SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI /3/2013 MÔN THI:TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Phương pháp – Kết quả Điểm Câu 1 4 điểm 1. ( ) 2 2 2 ' 1 1 x y y x x = ⇒ = + + >0 Tiếp tuyến của ĐT hàm số cắt các trục Ox,Oy tại A, B thoả mãn OB = 2OA suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k = ± 2. Do y’ >0 nên k = 2 Xét phương trình ( ) 2 2 2 1x = + suy ra x = -2 hoặc x = 0 Với x = 0 thì phương trình tiếp tuyến là d 1 : y = 2x (không thoả mãn). Với x = -2 thì phương trình tiếp tuyến là d 2 : y = 2x +8 (thoả mãn) 2. Không mất tính tổng quát, ta giả sử x M > -1, x N < -1. Khi đó 2 2 ( 1 ;2 ), ( 1 ;2 )M a N b a b − + − − − + , với a, b > 0. ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 4 4 64 ( ) 4 ( ) 64 2 ( ) 16 MN a b a b a b a b a b a b a b a b = + + + ÷ ≥ + + = + + ÷ + + ≥ + = + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 0 2. 64 ( ) ( ) a b a b a b a b = > ⇔ = = + = + Từ đó tìm được M( 2 -1; 2- 2 ) và N(- 2 -1; 2 + 2 ). 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 2 4 điểm 1. Phương trình đã cho tương đương với sin 4x - cos 4x +sin2x + cos 2x – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0 ⇔ (sin 4x + sin2x) - (cos 4x – cos 2x) – 2sin 3x + sin x + cos x – 1 = 0 ⇔ 2sin3xcosx + 2sin 3x sin x – 2sin 3x + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ 2sin3x(cosx + sin x – 1) + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ (2sin3x + 1)(cosx + sin x – 1) = 0 ⇔ 2 18 3 1 7 2 sin 3 2 18 3 sin cos 1 2 2 2 k x k x x x x x k x k π π π π π π π = − + = − = + ⇔ + = = = + KL 1 1 ĐỀ CHÍNH THỨC 2.Đặt t = 2 x ta có bất phương trình 2 1 8 2 18 3 2 t t t t + − + < + − , 1 4 t ≥ ⇔ 2 2 2 ( 1) 1 8 2 2 8 2. 2(8 2) ( 1) 2 2 1 1 ( 8 2 ) 0 8 2 2 2 7 44 7 44 t t t t t t t t t t t t + + ⇔ − + + − < − + + + + ⇔ − − > ⇔ − ≠ ≠ + ⇔ ≠ − Suy ra 1 [ ;7 44) (7 44;7 44) (7 44; ) 4 t ∈ − ∪ − + ∪ + +∞ Từ đó tìm được ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2;log (7 44) log (7 44);log (7 44) log (7 44);x ∈ − − ∪ − + ∪ + +∞ 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 3 2 điểm Ta có 2 2 2 4 cot 2 sin (1 cot ) xdx I x x π π = + ∫ Đặt t = 1 + cot x ⇒ dt = 2 sin dx x − Đổi cận: 2 4 1 2 x t x t π π = ⇒ = = ⇒ = Khi đó 2 2 2 1 1 1 2 ( 2 ) 2 2 ln | | 2 1 2 ln 2 . 2 t I t dt t t t = − + = − + ÷ = − ÷ ∫ 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4 2 điểm Nhận xét (0; 0) luôn là một nghiệm của hệ với mọi m. Nếu x = 0 ⇒ y = 0 và ngược lại. Xét xy ≠ 0. HPT tương đương với 2 2 2 2 2 9 2 1 x x m y y y y x x + = + = (*) Đặt 2 2 3 32 2 , , . x y u v x u v y uv y x = = ⇒ = = Khi đó hệ phương trình (*) thành 9 9 2 2 (1) 2 2 2 1 (2) u u m u m v u u v v u u + = + = − ⇔ − + = = (**) Dễ thấy yêu cầu bài toán tương đương với (1) có đúng 2 nghiệm u ≠ 0 và u ≠ 2. 