Thi thử lần 2 - HQ - Khối A, A1, B, V

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2013 MÔN: TOÁN; KHỐI: A - A 1 - B - V Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 3 2 y x mx = − + (1), với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt đường tròn (C): ( ) ( ) 2 2 2 1 4 x y − + − = tâm I tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2 . Câu 2 ( 2,0 điểm). 1. Giải phương trình: ( )( ) 2 sin os 2cos 1 tan sin +cos sin cos 1 sin − + − = + − x c x x x x x x x x 2. Giải bất phương trình: 3 2 4 2 3 2 2 2 x x x x x − + ≤ − ( ) ∈ ℝ x Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân: 1 2 0 4 4 = + + ∫ x x x xe I dx e e Câu 4 (1,0 điểm). Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, I lần lượt là các trung điểm của các cạnh AA', AB, BC. Biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 45 0 . Tính thể tích khối chóp N.AC'I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A'C. Câu 5 (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn: 3 2 a b c + + = , ta có: 2 2 2 2 2 2 3 3 4 1 4 1 4 1 4 + + + + + + + + ≥ + + + a ab b b bc c c ca a bc ca ab Câu 6 (2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh D(-6; -6), đường trung trực cạnh CD là ∆ : 2 3 17 0 x y + + = và đường thẳng chứa phân giác trong của góc  BAC là : d 5 3 0 x y + − = . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3; 1; 2), đường thẳng 1 : 1 2 2 + = = − x y z d và mặt phẳng ( ): 2 2 2 9 0 + + − = P x y z . Viết phương trình đường thẳng ' d qua M, cắt d và (P) lần lượt tại A và B sao cho 2 =   MA AB . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 3 2 iz z i − = − − . Cho điểm ( 1; 5) − N , tìm z để độ dài MN nhỏ nhất. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: 1 TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG Tổ: Toán *** ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2013 MÔN TOÁN - KHỐI A - A 1 - B - V ( Đ áp án – Thang đ i ể m g ồ m 4 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 1. (1,0 điểm) Kh ả o sát Khi m = 1, hàm s ố (1) tr ở thành: 3 3 2 y x x = − + * T ậ p xác đị nh: ℝ * S ự bi ế n thiên: 2 1 ' 3 3; ' 0 1 x y x y x = −  = − = ⇔  =  0,25 ( ) ( ) ' 0 ; 1 1; y x > ∀ ∈ −∞ − ∪ + ∞ ; ( ) ' 0 1;1 y x< ∀ ∈ − ⇒ Hàm s ố đồ ng bi ế n trên các kho ả ng ( ) ( ) ; 1 và 1;+ −∞ − ∞ ; Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên kho ả ng ( ) 1;1 − C ự c tr ị : Hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i x = -1;y CĐ = 4.Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i x = 1; y CT = 0 Gi ớ i h ạ n: ( ) ( ) 3 3 lim lim 3 2 ; lim lim 3 2 . x x x x y x x y x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ = − + = −∞ = − + = +∞ 0,25 B ả ng bi ế n thiên: x −∞ 1 − 1 +∞ y' − 0 + 0 − y 4 1 − +∞ −∞ 0 0,25 * Đồ th ị : Đồ th ị c ắ t tr ụ c Oy t ạ i đ i ể m (0; 2) và đ i qua đ i ể m A(-2; 0); B(2; 4). " 6 0 0 y x = = ⇔ = suy ra đồ th ị có đ i ể m u ố n là U(0; 2). Đồ th ị nh ậ n đ i ể m u ố n U(0; 2) làm tâm đố i x ứ ng. 0,25 2. (1,0 điểm) Tìm m để Ta có ( ) 2 2 ' 3 3 3 y x m x m = − = − , Hàm s ố có c ự c tr ị ⇔ Pt ' 0 y = có hai nghi ệ m phân bi ệ t ⇔ 0 m > (1) 0,25 '( ). 