SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2013 MÔN: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề. Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 ( 2) ( 1) 2 (1) y x m x m x= − + + − + , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1 m = . b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cách đều đường thẳng 2 x = . Câu 2 (2,0 điểm). a) Giải phương trình ( ) 2 2 3sin sin2 2 3 sin cos 1 0 x x x x + + − − − = . b) Giải phương trình 2 2 91 2,x x x x + = + − ∈ ℝ . Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 1 2 0 ( 1) 1 x x x xe x e I dx e + + = + ∫ . Câu 4 (1,0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 0 120 ABC = . Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ) ABCD bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD và côsin của góc giữa hai đường thẳng SC và BD . Câu 5 (1,0 điểm). Cho hai số thực , x y thay đổi, thỏa mãn [ ] , 1;3 x y∈ − và 3 3 2 x y + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P x y = + . Câu 6 (2,0 điểm). a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A . Điểm (3;1) M là trung điểm cạnh AB , đỉnh C thuộc đường thẳng 6 0 x y − + = . Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình 2 0 x y − = . Tìm tọa độ các đỉnh , , A B C . b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ): 2 2 3 0 P x y z + − − = và hai đường thẳng 1 4 1 : 2 1 2 x y z d − − = = − , 2 3 7 5 : 2 2 3 x y z d + − + = = − . Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( ) P , cắt 1 d và 2 d tại các điểm , A B sao cho 3 AB = . Câu 7 (1,0 điểm). Tìm số phức z biết 1 13 z + = và 2 z là số thuần ảo. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: Chữ kí giám thị: - 2 - TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG Tổ: Toán *** ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2013 MÔN: TOÁN; Khối D (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN Điểm a. (1,0 điểm) Khi 1 m = , ta có hàm số 3 2 3 2 y x x = − + * Tập xác định: ℝ * Sự biến thiên: 2 2 0 ' 3 6 ; ' 0 3 6 2 x y x x y x x x = = − = ⇔ − ⇔ = 0,25 ( ) ( ) ' 0 ;0 2;y x > ⇔ ∈ −∞ ∪ + ∞ ; ( ) ' 0 0; 2 y x< ⇔ ∈ Các khoảng đồng biến ( ) ( ) ;0 và 2;+ −∞ ∞ , khoảng nghịch biến ( ) 0; 2 . Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0 x = ; y CĐ = 2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y CT = -2. Giới hạn: ( ) ( ) 3 2 3 2 lim lim 3 2 ; lim lim 3 2 . x x x x y x x y x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞ = − + = −∞ = − + = +∞ 0,25 Bảng biến thiên 0,25 Đồ thị Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;2) và cắt trục hoành tại các điểm ( ) ( ) ( ) 1;0 , 1 3;0 , 1 3;0 − + . '' 6 6 '' 0 1 y x y x = − ⇒ = ⇔ = . Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (1;0) I . 0,25 b. (1,0 điểm). 