Bài giảng Số học TCSP Tiểu học

Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 1 Chương 1: CẤU TRÚC ĐẠI SỐ §1. PHÉP TOÁN HAI NGÔI I. Định nghĩa: 1. Định nghĩa: Ta gọi phép toán hai ngôi (gọi tắt là phép toán) trong tập hợp X là một ánh xạ: : T X X X   . Hay một phép toán trong tập hợp X là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử   ; x y X X   một phần tử xác định, kí hiệu   ; T x y của X . Ảnh   ; T x y của cặp thứ tự   ; x y X X   qua phép toán T thường được kí hiệu là xTy . * Chú ý: - Mỗi phép toán có một kí hiệu xác định. - Nếu phép toán là phép cộng, kí hiệu  , thì x y  được gọi là tổng của x và y. - Nếu phép toán là phép nhân, kí hiệu là . (hoặc  ), thì x.y được gọi là tích của x và y. Để đơn giản, ta kí hiệu tích của x và y là xy. 2. Ví dụ: 1- Trong tập hợp  , phép cộng và phép nhân hai số tự nhiên là hai phép toán. Hai tương ứng: (a; b)  (a + b) (a; b)  (a.b) với a,b   , xác định ánh xạ từ    đến  . - Phép trừ không phải là phép toán vì tương ứng: (a; b)  (a - b) với a, b   , không xác định một ánh xạ từ    đến  vì chẳng hạn: (1; 6)  1 – 6 = -5   . 2- Trong tập hợp  * phép nâng lũy thừa a n là phép toán nhưng phép chia không phải là phép toán. Tương ứng: (a; n)  (a n ) với a,n   * , xác định ánh xạ từ  *   * đến  * . Tương ứng: (a; b)  (a : b) Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 2 với a,b   * , không xác định ánh xạ từ  *   * đến  * . Vì chẳng hạn: (4; 10)  (4 : 10) = 0,4   * . 3- Gọi P là tập hợp các tập con của X. Phép hợp và phép giao tập hợp là hai phép toán trong P. Hai tương ứng: (A,B) A B (A,B) A B     . với A,B là hai tập con của X, xác định hai ánh xạ từ P  P đến P. II. Những tính chất thường gặp của một phép toán. 1. Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X. 1- Ta nói phép toán T có tính chất kết hợp nếu: xT(yTz) = (xTy)Tz, x,y,z X   . 2- Ta nói phép toán T có tính chất giao hoán nếu: xTy = yTx. x,y X   3- Giả sử ngoài T trong tập hợp X còn có một phép toán * nữa. Ta nói phép toán T có tính chất phân phối đối với phép toán * nếu: xT(y*z) = (xTy)*(xTz). (y*z)Tx = (yTx)*(zTx) , x,y,z X   . 2. Ví dụ: a. Trong tập N, với , , a b c    : Phép toán Tính chất Phép cộng Phép nhân Kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) Giao hoán a + b = b + a a.b = b.a Phân phối giữa phép nhân đối với phép cộng a.(b + c) = a.b + a.c. (a + b).c = a.c + b.c b. Trong  * , phép nâng lên lũy thừa không có tính chất giao hoán, không có tính chất kết hợp: Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 3 2 3 ≠ 3 2 .   4 4 3 (3 ) 2 2  . c. Trong tập các tập con của X, A,B,C X   : Phép toán Tính chất Phép giao Phép hợp Kết hợp (A B) C = A (B C)     (A B) C = A (B C)     Giao hoán A B = B A   A B = B A   Phân phối giữa phép giao và phép hợp, giữa phép hợp và phép giao A (B C) = (A B) (A C)      A (B C) = (A B) (A C)      (B C) A = (B A) (C A)      (B C) A = (B A) (C A)      III. Những phần tử đặc biệt của một phép toán. 1. Định nghĩa: Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X. a. Ta