Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm ké
Trang 1STT Phần I: đại số Số tiết 1
Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức Biến đổi căn thức
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán
Chủ đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy)
Dạng 2: Toán làm chung – Biến đổi căn thức làn riêng (toán vòi n ớc)
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm
Dạng 4: Toán có nội dung hình học
Dạng 5: Toán về tìm số
5
Chủ đề 5: Hàm số và đồ thị y = ax 2 (a 0)
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 (a 0)
Dạng 2: Caực baứi toaựn lieõn quan ủeỏn haứm soỏ y = ax 2
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol
6
Chủ đề 6: Phơng trình bậc hai và định lí Viét
Dạng 1: Giải phơng trình bậc ha
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ
nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép,
vô nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 thoả
mãn điều kiện cho trớc
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không
phụ thuộc tham số
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc ha
Trang 2Chủ đề 1: Hệ thức lợng trong tam giác vuông
Dạng 1: AÙp dụng hệ thức về cạnh và đờng cao để tìm các yếu tố trong tam giác
vuông.
Dạng 2: Tính đợc tỉ số lợng giác của góc nhọn và rút gọn biểu thức lợng giác
đơn giản.
Dạng 3: Từ một tỉ số lợng giác bất kỳ tìm các tỉ số lợng giác còn lại.
Dạng 4: Giải tam giác vuông bất kỳ khi cho các yếu tố liên quan
2
Chủ đề 2: Đuờng tròn
Dạng 1: Chứng minh các điểm cùng thuộng một đờng tròn
Dạng 2: Giải các bài toán liên quan giữa đờng kính và dây.
Dạng 3: Giải các bài toán liên quan đến vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và đờng
tròn – Biến đổi căn thức giữa đ ờng tròn với đờng tròn.
Dạng 4: Các bài toán về tiếp tuyến
3
Chủ đề 3: Góc với đờng tròn
Dạng 1: Các bài toán về góc của đờng tròn.
Dạng 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên
Dạng 1: Các bài toán liên quan đến diện tích sung quanh và thể tích hình trụ.
Dạng 2: Các bài toán liên quan đến diện tích sung quanh và thể tích hình nón,
hình nón cụt
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến diện tích sung quanh và thể tích hình cầu
ẹoõng Thanh, ngaứy thaựng naờm 2012
Trang 3
2 2 1) 3x 1 2) x 3 3) 5 2x 4) x 2 1 2 3 x 5) 6) x 3x 7 7) 2x 1 8)
7x 14 7x 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức Công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai B A B A C B B B A B A B A B ) ( 4 3 2 1 2 A C căn lấy thức biểu của mẫu Khử B A mẫu ở thức căn Trục B A căn dấu trong vào số thừa Đ a A căn dấu ra ngoài số thừa Đ a 2 Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn. 2 2 x 7 x e)
; x 25 x 5) (x
d)
; 5 2 x
c)
0); x (với x 2 x
b)
; 3 5 5 3 a) Bài 2: Thực hiện phép tính. 3 3 3; 3 3 3 3 15 26 3 15 26 h)
; 2 14 20 2 14 20 g) 7 2 5 7 2 5 f)
; 10 : ) 450 3 200 5 50 (15 c) 2 6 11 2 6 11 e)
; 0,4) 3 2 )( 10 2 3 8 ( b) ; 5 2 6 5 2 6 d)
; 8 7 7 ) 7 14 2 28 ( a) Bài 3: Thực hiện phép tính. 10 2 7 15 2 8 6 2 5 c)
5 7 1 : ) 3 1 5 15 2 1 7 14 b)
6 1 ) 3 216 2 8 6 3 2 ( a) BBài 4: Thực hiện phép tính. 6 2 12 6,5 12 6,5 e) 7 7 4 7 4
d)
2 5 3 5 3 c) 5 3 5) (3 5 3 5) (3
b)
15 4 6) 10 )(
15
(4
)
a
Dạng 5: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
2 1 x
3 x P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3)
a
a 2a 1 a a
a a A
2
a) Rút gọn A
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A
c) Tìm a để A = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 3: Cho biểu thức
x 1
x 2 x 2
1 2
x 2
1 C
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tính giá trị của C với
9
4
x
Bài 4: Cho biểu thức
2 2 2
2 2
b : b a
a 1 b a
a M
a) Rút gọn M
2
3 b
a
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1
Trang 4Bài 5: Xét biểu thức .
