skkn- mâu bìa nhà trường

* Ở xã: Đại biểu Thường vụ Đảng uỷ, UBMTTQVN xã; Ban văn hoá xã hội, Ban Công an, Hội phụ nữ, Hội nông dân, Hội CCB, Ban thường vụ Đoàn, Ban DS-GĐ&TE, Hội Khuyến học, Tram y tế, Hiệu t

Trang 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên đề tài:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Tác giả: Trần Thị Dung

Chức vụ: Giáo viên

Tổ Chuyên môn: Toán - Tin

I TÊN ĐỀ TÀI

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

II ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do

Năm học 2012-2013

Thời gian khai mạc

7 giờ 30 ngày 27 tháng 09 năm 2012

Thành phần đại biểu tham dự:

* Ở huyện: - Lãnh

đạo Phòng GD&ĐT

- Thường vụ công đoàn ngành GD&ĐT

- Bộ phận Thi đua,Tổng hợp và Hành chính, Thanh tra

- Bộ phận Chuyên môn THCS

* Ở xã: Đại biểu

Thường vụ Đảng uỷ,

UBMTTQVN xã; Ban văn hoá xã hội, Ban Công

an, Hội phụ nữ, Hội nông dân, Hội CCB, Ban thường vụ Đoàn, Ban DS-GĐ&TE, Hội Khuyến học, Tram y tế, Hiệu trưởng trường Tiểu học số 1,2 ; Trung tâm HTCĐ xã Duy Nghĩa

Bí thư chi bộ, Trưởng thôn Thuận An, Ban thường trực CMHS trường, anh Hồ Ngọc Thanh nguyên Trưởng ban đại diện CMHS nhà trường

CHƯƠNG TRÌNH

1 Ổn định tổ chức, tuyên bố lý do, giới thiệu đại biểu

2 Giới thiệu chủ trì Hội nghị và thư ký Hội nghị

3 Báo cáo kết quả quá trình chuẩn bị Hội nghị ( CTCĐ)

4 Báo cáo Tổng kết năm học 2011-2012 và Kế hoạch năm học 2012-2013( Hiệu trưởng)

5 Báo cáo kết quả thực hiện chủ đề năm học

“ Tiếp tục đổi mới quản lý

và nâng cao chất lượng giáo dục” và kế hoạch thực hiện năm học mới

(Phó HT)

6.Báo cáo Kết quả thực hiện ngân sách năm học 2011-2012 và Kế hoạch thực hiện ngân sách 2012-2013 (Kế toán)

7 Báo cáo Tổng kết hoạt động của Ban thanh tra nhân dân năm học 2011-2012 và Kế hoạch hoạt động năm học

2012-2013 ( Trưởng ban TTND đã báo cáo trong phiên họp Hội đồng sư phạm Kiểm điểm thực hiện Kế hoạch năm học 2011-2012 ở cuối năm học)

8 Báo cáo công tác phối hợp của Công đoàn với chuyên môn (CTCĐ)

9 Hội nghị thảo luận

10 Chủ trì Hội nghị giải trình những ý kiến của CCVC và đại biểu

11 Bầu bổ sung Ban thanh tra nhân dân nhiệm kỳ 2011-2013

GIAI LAO

12 Ban kiểm phiếu công bố kết quả bầu Ban thanh tra nhân dân

13 Phát biểu của Đại biểu:

- Đại diện lãnh đạo Đảng, Chính quyền địa phương

- Lãnh đạo Phòng GD&ĐT Huyện

14 Thư ký Hội nghị thông qua dự thảo Nghị quyết Hội nghị

15 Hiệu trưởng tổng kết Hội nghị

BAN TỔ CHỨC HỘI NGHỊ NG&LĐ

NĂM HỌC 2012-2013

5 năm 2012

Trang 2

Phần kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thức rộng, nhiều Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để tiếp thu tốt kiến thức này thì học sinh cần phải nắm vững một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức; bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, tư duy lôgic, nên sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này Do vậy, với mong muốn được góp phần vào việc nâng cao chất lượng mũi nhọn và giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nói riêng nên tôi

đưa ra sáng kiến “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của biểu thức” Trong đề tài này, tôi cố gắng trình bày, tổng hợp một số dạng

toán thường gặp khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có thể định hướng được phương pháp truyền đạt để giúp học sinh nắm bài tốt hơn

2 Giới hạn

Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số dạng toán thường gặp khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số, đồng thời nêu ra các định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu Bên cạnh đó tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ

để học sinh có thể rèn luyện tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, từ đó góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khá, giỏi khối 8 và khối 9 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi;

- Sách giáo khoa tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 8, toán 9

