Bài giảng Số học TCSP Tiểu học

Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X... Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X... - Tập các số tự nhiên chẵn là một tập ổn định của  đối với phép cộng, p

Chương 1: CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

§1 PHÉP TOÁN HAI NGÔI

- Mỗi phép toán có một kí hiệu xác định

- Nếu phép toán là phép cộng, kí hiệu , thì x được gọi là tổng của x và y y

- Nếu phép toán là phép nhân, kí hiệu là (hoặc ), thì x.y được gọi là tích của x và

y Để đơn giản, ta kí hiệu tích của x và y là xy

2 Ví dụ:

1- Trong tập hợp  , phép cộng và phép nhân hai số tự nhiên là hai phép toán

Hai tương ứng: (a; b)  (a + b)

với a,b  *, không xác định ánh xạ từ **

với A,B là hai tập con của X, xác định hai ánh xạ từ PP đến P

II Những tính chất thường gặp của một phép toán

1 Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X

1- Ta nói phép toán T có tính chất kết hợp nếu:

xT(yTz) = (xTy)Tz,  x,y,z  X

2- Ta nói phép toán T có tính chất giao hoán nếu:

xTy = yTx  x,y  X

3- Giả sử ngoài T trong tập hợp X còn có một phép toán * nữa Ta nói phép toán T có tính chất phân phối đối với phép toán * nếu:

Giao hoán a + b = b + a a.b = b.a

Phân phối giữa phép nhân

III Những phần tử đặc biệt của một phép toán

1 Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X

a Ta nói e X là phần tử trung lập đối với T nếu: eTx = xTe = x,   x X

b Giả sử e là phần tử trung lập đối với phép toán T và x  X, ta nói x’ là phần tử đối xứng của x nếu: x’Tx = xTx’ = e

c Ta gọi phần tử a  X là phần tử chính quy hay giản ước được nếu:

aTx = aTy  x = y và xTa = yTa  x = y

2 Ví dụ:

a Trong tập  , với a   ta có:

Phép toán

Phần tử đặc biệt Phép cộng Phép nhân

Phần tử trung lập 0 (vì 0 + a = a + 0 = a) 1 (vì 1.a = a.1 = a)

Phần tử đối xứng  a≠0, không có phần tử đối

xứng

a

 ≠1, không có phần tử nghịch đảo

a

  

b Trong N* , phép nâng lên lũy thừa không có phần tử trung lập

c Tập P là tập gồm tất cả các tập con của X: AX

Phép toán

Phần tử trung lập            X  X  A  

IV Bộ phận ổn định, phép toán cảm sinh

1 Định nghĩa: Một bộ phận A của tập X được gọi là ổn định đối với phép toán T trong X

khi và chỉ khi aTb  A ,  a, b  A

Trong trường hợp này, ta sẽ gọi phép toán T xác định trong A là phép toán cảm sinh hay thu hẹp của phép toán T lên A

2 Ví dụ:

- Bộ phận m  = {ma | a   }, m   là bộ phận ổn định của  với phép cộng

- Tập các số tự nhiên chẵn là một tập ổn định của  đối với phép cộng, phép nhân (vì tổng, tích của hai số chẵn là một số chẵn)

- Tập các số tự nhiên lẻ là một tập không ổn định của  đối với phép cộng (vì tổng của hai số lẻ là một số chẵn)

§2 VỊ NHÓM

I Định nghĩa

1 Định nghĩa: Một tập hợp X cùng với một phép toán T đã cho trong X được gọi là một

nửa nhóm nếu phép toán T có tính chất kết hợp

Nửa nhóm X có phần tử trung lập được gọi là vị nhóm

Nửa nhóm (vị nhóm) X được gọi là giao hoán (hay aben) nếu phép toán T là giao hoán

Phần tử trung lập 0 (vì 0 + a = a + 0 = a) 1 (vì 1.a = a.1 = a)

Tính giao hoán a + b = b + a, a, b  a.b = b.a , a, b 

c Tập * với phép nâng lên lũy thừa không phải là một vị nhóm

II Vị nhóm con

1 Định nghĩa: Một bộ phận ổn định A của một vị nhóm X được gọi là vị nhóm con của

X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một vị nhóm

Từ định nghĩa ta rút ra nhận xét: Bộ phận khác rỗng A của vị nhóm (X, T) là một vị nhóm con của vị nhóm X nếu:

- a, bA , aTb  A

- a, b, c A, (aTb)Tc = aT(bTc)

- Với e  A, aTe = eTa = a, a A

Chú ý: Giả sử X là một vị nhóm với phần tử trung lập e Khi đó X và {e} là những vị

nhóm con tầm thường của X

§3 NHÓM

I Định nghĩa

1 Định nghĩa:

- Ta gọi nhóm là một vị nhóm trong đó mọi phần tử đều có phần tử đối xứng

- Một nhóm gọi là giao hoán nếu phép toán đã cho giao hoán

- Nói cách khác, tập X cùng với phép toán T trong X được gọi là một nhóm nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:

1- Phép toán T có tính chất kết hợp: (xTy)Tz = xT(yTz),  x,y,z  X

2- Có phần tử trung lập e: e  X sao cho xTe = eTx = x, x   X

3- Mọi phần tử đều có phần tử đối xứng:   x X có x'  X: xTx' = x'Tx = e

- Phép toán cộng có tính chất giao hoán:  x,y  : x + y = y + x

b (  , +) không phải là một nhóm vì    x thì không tồn tại - x  

c (*, ) là một nhóm giao hoán vì với a c e , , *

a X và {e} là hai nhóm con tầm thường của nhóm X

b Xét nhóm (  , +), m   , khi đó m  = {mx | x  } là một nhóm con của 

Chứng minh: Với  x,y,z,m   thì

1- Phép toán cộng có tính chất kết hợp: (mx + my) + mz = mx + (my + mz)

BÀI TẬP

1 Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là những phép toán hai ngôi Hãy

chỉ ra các tính chất của mỗi phép toán đó

3 Cũng câu hỏi như bài 2, nhưng thay phép cộng bằng phép nhân các phân số

4 Giả sử X là một tập hợp tùy ý Xét phép toán hai ngôi:

Chứng minh X là một nửa nhóm với phép toán hai ngôi trên Nửa nhóm đó có giao

hoán không? Có đơn vị không?

6 Cho X là tập các số nguyên chia hết cho 5

a) Chứng minh rằng X là một vị nhóm với phép cộng thông thường các số

b) Chứng minh rằng X là một nửa nhóm nhưng không phải là một vị nhóm với phép nhân

8 Cho tập hợp X là tập hợp các số nguyên lẻ Chứng minh rằng X là một vị nhóm con

của vị nhóm nhân các số nguyên 

9 Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên  là một nhóm Abel với phép toán sau:

a b   a b a b 

Chương 2: SỐ TỰ NHIÊN

§1 TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN

I Sự hình thành số tự nhiên

Từ xa xưa, khi con người chưa biết khái niệm về số lượng, con người nguyên thủy do

nhu cầu cuộc sống đã biết so sánh số lượng giữa các tập hợp, từ đó đã dần dần nhận thức được khái niệm ít nhiều

Chẳng hạn, khi chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng bộ lạc phát cho mỗi chiến binh một

- Các số đầu tiên được hình thành để đánh dấu, phân biệt các tập hợp đó và có thể thiết lập sự tương ứng 1 – 1 lên các tập hợp đó

Đó là việc hình thành các số tự nhiên 1; 2; 3 …

II Tập hợp tương đương

1 Định nghĩa: Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B và viết A ~ B nếu có một

3 Định lí: Với các tập A, B, C tùy ý ta có:

1- Tính phản xạ: A ~ A với mọi A

2- Tính đối xứng: A ~ B thì B ~ A với mọi A, B

3- Tính bắc cầu: Nếu A ~ B, B ~ C thì A ~ C với mọi A, B, C

III Tập hữu hạn và tập vô hạn

1 Định nghĩa: Một tập hợp tương đương với một bộ phận thực sự của nó gọi là tập vô

hạn Tập không vô hạn gọi là tập hữu hạn

2 Ví dụ:

- Tập hợp các điểm của đoạn thẳng AB là tập vô hạn

- Tập  là hữu hạn vì nó không có một bộ phận thực sự nào

- Tập đơn tử {a} là hữu hạn vì  là bộ phận thực sự duy nhất của nó nhưng {a} không tương đương với 

IV Bản số của tập hợp số tự nhiên

1 Bản số: Bản số hay còn gọi là lực lượng của một tập hợp là một khái niệm đặc trưng

§2 QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TẬP N

I Quan hệ thứ tự trên N

1 Định lí Căng-to Nếu A và B là hai tập hợp bất kì thì:

1- Hoặc A tương đương với một bộ phận bất kì của B, nghĩa là có một đơn ánh từ A đến

- Nếu x ≤ y và x  y, ta viết x < y và đọc là “x thực sự nhỏ hơn y”

- Khi có x ≤ y ta còn viết y ≥ x và đọc là “y lớn hơn hoặc bằng x”

Ví dụ: 0 < 1 và 0 ≤ x ,   x N vì   A, A 

3 Chú ý:

- Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp X, Y

- Khi X tương đương với một bộ phận Y’ của Y ta cũng có Card(Y’) = x, do đó ta có thể coi x ≤ y  X  Y

Ta có thể phát biểu lại định nghĩa:

Cho x, y  N Y là tập hợp hữu hạn mà Card(Y) = y

Ta nói x ≤ y  có X  Y sao cho Card(X) = x

4 Định lí:

Quan hệ ≤ vừa định nghĩa là một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập 

II Số tự nhiên kề sau

1 Định nghĩa:

Giả sử x, y   , x  y X, Y là hai tập hợp hữu hạn sao cho:

x = Car(X), y = Card(Y) và X  Y

Ta có y là số kề sau của x nếu Card(Y – X) = 1

- Số kề sau của x, kí hiệu là x

Ví dụ: 1 là số kề sau của 0

2 Các tính chất

1 - Mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số kề sau

2 - Số 0 không là số kề sau của bất kì số tự nhiên nào, còn mọi số tự nhiên khác không đều là số kề sau của một số tự nhiên

3 - Giữa hai số tự nhiên x và số kề sau x không có số tự nhiên nào khác

3- Số 0 gọi là phần tử trung hòa: 0 + a = a + 0 = a

4- Phép cộng có tính giản ước được: a + b = a + c  b = c

3- Số 1 là phần tử trung hòa: 1.a = a.1 = a

4- Tính giản ước được với những số khác 0:

a.b = a.c (a0)  b = c

3 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

a.(b + c) = a.b + a.c

4 Tính chất giữa phép cộng và nhân với quan hệ thứ tự:

1- a ≤ a + b; 2- a ≤ b  a + c ≤ b + c và ngược lại

3- a ≤ a.b (b  0) ; 4- Nếu c  0 thì a ≤ b  a.c ≤ b.c và ngược lại

§4 QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG N

I Phép chia hết

1 Định nghĩa: Cho a, b  , b  0 Nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q thì ta nói

b chia hết a và viết b\a, hay a chia hết cho b và viết ab

Nếu ab ta cũng nói a là bội của b hay b là ước của a

VD: a  a với mọi số tự nhiên a  0, a  1 , với mọi số tự nhiên a

II Phép chia có dư

Nhận xét: Với 2 số tự nhiên a, b bất kì không nhất thiết có a\b hoặc b\a

Quan hệ chia hết không phải là quan hệ thứ tự toàn phần trong N

1 Định lí: Với hai số tự nhiên a, b bất kì, b 0, tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q và r sao cho: a = b.q + r, 0 ≤ r < b

2 Định nghĩa: q được gọi là thương trong phép chia có dư a cho b, r được gọi là số dư Tìm q và r gọi là thực hiện phép chia có dư a cho b

Nhận xét: Trong trường hợp r = 0  a = b.q , ta có phép chia hết

Vậy phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư với số dư bằng 0

III Các dấu hiệu chia hết

1 Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

a Dấu hiệu chia hết cho 2:

* Định nghĩa: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2

a a a an n-1 1 0  2  a0  0; 2; 4; 6; 8 

b Dấu hiệu chia hết cho 5:

* Định nghĩa: Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 5

a a a an n-1 1 0  5  a0  0; 5 

2 Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25

a Dấu hiệu chia hết cho 4:

- Cho a = a a a an n-1 1 0 , tìm điều kiện để a chia hết cho 4

b Dấu hiệu chia hết cho 25:

Từ sự phân tích trên ta có định nghĩa:

* Định nghĩa: a = a a a an n-1 1 0 25  a a1 0  25

* Ví dụ: Cho a = 123xy Tìm x,y  để a  25

Giải: Vì a  25 nên a  5 nên y {0; 5}

Cho a = a a a an n-1 1 0 Tìm điều kiện để a 3 và a9

Nhận xét: Một số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng

§5 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

I Định nghĩa và tính chất

1 Định nghĩa 1: Cho a, b là hai số tự nhiên khác 0, số tự nhiên c khác 0 được gọi là ước

chung của a và b nếu: a c

* Ví dụ: Ước chung của 18 và 12 là 1, 2, 3, 6

- Tập hợp các ước chung của hai số tự nhiên khác 0 bất kì a và b khác rỗng và bị chặn

trên

Chứng minh: Vì 1 chia hết mọi số tự nhiên a, b bất kì nên 1 là ước chung của a và b

Mặt khác, mọi ước chung của a và b rõ ràng không vượt quá số nhỏ hơn trong 2 số a và b

- Cho a, b  *

Số lớn nhất trong tập các ước chung của a và b được gọi là ước chung

lớn nhất của a và b Kí hiệu ƯCLN(a; b)