2
x) (1 1 x 2 x
2 x 1
x
2 x
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c) Tìm giá trị lơn nhất của P
x 3
1 x 2 2 x
3 x 6 x 5 x
9 x 2 Q
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1
y x
xy y
x : y x
y x y x
y x H
2 3
a 2 1
a
1 : 1 a
a 1
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1
x 1
2 x 2 x
1 x 2 x x
3 9x 3x M
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên
3 x
3 x 2 x 1
2 x 3 3 x 2 x
11 x 15 P
b) Tìm các giá trị của x sao cho .
x x x x
x x
1
a
a a a
a a
c)
1 2
1 :
1
1 1
a a a a
a a
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên
Bài 5: Xét biểu thức B =
2 2 2
2 2
b a a
b b
a
a b
Trang 5a) Rút gọn B b) Tìm giá trị của B khi a = 3b
Chủ đề 2 Hệ phơng trình.
A - Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
áp dụng phơng pháp cộng đại số hoặc phơng pháp thế sao cho phù hợp
; 14 2y 3x 3 5y 2x 5)
; 5 3y 6x 3 2y 4x 2)
54 3 y 4x 4 2y 3 - 2x 2)
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr ớc
Bài 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
n m y 1 n 2mx
b) Định a và b biết phơng trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x – Biến đổi căn thức y = m ; x = y = 2m ; mx – Biến đổi căn thức (m – Biến đổi căn thức 1)y = 2m – Biến đổi căn thức 1
b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – Biến đổi căn thức (3m + 5)y = m – Biến đổi căn thức 5 ; (2 - m)x – Biến đổi căn thức 2y = - m2 + 2m – Biến đổi căn thức 2
Bài 3: Cho hệ phơng trình
)
số tham
là (m 4 my x
m 10 4y mx
b) Giải và biện luận hệ theo m
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x2 – Biến đổi căn thức y2 đạt giá trị nhỏ nhất (câu hỏi tơng
tự với S = xy)
f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đờng
thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau
1 3m my
x 1 m
a) Giải và biện luận hệ theo m
b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = 0 (Hoặc: sao cho M (x ; y)
nằm trên parabol y = - 0,5x2)
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên một
đ-ờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau
2 my x
a) Giải hệ phơng trình trên khi m = 2
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x – Biến đổi căn thức y đạt giá trị lớn nhất
Chủ đề 3: Hàm số và đồ thị y = ax + b
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: (Hớng dẫn:Hàm số bậc nhất y=ax+b Xác định giao điểm với trục
tung, giao điểm với trục hoành)
a) y = 2x – Biến đổi căn thức 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: ( Hớng dãn: Hàm số bậc hai y =ax 2 Lập bảng giá trị tơng ứng
giữa x và y )
Dạng 2: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng (Hớng dẫn:Giả sử đờng thẳng cần viết có phơng trình
y=ax+b Thay x, y vào điều kiện đề bài cho tìm ra a vag b)
Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x – Biến đổi căn thức 1/5
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + 3
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 300
Trang 6e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng
f) (): y = 2x – Biến đổi căn thức 3; (’): y = 7 – Biến đổi căn thức 3x tại một điểm
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài)
Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k – Biến đổi căn thức 1)x + k – Biến đổi căn thức 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6)
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – Biến đổi căn thức 5 = 0
c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0
d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1)
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Chủ đề 4: Giải bài toán bằng cách lập hệ ph ơng trình.
ph ơng trình
Ôn tập lại phơng pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Dạng 1: Chuyển động (trên đ ờng bộ, trên đ ờng sông có tính đến dòng n ớc chảy)
Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến
chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đờng AB và thời
gian dự định đi lúc đầu
Bài 2: Một ngời đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trớc Sau khi đợc
3 1
quãng đờng AB ngời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn lại Tìm vận tốc dự định và
thời gian xe lăn bánh trên đờng, biết rằng ngời đó đến B sớm hơn dự định 24 phút
Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B trở về
A Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút Tính khoảng cách giữa hai bến A và B Biết
rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngợc bằng nhau
Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông
nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngợc dòng là 6 km/h
Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngợc dòng
Dạng 2: Toán làm chung – Biến đổi căn thức làn riêng (toán vòi n ớc)
Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong Nếu ngời thứ nhất
làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
hồ Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và
vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì đợc
2
1
hồ Hỏi nếu chảy một mình mỗi vòi chảy trong bao lâu mới
đầy hồ
Bài 3: Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể
thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ
II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc baonhiêu chi tiết máy?
Bài 2: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu ngời Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%,
còn tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ngời Tính số dân của mỗi tỉnhnăm ngoái và năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học.
Bài 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Ngời ta làm lối đi xung quanh vờn (thuộc đất
trong vờn) rộng 2 m Tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn lại trong vờn để trồng trọt là 4256 m2
Bài 2: Cho một hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng
500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài,
chiều rộng ban đầu
Bài 3: Cho một tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác
tăng 50 cm2 Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông
Dạng 5: Toán về tìm số.
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục
và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị
Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm
chia cho tổng các chữ số của nó thì đợc thơng là 4 và số d là 3
Bài 3: Nếu tử số của một phân số đợc tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng
Tìm phân số đó
Trang 7Bài 4: Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1 Nếu bớt 1 vào cả tử và
Bài 1: Một thuyền khởi hành từ bến A Sau 5h 20 phút một ca nô chạy từ A đuổi theo và kịp thuyền tại
một địa điểm cách A 20 km Tính vận tốc của ca nô, biết rằng ca nô đi nhanh hơn thuyền 12km/h.( coi
vận tốc dòng nớc là không đáng kể)
Bài 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó,
khi còn 60 km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB, ngời lái xe tăng thêm vận 10 km/h trên quãng
đ-ờng còn lại, do đó ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính quãng đđ-ờng AB
Bài 3: Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một
điểm Nếu nó chuyển động ngợc chiều thì hai giây gặp nhau Nếu nó chuyển động cùng chiều thì 10
giây lại gặp nhau.Tính vận tốc mỗi vật
Bài 4: Một ca nô xuôi 42 km rồi ngợc dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5h Biết vận tốc dòng nớc là 2
km/h Tính vận tốc ca nô khi nớc yên nặng
Bài 5: Một vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm một lối đi quanh vờn (thuộc đất của vờn)
rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2 Tính kích thớc của vờn
Dạng 3: Vị trí t ơng đối giữa đ ờng thẳng và parabol
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm kép của phơng trình hoành độ
Bài 1: a Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó
b Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4 Tìm toạ độ A và B từ
đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P)
Bài 3: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): x 2
4
1
y và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - 1
a) Vẽ độ thị (P)
b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P)
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1 Viết phơng trình đờng thẳng MN
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P)tại một điểm
Bài 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1)
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1)
3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2)
Trang 8Sử dụng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0 Hoặc dùng tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm
1) 3x2 – Biến đổi căn thức 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – Biến đổi căn thức 17x + 12 = 0 ;
3) x2 – Biến đổi căn thức (1 + 3)x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2)x2 – Biến đổi căn thức 2(1 + 2)x + 1 + 3 2 = 0 ;
5) 3x2 – Biến đổi căn thức 19x – Biến đổi căn thức 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – Biến đổi căn thức 11x + 30 = 0 ;
9) x2 – Biến đổi căn thức 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – Biến đổi căn thức 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh ph ơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm của phơng trình bậc hai
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x2 – Biến đổi căn thức 2(m - 1)x – Biến đổi căn thức 3 – Biến đổi căn thức m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ;
3) x2 – Biến đổi căn thức (2m – Biến đổi căn thức 3)x + m2 – Biến đổi căn thức 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – Biến đổi căn thức 4m – Biến đổi căn thức 12 =
0 ;
5) x2 – Biến đổi căn thức (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – Biến đổi căn thức 2x – Biến đổi căn thức (m – Biến đổi căn thức 1)(m – Biến đổi căn thức 3) = 0 ;
7) x2 – Biến đổi căn thức 2mx – Biến đổi căn thức m2 – Biến đổi căn thức 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – Biến đổi căn thức 2(2m – Biến đổi căn thức 1)x – Biến đổi căn thức 3 + m = 0
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph ơng trình
bậc hai cho tr ớc
áp dụng định lý Vi-et thuận về tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm Sử dụng định lý Vi-et đảo về hai số có tổng là S và có tích là P Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – Biến đổi căn thức 3x – Biến đổi căn thức 7 = 0 Tính: 4 2 4 1 3 2 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 x x F
x x E x 3x x 3x D
1 x 1 1 x 1 C x x B
x x A Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình: 5x2 – Biến đổi căn thức 3x – Biến đổi căn thức 1 = 0 Không giải phơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau: 2 x x x x 1 1 3 2 3 2 1 1 2 2 A 2x1 3x x1 2 2x2 3x x B1 2 x2 x2 1 x1 x1 1 x1 x2 Bài 3: Không giải phơng trình 3x2 + 5x – Biến đổi căn thức 6 = 0 Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 2 2 2 1 2 1 D
; 2 1 C ; 1 1 2 1 2 1 B
; 1 2x 2 3x 2 2x 1 3x A Bài 4: Cho phơng trình 2x2 – Biến đổi căn thức 4x – Biến đổi căn thức 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Không giải phơng trình hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – Biến đổi căn thức x2 ; y2 = 2x2 – Biến đổi căn thức x1 Bài 5: Cho phơng trình 2x2 – Biến đổi căn thức 3x – Biến đổi căn thức 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 1 2 2 2 1 b)
2 2 2 2 1 1 a) Bài 6: Cho phơng trình x2 + x – Biến đổi căn thức 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 0 2 5x 1 5x 2 2 2 2 2 1 b)
; 2 3x 1 3x 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1
a)
Bài 7: Cho phơng trình 2x2 + 4ax – Biến đổi căn thức a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phơng
trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
2 x 1 2
1 1
1
và 2
1 1
1 2
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Sử dụng điều kiện của đen ta khi phơng trình có 2 nghiệm, nghiệm kép và vô nghiệm
Bài 1: a) Cho phơng trình (m – Biến đổi căn thức 1)x2 + 2(m – Biến đổi căn thức 1)x – Biến đổi căn thức m = 0 (ẩn x)
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m – Biến đổi căn thức 1)x2 – Biến đổi căn thức 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
a) Cho phơng trình: (m – Biến đổi căn thức 1)x2 – Biến đổi căn thức 2mx + m – Biến đổi căn thức 4 = 0
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phơng trình: (a – Biến đổi căn thức 3)x2 – Biến đổi căn thức 2(a – Biến đổi căn thức 1)x + a – Biến đổi căn thức 5 = 0
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Trang 9Bài 2: a Cho phơng trình: m m 6 0
1x
x12m212xx
2 2
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của ph ơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho tr ớc
Sử dụng định lý Vi-et thuận kết hợp với điều kiệm bài cho
Bài 1: Cho phơng trình: x2 – Biến đổi căn thức 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm còn lại
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm)
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – Biến đổi căn thức x2 = - 2
7) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 – Biến đổi căn thức x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x2 – Biến đổi căn thức 2(m + 1)x + m – Biến đổi căn thức 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – Biến đổi căn thức (m – Biến đổi căn thức 4)x + 2m = 0 ; 2(x1 + x2 ) = 5x1x2
c) (m – Biến đổi căn thức 1)x2 – Biến đổi căn thức 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x1 + x2 ) = 5x1x2
d) x2 – Biến đổi căn thức (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ; 3x1x2 – Biến đổi căn thức 5(x1 + x2) + 7 = 0
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) x2 + 2mx – Biến đổi căn thức 3m – Biến đổi căn thức 2 = 0 ; 2x1 – Biến đổi căn thức 3x2 = 1
b) x2 – Biến đổi căn thức 4mx + 4m2 – Biến đổi căn thức m = 0 ; x1 = 3x2
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – Biến đổi căn thức (2m – Biến đổi căn thức 1)x – Biến đổi căn thức 3 + m = 0 Tìm điều kiện của m để phơng trình
có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – Biến đổi căn thức mx + m – Biến đổi căn thức 1 = 0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao
cho biểu thức
)xx2(1x
x
3x2xR
2 1
2 2
2 1
2 1
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2
mx2 – Biến đổi căn thức (m + 3)x + 2m + 1 = 0
Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôinghiệm kia là 9ac = 2b2
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
ph-ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của ph ơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Sử dụng định lý Vi-et thuận coi nh hệ phơng trình sau đó khử tham số (Bằng phơng pháp
thế hoặc phơng pháp cộng)
Bài 1: a Cho phơng trình: x2 – Biến đổi căn thức mx + 2m – Biến đổi căn thức 3 = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng
trình không phụ thuộc vào tham số m
b Cho phơng trình bậc hai: (m – Biến đổi căn thức 2)x2 – Biến đổi căn thức 2(m + 2)x + 2(m – Biến đổi căn thức 1) = 0 Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
c Cho phơng trình: 8x2 – Biến đổi căn thức 4(m – Biến đổi căn thức 2)x + m(m – Biến đổi căn thức 4) = 0 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ;
x2 Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – Biến đổi căn thức 1 và 1
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – Biến đổi căn thức 1)2x2 – Biến đổi căn thức (m – Biến đổi căn thức 1)(m + 2)x + m = 0 Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Bài 3: Cho phơng trình: x2 – Biến đổi căn thức 2mx – Biến đổi căn thức m2 – Biến đổi căn thức 1 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:
2
5x
xx
x
1
2 2
1
Bài 4: Cho phơng trình: (m – Biến đổi căn thức 1)x2 – Biến đổi căn thức 2(m + 1)x + m = 0
a) Giải và biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m
- Tìm m sao cho |x1 – Biến đổi căn thức x2| ≥ 2
Bài 5: Cho phơng trình (m – Biến đổi căn thức 4)x2 – Biến đổi căn thức 2(m – Biến đổi căn thức 2)x + m – Biến đổi căn thức 1 = 0 Chứng minh rằng nếu phơng trình có
hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – Biến đổi căn thức 3(x1 + x2) + 2 = 0
Dạng 7: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai ph ơng trình bậc hai (Nâng cao)
Trang 10Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phơng trình (1),
ta có thể làm nh sau:
i) Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình (1) thì kx0 là một nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ
phơng trình:
(*) 0 c' kx b' x k a'
0 c bx ax
0 2 2 0 2
Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m
ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)a’x2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4)Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể
) 4 ( ) 3 (
Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số
ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:
( 4) (3)
( 4)
P P
S S
0 Δ
0 Δ
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn nh sau:
c ay bx
Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x2 + (3m + 1)x – Biến đổi căn thức 9 = 0; 6x2 + (7m – Biến đổi căn thức 1)x – Biến đổi căn thức 19 = 0
b) 2x2 + mx – Biến đổi căn thức 1 = 0; mx2 – Biến đổi căn thức x + 2 = 0
c) x2 – Biến đổi căn thức mx + 2m + 1 = 0; mx2 – Biến đổi căn thức (2m + 1)x – Biến đổi căn thức 1 = 0
Bài 3: Xét các phơng trình sau:
ax2 + bx + c = 0 (1)
cx2 + bx + a = 0 (2)Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duynhất
Bài 4: Cho hai phơng trình:
x2 – Biến đổi căn thức 2mx + 4m = 0 (1)
x2 – Biến đổi căn thức mx + 10m = 0 (2)Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của ph-
ơng trình (1)
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + 1 = 0a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + 2 = 0 (1)
x2 + 2x + m = 0 (2)a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung
Trang 11Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm củaphơng trình (1).
b) 4x2+ 2x+ m- 1= 0 có hai nghiệm âm c) m2x2+ 2mx- 2 = 0 có hai nghiệm pb
Bài 7: Tìm m để phơng trình 2x2- 4x+5(m- 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
Bài 8: Cho pt ẩn x sau: x2- 2(m+ 4)x+ m2- 8 = 0 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 sao choa) x1+ x2- 3x1x2 đạt GTLN b) x1 + x2- x1x2 đạt GTNN
Bài 9: Cho pt x2- (2m+ 5)x- m2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 Tìm m để
3 2 1
2 2 2 1
2 1
55
610
6
x x x x
x x x x
1
2 2
x x
b) Q =
1
34
12
2 2
x x
Bài 12: Cho phơng trình x2- 2(m+1)x+ m- 4 = 0 (1)
1) Giải pt khi m = 1
2) Chứng minh pt(1) luôn có nghiệm với mọi m
3) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm trái dấu
4) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm cùng dấu? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
5) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt sao cho x 1 +x 2 = 22
6) Tìm GTNN của x 1 x 2 + x 1 x 2
7) Tìm m để p t (1) có hai nghiệm phân biệt và tích hai nghiệm này bằng 4
8) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 6
9) Tìm m để pt (1) có nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
10) Tìm m để pt (1) có nghiệm sao cho x 1 <1<x 2
11) Chứng minh biểu thức A = x 1 (1-x 2 )+ x 2 (1- x 1 ) không phụ thuộc vào giá trị của m
Bài 13: Cho 3 phơng trình ax2+ 2bx+ c = 0 (1); bx2 + 2cx + a = 0 (2);
cx2+2ax+b = 0 (3)
Trong đó a,b,c khác 0 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các pt trên có nghiệm
Bài 14 :a) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn pt 3x2- 6x+ y- 2 = 0 sao cho y đạt giá tị lớn nhất
Bài 15 Giải các pt sau
a) x2- 2 ( 1 3 )x 2 3 0 b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0
c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d)
4
1 2
1 3