3 2 ( 2) ( 1) 2 (1) y x m x m x= − + + − + 2 ' 3 2( 2) 1 y x m x m ⇒ = − + + − Ta có 2 ' 0 3 2( 2) 1 0 y x m x m = ⇔ − + + − = (2) Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt ( ) ( ) 2 2 ' 0 2 3 1 0 7 0m m m m m ⇔ ∆ > ⇔ + − − > ⇔ + + > ⇔ ∈ ℝ . 0,25 1 (2,0 điểm) Gọi các nghiệm của phương trình (2) là 1 2 , x x , tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là ( ) ( ) 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y với 1 1 2 2 ( ), ( ) y y x y y x = = . Hai điểm cực trị , A B của đồ thị cách đều đường thẳng ( ): 2 d x = ( ) ( ) 1 2 , , 2 2 d A d d B d x x ⇔ = ⇔ − = − 0,25 0 −∞ + 0 +∞ 2 − x ' y y −∞ +∞ 2 0 − + 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y - 3 - 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( 2) 4 x x x x x x x x − = − = ⇔ ⇔ − = − − + = Lo ạ i tr ườ ng h ợ p 1 2 x x = do hai nghi ệ m 1 2 , x x phân bi ệ t. 0,25 Xét 1 2 2( 2) 4 4 2 6 4 3 m x x m m + + = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = . Đáp số 4 m = . 0,25 a. (1,0 điểm) Gi ả i ph ươ ng trìn ( ) 2 2 3sin sin2 2 3 sin cos 1 0 x x x x + + − − − = (1) ( ) ( ) ( ) 2 (1) (2 3sin 3sin ) (sin2 cos ) (2sin 1) 0 3sin 2sin 1 cos 2sin 1 (2sin 1) 0 2sin 1 0 (2sin 1) 3sin cos 1 0 3sin cos 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + − + − = ⇔ − + − + − = − = ⇔ − + + = ⇔ + + = 0,25 Xét 2 1 6 2sin 1 0 sin , 5 2 2 6 x k x x k x k π π π π = + − = ⇔ = ⇔ ∈ = + ℤ 0,25 3 1 1 3sin cos 1 0 sin cos sin sin 2 2 2 6 6 x x x x x π π + + = ⇔ + = − ⇔ + = − 0,25 2 2 6 6 , , 3 2 2 6 6 x m x m m m x m x m π π π π π π π π π π π + = − + = − + ⇔ ∈ ⇔ ∈ = + + = + + ℤ ℤ Ph ươ ng trình đ ã cho có các nghi ệ m 2 6 x k π π = + ; 5 2 6 x k π π = + ; 2 3 x m π π = − + ; 2 x m π π = + v ớ i ,k m ∈ ℤ 0,25 b . (1,0 điểm) Gi ả i ph ươ ng trình 2 2 91 2,x x x x + = + − ∈ ℝ . Đ i ề u ki ệ n 2 x ≥ (*) ( ) 2 2 2 2 91 2 91 10 9 2 1 x x x x x x + = + − ⇔ + − = − + − − 0,25 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 91 10 91 10 2 1 2 1 3 3 2 1 91 10 9 3 3 3 2 1 91 10 x x x x x x x x x x x x x x + − + + − − − + ⇔ = − + + − + + + − − ⇔ = − + + − + + + 0,25 ( ) 2 3 1 3 ( 3) 0 2 1 91 10 x x x x x + ⇔ − − − + = − + + + ( ) 2 3 3 1 ( 3) 0 2 1 91 10 x tmdk x x x x = ⇔ + − − + = − + + + 0,25 2 (2,0 điểm) 2 3 1 ( 3) 0 2 1 91 10 x x x x + − − + = − + + + 2 1 1 ( 3) 1 0 2 1 91 10 x x x ⇔ + − − = − + + + Do 2 x ≥ nên 2 1 1 0 91 10x − < + + và ( 3) 0 x + > . Suy ra phương trình (2) vô nghiệm. Vậy 0,25 - 4 - phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 3 x = . (1,0 điểm) Tính tích phân 1 2 0 ( 1) 1 x x x xe x e I dx e + + = + ∫ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 ( 1) ( ) 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x xe x e xe x e e e I dx dx dx xe dx dx e e e e + + + = = + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0,25 1 2 0 x M xe dx = ∫ . Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x dv e dx v e = = ⇒ = = 1 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 2 4 2 4 4 4 x x x e M xe e dx e e e e + = − = − = − + = ∫ 0,25 1 1 2 0 0 . 1 1 x x x x x e e e N dx dx e e = = + + ∫ ∫ . Đặt x x t e dt e dx = ⇒ = Đổi cận 0 1; 1 x t x t e = ⇒ = = ⇒ = , ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 ln 1 ln 1 1 ln2 1 ln 1 1 1 1 e e e t N dt dt t t e e e t t e = = − = − + = − + − − = − + + + + ∫ ∫ 0,25 3 (1,0 điểm) Vậy 2 2 1 2 3 2 1 ln ln 4 1 4 1 e e I e e e e + − = + − + = + + + + 0,25 Gọi H là trung điểm đoạn AB . Tam giác SAB cân tại S nên SH AB ⊥ ( ) SH ABCD ⇒ ⊥ (Vì ( ) ( ) SAB ABCD ⊥ ) Từ giả thiết suy ra tam giác ABD là tam giác đều cạnh a, nên diện tích hình thoi ABCD là 2 0 1 3 2 2 . .sin60 2 2 ABCD ABD a S S a a= = = . 0,25 4 (1,0 điểm) Vì ( ) SH ABCD ⊥ tại H nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên ( ) ABCD , suy ra góc giữa SC và ( ) ABCD bằng góc giữa SC và HC , bằng góc SCH , hay góc SCH bằng 0 60 . Xét tam giác ABC có trung tuyến CH nên 2 2 2 2 2 4 CA CB AB CH + = − , trong đó AB CB a = = , 2 2 2 2 2 2 2 3 4 a CA AO AB OB a a = = − = − = (O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD ). vậy 2 2 2 2 2 3 7 7 2 4 4 2 a a a a a CH CH + = − = ⇒ = . Xét tam giác vuông SCH có 0 7 21 tan tan60 3 2 2 SH a a SCH SH CH CH = ⇒ = = = . 0,25 M O H D B C A S - 5 - Thể tích khối chóp SABCD là 2 3 1 1 21 3 7 . 3 3 2 2 4 ABCD a a a V SH S= = = (đvtt). Gọi M là trung điểm của SA , suy ra OM là đường trung bình của tam giác ASC nên ; 2 SC OM SC OM = , hay góc giữa 2 đường thẳng ; SC BD bằng góc giữa 2 đường thẳng ; OM BD . 0,25 Xét tam giác MBO có 0 1 7 ; 2 2 2 cos60 2 a SC HC a BO OM= = = = , MB là đường trung tuyến của tam giác SBA. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 15 15 2 2 4 8 2 2 a BS BA SA a a SB SA SH HA BM BM + = = + = ⇒ = − = ⇒ = Theo định lí cô sin trong tam giác ta có 2 2 2 7 cos 0 2 . 28 OM OB MB MOB OM OB + − = = > nên MOB nhọn và là góc giữa OM và BD . Vậy côsin của góc giữa hai đường thẳng ; SC BD là 7 28 . 0,25 Từ giả thiết suy ra 3 3 2 x y = − , thay vào P ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 2 2 P y y t t f t = − + = − + = với 3 t y = . Vì [ ] [ ] 3 3 3 1;3 1;27 25 2 3 25 3 x x x y ∈ − ⇒ ∈ − ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ − ≤ ≤ , Mặt khác, do [ ] 1;3 y ∈ − ⇒ [ ] 3 1;27 y ∈ − nên [ ] [ ] [ ] 3 25;3 1;27 1;3 t y = ∈ − ∩ − = − . 0,25 Xét hàm số ( ) f t trên [ ] 1;3 D = − , ta có ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 ' ' 0 2 1 3 3 2 f t f t t t t t t = − ⇒ = ⇔ − = ⇔ = − 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 3 1 9; 1 2; 0 2 4 f f f f f − = = + = = = 0,25 5 (1,0 điểm) [ ] ( ) ( ) ( ) 3 1;3 min min 0 2 4 P f t f f − = = = = , đạt được khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) { } 3 3 ; 0; 2 ; 2;0 x y ∈ . [ ] ( ) ( ) ( ) 3 1;3 max max 1 3 1 9 P f t f f − = = − = = + , đạt được khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) { } 3 3 ; 1; 3 ; 3; 1 x y ∈ − − . 