2 2 3 = − + x y y x mx . Vì x CĐ ; x CT là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình y'(x) = 0 nên y CĐ = -2m. x CĐ + 2 ; y CT = -2m. x CT + 2 Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng đ i qua hai đ i ể m c ự c tr ị c ủ a đồ th ị hàm s ố là: ( ) 2 2 2 2 0 = − + ⇔ + − = ∆ y mx mx y 0,25 I (2,0 đ) Đườ ng tròn (C) tâm (2;1) I , bán kính 2 = R . Đườ ng th ẳ ng (d) c ắ t đườ ng tròn t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t khi và ch ỉ khi ( ) 2 4 1 ; 2 4 1 − ∆ < ⇔ < + m d I R m 0,25 f(x)=x^3-3x+2 1 2 4 x y -2 o 2     0 1 . .sin 2sin 2 sin 1 90 2 ∆ = = = ⇔ = ⇔ = IAB S IA IB AIB AIB AIB AIB Tam giác IAB vuông cân t ạ i I nên đườ ng cao 2 4 1 2 2 6 2 2 2 2 4 4 1 m AB R IC m m − ± = = = ⇔ = ⇔ = + Đố i chi ế u đ i ề u ki ệ n (1) ta có 2 6 4 m + = . 0,25 1. (1,0 điểm) Gi ả i ph ươ ng trình Đ i ề u ki ệ n: { os 0; sin 1; sin os 0 c x x x c x ≠ ≠ + ≠ ( )( ) 2 2 sin sin cos 2cos 1 cos sin cos sin cos 1 sin − + ⇔ = + + + − x x x x Pt x x x x x x 0,25 ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 sin sin cos 2cos 1 sin cos sin cos 1 sin − − + + ⇔ = + − x x x x x x x x x ( )( ) 2 2 2 1 cos sin sin cos sin cos 1 1 sin 1 sin sin cos − − + + + ⇔ = − − + x x x x x x x x x x 0,25 ( )( ) (1 cos )(1 cos ) (sin cos )(1 cos ) (1 sin )(1 sin ) sin cos 1 sin x x x x x x x x x x − + + + ⇔ = − + + − 0,25 cos 1 1 cos 1 cos 1 0 2 1 sin 1 sin sin cos 0 ( ) x x x x k x x x x loai π π = −  + −   ⇔ − = ⇔ ⇔ = +    − + + =    V ậ y, ph ươ ng trình có nghi ệ m là 2 , ( ) x k k π π = + ∈ ℤ . 0,25 2. (1,0 điểm) Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình ( ) 2 3 2 4 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 − + − + ≤ ⇔ ≤ − − x x x x x x x x x x ; Đ K: 0; 1 1 1 1 ≠  ⇔ < − ∨ >  < − ∨ >  x x x x x 0,25 V ớ i 1 < − x : ( ) 2 2 3 2 2 ; 2 1 − + ⇔ ≤ − − x x Bpt x 0 ; 0 < > VT VP bpt luôn nghi ệ m đ úng. 0,25 V ớ i 1 2 < ≤ x : ( ) 2 2 3 2 2 ; 2 1 − + ⇔ ≤ − x x Bpt x 0 ; 0 ≤ > VT VP bpt luôn nghi ệ m đ úng 0,25 II (2,0 đ) V ớ i 2 > x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 10 15 9 0 3 2 4 3 0 3 − + ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ − − ⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ + ⇔ − + − ≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ ≤ x x Bpt x x x x x x x x x x x x x x x x x x V ậ y t ậ p nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là: ( ] ( ; 1) 1;3 −∞ − ∪ 0,25 (1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 1 1 2 2 0 0 . . 4 4 2 = = + + + ∫ ∫ x x x x x x e x e I dx dx e e e Đặ t ( ) ( ) 2 1 2 2 =  =    ⇒   = = −   + +   x x x u x du dx e dv dx v e e 0,25 III (1,0 đ) ( ) 1 1 0 0 1 ( 2) 2 2 − − = + = + + + + ∫ x x x dx I J e e e 0,25 3 Tính 1 0 ( 2) = + ∫ x dx J e Đặ t [ ] [ ] ; 0;1 1; = ∈ ⇒ ∈ x t e x t e ; ta có: = ⇒ = x dt dt e dx dx t . Suy ra ( ) 1 2 = + ∫ e dt J t t 0,25 1 1 1 1 1 1 1 ln ln ln3 2 2 2 2 2 2       ⇔ = − = = +       + + +       ∫ e e t e J dt t t t e V ậ y, 1 1 3 ln 1 2 1 − = + + + e I e e 0,25 Tính th ể tích 0,25 0,25 0,25 IV (1,0 đ) Ta có ( ) ( ) '∩ = ABC A BC BC vì ; ' ' ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ AI BC AA BC A I BC nên góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng (ABC) và (A'BC) là góc gi ữ a A'I và AI b ằ ng góc  0 ' 45 =A IA 0 3 '. '. 3 ' .tan 45 2 1 4 32 ⇒ = = ⇒ = = C ANI C ABC a AA AI a V V / / ' / /( ' ) 1 ( , ' ) ( ,( ' )) ( ,( ' )) 2 ⇒ ⇒ = = MN A B MN A BC d MN A C d M A BC d A A BC 2 '. ' 0 ' 3 6 ( ;( ' )) ; os45 4 = = = = A ABC ABC A BC A BC V S a d A A BC S S c '. ' 3 6 ( ;( ' )) 4 ⇒ = = A ABC A BC V a d A A BC S Vậy, 6 ( , ' ) 8 = a d MN A C 0,25 Ch ứ ng minh Ta có ( ) 2 2 3 2 + + ≥ + a ab b a b và ( ) 2 4 + ≥ a b ab . Suy ra: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 4 1 4 1 4 1 2 1 1 1   + + + + + +   ≥ + + ≥ + +     + + +   + + + + + +     a b b c c a a b b c c a VT bc ca ab b c c a a b 0,25 Đặ t ; ; + = + = + = a b x b c y c a z , khi đ ó , , 0 > x y z và 3 + + = x y z 2 2 2 3 2 1 1 1   ≥ + +   + + +   x y z VT y z x . Ta ch ứ ng minh 2 2 2 3 1 1 1 2 + + ≥ + + + x y z y z x 0,25 Áp d ụ ng B Đ T Côsi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 6 2         + + − + + = − + − + −         + + + + + +         = + + ≤ + + ≤ + + = + + + x y z x y z x y z x y z y z x y z x xy yz zx xy yz zx x y z y z x 0,25 V (1,0 đ) Hay 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 1 1 1 2 − + + ≤ ⇔ + + ≥ + + + + + + x y z x y z y z x y z x ( đ pcm). 0,25 4 D ấ u b ằ ng x ả y ra khi và ch ỉ khi 1 2 = = = a b c . 1. (1,0 điểm) Tìm t ọ a độ các đỉ nh c ủ a hình bình hành Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng CD qua D và vuông góc v ớ i ∆ là ( ) ( ) 3 6 2 6 0 3 2 6 0 ( ) + − + = ⇔ − + = x y x y CD 0,25 = ∩ ∆ M CD nên t ọ a độ M là nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình: 3 2 6 0 4 2 3 17 0 3 − + = = −   ⇔   + + = = −   x y x x y y ( ) 4; 3 ⇔ − − M .Mà M là trung đ i ể m CD nên ( ) 2; 0 −C 0,25 G ọ i C' là đ i ể m đố i x ứ ng v ớ i C qua đườ ng th ẳ ng d : nên ( ) ' 3;1 C . Ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng AB qua C' và song song v ớ i đườ ng th ẳ ng CD là 3 2 ; 1 3 = +   = +  x t y t . 0,25 = ∩ A AB d nên t ọ a độ đ i ể m A là nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình: 3 2 1 3 5 3 0 = +   = +   + − =  x t y t x y (1; 2) ⇔ − A . M ặ t khác (5; 4) = ⇔   AB DC B 0,25 2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng ' d Điểm ( ) 1 : ; 1 2 ; 2 ( 3; 2 2 ; 2 2 ) 1 2 2 + ∈ = = ⇒ − − + ⇒ = − − − + − + −  x y z A d A t t t MA t t t 0,25 3 3 ( 3; 2 2 ; 2 2 ) =2 ( ; 3 2; 3 1) 2 2 − = − − − + − + ⇔ − − −   MA t t t AB B t t t 0,25 Mà điểm B thuộc mặt phẳng (P) nên: 3 3 6 4 6 2 9 0 2 − − + − + − − = ⇔ = t t t t . Suy ra ( 2; 3; 4) − A 0,25 VI (2,0 đ) Vậy, phương trình đường thẳng qua A, M là 2 3 4 ': 5 2 2 + − − = = − x y z d . 0,25 Tìm tập hợp điểm Giả sử , ( ; ) = + ∈ ℝ z x yi x y . Điểm ( ; ) M x y biểu diễn z. 3 2 3 2 − = − − ⇔ − − = + − − iz z i ix y x yi i 0,25 3 2 ( 1) ⇔ − − + = − + − y xi x y i 2 2 2 2 ( 3) ( 2) ( 1) ⇔ + + = − + − y x x y 0,25 4 8 4 0 2 1 0 ⇔ + + = ⇔ + + = x y x y Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình: 2 1 0 + + = x y (d) 0,25 VII (1,0 đ) Khoảng cách MN ngắn nhất khi M là hình chiếu của N trên đường thẳng d. Điểm M thuộc d nên ( 2 1; ) − − M m m , . 0 ⊥ ⇔ =   d NM d NM u ; ( 2 ; 5); (2; 1) − − −   d NM m m u . 4 5 0 1 ( 3;1) ⇒ = − + − = ⇔ = ⇔ −   d NM u m m m M 3 ⇔ = − + z i 0,25 Lưu ý: Học sinh làm cách khác đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. HẾT 5 . > VT VP bpt luôn nghi ệ m đ úng 0 ,25 II (2, 0 đ) V ớ i 2 > x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 10 15 9 0 3 2. x x x 0 ,25 V ớ i 1 < − x : ( ) 2 2 3 2 2 ; 2 1 − + ⇔ ≤ − − x x Bpt x 0 ; 0 < > VT VP bpt luôn nghi ệ m đ úng. 0 ,25 V ớ i 1 2 < ≤ x : ( ) 2 2 3 2 2 ; 2 1 − + ⇔ ≤ − x. z v 3 + + = x y z 2 2 2 3 2 1 1 1   ≥ + +   + + +   x y z VT y z x . Ta ch ứ ng minh 2 2 2 3 1 1 1 2 + + ≥ + + + x y z y z x 0 ,25 Áp d ụ ng B Đ T Côsi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2