Bài toán 3 Phân tử Bohr Hạn cuối cùng: 30 - 4 - 2012 Bài toán 3 Phân tử Bohr Trang 1 / 4 Năm 1912 Niels Bohr công bố mô hình nguyên tử hiđro, lần đầu tiên giải thích công thức Rydberg về phổ phát xạ của nguyên tử hiđro. Theo mô hình của Bohr, electron trong nguyên tử hiđro quay tròn quanh hạt nhân mang điện tích dương theo các quỹ đạo dừng thỏa mãn điều kiện: = 2 (1) với L là momen quỹ đạo của electron, n = 1, 2,… là một số nguyên dương và h = 6,626.10 -34 J.s là hằng số Planck. Để đơn giản, ta sẽ sử dụng hằng số Planck “rút gọn” ћ=1,055.10 -34 J.s. Do đó, điều kiện lượng tử hóa (1) có thể viết dưới dạng: L = nћ (2) Hình 1. Các quỹ đạo dừng của các phân tử khác nhau do Bohr đề xuất năm 1913 Được truyền cảm hứng từ sự phù hợp giữa những dự đoán lí thuyết của mô hình và dữ liệu thực nghiệm cho nguyên tử hiđro, Niels Bohr đã cố gắng áp dụng ý tưởng về quỹ đạo dừng cho các hệ phức tạp, như những nguyên tử nhiều electron và các phân tử. Hình 1 biểu diễn phác họa những quỹ đạo dừng có thể của electron trong một số phân tử được vẽ bởi Niels Bohr. Tuy nhiên, đối với mô hình phân tử được đề xuất, Bohr đã không quan sát thấy sự phù hợp chính xác với dữ liệu thực nghiệm có liên quan tới khoảng cách giữa các proton trong nguyên tử và năng lượng liên kết phân tử. Bài toán 3 Phân tử Bohr Hạn cuối cùng: 30 - 4 - 2012 Bài toán 3 Phân tử Bohr Trang 2 / 4 Tuy nhiên, sự quan tâm tới mô hình phân tử Bohr đã được khơi lại sau khi một số công bố gần đây cho thấy rằng có nhiều quỹ đạo dừng trong phân tử hiđro hơn Bohr đã đề xuất ban đầu. Người ta đã chứng minh được rằng, bằng cách sử dụng các tập hợp quỹ đạo khác nhau, mô hình Bohr cung cấp một phương pháp tính gần đúng cho các tính chất của phân tử, mà không có những đòi hỏi khắt khe về mặt tính toán. Trong bài toán này, bạn sẽ nghiên cứu một số đặc trưng vật lí của phân tử hiđro như được dự đoán bởi mô hình do Bohr đề xuất. Mô tả mô hình Bohr cho phân tử H 2 Hình vẽ 2 là phác họa chi tiết mô hình phân tử hiđro được đề xuất bởi Niels Bohr. Hai proton (p + ) cách nhau một khoảng R. Hai electron (e - ) quay với cùng vận tốc góc trên cùng một quỹ đạo tròn, có mặt phẳng vuông góc và chia đôi đoạn nối hai proton. Khoảng cách giữa electron và proton được kí hiệu là r, và bán kính của quỹ đạo tròn được kí hiệu là ρ. Hình 2: Sơ đồ mô tả mô hình Bohr cho phân tử hiđro. Các khoảng cách liên quan cũng được chỉ rõ trên hình Ta giả thiết rằng: Chuyển động của electron tuân theo các định luật Newton. Điều kiện lượng tử hóa (2) được thỏa mãn đối với mỗi electron. Các electron nằm trên cùng một đường kính của quĩ đạo tròn. Điện tích nguyên tố: e = 1,602.10 -19 C Hằng số Coulomb: = 1 4 0 =8,988.10 9 N.m 2 /C 2 Hằng số điện môi của chân không: ε 0 = 8,854.10 -12 F/m Hằng số Planck rút gọn: = 2 =1,055.10 -34 J.s Khối lượng của electron: m e =9,109.10 -31 kg Bài toán 3 Phân tử Bohr Hạn cuối cùng: 30 - 4 - 2012 Bài toán 3 Phân tử Bohr Trang 3 / 4 Khối lượng của proton: m p = 1,673.10 -27 kg Tốc độ ánh sáng: c = 2,998.10 8 m/s Phần 1. Phân tử H 2 ở trạng thái cân bằng Trong phần này, chúng ta giả thiết rằng hai proton đứng yên tại vị trí cân bằng của chúng 1.A. Tính tỉ số r/R và ρ/R cho một phân tử với các proton ở trạng thái cân bằng. 1.B. Tìm biểu thức biểu diễn thế năng tĩnh điện E p của phân tử theo khoảng cách R giữa hai hạt nhân và các hằng số vật lí đã cho. 1.C. Tính tỉ số E k /E p giữa động năng toàn phần của các electron và thế năng của phân tử khi các proton ở trạng thái cân bằng. 1.D. Tìm biểu thức của khoảng cách nhỏ nhất R 0 giữa các proton ở trạng thái cân bằng theo các hằng số đã cho. Tính giá trị bằng số của R 0 . Năng lượng liên kết E b của một phân tử được định nghĩa là năng lượng nhỏ nhất cần thiết để tách phân tử thành các nguyên tử trung hòa cách nhau một