1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ðỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 ñiểm) Cho hàm số 3 2 2 2 1 y x mx m x m = − + − + có ñồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số khi m = 1 2. Tìm m ñể ñồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành. Câu 2: (2 ñiểm) 1. Giải phương trình 1 2(cos sin ) cot 2 cot 1 x x tgx g x gx − = + − . 2. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 4 3 x y x y x y x y + + + = − + − = . Câu 3: (2 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) : 2 2 1 x y + = . Tìm các giá trị thực của m sao cho trên ñường thẳng 0 x y m − + = có duy nhất một ñiểm mà từ ñó có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 90 0 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 0 x y z + + + = và ñường thẳng (d): 3 1 2 2 1 1 x y z − − − = = − . Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M(1;0;-1) và cắt ñường thẳng (d) tại ñiểm A, cắt mặt phẳng (P) tại ñiểm B sao cho M là trung ñiểm của AB. Câu 4: (1 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc giữa ñường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0 . Gọi M, N, E là trung ñiểm của các cạnh CD, SC và AD. Gọi F là hình chiếu của E lên cạnh SD. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và chứng minh rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF). Câu 5: (2 ñiểm) 1. Tính tích phân 2 8 3 1 1 dx x x + ∫ 2. Tính tổng: 1 3 5 2010 2008 2006 2011 2011 2011 2011 2011 .2 .2 .2 C C C C + + + + Câu 6: (1 ñiểm) Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn 3 x y z + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 3 3 3 P xy yz zx x y z = + + + + + H ẾT Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên:…………………………………………………SBD:………………………………… 2 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ KỲ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM MÔN: TOÁN Câu ý Nội dung ðiểm Với m=1 ta có 3 2 2 y x x x = − + TXð: R 2 ' 3 4 1 0 y x x = − + > . 1 ' 0 1 3 x y x = = ⇔ = 0,25 Giới hạn: lim x y →±∞ = ±∞ bảng biến thiên x -∞ 1 3 1 +∞ y’ + 0 - 0 + y 0,25 Hàm số ñồng biến trên khoảng 1 ( ; );(1; ) 3 −∞ +∞ Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ( ;1) 3 ðiểm cực ñại 1 4 ( ; ) 3 27 ; ñiểm cực tiểu (1;0) 0,25 1 ðồ thị ðiểm uốn I 2 2 ( ; ) 3 27 2 -2 -5 5 Nhận xét: ñồ thị nhận ñiểm I 2 2 ( ; ) 3 27 là tâm ñối xứng 0,25 1 (2ñiểm) 2 ðồ thị hàm số 3 2 2 2 1 y x mx m x m = − + − + tiếp xúc với trục hoành 0,25 O y x +∞ -∞ 0 4 27 3 3 2 2 2 2 2 1 0 3 4 0 x mx m x m x mx m − + − + = ⇔ − + = có nghiệm 3 2 2 2 1 0(1) 3 x mx m x m x m x m − + − + = ⇔ = = 0,25 Với x = m thế vào (1) ta ñược : m=1 0,25 Với 3x = m thế vào (1) ta ñược : 3 3 3 3 6 9 3 1 0 4 3 1 0 1 3 1 3 2 2 x x x x x x x m x m − + − + = ⇔ − + = = − ⇒ = − ⇔ = ⇒ = Vậy m = 1; m= -3; m = 3 2 0,25 ðiều kiện : ≠+ ≠ ≠ 02cot 1cot 02sin xgtgx gx x 0,25 Pt ⇔ xx xxx xgtgx sincos sin)sin(cos2 2cot 1 − − = + ⇔ x x x x x sin2 2 sin 2cos cos sin 1 = + ⇔ sin2x = 2 sinx 0,25 ⇔ sinx(2cosx – 2 ) = 0 ⇔ 2cosx – 2 = 0 (vì sin2x ≠ 0) ⇔ cosx = 2 2 ⇔ x = )(2 4 Zkk ∈+± π π 0,25 1 v ớ i x = )(2 4 Zkk ∈+ π π thì cotgx = 1 (lo ạ i) v ớ i x = )(2 4 Zkk ∈+− π π th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là : x = )(2 4 Zkk ∈+− π π 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 4 4 0 x y x y x y x y x y x y x x y y ⇔ + + + = + + + = − + − = + + − − − = 2 2 2 2 2 2 2(1) 2 1 ( 1) ( 2) 0 3 x y x y x y x y x y x y x y ⇔ ⇔ + + + = + + + = = + + − + = = − − 0,5 V ớ i x = y+1 th ế vào (1) ta ñượ c : 2 0 1 2 4 0 2 1 y x y y y x = ⇒ = + = ⇔ = − ⇒ = − 0,25 2 (2 ñ i ể m) 2 V ớ i 3 x y = − − th ế vào (1) ta ñượ c : 0,25 4 O B A M 2 1 2 2 6 4 0 2 1 y x y y y x = − ⇒ = − + + = ⇔ = − ⇒ = − Vậy hệ có 3 nghiệm là (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1) Gọi M(a;a+m) là ñiểm thuộc ñường thẳng d Goi A ,B là hai tiếp ñiểm Vì 2 tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc với nhau nên ∆ MAB vuông cân tại M 0,25 Vì ∆MAB vuông cân tại M nên suy ra ∆MAO vuông cân tại A ta có: 2 2 2 2 MO OA AM = + = 0,25 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 0 a a m a am m + + = ⇔ + + − = (1) Trên ñường thẳng d tìm ñược duy nhất một ñiểm M ⇔ phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’=0 ⇔ m = ±2. Vậy m =±2 thoả mãn ñầu bài 0,5 Phương trình tham số của (d) 3 2 3 1 2 1 2 1 1 2 x k x y z y k z k = + − − − = = ⇔ = − − = + Gọi A(3+2k;1-k;2+k) thuộc ñường thẳng (d). Vì M là trung ñiểm của AB nên tọa ñộ của B(-1-2k;-1+k;-4-k) Vì B thuộc mặt phăng (P) suy ra : 1 2 1 4 4 0 1 k k k k − − − + − − + = ⇔ = − 0,25 0,25 3 (2 ñ i ể m) 2 Suy ra A(1;2;1) (0; 2; 2) / /(0;1;1) AM⇒ − − uuuur V ậ y ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng c ầ n tìm là 1 1 x y k z k = = = − + 0,5 4 (1 ñ i ể m) N H M E F D C A B S 5 Gọi H là hình chiếu của S lên AB. Vì ( ) ( ) ( ) SAB ABCD SH ABCD ⊥ ⇒ ⊥ mà ∆SAB cân tại S nên H là trung ñiểm của AB. Vì ( ) SH ABCD ⊥ ⇒ 0,25 Ta có 2 2 2 2 5 5 4 2 DH AD AH a SH DH a = + = ⇒ = = Vậy 3 1 5 . 3 6 SABCD ABCD V SH S a = = 0,25 Vì ∆CDE=∆DAH suy ra Mà SH ⊥ CE ⇒ CE ⊥ (SDH) ⇒ CE ⊥ SD mà EF ⊥ SD ⇒ SD ⊥ (CEF) 0,25 Mặt khác ta có SD//MN nên SD//(AMN) Suy ra (AMN) ⊥ (CEF) 0,25 ðặt 2 2 2 1 1 t x t x tdt xdx = + ⇒ = + ⇒ = 3 2 8 3 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 0,25 3 2 2 8 3 2 3 2 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 1 1 1 dx dt dt t t x x t = − ∫ − + + = − ∫ ∫ 0,25 1 3 2 1 1 ln 2 1 1 3 | ln 2 2 t t − = + = 0,5 5 (2ñiểm) 2 1 3 5 2010 2008 2006 2011 2011 2011 2011 2011 .2 .2 .2 C C C C + + + + Ta có 1 2 0 2011 2010 2009 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 .2 .2 .2 (1 2) 3C C C C = + + + + = + 1 2 0 2011 2010 2009 2011 2011 1 2011 2011 2011 2011 .2 .2 .2 (2 1)C C C C = − −+ − = − Vậy 1 3 5 2011 2010 2008 2006 2011 2011 2011 2011 2011 3 1 .2 .2 .2 2 C C C C + − + + + = 0,25 0,5 0,25 6 (1ñiểm) Ta có: 3 3 1 x y z xyz xyz + + ≥ ⇒ ≤ Ta có 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 9xy yz zx x y z x y z xyz + + + + + ≥ + Mà 2 2 2 3 3 3 1 1 3 3 3 9 x y z xyz xyz + + ≥ Và 3 1 3 3 xyz ≥ Suy ra 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 9 12 P xy yz zx x y z x y z xyz = + + + + + ≥ + ≥ Vậy Pmin =12 khi x=y=z=1 0,25 0,25 0,25 0,25 Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác ñáp án nếu ñúng vẫn cho ñiểm tối ña . 20 11 20 11 20 11 .2 .2 .2 (1 2) 3C C C C = + + + + = + 1 2 0 20 11 20 10 20 09 20 11 20 11 1 20 11 20 11 20 11 20 11 .2 .2 .2 (2 1)C C C C = − −+ − = − Vậy 1 3 5 20 11 20 10 20 08 20 06 20 11 20 11 20 11 20 11. 0 ,25 1 3 2 1 1 ln 2 1 1 3 | ln 2 2 t t − = + = 0,5 5 (2 iểm) 2 1 3 5 20 10 20 08 20 06 20 11 20 11 20 11 20 11 20 11 .2 .2 .2 C C C C + + + + Ta có 1 2 0 20 11 20 10 20 09 20 11 20 11 20 11 20 11 20 11. : x = ) (2 4 Zkk ∈+− π π 0 ,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 4 4 0 x y x y x y x y x y x y x x y y ⇔ + + + = + + + = − + − = + + − − − = 2 2 2 2 2 2 2( 1) 2 1 ( 1) ( 2) 0 3 x