0,5 0,5 0,5 Đặt 9 ( ) 2 2 u f u u u = + − , u ∈ { } \ 0;2¡ Lập bảng biến thiên của f(u) suy ra m ∈ ( ;0) (0;1) (25; ).−∞ ∪ ∪ +∞ 0,5 Câu 5 6 điểm 1) a) Kẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) Theo giả thiêt ∆ SAB vuông tai S. Từ đó tính được SH = 3 2 a Suy ra 3 . 1 2 3 . 3 3 S ABCD ABCD a V SH S= = +) Dựng hình bình hành ADBE ⇒ BD // (SAE) ⇒ d(SA;BD) = d(B; (SAE)) Kẻ HK ⊥ AE, HI ⊥ SK Chứng minh được HI = d(H; (SAE)) ∆ AHK vuông cân tại K ⇒ HK = 2 4 a Ta có ∆ SHK vuông tại H từ đó tính được HI = 21 14 a Chứng minh được ( ;( )) 2 21 4 ( ;( )) . ( ;( )) 7 d B SAE BA a d B SAE d H SAE HA = = ⇒ = 2) Gọi O = AC ∩ BD suy ra OA = OB = OC = OD Gọi M là trung điểm AB suy ra OM ⊥ (SAB) Suy ra hình chiếu của OA, OS lên (SAB) lần lượt là MA, MS Do MA = MS ⇒ OA = OS Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Vậy R = 2 2 AC a= . 2) Gọi ( ; ; ) 0u a b c= ≠ r r là vectơ chỉ phương của d. (1;1; 1) ( ) 0 ( ) p u n d P a b c A P ⊥ = − ⊂ ⇔ ⇔ + − = ∈ r uur Khi đó ( ; ; )u a b a b= + r Gọi α là góc giữa d và Oz Ta có 2 2 2 2 2 2 2 | | 2 os os 2 2 2 2 2 2 a b a b ab c c m a b ab a b ab α α + + + = ⇔ = = + + + + Do 0 0 ≤ α ≤ 90 0 nên góc α nhỏ nhất khi và chỉ khi cos 2 α lớn nhất ⇔ m lớn nhất Xét b = 0, ta có 1 2 m = (1) Xét b ≠ 0, chon b = 1. Khi đó 2 2 2 2 1 (2 1) 2( 1) 2 1 0 2 2 2 a a m m a m a m a a + + = ⇔ − + − + − = + + (*) Nếu 1 2 m = thì có một giá trị của a. Nếu 1 2 m ≠ , (*) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ’ ≥ 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇔ -3m 2 + 2m ≥ 0 ⇔ 2 0 3 m≤ ≤ (2) Từ (1) và (2) suy ra Max {m} = 2 3 khi đó a = 1, b = 1. Từ đó tìm được (d): 1 1 1 2 x y z− = = 0,5 0,5 Câu 6 2 điểm Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2 2 2 3 3 2 a b c a bc b ca c ab + + − ≤ + + + (*) Ta có ( ) ( )( )a bc a a b c bc a b a c+ = + + + = + + Do đó (*) ⇔ 2 2 2 9 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 a b c a b a c b c b a c a c b + + ≤ + + + + + + 2 4[ ( ) ( ) ( )] 9( )( )( ) 4[ (1 ) (1 ) (1 )] 9(1 )(1 )(1 ) 4 4( ) 9 a b c b c a c a b a b b c c a a a b b c c a b c a b c ab bc ca abc ⇔ + + + + + ≤ + + + ⇔ − + − + − ≤ − − − ⇔ ≤ + + + + + − Do 3 1 3 3 a b c abc + + ≤ = nên 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 3 9. 9 9 3 ab bc ca a b c a b c abc a b c abc+ + ≥ = ≥ = Từ đó suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a b c= = . 0,5 0,5 0,5 0,5 Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ. Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên. . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI /3/2013 MÔN THI:TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu Phương pháp – Kết