THANH HóA NĂM HọC 2012-2013
Môn thi : Toán
Thời gian : 120 phút không kể thời gian giao đề
Ngày thi 29 tháng 6 năm 2012
Đề thi gồm 01 trang, gồm 05 bài
Bài 1 : (2.0 điểm) 1- Giải các phơng trình sau : a) x - 1 = 0
b) x2 - 3x + 2 = 0 2- Giải hệ phơng trình :
= +
=
− 2
7 2
y x
y x
Bài 2 : (2.0 điểm) Cho biẻu thức : A = 2+12 a + 2−12 a - 2 2
1
1
a
a
− +
1- Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
2- Tìm giá trị của a ; biết A < 31
Bài 3 : (2.0 điểm)
1- Cho đờng thẳng (d) : y = ax + b Tìm a; b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A( -1 ; 3) và
song song với đờng thẳng (d’) : y = 5x + 3
2- Cho phơng trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ) Tìm a để phơmg trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn 2
1
x + 2
2
x = 4
Bài 4 : (3.0 điểm) Cho tam tam giác đều ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M
bất kỳ ( M không trùng B ; C; H ) Từ M kẻ MP ; MQ lần lợt vuông góc với các cạnh AB ;
AC ( P thuộc AB ; Q thuộc AC)
1- Chứng minh :Tứ giác APMQ nội tiếp đờng tròn
2- Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH ⊥ PQ
3- Chứng minh rằng : MP +MQ = AH
Bài 5 : (1.0 điểm) Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2
4
8
b a
b
a + +
Hết
-ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ A
Trang 2Đáp án
1/ Giải các phơng trình sau
a/ x – 1 = 0
x = 0 + 1
x = 1 Vậy x = 1
0.25
b/ x2 – 3x + 2 = 0, Ta có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
Theo viét phơng trình có hai nghiệm
x1 = 1 và 2
2 2 1
c x a
= = =
0.75
2/ Giải hệ phơng trình 2 7
2
x y
x y
− =
+ =
Vậy hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất : 3
1
x y
=
= −
0.75
0.25
Cho biểu thức : 1 1 2 21 1
a A
a
+
−
1/ +) Biểu thức A xác định khi
( ) ( ) 2
0
0; 1 1
a
a
a
≥
≥
+) Rút gọn biểu thức A
2 2
1
a A
a
+
−
2
a A
+
2
A
=
2
A
=
A
−
−
0.25
1.0
Trang 3-2/ 13 1 13 1 13 0 3 12( 1) 0 (21 1) 0
A
1
2 1 0
ton tai a 2
1 0
1 1
1 2
1
Khong a
a
a a
a
Kết hợp điều kiện : Với 0 1
2
a
3
A<
0.5
0.25
1/ Cho đờngthẳng (d) : y = ax + b Tìm a, b để đờngthẳng (d) đi qua
điểm A( -1 ; 3) và song song với đờngthẳng (d’) : y = 5x + 3
- Đờng thẳng (d) : y = ax + b đi qua điểm A (- 1 ; 3), nên ta có
3 = a.(-1) + b => -a + b = 3 (1)
- Đờng thẳng (d) : y = ax + b song song với đờngthẳng (d’) :
y = 5x + 3, nên ta có 5
3
a b
=
≠
Thay a = 5 vào (1) => -5 + b = 3 => b = 8 ( thoả mãn b ≠ 3)
Vậy a = 5 , b = 8 Hay đờngthẳng (d) là : y = 5x + 8
0.75
0.25
2/ Cho phơng trình : ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 (x là ẩn số) (1).Tìm a
để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn : x1 + x2 = 4
- Với a = 0, ta có phơng trình 3x + 4 = 0 => 4
3
x= −
Phơng trình có một nghiệm 4
3
x= −
( Loại)
- Với a ≠ 0 Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai
Ta có : ∆ = 9(a + 1)2 – 4a(2a + 4) = 9a2 + 18a + 9 – 8a2 – 16a
∆ = a2 + 2a + 9 = (a + 1)2 + 8 > 0 với mọi a
Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a Theo hệ thức Viét ta có
( )
1 2
1 2
a
x x
a a
x x
a
+ =
Theo đầu bài
( )2
0.25
0.25
Trang 4( )2 ( )
2
4
=> ( )2 ( ) 2
9 a+ 1 − 2 2a a+ = 4 4a
=> 9a2+ 18a+ − 9 4a2− 8a− 4a2 = 0
=>a2 + 10a+ = 9 0 Có hệ số a – b + c = 1 – 10 + 9 = 0
Theo viét Phơng trình có hai nghiệm
a1 = -1 (Thoả mãn) và 2
9 9 1
c a a
= = = − ( Thoả mãn)
Kết luận : Với = −a a= −19
0.5
Hình vẽ
2 1
O
H
Q P
B
A
1/ Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đờngtròn
Xét tứ giác APMQ có
MP ⊥ AB(gt) => MPAã = 90 0
MQ ⊥ AC(gt) => MQAã = 90 0
=> ãMPA MQA+ã =90o+90o =180o
=> Tứ giác APMQ nội tiếp (đ/l)
1.0
2/ Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ, Chứng minh
OH⊥PQ
Dễ thấy O là trung điểm của AM
1.0
Trang 5-=> Đờng tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là đờng tròn tâm O, đờngkính
AM
OP = OQ => O thuộc đờngtrung trực của PQ (1)
tiếp tứ giác APMQ
Xét đờngtròn ngoài tiếp tứ giác APMQ, ta có
∆ABC đều, có AH ⊥BC => àA1= ảA2 (t/c)
=> PMHẳ =HQẳ (hệ quả về góc nội tiếp)
=> HP = HQ (tính chất)
=> H thuộc đờngtrung trực của PQ (2)
Từ (1) và (2) => OH là đờngtrung trực của PQ => OH ⊥ PQ (ĐPCM)
3/ Chứng minh rằng MP + MQ = AH
2
ABC
AH BC
MP AB MQ AC
Do ∆ABC là tam giác đều (gt) => AB = AC = BC (3)
Từ (1) , (2) và (3) => MP + MQ = AH (ĐPCM)
1.0
Bài 5 Cho hai số thực a, b thay đổi, thoả mãn điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 2 2
4
a
+
Bài làm
Ta có
2
+
2
a b
a
+
= − + + Do a + b ≥ 1
2
1
b
1.0
Trang 6Do a > 0, theo cosi ta cã 1 2 1 1
Do ( )2 ( )2 (2 1)2 2 1
b
Tõ (1) vµ (2) => 3
2
A≥
=> Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ : min
3 2
A = Khi
1
2 1 0
a b
a b
+ =
− =