* Ví dụ: ƯCLN(18; 12) = 6

- Nếu ƯCLN(a; b) = 1 ta nói a và b nguyên tố cùng nhau

* Ví dụ: ƯCLN(2; 5) = 1 nên 2 và 5 nguyên tố cùng nhau;

ƯCLN(8; 15) = 1 nên 8 và 15 nguyên tố cùng nhau

Nhận xét: 1 và a nguyên tố cùng nhau với    a 

2 Định nghĩa 2: Giả sử a, b  *

- Số tự nhiên m chia hết đồng thời cho a và b gọi là bội chung của a và b

* Ví dụ: a.b là bội chung của a và b

- Số nhỏ nhất trong các bội chung khác 0 của a và b gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b

Kí hiệu BCNN(a; b)

* Ví dụ: BCNN(3; 6) = 6 ; BCNN(2; 5) = 10

3 Tính chất

a Ước chung lớn nhất

1- Ước chung lớn nhất và BCNN của hai số tự nhiên a và b là duy nhất

2- Nếu a là bội của b  a = b.q, qN thì ƯCLN(a; b) = b

3- Nếu a = b.q + c thì ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b; c)

4- Nếu d = ƯCLN(a; b) thì d chia hết cho mọi ước chung của a và b Ngược lại nếu d là ước chung của a và b và d chia hết cho mọi ước chung của a và b thì d là ƯCLN của a và b 5- ƯCLN(a.m; b.m) = m.ƯCLN(a; b)

Nếu d là một ước chung của a và b thì: ƯCLN a b

6- Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì: ƯCLN(a.c + b) = ƯCLN(c; b)

7- Giả sử d là một ước chung của a và b Điều kiện cần và đủ để d = ƯCLN(a; b) là

và

d d nguyên tố cùng nhau

8- Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì: ƯCLN(a.c + b) = ƯCLN(c; b)

9- Nếu ƯCLN(a; b) = 1 và a.c  b  c  b

b Bội chung nhỏ nhất

1- BCNN của a và b là ước của mọi bội chung của a và b

2- Nếu ƯCLN(a; b) = 1  BCNN(a; b) = a.b

II Phương pháp tính UCLN và BCNN

1 Thuật toán tìm ƯCLN (Thuật toán Euclide)

Thuật toán Euclide: Cho a, b  * , giả sử a > b Ta thực hiện liên tiếp các phép chia

Quá trình dừng lại ở phép chia có số dư bằng 0

Vì b > r1 > r2 > … > rn nên thuật toán có nhiều nhất là b bước

 Khi đó ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b; r1) = ƯCLN(r1; r2) = … = ƯCLN(rn-1; rn) = rn

Khái niệm: Số tự nhiên n > 1 có nhiều hơn 2 ước được gọi là hợp số

Hoặc số tự nhiên n > 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số

Ví dụ: 4; 6; 8; 9; 10; …

Nhận xét: Từ khái niệm suy ra số tự nhiên n > 1 là hợp số nếu n có thể viết thành tích của

hai số tự nhiên lớn hơn 1

n = p.q, n > p,q > 1

II Tập hợp các số nguyên tố

1 Định lí 1: Ước nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là số nguyên tố

2 Định lí 2: Mọi hợp số n đều có ít nhất một ước nguyên tố không vượt quá n

Chứng minh: Giả sử n là hợp số, p là ước nhỏ nhất khác 1 của n  p  n Ta có:

- Gạch đi số 1 vì số 1 không là số nguyên tố, số 2 là số nguyên tố

- Gạch đi tất cả các số là bội của 2, số đầu tiên còn lại không bị gạch là 3 Đó là số nguyên tố

- Gạch đi tất cả các số là bội của 3, số đầu tiên còn lại không bị gạch là 5, 5 là số nguyên

………

- Sau khi đã gạch đi các số là bội của các số nguyên tố p1 = 2; p2 = 3; p3 = 5; ;pn với pn

≤ N < pn+1 thì tất cả các số còn lại không bị gạch là số nguyên tố

Cách làm này gọi là sàng Ơ-ra-to-xten

III Định lí phân tích duy nhất

1 Bổ đề 1: Một số tự nhiên n bất kì hoặc chia hết cho số nguyên tố p hoặc nguyên tố

n = p p p gọi là sự phân tích tiêu chuẩn của

n thành tích các thừa số nguyên tố Trong đó p1; p2; … ;pk là các số nguyên tố đôi một khác nhau αi ≥ 1, αiN

Ví dụ: Phân tích 120 ra tích các thừa số nguyên tố