PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất, đồng thời là chìa khoá mở cửa tạo nền tảng cho các ngành khoa học khác. Là một bộ phận chiếm ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là dạy học Trong chương trình Đại số 7 chương I : Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau là một dạng toán cơ bản trong chương trình môn Toán lớp 7. Các em thường gặp dạng toán này trong các bài kiểm tra hết chương, khảo sát chất lượng học kỳ, các kỳ thi học sinh giỏi. Trong thực tế phân phối chương trình của sở giáo dục chỉ có 2 tiết một tiết lí thuyết và một tiết hướng dẫn học sinh giải một số bài tập. Nên giáo viên ít có điều kiện rèn kĩ năng, chỉ ra những sai lầm thường gặp, việc mở rộng, khắc sâu kiến thức và đề xuất những bài toán tương tự từ đó phát triển tư duy lô gic, tư duy sáng tạo và đ ặc bi ệt trang bị các dạng toán khó để học sinh dự thi học sinh giỏi gần như không có. Chính vì những lý do đó tôi đã lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Thiết kế buổi dạy thêm toán 7 : Giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau” nhằm giúp học sinh khắc phục những hạn chế trên. PHẦN B: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN Việc giảng dạy bài tập toán không thể cứng nhắc đơn điệu, tuỳ theo từng bài toán ta có các cách giải khác nhau. Dạy học giải các bài tập toán có ý nghĩa rất quan trọng: - Củng cố đào sâu, hệ thống hoá kiến thức đã học của học sinh, rèn luyện kĩ năng kĩ xảo. - Mang tính chất ứng dụng những kiến thức đã được học vào từng bài toán cụ thể, vào thực tế và những vấn đề mới. - Để học trò tự đánh giá năng lực nhận thức của chính mình và cũng giúp giáo viên đánh giá được sự tiếp thu kiến thức của học sinh và trình độ học toán của từng em. - Gây hứng thú học tập toán của học sinh. Từ đó phát huy được các phẩm chất trí tuệ, các năng lực cần thiết mà mục tiêu giáo dục THCS đề ra. Tính chất của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau là một phần kiến thức rất nhỏ trong chương trình toán 7, tuy nhiên không vì thế mà chúng ta được phép coi nhẹ phần này. Bởi chính những kiến thức này các em được gặp lại ở các lớp trên, đặc biệt là trong quá trình chứng minh hình học khi biến đổi để tìm ra các đoạn thẳng tỉ lệ, biến đổi các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để tính độ dài đoạn thẳng, tìm ra các tỉ số đoạn thẳng cần chứng minh…Vì vậy, ngoài việc dạy lí thuyết giáo viên chú ý khắc sâu kiến thức trọng tâm của bài học, chúng tôi đã phân loại các bài toán theo từng dạng trong quá trình dạy học của mình, để giúp các em có được những kĩ năng tốt, những kinh nghiệm quý báu khi giải các bài tập có liên quan. II/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ. Qua giảng dạy toán 7, khi học sinh giải dạng toán này thường vấp các sai sót, lỗi sai là do cách trình bày; do các em thường nhầm tính chất. Tôi đã điều tra học sinh lớp 7 ở trường THCS Hoằng Sơn hai bài toán về dãy tỉ số bằng nhau, như sau: 1 Bài 1: Tìm các số x; y biết: a, 10 yxvµ =+= 32 y x b, 90 xvµ == y y x 52 Bài 2: So sánh các số a, b, c biết )0;;( ≠== cba a c c b b a Kết quả khảo sát cho thấy. Bài 1: ở câu a: có 20% số học sinh làm sai (Lỗi sai phần lớn là do trình bày) 2 5 10 3232 == + + =>= yxyx => x = 2.2 = 4 ; y = 3.2 = 6 b. Có 30 em làm sai. Lỗi sai là do các em nhầm tính chất như sau: 9 10 90 5.2 . 