Đề cương ôn thi tuyển sinh vào lớp 10

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán Biên soạn : Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn Phần I tổng hợp kiến thức cơ bản I. Các phép biến đổi về căn thức 1. Hằng đẳng thức đáng nhớ 2 2 2 a b a 2ab b 2 2 2 a b a 2ab b 2 2 a b a b a b 3 3 2 2 3 a b a 3a b 3ab b 3 3 2 2 3 a b a 3a b 3ab b 3 3 2 2 a b a b a ab b 3 3 2 2 a b a b a ab b 2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca 2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai - Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A 0 - Các công thức biến đổi căn thức. 2 A A AB A. B (A 0;B 0) A A (A 0;B 0) B B 2 A B A B (B 0) 2 A B A B (A 0;B 0) 2 A B A B (A 0;B 0) A 1 AB (AB 0;B 0) B B A A B (B 0) B B 2 2 C C( A B) (A 0;A B ) A B A B C C( A B) (A 0;B 0;A B) A B A B 3. Các dạng bài tập cơ bản Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Phơng pháp: Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có) Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bớc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bớc 4: Rút gọn biểu thức Bớc 5: Tính số trị (nếu còn tham số) Dạng 2: Rút gọn biểu thức Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức Bớc 2: Trục căn thức ở mẫu nếu có (nếu có) Bớc 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bớc 4: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bớc 5: Rút gọn biểu thức Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức Bớc 2: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái. Cũng có khi chúng ta phải biến đổi cả hai vế cùng về biểu thức trung gian II. Phơng trình bậc hai 1. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng 2 ax bx c 0 (a 0) 2. Công thức nghiệm : Ta có 2 b 4ac . - Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm. - Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép 1,2 b x 2a - Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt 1 b x 2a ; 2 b x 2a Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 2 3. Hệ thức Viet : Nếu phơng trình có nghiệm x 1 ; x 2 thì S = 1 2 b x x a ; P = 1 2 c x .x a Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình 2 ax bx c 0 (a 0). Ta có thể sử dụng định lí Viet để tính các biểu thức của x 1 , x 2 theo a, b, c S 1 = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 b 2ac x x x x 2x x a S 2 = 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3abc b x x x x 3x x x x a S 3 = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 b 4ac x x x x x x 4x x a 4. ứ ng dụng hệ thức Viet a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình 2 ax bx c 0 (a 0). - Nếu a + b + c = 0 x 1 = 1; 2 c x a - Nếu a - b + c = 0 x 1 = -1; 2 c x a b) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của phơng trình bậc hai X 2 - SX + P = 0 c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình 2 ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì 2 1 2 ax bx c a x x x x d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phơng trình 2 ax bx c 0 (a 0). - Nếu c 0 a thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu - Nếu 0 c 0 a thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu - Nếu 0 c 0 a b 0 a thì phơng trình có hai nghiệm dơng. Nếu 0 c 0 a b 0 a thì phơng trình có hai nghiệm âm 5. Các dạng toán cơ bản : Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là 2 b 4ac 0 hoặc c 0 a Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình 2 ax bx c 0 ; 2 a'x b'x c' 0 có nghiệm ngời ta thờng làm theo một trong hai cách sau: Cách 1: Chứng minh 1 2 0 Cách 2: 1 2 . 0 Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích Phơng pháp: Bớc 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của phơng trình bậc hai X 2 - SX + P = 0 Bớc 2: Giải phơng trình X 2 - SX + P = 0 Bớc 3: Kết luận Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Bớc 2: Tính S = 1 2 b x x a ; P = 1 2 c x .x a , theo m Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý rằng 2 2 2 1 2 x x S 2P ; Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 3 3 3 2 1 2 x x S S 3P ; 1 2 1 1 S x x P ; 2 2 2 2 1 2 1 1 S 2P x x P Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Bớc 2: Tính S = 1 2 b x x a ; P = 1 2 c x .x a , theo m Bớc 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số m Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Bớc 2: Tính S = 1 2 b x x a ; P = 1 2 c x .x a , theo m Bớc 3: Giải phơng trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bớc 4: Kết luận III. Hệ phơng trình 1. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn số : Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số: - Nhân các vế của hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau - Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phơng trình một ẩn số) - Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho Cách 2: Sử dụng phơng pháp thế - Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một ẩn - Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho 2. Hệ phơng trình đối xứng a) Hệ đối xứng loại I: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng phơng trình không thay đổi Phơng pháp: Đa về hệ phơng trình theo hai biến mới là: S = x + y và P = xy với điều kiện S 2 4P b) Hệ đối xứng loại II: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia Phơng pháp: Trừ hai phơng trình với nhau để nhận dợc phơng trình mới có dạng tích số. Chú ý nếu hệ phơng trình có nghiệm (x 0 ; x 0 ) (tức là x = y). Nếu hệ phơng trình có nghiệm (x, y) thì phơng trình cũng có nghiệm (y, x) IV. Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất (bậc hai) 1. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu số: Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai) Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm 2. Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối: Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa Bớc 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai) Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm 3. Phơng trình trùng phơng: 4 2 ax bx c 0 (a 0) Phơng pháp: Bớc 1: Đặt x 2 = t 0 Bớc 2: Biến đổi đa về phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm 4. Phơng trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + d = b + c Phơng pháp: Bớc 1: Đặt t = x 2 + (a + d)x + k = x 2 + (b + c)x + k với k = 1 ad bc 2 Bớc 2: Biến đổi đa về phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 4 Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x 5. Phơng trình hồi qui a) Dạng 1: Phơng trình có dạng 4 3 2 ax bx cx bx a 0 (a 0) Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế của phơng trình cho x 2 0 Bớc 2: Đặt 1 t x x với điều kiện t 2 và đa về phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x b) Dạng 2: Phơng trình có dạng 4 3 2 ax bx cx bx a 0 (a 0) Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế của phơng trình cho x 2 0 Bớc 2: Đặt 1 t x x và đa về phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x 6. Phơng trình có dạng 4 3 2 ax bx cx dx e 0 với 2 e d a b ; e 0 Phơng pháp: Bớc 1: Đặt 2 2 2 2 d d d d t x t x x 2 bx bx b bx 2 2 2 d d x t 2 bx b Bớc 2: Đa về phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm 7. Phơng trình có dạng 4 4 x a x b c Phơng pháp: Bớc 1: Đặt t = a b a b a b x x a t ;x b t 2 2 2 Bớc 2: Đa về phơng trình trùng phơng ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình trùng phơng trên Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm V. Hàm số 1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) - Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong đó a 0 - Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0 - Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đờng thẳng. Cắt trục tung tại điểm B(0; b). Cắt trục hoành tại điểm b A ;0 a (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc) - Các đờng thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Nếu gọi là góc hợp bới giữa đờng thẳng và tia Ox thì a = tg - Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) thì: (d) cắt (d) a a (d) song song (d) a a' b b' (d) trùng (d) a a' b b' (d) (d) a.a = -1 2. Hàm số y = ax 2 (a 0) - Hàm số có tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 - Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị 3. Các dạng toán Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất (phơng trình đờng thẳng) Phơng pháp: Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b thì ax 0 + b = y 0 Các kết quả đã nêu ở phần lý thuyết trên Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 5 Dạng 2: Xác định hàm số y = ax 2 (a 0) Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = ax 2 thì ax 0 2 = y 0 Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị Phơng pháp: Lập phơng trình hoành độ giao điểm Giải phơng trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểm Dạng 4: Tơng giao giữa đờng thẳng và Parabol Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a 0) và Parabol y = Ax 2 (A 0). Xét phơng trình hoành độ giao điểm Ax 2 = ax + b (1). Ta có số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình này - Đờng thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm - Đờng thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) vô nghiệm - Đờng thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm kép VI. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình 1. Phơng pháp chung - Chọn ẩn số và xác định điều kiện của ẩn số (đơn vị tính). ẩn số thờng là đại lợng cha biết trong bài toán. Việc chọn một ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lợng cha biết trong bài toán - Biểu diễn mối tơng quan giữa đại lợng đã biết và đại lợng cha biết - Lập phơng trình (hay hệ phơng trình) - Giải phơng trình (hay hệ phơng trình) - Nhận định kết quả và trả lời 2. Các dạng toán Dạng 1: Các bài toán về chuyển động - Dựa vào quan hệ của ba đại lợng S: quãng đờng; t: thời gian; v: vận tốc của vật chuyển động đều trong công thức S = v.t - Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ khi giải bài toán chuyển động thuyền trên sông ta có: v 1 = v 0 + v 3 ; v 2 = v 0 v 3 trong đó v 1 là vận tốc thuyền đi xuôi dòng, v 2 là vận tốc thuyền đi ngợc dòng, v 0 là vận tốc riêng của thuyền, v 3 là vận tốc dòng chảy Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: năng suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lợng công việc đã làm thì N = s t Dạng 3: Các bài toán về làm chung làm riêng, vòi nớc chảy chung chảy riêng Dựa vào kết quả sau - Nếu x giờ (hoặc ngày) làm xong công việc thì mỗi giờ (hoặc ngày) làm đợc 1 x công việc đó - Nếu trong 1 giờ: Đối tợng A làm đợc 1 x công việc, đối tợng B làm đợc 1 y công việc thì lợng công việc mà cả hai làm đợc trong 1 giờ là 1 x + 1 y công việc - Nếu mỗi giờ làm đợc 1 x công việc thì a giờ làm đợc a x công việc Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hóa ) Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho mỗi xe; t: là số xe chở hàng; s: tổng số lợng hàng hoá trong kho thì N = s t Dạng 5: Các bài toán tìm số Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số Chú ý: ab 10a b ; abc 100a 10b c Dạng 6: Các bài toán liên quan đến tỉ số % Chú ý các kết quả sau: m% của A nghĩa là m .A 100 Số A bằng m% số B nghĩa là A m B 100 hay m A .B 100 Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 6 Số A sau khi tăng lên m% thì đợc số mới có giá trị là A + m .A 100 Dạng 7: Các bài toán có nội dung hình học Chú ý đến các hệ thức lợng trong tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích của các hình VII. Các bài toán hình học phẳng 1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có b 2 = a. b c 2 = a. c b 2 + c 2 = a 2 h 2 = b. c a. h = b. c 2 2 2 1 1 1 h b c b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn - Các tỉ số lợng giác của góc nhọn đợc định nghĩa nh sau: sin = cạnh đối cạnh huyền cos = cạnh kề cạnh huyền tg = cạnh đối cạnh kề cotg = cạnh kề cạnh đối - Với hai góc và phụ nhau ta có sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg - Một số góc đặc biệt 0 0 1 sin30 cos60 2 0 0 2 sin45 cos45 2 0 0 3 cos30 sin60 2 0 0 tg45 cotg45 1 0 0 3 tg30 cotg60 3 0 0 cotg30 tg60 3 c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề d) Một số công thức tính diện tích tam giác S = a.h 2 (h là đờng cao ứng với cạnh a) S = a.b.sinC b.c.sinA c.a.sinB 2 2 2 S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) S = a.b.c 4R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác) S = p p a p b p c (p là nửa chu vi của tam giác) 2. Đờng tròn : a) Sự xác định đờng tròn. Tính chất đối xứng của đờng tròn - Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng bằng R - Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên ngoài đờng tròn - Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn - Đờng tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đờng tròn. Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đờng kính nào của nó b) Đờng kính và dây cung của đờng tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Trong một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính - Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy - Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy - Trong một đờng tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai dây không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn c) Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn A B C H c b a c' b' h cạnh kề cạnh đối Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 7 Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau. ứng với mỗi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng và bán kính R của đờng tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí - Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm - Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn d) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm e) Đờng tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác - Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đờng phân giác các góc trong tam giác - Đờng tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đờng trung trực tam giác - Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia là đờng tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đờng phân giác của hai góc ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đờng phân giác của góc ngoài không kề với nó f) Vị trí tơng đối của hai đờng tròn Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đờng tròn không giao nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau Do tính chất đối xứng của đờng tròn, nếu hai đờng tròn cắt nhau thì giao điểm đối xứng với nhau qua đờng nối tâm, nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì giao điểm nằm trên đờng nối tâm g) Góc với đờng tròn: + Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi là góc ở tâm. Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 0 và số đo cung nhỏ. Số đo của nửa đờng tròn bằng 180 0 . + Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa dây cung của đờng tròn đó. Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn. Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bị chắn + Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến của (O) tại A, AB là một dây cung. Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo cung bị chắn + Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn chắn hai cung: một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó. Số đo có đỉnh ở bên trong đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn Chú ý: Trong một đờng tròn - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau - Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau - Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn. - Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn. - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n 0 bán kính R : Rn l 180 I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R 2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n 0 : 2 R n lR S 360 2 Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 8 3. Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba - Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác - Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau - Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba - Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc - Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị - Hai góc ở vị trí đối đỉnh - Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều - Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng - Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba - Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều - Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau - Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên của hình thang cân - Hai dây trơng ứng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng bằng nhau. Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong; ở vị trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị. - Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn - Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc Cách chứng minh: - Chúng cùng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác. - Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác. - Đờng kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm. - Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau. - Tính chất 2 đờng chéo hình thoi, hình vuông Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy. Cách chứng minh: - Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bằng 180 0 - Dựa vào hai góc đối đỉnh - Dựa vào hai đờng thẳng đi qua một điểm cùng song song với đờng thẳng khác - Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau - Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo của định lí Talet. Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau * Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có một cạnh và một góc nhọn bằng nhau - Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau - Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam giác thờng: - Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g) - Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c) - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có một góc nhọn bằng nhau - Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ - Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 9 - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc . - Dựa vào phơng tích của đờng tròn VIII. Các bài toán hình học không gian 1. Hình lăng trụ : Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều S xq = p. l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên) Lăng trụ đứng: S xq = p. h (p là chu vi đáy, h là chiều cao) V = B. h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) Hình hộp chữ nhật: S tp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thớc của hình hộp chữ nhật) V = a. b. c Các đờng chéo hình hộp chữ nhật d = 2 2 2 a b c Hình lập phơng: V = a 3 (a là cạnh) 2. Hình chóp : Hình chóp là hình đa diện có một mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có chung đỉnh. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên bằng nhau. Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều Hình chóp đều: S xq = 1 2 . n .a. d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ dài trung đoạn) S tp = S xq + B (B là diện tích đáy) V = 1 3 . B . h Hình chóp cụt đều: S xq = 1 n.a n.a' .d 2 (n là số cạnh đáy; a, a cạnh đáy; d trung đoạn chiều cao mặt bên) V = V 1 + V 2 (V 1 thể tích hình chóp cụt; V 2 thể tích hình chóp trên) V = 1 .h B B' B.B' 3 (B, B là diện tích đáy, h là chiều cao) 3. Hình trụ : Hình trụ là hình sinh ra bới hình chữ nhật quay xung quanh một cạnh của nó - Diện tích xung quanh: S xq = 2. R. h (R là bán kính đáy; h là chiều cao) - Diện tích toàn phần: S tp = 2. R. h + 2. R 2 - Thể tích hình trụ: V = S. h = . R 2 . h (S là diện tích đáy) 4. Hình nón : Hình nón là hình sinh ra bởi tam giác vuông quay xung quanh một cạnh góc vuông của nó. Hình nón cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục Hình nón: - Diện tích xung quanh: S xq = . R. l (R là bán kính đáy; l là đờng sinh) - Diện tích toàn phần: S tp = . R. l + . R 2 - Thể tích: V = 2 1 .R .h 3 (h là chiều cao) Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: S xq = (R 1 + R 2 ). l (R 1 ; R 2 là bán kính hai đáy; l là đờng sinh) - Diện tích toàn phần: S tp = (R 1 + R 2 ). l + (R 1 2 + R 2 2 ) - Thể tích: V = 2 2 1 2 1 2 1 .h.(R R R R ) 3 (h là chiều cao) 5. Hình cầu : - Diện tích mặt cầu: S = 4. R 2 (R là bán kính) - Thể tích hình cầu: V = 3 4 .R 3 IX. Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị 1. Định nghĩa : a > b a b > 0 b a < 0 a b a b 0 b a 0 2. Một số tính chất : 1/ A B A C B C 2/ A > B A + C > B + C 3/ AC BC,C 0 A B AC BC,C 0 4/ A B A C B C C D Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 10 5/ A B 0 AC BD C D 0 6/ A > B > 0, n N * A n > B n 7/ n n A B 0,n N,n 2 A B 8/ 1 1 với AB 0 A B A B 1 1 với AB 0 A B 9/ * n,m N n m n m n m A A ,A 1 A A ,0 A 1 10/ 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 a b a b n N a b 3. Một số BĐT cơ bản : 2 a b 4ab a a a b a b a b a b 1 1 4 a b a b (với a, b > 0) 1 1 1 9 a b c a b c (với a, b, c > 0) 2 1 2 n 1 2 n 1 1 1 n a a a a a a (Với a 1 , a 2 , , a n > 0) a b 2 b a (với ab > 0) a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a 1 , a 2 , , a n là các số thực không âm, khi đó ta có: Dạng 1: 1 2 n n 1 2 n a a a a a a n Dạng 2: n 1 2 n 1 2 n a a a a a a n Đẳng thức xảy ra a 1 = a 2 = = a n Hệ quả: * Nếu a 1 + a 2 + + a n = S (const) thì n 1 2 n S Max a a a n xảy ra a 1 = a 2 = = a n = S n * Nếu a 1 a 2 a n = P (const) thì n 1 2 n Min a a a n P xảy ra a 1 = a 2 = = a n = n P Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a 1 , a 2 , , a n (n 2) và n số dơng 1 , 2 , n sao cho 1 + 2 + + n = 1 thì: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 n n a .a a a a a Dấu bằng xảy ra a 1 = a 2 = = a n b) Bất đẳng thức: CauChy Bunhiakowski Schwarz (CBS) Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a 1 , a 2 , , a n ; b 1 , b 2 , , b n khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n a a a b b b a b a b a b Dấu đẳng thức xảy ra 1 2 n 1 2 n a a a b b b Hệ quả: * Nếu a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c (const) thì 2 2 2 2 1 2 n 2 2 2 1 2 n c Min x x x a a a xảy ra 1 2 n 1 2 n x x x a a a * Nếu 2 2 2 2 1 2 n x x x c (const) thì 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n Max a x a x a x c . a a a 1 2 n 1 2 n x x x 0 a a a 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n Min a x a x a x c . a a a 1 2 n 1 2 n x x x 0 a a a Dạng khác của CBS: 2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n a a a a a a b b b b b b [...]... gặp nhau Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhau thì cứ sau 10 giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật Bài 6: Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô Mỗi xe chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh Nếu bớt đi 1 ôtô thì có thể xếp đều các học sinh trên các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao nhiêu học sinh Mỗi xe chở không quá 32 học sinh Bài 7: Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong... được 25% côngviệc Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong Bài 8: Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau Bài 9: Hai người thợ cùng làm một công việc... Trong một cuộc gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn và toán tham dự Các học sinh giỏi văn tính số người quen của mình là các bạn học sinh giỏi toán và nhận thấy rằng : bạn thứ nhất quen 6 bạn; Bạn thứ 2 quen 7 bạn; Bạn thứ 3 quen 8 bạn ; và cứ thế bạn cuối cùng quen tất cả các bạn học sinh giỏi toán Tính số học sinh giỏi văn, giỏi toán Biết rằng không có học sinh nào vừa giỏi văn vừa giỏi... giỏi toán Bài 19: Trong một buổi liên hoan, một lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêm một nữa thì mới đủ chỗ ngồi Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như nhau và ngồi không quá năm người Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế Bài 20: Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông cùng một lúc bằng 2 loại thuyền : Loại thứ nhất,... giác ABC vuông tại A, AB = 8 cm, AC = 6 cm Một đường thẳng d vuông góc vói mp(ABC) tại B, trên d lấy điểm S sao cho SA = 10 cm a) Chứng minh rằng: SB AC b) Tính SB, BC, SC c) Chứng minh tam giác SAC vuông d) Tính Stp, V Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh 3 cm Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = 4 cm CMR: a) (SAB) (SAD) b) SC BD c) Các tam giác SBC và SDC vuông d) Tính... thì mỗi tổ phải làm trong bao 3 lâu ? Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc Bài 7: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất... bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm được 1 10 m3 Sau khi bơm được thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m3 3 Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước 48 phút Tính thể tích bể chứa Sưu tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn 25 Bài 4: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước... x 2 2 m 1 x 2m 10 0 (với m là tham số ) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m 2 2 c) Tìm giá trị của m để 10x1x 2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Bài 12: Cho phương trình m 1 x 2 2mx m 1 0 với m là tham số a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân... thừa một bao Nếu bớt đi một ôtô thì có thể phân phối đều các bao hàng cho các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô và tất cả có bao nhiêu bao hàng Biết rằng mỗi ôtô chỉ chở được không quá 32 bao hàng (giả thi t mỗi bao hàng có khối lượng như nhau) Bài 12: Mỗi người dán tất cả tem của mình vào một quyển vở Nếu dán 20 tem trên một tờ thì quyển vở không đủ để dán hết số tem Còn nếu mỗi tờ dán 23 tem... cung của (O; OB)vuông góc với OB CMR: CD (AOB) Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A quay một vòng quanh AB Tính bán kính đáy, đường cao của hình nón tạo thành Từ đó tính Sxq , và V của hình nón biết rằng BC = 6 cm, góc ACB = 600 Bài 22: Một hình nón có thi t diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 4 cm Tính Sxq và V Bài 23: Một hình nón cụt có đường cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm . Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán Biên soạn : Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn Phần I tổng hợp kiến thức. tợng B làm đợc 1 y công việc thì lợng công việc mà cả hai làm đợc trong 1 giờ là 1 x + 1 y công việc - Nếu mỗi giờ làm đợc 1 x công việc thì a giờ làm đợc a x công việc Dạng 4: Các. Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số Chú ý: ab 10a b ; abc 100 a 10b c Dạng 6: Các bài toán liên quan đến tỉ số % Chú ý các kết quả sau: m% của A nghĩa là m .A 100