khoảng lớn vô cùng. 1E. Hãy tính năng lượng liên kết E b của phân tử hiđro theo mẫu Bohr. Bạn có thể sử dụng năng lượng ion hóa của nguyên tử hiđro là E I =13,606 eV. Phần 2: Phân tử H 2 dao động Trong thực tế, các hạt nhân nguyên tử trong phân tử không đứng yên mà dao động xung quanh vị trí cân bằng. Các dao động này tồn tại ngay cả khi nhiệt độ gần 0 K do bản chất lượng tử của chuyển động nguyên tử. Vì vậy, khi nhiệt độ tiến đến 0 K, năng lượng và biên độ dao động nguyên tử tiến đến các giá trị nhỏ nhất xác định. Do proton nặng hơn rất nhiều so với electron, vận tốc của electron trong phân tử lớn hơn vận tốc của hạt nhân cỡ vài bậc. Do đó, trong vật lí phân tử người ta giả thiết rằng ở mỗi thời điểm, các electron chuyển động theo các quỹ đạo dừng ứng với vị trí tức thời của các proton, giống như các proton đang đứng yên. Theo phép gần đúng này, thế năng hiệu dụng E của phân tử hiđro (không bao gồm động năng của các proton) là một hàm của khoảng cách tức thời R giữa các proton. Thế năng hiệu dụng của phân tử khi các nguyên tử ở khoảng cách xa vô cùng được lấy bằng không. Ta không thể thiết lập được biểu thức chính xác cho hàm E(R) ngay cả trong khuôn khổ mô hình Bohr. Thay vào đó, hàm này có thể được biểu diễn gần đúng qua một số biểu thức, Bài toán 3 Phân tử Bohr Hạn cuối cùng: 30 - 4 - 2012 Bài toán 3 Phân tử Bohr Trang 4 / 4 mà tính ứng dụng của chúng được đánh giá trên cơ sở thực nghiệm. Trong phần này, ta sẽ áp dụng hàm Morse: = ( 21 0 2 1 0 ) (3) với D và α là các hằng số dương. Lưu ý: nếu bạn không tính R 0 và E b trong các câu (1D) và (1E), hãy sử dụng các giá trị sau: R 0 =0,6 Å và E b =3,0 eV. 2.A. Hãy vẽ phác định tính đồ thị của hàm Morse. Chỉ ra trên đồ thị khoảng cách cân bằng R 0 giữa các proton và năng lượng liên kết E b của phân tử. 2.B. Viết biểu thức liên hệ giữa hằng số D và năng lượng liên kết E b . Ta sẽ xét dao động của các proton trong phân tử H 2 trong hệ qui chiếu mà khối tâm của phân tử đứng yên. Giả thiết rằng độ dời của proton ra khỏi vị trí cân bằng nhỏ hơn rất nhiều so với khoảng cách R 0 . 2.C. Tìm một biểu thức cho tần số dao động υ vib của phân tử hiđro theo α, R 0 , E b , và khối lượng proton m p . Một trong các kĩ thuật thực nghiệm dùng để đo tần số của dao động phân tử là phổ tán xạ Raman. Theo cơ học lượng tử, mỗi hệ dao động với một tần số υ vib chỉ có thể trao đổi năng lượng theo những lượng tử rời rạc hυ vib . Tán xạ Raman là quá trình trong đó một photon tới với bước sóng xác định λ i tương tác với một phân từ và truyền cho phân tử một lượng tử năng lượng dao động. Kết quả là photon tán xạ ra có bước sóng λ s lớn hơn bước sóng ban đầu λ i . Trong quá trình tán xạ Raman, năng lượng truyền cho chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của phân tử nhỏ hơn vài bậc so với năng lượng truyền cho dao động. Trong một thí nghiệm cụ thể, một ống thủy tinh có chứa hiđro phân tử được chiếu bằng ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ i = 514 nm. Người ta thấy rằng có một ánh sáng tán xạ yếu với bước sóng λ s = 664 nm phát ra từ ống. 2.D. Hãy tính giá trị bằng số của υ vib và xác định giá trị của hằng số α trong hàm Morse. 2.E. Ước lượng bậc độ lớn của biên độ dao động nhỏ nhất A min của proton trong phân tử hiđro. . gọn: = 2 =1,055.10 -34 J.s Khối lượng của electron: m e =9,109.10 -31 kg Bài toán 3 Phân tử Bohr Hạn cuối cùng: 30 - 4 - 2012 Bài toán 3 Phân tử Bohr Trang 3 / 4 Khối lượng. Bài toán 3 Phân tử Bohr Hạn cuối cùng: 30 - 4 - 2012 Bài toán 3 Phân tử Bohr Trang 1 / 4 Năm 1912 Niels Bohr công bố mô hình nguyên tử hiđro, lần đầu tiên giải. khuôn khổ mô hình Bohr. Thay vào đó, hàm này có thể được biểu diễn gần đúng qua một số biểu thức, Bài toán 3 Phân tử Bohr Hạn cuối cùng: 30 - 4 - 2012 Bài toán 3 Phân tử Bohr Trang 4 /