5252 =====>= yxyxyx c. x = 2.9 = 18 ; y = 5.9 = 45 Bài 2: Có 65% số học sinh làm sai. Phần lớn các em cho lời giải. 1= ++ ++ ====>== acb cba a c c b b a d c c b b a => cba cb c b ba b a ===> ==>= ==>= 1 1 Trong khi chưa khẳng định được a + b + c ≠ 0 III: GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN “Thiết kế buổi dạy thêm toán 7 : Giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau” A/ Mục tiêu : - Học sinh biết vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải bái toán đơn giản và nhấn mạnh những sai sót thường gặp . - Bước đầu làm quen với một số bài toán phức tạp khi sử dụng tính chất của dãy tỉ sớ bằng nhau. B/ Chuẩn bị của GV và HS : GV : Soạn bài + Thước thẳng HS : Ôn lại tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau C/ Tiến trình lên lớp : I/ TÓM TẮT KIẾN THỨC : a/ Tính chất tỉ lệ thức: 1.1 d c b a = (=) ad = bc (b; d ≠ 0) 2 1.2 Từ tỉ lệ thức d c b a = ta suy ra 3 tỉ lệ thức sau: d b c a = ; a b c d a c b d == ; (với a; b; c; d khác o) b/ Tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Từ d c b a = ta suy ra. db ca b a + + = (b + d ≠ 0) (2 . 1) db ca b a − − = (b – d ≠ 0) (2 . 2) Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau f e d c b a == ta suy ra fdb eca fdb eca f e d c b a +− +− = ++ ++ === (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). II/ BÀI TẬP Dạng 1: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG (HOẶC HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG 1. Phương pháp giải. * Để tìm hai số x và y biết tổng x + y = u hoặc hiệu x-y = v và tỉ số = ta làm như sau: a, Từ = ⇒ = Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = = ⇒ x = . a ; y = . b b, Từ = ⇒ = Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = = ⇒ x = . a ; y = . b 2. Bài tập áp dụng Bài toán 1: Tìm hai số x và y biết = và x + y = 110. Giáo viên hỏi: Chú ý đến giả thiết x + y = 110 ta áp dụng tính chất nào ở trên? (tính chất 2.1). GV cho HS tình bày lời giải. - Nếu học sinh trình bày sai như đã nêu trong “Cơ sở thực tiễn” thì giáo viên gợi mở. Lời giải trên đúng hay sai? Vì sao? GV khắc sâu cho học sinh tính chính xác giữa “=>” và dấu “=”. (Với cách trình bày sai ở trên của học sinh không có cơ sở nào để tính x; y) - Nếu học sinh được gọi lên bảng trình bày đúng giáo viên cần đưa ra tình huống trên để nhắc nhở các em có thể sai nhưng chưa được gọi trả lời. Bài giải Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = = = 11. 3 Vì = 11⇒ x = 11. 7 = 77. = 11⇒ y = 11. 3 = 33. Vậy x = 77; y = 33. Để khắc sâu và phát huy tính sáng tạo của học sinh giáo viên có thể đưa ra các bài tập tương tự. Tìm x ; y ; z biết. 1. 21610 zyx == và 5x + y – 2z = 28 2. 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32 3. 5 4 4 3 3 2 zyx == và x + y + z = 49 4. 4 3 5 2 2 1 − = − = − zyx và 2x + 3y – z = 50 GV: ở bài 1, làm thế nào để áp dụng tương tự bài toán 1. (Từ giả thiết: 2 14 28 42650 25 42 2 650 5 21610 == −+ ++ ====>== zyxzyxzyx => x = 10.2 = 20 ; y = 6.2 = 12 ; z = 21.2 = 42). Giáo viên: ở bài 2, làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau áp dụng tính chất 1.1. 