III CƠ SỞ LÍ LUẬN

Trong chương trình Toán học ở trường trung học cơ sở hiện nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn, chọn lọc và sắp xếp

có dụng ý sư phạm là phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của số đông học sinh Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng lực học nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đây là dạng toán có thể giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ như phân tích tổng hợp, khái quát hoá, đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính toán, tính sáng tạo

IV CƠ SỞ THỰC TIẾN

Trong quá trình giảng dạy ở lớp 8 và lớp 9, đặc biệt khi giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 8 trong những năm qua, tôi nhận thấy hầu hết khi học sinh gặp phải dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của

1

CHƯƠNG TRÌNH

(Phó HT)

GIAI LAO

NĂM HỌC 2012-2013

5 năm 2012

Trang 3

biểu thức thì các em rất lúng túng và bỡ ngỡ Vì chương trình Toán trung học

cơ sở sách giáo khoa chưa đề cập nhiều về cách giải, nên học sinh chưa có được phương pháp giải những bài toán dạng này Tuy nhiên, trong các kỳ thi học sinh giỏi môn Toán 8, các kỳ thi tuyển vào trường chuyên thường hay có các dạng toán này Vì vậy trong quá trình dạy học, đặc biệt là dạy lớp chọn và

ôn thi học sinh giỏi thì giáo viên cần trang bị cho học sinh nắm vững một số phương pháp giải thường gặp nhất trong chương trình Toán trung học cơ sở

Để từ đó mỗi học sinh tự mình giải được các bài toán dạng này một cách chủ động sáng tạo Do thời gian có hạn trên lớp nên hầu như nhiều giáo viên chưa

hệ thống được các dạng toán này Với mong muốn được đóng góp phần nào giúp học sinh học tập tốt hơn bộ môn Toán, tôi xin đưa ra một số phương pháp thường gặp để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức đại số

V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1 Cơ sở lý thuyết

a) Áp dụng hằng đẳng thức a2

2ab + b2 = (a b)2 để biến đổi biểu thức về dạng :

A = [ f(x) ] 2 + a  a, với mọi x R suy ra min A = a khi f(x) = 0;

B = – [ f(x) ]2 +a  a, với mọi x R suy ra max B = a khi f(x) = 0.

b) Áp dụng bất đẳng thức a b a b (a  b  0), để tìm giá trị lớn nhất

Dấu ‘=’ xảy ra khi b(a – b) = 0  b = 0 hoặc a = b

c) Áp dụng bất đẳng thức a b a b (a,b  0), để tìm giá trị nhỏ nhất

Dấu ‘=’ xảy ra khi a.b = 0  a = 0 hoặc b = 0

d) Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là   0 hoặc '

 0

Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép

2

b x

a

 hoặc x b

a





e) Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích đa thức A về dạng:

A=  f x 2 g x 2a  a với mọi x R suy ra min A = a khi f(x) = 0

và g(x) = 0;

A=  f x 2 g x 2a  a với mọi x R suy ra max A = a khi f(x) = 0

và g(x) = 0

f) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Với a  0, b  0 thì a + b  2 ab;

Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b;

Nếu a.b = k (không đổi) thì min (a + b) =2 k khi a = b;

2

CHƯƠNG TRÌNH

(Phó HT)

GIAI LAO

NĂM HỌC 2012-2013

5 năm 2012

Trang 4

Nếu a + b = k (không đổi) thì max (a b) = 2

4

k khi a = b

2 Nội dung

a) Phương pháp 1

Áp dụng hằng đẳng thức a2

2ab + b2 = (a b)2 để biến đổi biểu thức về dạng :

A = [ f(x) ] 2 + a  a, với mọi x R suy ra min A = a khi f(x) = 0;

B = – [ f(x) ]2 +a  a, với mọi x R suy ra max B = a khi f(x) = 0.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

a) A = 4x2 + 12x +10

b) B = x.( x +1)( x2 + x - 4)

c) C = 2y + 9x2 + y2 – 6x + 7

Giải

a) Ta có A = (4x2 + 12x + 9) + 1

= (2x + 3)2 + 1 Nên A 1, với mọi x R

Vậy min A = 1 khi x = 3

2

 b) Ta có B = x.( x +1)( x2 + x - 4)

= (x2 +x)( x2 + x - 4) Đặt t = x2 + x, ta có:

B = t.(t – 4) = t2 – 4t = ( t2 – 4t + 4) – 4 = (t – 2)2 – 4

Nên B  – 4, với mọi t R

Vậy min B = – 4 khi t = 2  x2 + x = 2  (x – 1)( x + 2 ) = 0

 x =1 hoặc x = – 2

c) Ta có C = (9x2 – 6x + 1) + ( y2 + 2y + 1) + 5

= (3x – 1)2 + ( y + 1)2 + 5 Nên C  5, với mọi xR, yR

Vậy min C = 5 khi x = 1

3 và y = – 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

a) A =  2x2  10x 8

b) B = x2  y2 xy 2x 2y

Giải

 2 

2

a) 2 5 4

5 25 25

2 4 4

x x

  

      

Trang 5

2

5 9 2

2 4

5 9 2

2 2

x x

  

     

 

 

    

 

Nên 9

2

A  , với mọi xR

Vậy max A =9

2 khi x =5

2 b) Ta có : -2B = 2x 2  2y2  2xy 4x 4y

         

       Nên  2B 8

 B 4, với mọi xR, yR

Vậy max B = 4 khi x = y = 2

* Bài tập: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

a) A = 6x – x2

b) B = x2 – 4xy + 5y2 + 2y + 5

c) C = x( x - 2)( x2 - 2x + 2)

2 2

e) E = 9x4  6 (x x2 2) ( x2)2 4

Giải

a) Ta có A = 6x – x2 = – ( x2 - 6x +9) +9 = – (x - 3)2 +9

Nên A  9, với mọi xR

Vậy max A = 9 khi x = 3

b) Ta có B = (x2 – 4xy +4 y2) + (y2 + 2y + 1) + 4

= (x – 2y )2 + (y +1)2 + 4 Nên B  4, với mọi xR, yR

Vậy minB = 4 khi x = – 2; y = – 1

c) Ta có C = (x2 – 2x)(x2 – 2x + 2)

Đặt t = x2 – 2x

Khi đó C = t( t + 2) = t2 + 2t = ( t2 + 2t + 1) – 1= ( t +1)2 –1

Nên C – 1, với mọi tR

Do đó min C = – 1 khi t = – 1

Khi t = – 1, ta có x2 – 2x = – 1  x2 – 2x + 1 = 0

 (x – 1)2 = 0  x = 1

Vậy min C = – 1 khi x = 1

Trang 6

Ta có D = 2 1

2 2

 

2

1

2 1 1

2 1

1 1

2 3 1 2

x x x x

     

    

   

Nên D 3

2

Vậy max D = 3

2 khi x = 1

f) ĐKXĐ: x R

Ta có E  3x22 2.3 x2 x 2  x 22  4

(3x x 2) 4

Nên E  2, với mọi xR

Vậy min E = 2 khi 3x2 –x – 2 = 0  x = 1 hoặc 2

3

x 

b) Phương pháp 2

Áp dụng bất đẳng thức a  b  a b (a  b  0), để tìm giá trị lớn nhất;

Dấu ‘=’ xảy ra khi b(a – b) = 0  b = 0 hoặc a = b

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x 72  x 97

b) Cho x - y = 88 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 20  y 32

Giải

a) ĐKXĐ: x  97

Ta có x 72  x 97  (x 72) (  x 97)

72 97 13

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 97 ( thích hợp) hoặc x + 72 = x - 97 (loại)

Vậy max A = 13 khi x = 97

b) ĐKXĐ x  20, y- 32

Ta có : x 20  y 32  x 20  y 32

20 32 88 52

      

Trang 7

20 32 36

20 32 6

Dấu ‘=’ xảy ra khi y = - 32 => x = 56 (thích hợp)

hoặc x – 20 = y + 32  x – y = 52 ( loại)

Vậy max B = 6 khi x = 56, y = -32

c) Phương pháp 3

Áp dụng bất đẳng thức a b a b (a,b  0), để tìm giá trị nhỏ nhất

Dấu ‘=’ xảy ra khi a.b = 0  a = 0 hoặc b = 0

Ví dụ:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2012  2013  x

b) Chox Z y Z ,  và x + 2y = 27 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B = x 5  2y 3

Giải

a) ĐKXĐ 2012  x  2013

Ta có x 2012  2013  x  x 2012  2013  x

2012 2013 1

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 2012 hoặc x = 2013

Vậy min A = 1 khi x = 2012 hoặc x = 2013

b) ĐKXĐ x  5 và y  3

2



Ta có x 5  2y  3 x 5  2y 3

5 2 3 27 2

5 2 3 5

      

     

    

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 5 => y = 11( thích hợp)

hoặc y = 3

2

 => x = 30 (loại) Vậy min B = 5 khi x = 5, y =11

d) Phương pháp 4

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là   0 hoặc



 0

Dấu ‘=’ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x =

2

b a

 hoặc x b

a





Ví dụ 1:

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = -3x2 +5x + 1

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 22 2 1

4 4

x x

 

 

Giải

Trang 8

a) Gọi a là giá trị của biểu thức A

Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình

-3x2 +5x + 1 = a có nghiệm

 -3x2 +5x + 1 – a = 0 (1) có nghiệm

   0

   

2

5 4 3 1 a 0

    

 37 - 12a  0

 a  37

12 Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 5

6 Vậy max A = 37

12 khi x = 5

6 b) ĐKXĐ : x 2

Gọi a là giá trị của biểu thức B

Biểu thức B nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình 22 2 1

4 4

x x

a

x x

 



  (1)

có nghiệm

Phương trình (1)  (a - 1)x2 – 2(2a + 1)x + (4a - 1) = 0 (2)

+ Nếu a = 1 thì  2 6 3 0 1

2

      + Nếu a  1 thì (2) là phương trình bậc hai

 = (2a + 1)2 – (a – 1)(4a – 1) = 9a

Phương trình (2) có nghiệm khi 9a  0  a  0

Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 2 1 1

1

a a

   



 Vậy min B = 0 khi x = - 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các biểu thức:

2

2 3 2

x x

C

x

 





Giải

a) ĐKXĐ : x  R

Gọi a là giá trị của biểu thức C

Biểu thức C nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình 2 22 3

2

x x

a x

 



 (1)

có nghiệm

Phương trình (1)  (a-1)x2 – 2x +2a - 3 = 0 (2)

+ Nếu a = 1 thì  2 2 1 0 1

2

      + Nếu a 1 thì (2) là phương trình bậc hai



 = 1 - (a - 1)(2a - 3) = -2a2  5a 2

Phương trình (2) có nghiệm khi    0

Trang 9

2

2 5 2 0

1

2 2

a a

a

    

  

Vậy min C = 1

2 khi phương trình (2) có nghiệm kép x =  1 2

1

a

 



 ; max C = 2 khi phương trình (2) có nghiệm kép x =  1

1

a

 



 1

Ví dụ 3: Tìm cặp số (x , y) thỏa mãn phương trình

2x2 – 4x - y +7 = 0 (*) sao cho y đạt giá trị lớn nhất

Giải

Xét phương trình bậc hai 2x2 – 4x - y +7 = 0 (*) với ẩn x tham số y; Nếu tồn tại cặp số (x ; y) thỏa mãn phương trình (*) thì phương trình (*) phải có nghiệm

Do đó    0

16 4.2 7 0

8 40 0

5

y y

y

    

  

 

Nên max y = 5 khi phương trinh (*) có nghiệm kép x = 1

Vậy cặp số cần tìm là (1 ; 5)

e) Phương pháp 5

Áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích đa thức A về dạng:

A=  f x 2 g x 2a  a, với mọi x R suy ra min A = a khi f(x) = 0

và g(x) = 0;

A=   f x 2 g x 2a a ,với mọi x R suy ra max A = a khi f(x) =

0 và g(x) = 0

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A= x4  2x3  3x2  4x 5

b) B= x 1 x 2 x 3 x 6 2013

c) C=  x4  6x3  10x2  6x 7

Giải

a) Ax4  2x3 x2  2x2  4x 2 3

   

2 2

2 1 2 2 1 3

2 1 3

      

Nên A 3, với mọi x R

Vậy min A = 3 khi x =1

b) B x 1 x 6 x 3 x 2 2013

x2  5x 6 x2  5x 6 2013

Trang 10

Đặt a = x2  5x

Khi đó B = a 6 a 6 2013 a2  36 2013  a2  2049

Nên B - 2049

Vậy min B = -2049 khi a = 0 2  

         c) C  x4  6x3  9x2  x2  6x 9 2

   

2 2

1 3 2

      

    

   

Nên C 2, với mọi x R

Vậy max C = 2 khi x =3

Ví dụ 2:

Cho x, y thỏa x2  2xy 8x y  2y2  12 0  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: S= x+y+1

Giải

Ta có x2  2xy 8x y  2y2  12 0 

 x2  2xy y 2  8x y  12  y2

x y 2 2.x y .4 16 4 0    ( vì  y2  0)

 42 4

4 2

x y

x y S

   

     

     

   

Vậy min S= -5 khi x= -6; y=0;

maxS= -1 khi x=-2; y=0

e) Phương pháp 6

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Với a  0; b  0 thì a + b  2 ab (1)

Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b;

Nếu a.b = k (không đổi) thì min(a + b) = 2 k , khi a = b;

Nếu a + b = k (không đổi) thì max( a.b) =

4

2

k

, khi a = b

* Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng

A = f x( ) + g x( ) bậc f(x) bằng bậc của g(x);

Phương pháp giải: Tìm ĐKXĐ, bình phương hai vế của biểu thức, sau

đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy: với a  0 ,b  0 thì 2 a b a b  

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 15x  6 3 15  x

Giải

5 x 5



 

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	637,5 KB