nói e  X là phần tử trung lập đối với T nếu: eTx = xTe = x, x X   . b. Giả sử e là phần tử trung lập đối với phép toán T và x X  , ta nói x’ là phần tử đối xứng của x nếu: x’Tx = xTx’ = e. c. Ta gọi phần tử a X  là phần tử chính quy hay giản ước được nếu: aTx = aTy  x = y và xTa = yTa  x = y. 2. Ví dụ: a. Trong tập  , với a    ta có: Phép toán Phần tử đặc biệt Phép cộng Phép nhân Phần tử trung lập 0 (vì 0 + a = a + 0 = a) 1 (vì 1.a = a.1 = a) Phần tử đối xứng a  ≠0, không có phần tử đối xứng. a  ≠1, không có phần tử nghịch đảo. Phần tử chính quy a    * a    Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 4 b. Trong N * , phép nâng lên lũy thừa không có phần tử trung lập. c. Tập P là tập gồm tất cả các tập con của X: A  X. Phép toán Phần tử đặc biệt Phép hợp Phép giao Phần tử trung lập         X X A       IV. Bộ phận ổn định, phép toán cảm sinh. 1. Định nghĩa: Một bộ phận A của tập X được gọi là ổn định đối với phép toán T trong X khi và chỉ khi aTb  A , a, b A   . Trong trường hợp này, ta sẽ gọi phép toán T xác định trong A là phép toán cảm sinh hay thu hẹp của phép toán T lên A. 2. Ví dụ: - Bộ phận m  = {ma | a   }, m   là bộ phận ổn định của  với phép cộng. - Tập các số tự nhiên chẵn là một tập ổn định của  đối với phép cộng, phép nhân (vì tổng, tích của hai số chẵn là một số chẵn). - Tập các số tự nhiên lẻ là một tập không ổn định của  đối với phép cộng (vì tổng của hai số lẻ là một số chẵn) Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 5 §2. VỊ NHÓM I. Định nghĩa. 1. Định nghĩa: Một tập hợp X cùng với một phép toán T đã cho trong X được gọi là một nửa nhóm nếu phép toán T có tính chất kết hợp. Nửa nhóm X có phần tử trung lập được gọi là vị nhóm. Nửa nhóm (vị nhóm) X được gọi là giao hoán (hay aben) nếu phép toán T là giao hoán 2. Ví dụ: a. Xét tập  , cùng với phép cộng và phép nhân. Với mọi a, b, c   , ta có: Phép toán Tính chất Phép cộng Phép nhân Kết hợp (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) Phần tử trung lập 0 (vì 0 + a = a + 0 = a) 1 (vì 1.a = a.1 = a) Tính giao hoán a + b = b + a,  a, b   . a.b = b.a ,  a, b   . b. Tập P(X) =       gồm các tập con của tập X. Phép toán Tính chất Phép giao Phép hợp Kết hợp (A B) C = A (B C)     . (A B) C = A (B C)     Phần tử trung lập A  X = X  A = A.   A = A   = A. Giao hoán A B = B A   A B = B A   c. Tập  * với phép nâng lên lũy thừa không phải là một vị nhóm. II. Vị nhóm con. 1. Định nghĩa: Một bộ phận ổn định A của một vị nhóm X được gọi là vị nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một vị nhóm. Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 6 Từ định nghĩa ta rút ra nhận xét: Bộ phận khác rỗng A của vị nhóm (X, T) là một vị nhóm con của vị nhóm X nếu: -  a, b  A , aTb  A. -  a, b, c  A, (aTb)Tc = aT(bTc). - Với e  A, aTe = eTa = a,  a  A. Chú ý: Giả sử X là một vị nhóm với phần tử trung lập e. Khi đó X và {e} là những vị nhóm con tầm thường của X. 2. Ví dụ: Giả sử m   , bộ phận m  = {ma | a   } là một vị nhóm con của vị nhóm cộng  . Thật vậy: -   , : mx my m mx my m x y m         . - mx + (my + mz) = (mx + my) + mz; mx, my, mz m    . - 0 = m.0  m  , 0 + mx = mx + 0 = mx, mx m    . Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 7 §3. NHÓM I. Định nghĩa. 1. Định nghĩa: - Ta gọi nhóm là một vị nhóm trong đó mọi phần tử đều có phần tử đối xứng. - Một nhóm gọi là giao hoán nếu phép toán đã cho giao hoán. - Nói cách khác, tập X cùng với phép toán T trong X được gọi là một nhóm nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn: 1- Phép toán T có tính chất kết hợp: (xTy)Tz = xT(yTz), x,y,z X   . 2- Có phần tử trung lập e: e X sao cho xTe = eTx = x, x X    . 3- Mọi phần tử đều có phần tử đối xứng: x X có x' X: xTx' = x'Tx = e    . Nhóm Các điều kiện (X, +) (X, .) Có tính chất kết hợp (x + y) + z = x + (y + z) (x.y).z = x.(y.z) Có phần tử trung lập 0  X: 0 + x = x + 0 = x 1  X: 1.x = x.1 = x Có phần tử đối xứng -x  X: -x + x = x +(-x) = 0 x -1  X: x.x -1 = x -1 .x = 1 3. Ví dụ: a. Tập (  , +) là một nhóm giao hoán. Chứng minh: - Phép toán cộng có tính chất kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z) , x,y,z    . - Có phần tử trung lập: 0   : 0 + x = x + 0 = x, x    . - x    đều có phần tử đối xứng - x   : - x + x = x + (- x) = 0. - Phép toán cộng có tính chất giao hoán: x,y    : x + y = y + x. b. (  , +) không phải là một nhóm vì x    thì không tồn tại - x   . c. ( *   , .) là một nhóm giao hoán vì với * , , a c e b d f     thì: - Phép toán nhân có tính chất kết hợp: a c e a c e b d f b d f                            Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 8 - Có phần tử trung lập: 1 *    : 1 1 1 1 a a a b b b     - Mọi phần tử đều có nghịch đảo: , sao cho . 1 a b a b b a b a      . - Phép toán nhân có tính chất giao hoán: a c c a b d d b    d. (   , +) không là một nhóm vì , a a b b         . e. ( *   , .) và (  , +) là hai nhóm giao hoán. II. Nhóm con. 1. Định nghĩa: - Một bộ phận ổn định A của một nhóm X được gọi là nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm. Nhận xét: Với: A X    , A là nhóm con của X nếu: - x,y A, xy A    . - e A  , với e là phần tử trung lập của X. - 1 x A, x A     . 2. Ví dụ: a. X và {e} là hai nhóm con tầm thường của nhóm X. b. Xét nhóm (  , +), m   , khi đó m  = {mx | x   } là một nhóm con của  . Chứng minh: Với x,y,z,m    thì. 1- Phép toán cộng có tính chất kết hợp: (mx + my) + mz = mx + (my + mz). 2- Có phần tử trung lập m0: mx + m0 = m0 + mx = mx. 3- Mọi phần tử đều có phần tử đối m(- x) : mx + m(- x) = mx + (-mx) = m0. c. Nhóm (  , +) là nhóm con của nhóm (  , +). d. Nhóm (  , +) là nhóm con của nhóm (  , +). e. Nhóm (  , +) là nhóm con của nhóm (  , +). Bi ging S hc TCSP Tiu hc 9 BI TP 1. Chng t rng cỏc quy tc cho tng ng sau õy l nhng phộp toỏn hai ngụi. Hóy ch ra cỏc tớnh cht ca mi phộp toỏn ú. a) , , x y x y xy x y . b) 2 , , m n m n m n . c) , , \ 1 a b a b ab a b . 2. Cỏc tp hp sau õy, tp no n nh i vi phộp cng cỏc phõn s. a) 1,1 A . b) , , laứ soỏ leỷ, 0 a B a b a b b . c) laứ soỏ thaọp phaõn a a C b b . 