0,25 a. (1 điểm). A thuộc đường thẳng 2 0 x y − = nên gọi tọa độ của A là ( ) ;2 a a , M(3;1) là trung điểm AB nên suy ra tọa độ B là 6 2 2 x a y a = − = − C thuộc đường thẳng 6 0 x y − + = nên gọi tọa độ của C là ( ) ; 6 c c + 0,25 6 (2,0 điểm) Gọi N là trung điểm BC, tọa độ N là 6 8 2 ; 2 2 a c a c − + − + , 0,25 - 6 - do N thuộc trung tuyến kẻ từ A nên ( ) 6 8 2 2 0 4 4;2 2 2 a c a c c C − + − + − = ⇔ = − ⇒ − . Tam giác ABC vuông tại A nên . 0 AB AC = trong đó ( ) ( ) 6 2 ;2 4 ; 4 ;2 2 AB a a AC a a = − − = − − − ta có phương trình ( )( ) ( )( ) 1 6 2 4 2 4 2 2 0 2 a a a a a a = − − − − + − − = ⇔ = . 0,25 Với 1 a = − thì A(-1;-2) và B(7;4). Với 2 a = thì A(2;4) và B(4;-2). Vậy có hai tam giác ABC thỏa mãn, A(-1;-2); B(7;4); ( ) 4;2 C − hoặc A(2;4); B(4;-2); ( ) 4;2 C − . 0,25 b. (1 điểm) Gọi ( ) ( ) 4 2 ; ;1 2 ; 3 2 ;7 2 ; 5 3 A a a a B b b b + − + − + − − + Suy ra ( ) 7 2 2 ;7 2 ; 6 3 2 AB b a b a b a = − + − − + − + − là vectơ chỉ phương của ∆ . 0,25 Vì ( ) P ∆ nên . 0 P AB n = với ( ) 2;2; 1 P n = − là vectơ pháp tuyến của ( ) P . Ta có phương trình ( ) ( ) ( ) 2 7 2 2 2 7 2 6 3 2 0 2 b a b a b a b − + − + − + − − + − = ⇔ = . suy ra ( ) 3 2 ;3 ; 2 AB a a a = − − + − và ( ) 1;3;1 B . 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 3 2 9 1 AB a a a a = ⇔ − − + + + − = ⇔ = − suy ra ( ) 1;2;2 AB = − 0,25 Đường thẳng ∆ đi qua ( ) 1;3;1 B , có vectơ chỉ phương ( ) 1;2;2 AB = − , có phương trình là 1 3 1 1 2 2 x y z − − − = = − . Nhận xét, ( ) 1;3;1 B không thuộc ( ) P nên ( ) P ∆ ⊄ , vậy : ∆ 1 3 1 1 2 2 x y z − − − = = − thỏa mãn bài toán. 0,25 Gọi số phức cần tìm là ( ) ; ,z x yi x y = + ∈ ℝ suy ra 2 2 2 2 z x xyi y = + − là số thuần ảo khi và chỉ khi ( ) 2 2 1 x y = 0,25 ( ) 2 2 1 1 z x y + = + + nên ta có phương trình ( ) ( ) 2 2 1 13 2 x y+ + = 0,25 Thay ( ) 1 vào ( ) 2 ta có ( ) 2 2 2 3 1 13 6 0 2 x x x x x x = − + + = ⇔ + − = ⇔ = . Với 3 3 3 y x y = = − ⇒ = − . Với 2 2 2 y x y = = ⇒ = − . 0,25 7 (1,0 điểm) Có 4 số phức thỏa mãn là 3 3 ; 3 3 ; 2 2 ; 2 2 i i i i − + − − + − . 0,25 Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Hết . = − 0 ,25 0 −∞ + 0 +∞ 2 − x ' y y −∞ +∞ 2 0 − + 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y - 3 - 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( 2) 4 x x x x x. xe dx dx e e e e + + + = = + = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 ,25 1 2 0 x M xe dx = ∫ . Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x dv e dx v e = = ⇒ = = 1 2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2. tam giác SBA. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 15 15 2 2 4 8 2 2 a BS BA SA a a SB SA SH HA BM BM + = = + = ⇒ = − = ⇒ = Theo định lí cô sin trong tam giác ta có 2 2 2 7 cos 0 2 . 28 OM OB MB MOB OM