a) ABM đồng dạng ACN

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

b) gãc AMN b»ng gãc ABC2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F

lµ trung ®iÓm cña AK

Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC

1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®)

b) a10 + a5 + 1 = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) +(a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + 1 ) = (a2 + a + 1 )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ 1

2)

92

8 94

6 96

5 2 1

2

5 ) 2 4 ( ) 2 ( 1

2

3 3

x x x x

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

b) Từ câu a suy ra:

AN

AM AC

AB

  AMN đồng dạng ABC

 AMN = ABC ( hai góc tơng ứng) (1,25đ)

2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H (0,25đ)

BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)

mà CAH = BAH ( do Ax là tia phân giác) (0,5đ)

Suy ra:

CHA =CAH nên CAH cân tại C

do đó : CH = CA => CH = BK và CH // BK (0,5đ)

BK = CAVậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH

Do F là trung điểm của AK nên EF là đờng trung bình của tam giác KHA Do đó

2 2007

2

=

2007

2006 2007

2006 2007

) 2007 (

1 3

6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x x

a, Tìm điều kiện của x để A xác định

b, Rút gọn biểu thức A

c, Tìm giá trị của x để A > O

Câu 2 ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau :

1 2

1 5 2

x x

Câu 3 ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với

nhau lần lợt cắt BC tai P và R, cắt CD tại Q và S

1, Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân

2, QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN làhình chữ nhật

3 3

Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trịnguyên

Câu 5 ( 1 điểm)

a, Chứng minh rằng x3 y3 z3 xy3  3xy.xyz3

b, Cho 1 11 0

z y

x Tính 2 2 z2

xy y

xz x

yz

Đáp án

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

1 2

2 4

6 : 2 2

2 2

x

x x

x

x

x x

2 2 2 6

1 5 1

x x

0 1 2

2 3 1

x x

1 2

1 1

1 2

x

x

 x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3

Cả 3 giá trị trên đều thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy PT đã cho có tập nghiệm S =

2

; 2

; 1

Câu 3:

1, ADQ = ABR vì chúng là hai tam giác

vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA=BD

( cạnh hình vuông) Suy ra AQ=AR, nên 

AQR là tam giác vuông cân Chứng minh tợng

tự ta có: ARP=ADS

do đó AP = AS vàAPS là tam giác cân tại A

2, AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác

vuông cân AQR và APS nên ANSP và AM

Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA=

NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trungtrực của AC

5, Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách khác, bốn

điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm trên đờng trung trực của

AC, nghĩa là chúng thẳng hàng

Câu 4 Ta có ĐKXĐ x  -1/2

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

A = (x + 1) +

1 2

2



x vì x Z nên để A nguyên thì

1 2

2



x nguyên Hay 2x+1 là ớc của 2 Vậy :

z y

y x

xyz z

xyz y

xyz x

xyz z

xy y

xz x

yz

A

=====================

đề 6 Bài 1 : (2 điểm) Cho biểu thức :

1

2 2

4

2

x x

1

1

x

x x

a) Rút gọn

b) Tìm giá trị bé nhất của M

Bài 2 : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

A =

3

83 2 3

Bài 3 : 2 điểm

Giải phơng trình :

a) x2 - 2005x - 2006 = 0

b) x 2 + x 3 + 2x 8 = 9

Bài 4 : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E là 1 điểm trên cạnh BC Qua E kẻ tia Ax

vuông góc với AE Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K

Đờng thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G Chứng minh :

a) AE = AF và tứ giác EGKF là hình thoi

) 1 )(

1 (

1 )

1 )(

1 (

2 2

4

2 4 2

x

x x x

x

x4+1-x2) =

1

2 1

1 1

2

2 2

2 4 4

x x x

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Tứ giác EGFK có 2 đờng chéo cắt

nhau tại trung điểm mỗi đờng và

vuông góc nên hình EGFK là hình thoi

d) Tứ giác EGFK là hình thoi  KE = KF = KD+ DF = KD + BE

Chu vi tam giác EKC bằng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không

36

6

1 6 6

1

6

2

2 2

x x

x

x

( Với x  0 ; x   6 )1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị biểu thức A với x=

5 4 9

1

Câu 2: ( 1 điểm )

a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1  x.y + x + y ( với mọi x ;y)

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) Tứ giác AMDB là hình gi?

b) Gọi E, F lần lợt là hình chiếu của điểm M trên AD , AB

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng

c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞtrÝ cña ®iÓm P

) 6 )(

6 ( ) 6 (

1 6 ) 6

x

x x

1 6 36

6 6 36

6

2

2 2

x x

x x x

x x x

=

x x

x

) 1 ( 12

1

1

1 1

1) (1 ®iÓm ) x2+y2+1  x y+x+y  x2+y2+1 - x y-x-y  0

 2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y 0  ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y)  0

2 1

a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD

→ AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

b) ( 1 điểm ) Do AM// BD →

góc OBA= góc MAE ( đồng vị )

Xét tam giác cân OAB →

góc OBA= góc OAB

Gọi I là giao điểm của MA và EF →  AEI cân ở I → góc IAE = góc IEA

→ góc FEA = góc OAB → EF //AC (1)

Mặt khác IP là đờng trung bình của  MAC → IP // AC (2)

1 (

1 1

1 )

2 )(

1 (

2

2 2

x x

x x

x

Vậy Amax  [ ( x+ ]

4

3 ) 2

Bài 3: (2 ,5 điểm)

a, Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phơng trình: :

( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330

B, Giải bất phơng trình: x 6  3

Bài 4: ( 3 ,5 điểm) Cho góc xoy và điểm I nằm trong góc đó Kẻ IC vuông góc với ox ;

ID vuông góc với oy Biết IC = ID = a Đờng thẳng kẻ qua I cắt õ ở A cắt oy ở b

A, Chứng minh rằng tích AC DB không đổi khi đờng thẳng qua I thay đổi

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

B, Chøng minh r»ng 2

2

OB

OC DB

bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)

= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)

= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)

= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]

= b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a)





x

DÊu “ =” x¶y ra khi x= 2004

Tõ (1) vµ (2) suy ra: t  4  VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004

VËy ymax=

8016

1 2004

VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sè ph¶I cïng dÊu ( +)hoÆc dÊu ( - )

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Ta có A chung ; AIC = ABI ( cặp góc đồng vị)

Suy ra:

BO

IC AO

AC

BO

AO IC

OA

BD

ID OB

OA BD

ID IC

Suy ra: OA.OB =

2 3

16

2 2

2

a a

a a



2 2

CA.DB a

10 3

2.Tìm các cặp số (x;y)  Z sao cho giá trị của P = 3

Bài 2 (2 điểm) Giải phơng trình:

x M x







Bài 4 (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E; F lần lợt là

trung điểm của các cạnh AB, BC M là giao điểm của CE và DF

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

1.Chứng minh CE vuông góc với DF

2.Chứng minh  MAD cân

3.Tính diện tích  MDC theo a

Bài 5 (1 điểm) Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3

2.Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2  3

Bài 2.(2 điểm) Điều kiện xác định:

2 3 4 5 6

x x x x x

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

x x

x x

Trong DCF theo Pitago ta cã :

Gv: Hoàng Kiên Trường THCS Yên Mỹ16 1 1

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Rút gọn biểu thức : A = 1

2.5+

1 5.8+

1 8.11+…- ab…- ab…- ab.+ 1

(3n 2)(3n 5)

Câu 2 (1,5đ) Tìm các số a, b, c sao cho :

Đa thức x4 + ax + b chia hết cho (x2 - 4)

Câu 3 (2đ) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức 2 7

1

x  x có giá trị nguyên.Câu 4 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Câu 5 trong tam giác ABC H là trực tâm, G là

Trọng tâm, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp

9 33 19

3

36 3 14 3

2 3

2 3

x

x x x

a, Tìm giá trị của biểu thức A xác định

b, Tìm giá trị của biểu thức A có giá trị bằng 0

c, Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi K,L,M,N lần lợt là các điểm thuộc các

cạnh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x

.a, Xác định vị trí các điểm K,L,M,N sao cho tứ giác MNKL có diện tích mhỏ nhất b, Tứ giác MNKL ở câu a là hình gì? cần thêm điều kiện gì thì tứ giác MNKL là hìnhchữ nhật

Câu 4: Tìm d của phép chia đa thức

x99+ x55+x11+x+ 7 cho x2-1

Đáp án Câu1 (3đ)

a.(1đ)

Ta có A=

) 1 3 ( ) 3 (

) 4 3 ( ) 3 (

2 2

x x

(0,5đ)Vậy biểu thức A xác định khi x3,x1/3(0,5đ)

b Ta có A=

1 3

4 3

4 3

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Gọi S1,,S2, S3, S4 lần lợt là diện tích tam giác AKN,CLM,DMN và BKL

Kẻ BB1AD; KK1AD ta có KK1//BB1 => KK1/BB1= AK/AB

SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5đ)

Với x=-1 thì(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7

Vậy d của phép chia x99+x55+x11+x+7 cho x2-1 là 4x+7

6 3 4 2 2

2

2 3 4 5

x x x x x

a) Tìm tập xác định của M

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

1 1

1

b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng:

b a c a c b c b

1 1

1



c b a

1 1 1

BN PB AP

Đáp án

Bài 1:

a) x2+2x-8 = (x-2)(x+4) 0  x 2 và x - 4 (0,5đ) TXĐ =x/xQ;x 2 ;x  4 0,2đb) x5 - 2x4+2x3- 4x2- 3x+ 6 = (x-2)(x2+ 3)x-1)(x+1) 1,0đ = 0 khi x=2; x=  1 0,2đ

Để M= 0 Thì x5-2x4+ 2x3-4x2-3x+6 = 0

x2+ 2x- 8 0 0,5đVậy để M = 0 thì x = 1 0,3đc) M =

4

) 1 )(

3 ( )

4 )(

2 (

) 1 )(

3 )(

x x

x x

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

0,3đ Vậy n = -1; n = 2 0,2đ

Bài 3:

a) Vì xyz = 1 nên x 0, y 0, z 0 0,2đ

1 )

1 ( 1

x z

z xy

x 0,3đ

z xz

xz xz

yz y

xz yz

1      



xz xz

z

z

0,2đb) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên

a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 0,2đ

c

b

a

2 2

4 1

a

c

b

2 1

b

a

c

2 1

Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c 0,2đ

7

AB AC

BC AB

Nên 0,2đ

) ( 10 9

5 5

9 5

4

cm BC

NC NC

BA

BC MA

7

BC AC

BC AB

0,2đ

3

11 3 11

3 4

7

cm ac

MC MA

MA MC MA

Nên

AB

AC PB

AP BA

BC MA

MC AC

AB BC

BN





 ; ; 0,5đ

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Do đó   1

BC

AC AB

BC AC

AB PB

AP MA

MC BC

BN

0,5đ

========================

đề 13 Câu 1: ( 2,5 điểm)

Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F

có góc đáy là 150 Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều

Đáp án Câu 1: a/ Ta có: x2 – x – 6 = x 2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)

= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3) ( Nếu giải bằng cách khác cho điểm tơng đơng )

x  = 0 Tức x = - 1

2 Câu 3: Ta có : n 5 – 5n 3 + 4n = n 5 – n 3 – 4n 3 + 4n = n 3 (n 2 - 1) – 4n( n 2 - 1)

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5) Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120.

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Ta có AFB BIC (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2)

Từ (1) và (2) suy ra :FIB đều

Đờng thẳng CI cắt FB tại H Ta có: 

2

I = 300 ( góc ngoài của CIB)

Suy ra: H2 = 900 ( vì B= 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH

là đờng trung trực củaCFB Vậy CFB cân tại C Suy ra : CF = CB (3)

f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hết cho đa thức g(x) =x2+4-3x

Câu 2 (2 điểm) Phân tích thành nhân tử

(x+y+z)3 –x3-y3-z3

Câu 3 (2 điểm ) :

a-Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x2 +x+1

b-Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= h(h+1) (h+2) (h+3)

Câu 4(2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu a2+b2+c2=ab+bc+ac thì a=b=c

Câu 5 (2 điểm ) : Trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho

PAC = PBC Từ P dựng PM vuông góc với BC PK vuông góc với CA Gọi D làtrung điểm của AB Chứng minh : DK=DM

F 2

H

150 15 0 2

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d b»ng kh«ng

a-3=0 => a=3b+4=0 => b=-4

Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh.

Theo gi¶ thiÕt : a2+b2+c2 = ab+ac+bc

Ta cã : a2+b2+c2 – ab-ac-bc = 0

Suy ra : (a2-2ab+b2) + (b2-2ab+c2) + (a2-2ac+c2)=0 (1 ®iÓm)

(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2= 0

§iÒu nµy x¶y ra khi vµ chØ khi

a-b = b-c = a-c = 0 Tøc lµ : a=b=c (1 ®iÓm)

Bµi 5 (2 ®iÓm) C

Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP

F lµ trung ®iÓm cña BP K M

Tõ c¸c tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra

KEP =2KAP ; MEP = 2MBPDEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP

Theo gi¶ thiÕt KAD = MBP nªn KEP = MFP

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Vậy DEK = DPM suy ra DEK= MFO (c.g.c)

Do đó : DK=OM

==========================

đề 15 Câu 1: (2đ) Tìm hai số biết

a Hiệu các bình phơng của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36

b Hiệu các bình phơng của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40

Câu 2: (1,5đ) Số nào lớn hơn:

2 2

5 2

2

2005 2006

2005 2006

6 996

5 997

4 998

3 999

2 1000

Câu 4: (1đ) Giải bất phơng trình ax –b> bx+a

Câu 5: (2,5đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song

song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở

E Chứng minh rằng:

a EF song song với AB

b AB2 = CD.EF

Câu 6: (1,5đ) Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đờng chéo, cắt nhau ở O Tính

diện tích tam giác ABO biết diện tích tam giác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giácAOD là 196 cm2

Đáp án Câu 1: a Gọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x+2 (x chẵn).

2

) 2005 2006

(

2005 2006

2005 2006

2005 2006 2005 2006

2005 2006 2005

2006

2005 2006

2005 2005

2006 2 2006

2005 2006

2005 2006

2005 2006





Câu 3: Phơng trình đã cho tơng đơng với:

0 1 995

6 1 996

5 1 997

4 998

3 1 999

2 1 1000

1001 996

1001 997

1001 998

1001 999

1001 1000

1 996

1 997

1 998

1 999

1 1000

1 )(

1001

 x

 x=-1001

Vậy nghiệm của phơng trình là x=-1001

Câu 4: * Nếu a> b thì x>

b a

b a





Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

* Nếu a<b thì x<

b a

b a

b AEB Và KED đồng dạng, suy ra

EB

DE AB

OK



EB

DB AB

DC EB

BD AB

KC DK EB

EB DE AB

DB EF

DI EB

Câu 6: Theo đề bài ta phải tính diện

tích tam giác ABO, biết SBOC = 169 cm2

SAOD = 196 cm2

Ta nhận thấy SABD = SACD (vì có chung đáy AD

và đờng cao tơng ứng bằng nhau)

Suy ra SABO = SCOD

Từ công thức tính diện tích tam giác ta rút ra rằng: tỷ số diện tích hai tam giác cóchung đờng cao bằng tỷ số hai đáy tơng ứng

Do đó:

COD

AOD BOC

ABO

S

S OC

AO S

Câu 3(2đ): Trên 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tơng ứng các điểm P, Q, R.

Chứng minh điều kiện cần và đủ để AP; BQ; CR đồng qui là:

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

M = (1+ 1/a )2 + (1+ 1/b)2

C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A = 3x2 + y2

§¸p ¸n C©u 1

A =

x

x x

x x x

x x

).

1

1 4 1

1 1

1 1 2004

AD lÇn lît t¹i E vµ F §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J

a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF.b) Trong trêng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF

Bµi 4 Cho a  4; ab  12 Chøng minh r»ng C = a + b  7

§¸p ¸n Bµi 1:

a) §iÒu kiÖn: 





 0 1

x x

b) A =

x

x x

x x x

1

1 4 )

1 ( ) 1 (

2 2 2

x

x x



Do x =  1 kh«ng tho· m·n ®k VËy A nguyªn khi x =  2006

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Bài 2

a) Ta có:

2006 2005

1 1 2004

1 1 2004

2005

2005 2005

1 2004

2004 2004

2006 2004

1 2004

1 )(

b a

Bài 3

a) Ta có:

OB

DO PM

FP IE

FI

 hayFI.FJ = EI.EJ (4)

Nếu H là trung điểm của IJ thì từ (4) ta có:

EH FH IJ

EH IJ EH IJ

) 2

suy ra: EF = FI + IE = 3FI Tơng tự từ (2) và (3) ta có EF = 3EJ

12 3 2 4

1 4

3 2 4

1 ) 4

a Tìm số m, n để:

x

n x

m x

x(  1 )   11

b Rút gọn biểu thức:

M =

30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2 2

a Tìm số nguyên dơng n để n5 +1 chia hết cho n3 +1

b Giải bài toán nến n là số nguyên

Câu 3:

Cho tam giác ABC, các đờng cao AK và BD cắt nhau tại G Vẽ đờng trung trực

HE và HF của AC và BC Chứng minh rằng BG = 2HE và AG = 2HF

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

1 6 5

1 12 7

1 20 9

1 30 11

2 (

4 2

1 6

Lấy I đối xứng với C qua H, kẻ AI và BI, ta có HE là đờng trung bình của

ACI nên HE//AI và HE = 1/2IA (1) (0.25đ)

Tơng tự trong CBI : HF//IB và HF = 1/2IB (2) (0.25đ)

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

1 3 6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x

x

a tìm tập xác định A: Rút gọn A?

b Tìm giá trị của x khi A = 2

c.Với giá trị của x thì A < 0

d timg giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

bài 2 (2,5đ)

a Cho P =

1 2

1

2 3 4

3 4

x x x

Rút gọn P và chứng tỏ P không âm với mọi giá trị của x

b Giải phơng trình

8

1 30 11

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

2 



x x

sau khi biến đổi ta đợc;

A =

2 2

CF

B

E

Hình *

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1 2

d §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) ph¶i lµ íc cña 2 Mµ ¦ (2) =  1  ; 2 ; 1 ; 2

suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4 Nhng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x 0,25®

VËy x = 1; x =3.; x=4 0,25®

Bµi 2 (2,5®)

a P =

1 2

1

2 3 4

3 4

x x

1

1 1

2 2 2

2

2 2

x x

x x x

v× tö = x 12  0 x vµ mÉu x2 + 1 >0 víi mäi

1 20

9

1 12

7

1 6

5

1

2 2

1 3 2

1 6

x

x A

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

A đạt giá trị nhỏ nhất là -1  x 62  0 hay x = A =

hay gócEAI + gòcAD + BAC = 900 + 900 = 1800 Do đó 3 điểm E, A, F thẳng hàng

b Tam giác ABC vuông ở A nên gócABC + ACB = 900 (hai góc nhọn tam giácvuông)

Mà gócEBA = gócABH (tính chất đối xứng)

gócCA = gócHCA (tính chất đối xứng)

suy ra góc EBA + góc FCA = 900

haygóc EBA + góc FCA + góc ABC + góc ACB = 1800

suy ra góc EBC + góc FBC = 1800 (hai góc trong cùng phía bù nhau)

do đó BE song song CF Vậy tứ giác BEFC là hình thang 0,75đ

Muốn BEFC là hình thang vuông thì phải có góc AHC = 900 (E F   90 0) vậy

H phải là chân đờng cao thuộc cạnh huyền của tam giác ABC

Muốn BEFC là hình bình hành thì BE = CF suy ra BM = HC Vậy H phải làtrung điểm của BC…- ab…- ab…- ab…- ab 0,25đ

Muốn BEFC là hình chữ nhật thì BEFC phải có một góc vuông suy ra (

0

45

B C  ) điều này không xảy ra vì tam giác ABC không phaỉ là tam giác vuôngcân…- ab 0,25đ

c.lấy H bất kỳ thuộc BC gần B hơn ta có:

SEHF  2SAIDH dựng hình chữ nhật HPQD bằng AIHD

vậy Stam giác EHF = Stứ giác ảIPQ Ta có tam giác HBI = tam giác HMB (g.c.g)

suy ra SHBIS SHMB SEHF SABMQSABC

với H gần C hơn ta cũng có:Stứ giác ABMQ < Stam giác ABC

khi H di chuyển trên BC ta luôn có SEHF S ABC Tại vị trí h là trung điểm của BCthì ta có

SEHF = SABC Do đó khi H là trung điểm của BC thì SEHF là lớn nhất

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

12 19 8

2 3

2 3

x x

x B

A

Câu II : (3đ)

x x

a

x

a) Giải phơng trình với a = 4

b) Tìm các giá trị của a sao cho phơng trình nhận x = -1 làm nghiệm

2 ) Giải bất phơng trình sau : 2x2 + 10x +19 > 0

Câu III (3đ): Trong hình thoi ABCD ngời ta lấy các điểm P và Q theo thứ tự trên AB

và CD sao cho AP = 1/ 3 AB và CQ = 1/ 3 CD Gọi I là giao điểm của PQ và AD , K

là giao điểm của DP và BI , O là giao điểm của AC và BD

a) Chứng minh AD = AI , cho biết nhận xét về tam giác BID và vị trí của K trên IB.b) Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích của A và I

Câu IV : (1đ) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình sau :

3 )(

2 )(

1 (

) 4 )(

3 )(

1 (

x x

x x x B

A

(1đ)

Bài II :1) Phơng trình 2

) (

) 2 ( ) 2 (

) (

x x

a x

(1) Điều kiện: x  -2 và x a

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

2x2 + 10x + 19 = 2x2 + 8x +8 + 2x +4 +7

=2(x2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7

= 2(x + 2)2 +2(x + 2) + 7

= (x + 3)2 + (x + 2)2 + 6 luôn lớn hơn 0 với mọi x

Nên bất phơng trình (1) Nghiệm đúng với  x (1đ)

IA ID AD AI

AQ

AP ID

Tam giác BID là tam giác vuông tại B vì AO DB và AO là đờng trung

bình của  BID

Điểm K là trung điểm của IB (Do DK là đờng trung tuyến củaBID ) .(0,75đ)

b) Với B và D cố định nên đoạn DB cố định.Suy ra trung điểm O cố định

Mặt khác AC BD , BI DB và vai trò của A và C là nh nhau Nên quỹ tích của A là ờng thẳng đi qua O và vuông góc với BD trừ điểm O.Quỹ tích của điểm I là đờng thẳng đi qua B và vuông góc với BD trừ điểm B (1đ)

đ-Đảo: Với A và I chạy trên các đờng đó và AD = AI Thì AP =

AQ

AP ID

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Bài 4:(3 điểm)

Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD và DA.a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?

b) Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ là hình vuông?

c) Với điều kiện câu b), hãy tính tỷ số diện tích của hai tứ giác ABCD và MNPQ

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

S

2 S

=========================

đề 22 Bài 1 (3 điểm)

2 2

1

2

2 2

x x x x

x x

b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 4

6 5

2 3 2

x x

b Tâm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất

c Chứng tỏ đờng thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định

Đáp án Bài 1: a A = x4 – 14x3+ 71x2- 154 x + 120

2 2

1

2

2 2

x x x x

x x

p q

d

a

b

c

Tuyển tập đề thi HSG Toỏn 8

Tìm đợc nghiệm của phơng trình x1 = 0; x2= -1 (1.5 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2

3 2 2

3 3

6 5

2 2

2 3 2

x P x

x x

x x x

x x

x x

z x

z

y z

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BEtheo m AB

2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM vàBEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM

3. Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD

z y

1 1 1

yz xz

( 3 ) 2= p + 2 zxyz yx vậyP+2=3

suy ra P = 1

0.75đ0,75đ0.5đ

1 54

1 57

0,5đ

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c  x+y+z = a2bc

 x =

2

c b

; z=

2

c b

a 

P =

c

c b a b

c b a a

c b a

2 2

1 1

( 2

1

c

b c

a b

c b

a a

c a

) ( ) ( 3 ( 2

1

b

c c

b c

a a

c b

a a

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra:BEC=ADC 135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H

theo giả thiết)

Nên AEB 45 0do đó tam giác ABE vuông cân tại A

Suy ra: BEAB 2 m 2

0,25 đ0,25 đ

0,25 đ0,5 đ

0,25 đ0,5 đ

BC  AC   AC AB BE (do ABH Đồngdạng CBA)

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

Câu 6 Đặt: 2p+1=a3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a2+a+1)

Vì p là số nguyên tố nên:

Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn)

Hoặc: a2+a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1

Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố)

chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác

1đ0,5đ

y3x22y

1b

1a

1

3 3

z3

y2

Câu 3: (3điểm)

a Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với aZ

b Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ+

A'

) (

C C B B A

CA BC AB

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì

(1+a2)(1+b2)(1+c2) bằng bình phương của số hữu tỉ