3. Cng cõu hi nh bi 2, nhng thay phộp cng bng phộp nhõn cỏc phõn s. 4. Gi s X l mt tp hp tựy ý. Xột phộp toỏn hai ngụi: 2 : ; X X x y x y x Chng minh X l mt na nhúm vi phộp toỏn hai ngụi trờn. Na nhúm ú cú giao hoỏn khụng? Cú n v khụng? 5. Xột tp hp * \ 0 cựng vi phộp cng. ú cú phi l mt na nhúm giao hoỏn khụng? V nhúm giao hoỏn khụng? Cng cỏc cõu hi ú cho * cựng vi phộp nhõn. 6. Cho X l tp cỏc s nguyờn chia ht cho 5. a) Chng minh rng X l mt v nhúm vi phộp cng thụng thng cỏc s. b) Chng minh rng X l mt na nhúm nhng khụng phi l mt v nhúm vi phộp nhõn thụng thng cỏc s. 7. Cho * l tp cỏc s t nhiờn khỏc 0. Ta nh ngha: * 1, ,m n m n m n a) Tỡm 2 1; 4 5; 5 5 . b) Chng minh rng * l mt v nhúm giao hoỏn vi phộp toỏn . Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 10 8. Cho tập hợp X là tập hợp các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng X là một vị nhóm con của vị nhóm nhân các số nguyên  . 9. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên  là một nhóm Abel với phép toán sau: 1, , a b a b a b        . . [...]... UCLN(a; b) 21 Bài giảng Số học TCSP Tiểu học §6 SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ I Số nguyên tố và hợp số 1 Số nguyên tố Khái niệm: Số tự nhiên p > 1 chỉ có 2 ước là 1 và chính nó gọi là số nguyên tố Tập hợp các số nguyên tố kí hiệu P Ví dụ: 2; 3; 5; 7; … 2 Hợp số Khái niệm: Số tự nhiên n > 1 có nhiều hơn 2 ước được gọi là hợp số Hoặc số tự nhiên n > 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số Ví dụ: 4; 6;... 23 Bài giảng Số học TCSP Tiểu học λ λ λ δ δ δ Khi đó: ƯCLN(a;b) = p11 p 22 p nn ; BCNN(a;b) = p11 p 22 p nn Chú ý: Có 2 cách tìm ƯCLN và BCNN của hai số tự nhiên là: - Cách 1: dùng thuật toán Euclid - Cách 2: Sử dụng việc phân tích một số ra tích các thừa số nguyên tố Ví dụ: ƯCLN(2940;3500) = 22.5.7 BCNN(2940;3500) = 22.3.5 3 7 2 24 Bài giảng Số học TCSP Tiểu học §7 HỆ THỐNG GHI SỐ I Hệ ghi số cơ số. .. trên tập  II Số tự nhiên kề sau 1 Định nghĩa: Giả sử x, y  , x  y X, Y là hai tập hợp hữu hạn sao cho: x = Car(X), y = Card(Y) và X  Y Ta có y là số kề sau của x nếu Card(Y – X) = 1 - Số kề sau của x, kí hiệu là x 13 Bài giảng Số học TCSP Tiểu học Ví dụ: 1 là số kề sau của 0 2 Các tính chất 1 - Mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số kề sau 2 - Số 0 không là số kề sau của bất kì số tự nhiên nào,... Bài giảng Số học TCSP Tiểu học Ví dụ: trong hệ thập phân ta có: 5.5  25 và 25  4.6  1  416 Vậy 56  56  416 Để thực hiện phép tính trên các số có nhiều chữ số ta thực hiện phép tính trên các chữ số của chúng (theo bảng trên) và áp dụng quy tắc nhớ tương tự như khi tính toán trong hệ thập phân Ví dụ: Tính 12346  251456  25145 1234 30423 Vậy: 12346  251456  304236 28 Bài giảng Số học TCSP Tiểu. .. số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên - Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là  Nhận xét: Vậy nếu x là số tự nhiên (x   ) thì tồn tại một tập hữu hạn X sao cho Card(X) = x b Ví dụ:  là một tập hữu