211510 152157 57 151032 23 zyx yzyz zy yxyx yx ===> ==>==>= ==>==>= GV: Ở bài 3, cần biết đổi giả thiết như thế nào để áp dựng tương tự bài trên. Cách 1: 4 5 3 4 2 3 5 4 4 3 3 2 zyxzyx ===>== Cách 2: 12.5 4 12.4 3 12.3 2 5 4 4 3 3 2 zyxzyx ===>== GV: Bài 4, làm tương tự bài nào trong 3 bài trên. (Tương tự bài 1) 4 3 15 63 4 22 4 3 5 2 2 1 − = − = − => − = − = − zyxzyx = 3 15 550 15 532 4154 36322 = − = −−+ = −+ +−−+− zyxzyx => 73 2 1 ==>= − x x 153 4 3 173 5 2 ==>= − ==>= − z z y y Dạng 2. TÌM HAI SỐ BIẾT TÍCH VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG 4 Từ Từ 1. Phương pháp giải Giả sử hai số phải tìm x, y biết x . y = P và = . Từ = ⇒ = * Đặt = = k, ta có: x = k . a ; y = k . b. Do đó: x . y = (ka). (kb) = k 2 . ab = P ⇒ k 2 = . * Từ đó tìm được k rồi tìm x và y. 2. Bài tập áp dụng Bài tián 1 : Tìm x, y biết 52 yx = (1) và x.y = 90. Nếu giáo viên gọi một học sinh trình bày, học sinh trình bày như đã nêu ở “cơ sở thực tiễn” thì giáo viên và cả lớp phân tích chỗ sai. Sau đó gợi ý cho các em tìm lời giải. GV: Từ 52 yx = làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số trong đó có thành phần là (xy)? từ đó giúp học sinh định hướng cách giải. Cách 1: Về xy = 90 => x ≠ 0. Nhân 2 vế của (1) với x ta có: 63618.2 .18 5 90 52 2 2 ±==>===> === xx xyx + Nếu x = 6 => 15 52 6 ==>= y y + Nếu x = -6 => 15 52 6 −==>= − y y Cách 2: 9 10 90 105 . 2252 2 ==== =>= xyyxxyx => 36 2 =x + Nếu x = 6 => y = 15 + Nếu x = -6 => y = -15 Cách 3: Đặt kykxk yx 5;2 52 ===>== => 90 = xy = (2k) . (5k) = 10k 2 => k 2 = 90 : 10 = 9 => k = ± 3. + Nếu k = 3 => x = 2k = 6 => y = 5k = 15 + Nếu k = -3 => x = 2k = -6 => y = 5k = -15 . Để rèn luyện tư duy sáng tạo và khắc sâu cho học sinh giáo viên có thể ra thêm các bài tập tương tự. Bài 1: Tìm x; y biết 2x = 3y và xy = 24 Bài 2: Tìm x; y; z biết a. 332 zyx == và xyz = 810 b. 5x = 2z; 5y = 3z và xyz = 810 5 c. 15 6 3 2 zy x == và xyz = 810 Giáo viên lưu ý cho học sinh ở bài toán 2 nếu kết luận x = ± 6 ; y = ± 15 là sai. Ngoài 3 cách làm trên giáo viên có thể gợi mở cho học sinh giải bằng cách. Giáo viên hỏi: Từ 52 yx = ta có thể biểu diễn y qua x như thế nào? Thay xy = 90 ta có điều gì? Từ đó học sinh phát hiện cách 4. Cách 4: Từ 2 5 52 x y yx ==>= => 90 = xy = x. 2.905 2 5 2 5 2 2 ==>= x xx => x 2 = 636 5 2.90 ±==>= x + Nếu x = 6 => y = 15 + Nếu x = -6 => y = -15 Dạng 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỪ MỘT TỈ LỆ THỨC CHO TRƯỚC 1. Phương pháp giải: Áp dụng các tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. 2. Bài tập áp dụng Bài toán 1: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức d c b a = ( ) 0,,,;0;0 ≠≠±≠± dcbadcba Ta có thể suy sa tỉ lệ thức dc dc ba ba − + = − + Tương tự bài toán 4 ta có các hướng giải nào? Cách 1: Từ d c b a = => d b c a = (vì c; d ≠ 0) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: dc ba dc ba d b c a − − = + + == (vì c + d ≠ 0; c – d ≠ 0) Từ dc ba dc ba − − = + + áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta suy ra dc dc ba ba − + = − + Cách 2: Đặt dkcbkak d c b a ===>== ; Ta có: 1 1 )1( )1( − + = − + = − + = − + k k kb kb bbk bbk ba ba (k ≠ 1 vì a ≠ b) 1 1 )1( )1( − + = − + = − + = − + k k kd kd ddk ddk dc dc (**) Từ (*) và (**) => dc dc ba ba − + = − + 6 Cách 3: Từ adbcbcad d c b a 22 ==>==>= => bc – ad = ad - bc => ac – bd + bc – ad = ac – bd + ad – bc => (ac + bc) – (bd + ad) = (ac – bc) – (bd – ad) => c (a + b) – d (a+b) = c (a-b) + d (a-b) => (a+b) (c-d) = (a-b) (c + d) => dc dc ba ba − + = − + Để khắc sâu kiến thức cho học sinh giáo viên có thể ra các bài tập tương tự. Bài 2: Chứng minh rằng nếu a 2 = bc (với a ≠ b và a ≠ c; a,b,c ≠ 0) Thì ac ac ba ba − + = − + (*) Giáo viên cần yêu cầu học sinh tìm ra các hướng giải bài toán. Cách 1: Đặt akbckak a b c a ===>== ; Ta có: ac ac akck akck ba ba − + = − + = − + Cách 2: Từ a 2 = bc => 2a 2 = 2bc => a 2 + a 2 = bc + bc => a 2 – bc = bc – a 2 => ac – ab + a 2 – bc = ac – ab + bc – a 2 => (ac – cb) + (a 2 – ab) = (ac – a 2 ) + (bc – ab) => c (a-b) + a(a-b) = a (c-a) +b (c-a) => (a-b) (c+a) = (a+b) (c-a) => ac ac ba ba − + = − + Bài 3: Cho d c b a = chứng minh rằng: a. dc dc ba ba 32 32 32 32 + − = + − (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) b. 22 2 22 2 107 53 107 53 dc acc ba aba − + = − + GV từ d c b a = để đi đến kết luận ta suy nghĩ tìm cách làm xuất hiện các biểu thức 2a ± 3b; 2c ± 3d Muốn vậy ta phải làm thế nào? (Cần đưa a và b lên trên còn c và d xuống dưới các tỉ số) => cách giải. Từ d c b a = ta có: dc ba dc ba d b c a d c b a 32 32 32 32 3 3 2 2 − − = + + ==== 7 Do đó dc dc ba ba 32 32 32 32 − + = − + b. Giáo viên tương tự như câu a, nhưng là để xuất hiện a 2 ; ab; b 2 ở trên các tỉ số. Từ d c b a = ta có d b c a = suy ra 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 107 107 53 53 10 10 7 7 5 5 3 3 dc ba cdc aba d b c a cd ab d a d b cd ab c a − − = + + ======= Từ đó ta có: 22 2 22 2 107 53 107 53 dc cdc ba aba − + = − + Giáo viên dựa vào các cách giải các bài toán trên có thể đề xuất bài toán tổng quát như thế nào? Cho tỉ lệ thức d c b a = Chứng minh rằng: a. c mdkc a mbka + = + b. mdkc mdkc mbka mbka − + = − + c. nn nn nn nn qdpc mdkc qbpa mbka − + = − + d. qcdpdlc kcdndmc qabpbla kabnbma +− ++ = +− ++ 22 22 22 22 (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) D/ Hướng dẫn học ở nh à : + Xem lại các bài tập đã sữa . + Làm bài tập ở từng dạng . PHẦN C : KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1. Kết quả đạt được: Sau khi áp dụng phương pháp giảng dạy trên trong tiết dạy tăng buổi, tôi thấy nhiều em có lời giải chính xác, trình bày bài giải rõ ràng, mạch lạc. Có nhiều em còn tìm ra nhiều cách giải từ một bài toán. Đặc biệt là có hai em tham gia thi học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2012 – 2013 đã làm tốt dạng toán này. Qua đó thấy các em yêu thích học môn toán hơn, tự tin trong học tập, phát huy tư duy sáng tạo, khả năng suy ngẫm của các em. Qua bài kiểm tra của các em, tôi thấy chất lượng học tập của học sinh được tăng lên, nhiều em học sinh yếu kém đã vươn lên trung bình. Kết quả cụ thể như sau: 2. Bài học kinh nghiệm: 8 - Dù một bài toán đơn giản đến bao nhiêu thì trình bày lời giải rõ ràng, chặt chẽ, chính xác là hết sức cần thiết. - Cần tạo cho học sinh biết suy nghĩ, hiểu rõ bản chất bài toán thì mới có thể cho lời giải chính xác được. - Ngoài ra tìm nhiều cách giải cho một bài toán cũng rất quan trọng nó giúp học sinh biết suy nghĩ vấn đề một cách kỹ càng, biết lựa chọn cách hay nhất, phù hợp nhất. Học sinh biết mở rộng bài toán, đề xuất bài toán tương tự, từ đó phát triển tư duy sáng tạo trong học toán. Kinh nghiệm nhỏ này viết với mong muốn góp một phần nhỏ bé vào công cuộc đổi mới phương pháp dạy học đáp ứng yêu cầu của giáo dục hiện nay. Chắc chán bài viết còn nhiều thiết sót mong được sự góp ý bổ sung của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn! Hoằng Sơn , ngày 80 tháng 5 năm 2013 Người viết Võ Minh Chung ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI HĐKH NGÀNH 9 . giải từ một bài toán. Đặc biệt là có hai em tham gia thi học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2012 – 2013 đã làm tốt dạng toán này. Qua đó thấy các em yêu thích học môn toán hơn, tự tin trong học tập,. của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn! Hoằng Sơn , ngày 80 tháng 5 năm 2013 Người viết Võ Minh Chung ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI HĐKH NGÀNH 9