Nguyễn Quỳnh Liên ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I/ Phương pháp chung: 1. Qui tắc tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (α) : - Tìm mặt phẳng (β) chứa a. - Tìm giao tuyến ∆ của (α) và (β). - Trên (β) , ∆ cắt a tại I. I chính là giao điểm của a và (α). 2. Chứng minh các điểm thẳng hàng: Chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt (cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó). 3. Chứng minh các đường thẳng đồng quy: - Cách 1: Chứng minh chúng cùng chia một đoạn thẳng theo tỉ lệ. - Cách 2: Chứng minh chúng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng. - Cách 3: Chứng minh chúng không song song và là giao tuyến của ba đường thẳng phân biệt. - Cách 4: Tim giao điểm của hai đường thẳng và chứng mimh đường thẳng kia cũng đi qua điểm đó. 4. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Cách 1: Tìm hai điểm chung của 2 mặt phẳng. - Cách 2: Tìm 1 điểm chung và phương của giao tuyến (khi đó giao tuyến là đường thẳng có phương đã biết và đi qua điểm chung. 5. Xác định thiết diện (Phương pháp giao tuyến gốc) Để xác định thiết diện của 1 mặt phẳng với hình chóp ta tìm tất cả các giao tuyến tạo bởi mặt phẳng đó và các mặt của hình chóp: - Bước 1: Xác định giao điểm gốc: là điểm mặt phẳng giao với hình chiếu. - Bước 2: Xác định giao tuyến gốc: là giao tuyến của mặt phẳng với một mặt của hình chóp. - Bước 3: Tìm giao điểm của giao tuyến gốc với những đường cùng nằm trong một mặt phẳng với nó, từ đó xác định tiếp những giao tuyến tiếp theo của mặt phẳng với các mặt còn lại của hình chóp. II/ Bài tập: 1. Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trên một mặt phẳng. Gọi M là điểm tùy ý trên cạnh BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a) (ABC) và (ABD); (BCD) và (ABC). b) (ADM) và (ABC). c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AD, tìm giao tuyến của (ADM) và (BCN). 2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, SD, CD.Tìm giao tuyến của: a) (SAC) và (SBD). b) (MNP) và (SAB). 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD và BC. a) Tìm giao tuyến của (ABM) và (AND). b) Gọi I là điểm trên cạnh AC sao cho CI = 2AI. Tìm giao tuyến của (IMN) và (ABD). 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong tam giác SAB lấy điểm M, trong tam giác SAD lấy điểm N. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng (SMN) và (ABCD); (AMN) và (SCD). 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC). 6. Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AC. M là điểm tùy ý trên cạnh AD. a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD). b) Gọi N là giao điểm của BD và d; K là giao điểm của IN và JM. Tìm giao tuyến của (ABK) và (MIJ). 7. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là hai điểm trên cạnh BC và SD. a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC), giao điểm J của MN và (SAC) b) Chứng minh C, I, J thẳng hàng. Nguyễn Quỳnh Liên 8. Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm BC, N là điểm trên cạnh BD sao cho BN = 3ND. a) Tìm giao điểm của MN và (ACD). b) Gọi P là trung điểm AD. Tìm giao điểm của AD với (MNP). 9. Cho hình chóp S.ABCD. M là điểm trên cạnh SC nhưng không trùng với S và C. a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD), giao điểm N của SD và (ABM). b) Gọi J là điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMJ). c) Giả sử MN cắt CD tại K, chứng minh A, B, K thẳng hàng. 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK = 2KD. a) Tìm giao điểm E của CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh DE = DC. b) Tìm giao điểm F của AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh FA = 2FD. c) Gọi M, N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và (IJK). 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm G của MN và mặt phẳng (AID). Chứng minh G là trung điểm MN. 12. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB và SC. a) Tìm giao điểm I, K của AN và MN với (SBD). b) Chứng minh B, I, K thẳng hàng. 13. Cho tứ diện ABCD, gọi O là điểm tùy ý nằm bên trong tam giác BCD, I là trung điểm OA. a) Tìm giao điểm J của BI với (ACD). b) Gọi H là giao điểm của ID với (ABC). Chứng minh ba đường thẳng AH, BC, OD đồng quy. 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AC, BC. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP = 2PD. a) Tìm giao điểm Q của (MNP) và đường thẳng AD. b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tìm giao điểm của BG với mặt phẳng (MNP). 15. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BD. P là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AP = 2PC. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện với (MNP). 16. Cho hình chóp S.ABCD, trong tam giác SCD lấy điểm M. Tìm thiết diện của hình chóp với mp (ABM). 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm nằm trên các cạnh AD, CD, SO. Xác định thiết diện của hình chóp với (MNI). 18. Cho S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, SD, OC. a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) và giao điểm của (MNP) với SA. b) Xác định thiết diện tạo bới hình chóp với (MNP). 19. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là hai điểm lần lượt nằm trên hai cạnh BC, SD. a) Tìm giao điểm I cỉa BN và (SAC), giao điểm J của MN và (SAC). b) Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh S, K, J thẳng hàng. c) Xác định thiết diện của hình chóp với (BCN). 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau đây: a) (P) qua trung điểm M của cạnh AD, trung điểm N của cạnh CD và điểm P trên cạnh SC (không trùng với S và C). b) (P) qua trung điểm M của AD, trung điểm N của SD và điểm P trên cạnh SC với CP = 2PS. c) (P) qua A, trung điểm M của SB và trọng tâm G của tam giác SAC. 21. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Kéo dài BC (về phía C) một đoạn CE = a, kéo dài BD (về phía D) một đoạn DF = a. Gọi M là trung điểm AB. a) Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện với mặt phẳng (MEF). b) Tính diện tích thiết diện. . Nguyễn Quỳnh Liên ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I/ Phương pháp chung: 1. Qui tắc tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (α) : - Tìm mặt phẳng (β) chứa a. - Tìm giao tuyến ∆. bởi mặt phẳng đó và các mặt của hình chóp: - Bước 1: Xác định giao điểm gốc: là điểm mặt phẳng giao với hình chiếu. - Bước 2: Xác định giao tuyến gốc: là giao tuyến của mặt phẳng với một mặt. Tim giao điểm của hai đường thẳng và chứng mimh đường thẳng kia cũng đi qua điểm đó. 4. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Cách 1: Tìm hai điểm chung của 2 mặt phẳng. - Cách 2: Tìm 1 điểm