hạn, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là không, Card (  ) = 0 Tập A = {a} là một tập đơn tử, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là một, Card(A) = 1 12 Bài giảng Số học TCSP Tiểu học. .. Có vô số số nguyên tố 4 Sàng Ơ-ra-to-xten Để lập nên bảng các số nguyên tố đầu tiên không vượt quá số tự nhiên N cho trước, ta làm như sau: - Viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến N: 1; 2; 3; …; N - Gạch đi số 1 vì số 1 không là số nguyên tố, số 2 là số nguyên tố - Gạch đi tất cả các số là bội của 2, số đầu tiên còn lại không bị gạch là 3 Đó là số nguyên tố - Gạch đi tất cả các số là bội của 3, số đầu... tắc: - Nếu số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn (m > n  b > a) - Nếu hai số có cùng số các chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên từ trái sang phải lớn hơn thì lớn hơn III Thực hành các phép tính trong hệ cơ số g Để thực hiện phép cộng và nhân các số trong hệ g – phân, ta lập bảng cộng và bảng nhân các số có một chữ số, rồi trên cơ sở đó thực hiện phép tính với các số có nhiều chữ số bằng cách... còn lại không bị gạch là 5, 5 là số nguyên tố 22 Bài giảng Số học TCSP Tiểu học ……………………… - Sau khi đã gạch đi các số là bội của các số nguyên tố p1 = 2; p2 = 3; p3 = 5; ;pn với pn ≤ N < pn+1 thì tất cả các số còn lại không bị gạch là số nguyên tố Cách làm này gọi là sàng Ơ-ra-to-xten III Định lí phân tích duy nhất 1 Bổ đề 1: Một số tự nhiên n bất kì hoặc chia hết cho số nguyên tố p hoặc nguyên tố cùng... g d) 13 g  31g  1123 g 18 a) Biểu diễn số a  1430213 5 trong hệ bát phân; b) Biểu diễn số b  3656 7 trong hệ ngũ phân 19 Thực hiện phép tính sau: a) 45216 7  54 7 b) 24331 5  43 5 30 Bài giảng Số học TCSP Tiểu học Chương 3: TẬP HỢP CÁC SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM §1 XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM Trong toán học và trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán: - Tìm thương của phép chia: a) 25... Trước cách ghi số hiện nay đã có rất nhiều cách ghi số (?) Hệ ghi số ngày nay có đặc điểm gì? (!) Hệ ghi số hiện nay gồm 10 kí hiệu: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, gọi là hệ ghi số thập phân Giá trị của mỗi kí hiệu còn phụ thuộc vào vị trí của nó trong số được ghi Ví dụ: Số 3120 và số 2031 thì chữ số 3 ở số thứ nhất có giá trị là 3000, chữ số 3 ở số thứ 2 có giá trị là 30 Hệ thống ghi số này còn được . - Số kề sau của x, kí hiệu là x  . Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 14 Ví dụ: 1 là số kề sau của 0. 2. Các tính chất. 1 - Mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số kề sau. 2 - Số. hạn, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là không, Card (  ) = 0. Tập A = {a} là một tập đơn tử, bản số của nó là một số tự nhiên gọi là một, Card(A) = 1. Bài giảng Số học TCSP Tiểu học . tập hợp các số nguyên  là một nhóm Abel với phép toán sau: 1, , a b a b a b        . . Bài giảng Số học TCSP Tiểu học 11 Chương 2: SỐ TỰ NHIÊN §1. TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN