SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT HA NAM NĂM HỌC 2013 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(3.0 điểm) Giải phương trình: sin3 cos3 2 2cos 1 0 4 x x x π + − + + = ÷ Câu 2:(2.0 điểm) Cho dãy số ( n x ) xác định như sau: 1 2 * 1 30 30 3 2011, n n n x x x x n + = = + + ∀ ∈ ¥ Tìm 1 lim n n x x + . Câu 3:(6.0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt phẳng ( ) α qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB lần lượt tại các điểm M, N, P, Q với AM = x , AN = y ( 0 ,x y a< < ). a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ là hình thang cân. b) Chứng minh rằng: ( ) 3a x y xy+ = . Suy ra: ≤ + < 4 3 3 2 a a x y . c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s x y= + . Câu 4:(5.0 điểm) Cho phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 0ax b c x d e+ + + + = có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình 4 3 2 0ax bx cx dx e+ + + + = có nghiệm. Câu 5:(4.0 điểm) Cho , , 0x y z > . Chứng minh rằng: 2 2 3 5 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 xy yz zx P z x z y x y x z y z y x = + + ≥ + + + + + + HẾT J A D C B K I M N Q P ĐÁP ÁN VÀ HƯƠNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 1 a) Ta có: ( ) sin3 cos3 2 2cos 1 0 4 sin3 cos3 2 cos sin 1 0 x x x x x x x π + − + + = ÷ ⇔ + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) sin3 sin cos3 cos cos sin 1 0 2sin 2 cos 2sin 2 sin cos sin 1 0 2sin 2 cos sin cos sin 1 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + − − − + = ⇔ − − − + = ⇔ − − − + = Đặt: cos -sin 2 cos ; 2; 2 4 t x x x t π = = + ∈ − ÷ Ta có: 2 3 2(1 ) 1 0 2 1 0 1t t t t t t− − + = ⇔ − + + = ⇔ = 2 1 1: 2 cos 1 cos 4 4 2 2 2 x k t x x x k π π π π π = = + = ⇔ + = ⇔ ÷ ÷ = − + 3 điểm 0,5 0,5 0,5 1 0,5 2 Ta có: * 0 n x n> ∀ ∈¥ 2 * 1 30 3 2011 n n n n x x x x n + = + + > ∀ ∈ ¥ nên ( ) n x là dãy số tăng. Giả sử ( n x ) là dãy số bị chặn trên khi đó nó có giới hạn hữu hạn lim 0 n x a= > . Ta có: 2 2 30 3 2011 29 3 2011 0a a a a a = + + ⇔ + + = (vô lí) Do đó: lim n x = +∞ Ta có: 1 2 3 2011 lim lim 30 30 n n n n x x x x + = + + = 2,0 điểm 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 3 6,0 điểm Trang: 2 - Đáp án Toán 11 a) Ta có: ( ) ( )ABC MN α ∩ = , ( ) ( )BCD PQ α ∩ = , ( ) ( )ABC BCD BC∩ = , ( ),( ),( D)ABC BC α phân biệt nên , ,MN PQ BC song song hoặc đồng qui. Gọi K là trung điểm BC, ta có: D KI KJ KA K = nên //AD IJ , do đó //( )AD P Các mặt phẳng (ABD), (ADC) đi qua AD cắt ( ) α theo các giao tuyến lần lượt là MQ, NP nên : MQ // AD, NP // AD . Suy ra : MQ // NP hay MNPQ là hình thang. Ta có: ,BAD CAD∆ ∆ là các tam giác đều, MQ // AD, NP // AD Nên AM = DQ, AN = DP. Suy ra : AMN DQP MN PQ∆ = ∆ ⇒ = , hay MNPQ là hình thang cân. b) Ta có: 0 0 0 AMN 3 3 S sin 60 sin30 sin30 3 3 AMI ANI ax ay S S xy= + ⇔ = + 3 ( )xy a x y⇔ = + Vì : 2 ( ) 4 x y xy + ≤ nên ; 2 3( ) 4 ( ) 4 3 x y a a x y x y + + ≤ ⇔ + ≥ Mặt khác: 0 ,x y a< < 2 ( )( ) 0 ( ) 0a x a y a a x y xy⇒ − − > ⇒ − + + > 2 ( ) 3 ( ) 0 3 2 a x y a a a x y x y + ⇒ − + + > ⇒ + < Vậy : ≤ + < 4 3 3 2 a a x y . c) Ta có: MQ BM a x= = − NP CN a y= = − 2 2 2 MN x y xy= + − Gọi h là chiều cao hình thang cân MNPQ, ta có: 2 2 2 2 2 2 3( ) 2 3( ) 8 2 4 4 MQ NP x y xy x y xy h MN − + − + − = − = = ÷ 2 2 ( ) 3( ) 8 9 8 3 4 12 a x y x y s as + + − − = = 2điểm 2 điểm 2 điểm Trang: 3 - Đáp án Toán 11 Vậy: 2 2 8 . 3 2 4 3 MNPQ MQ NP a s as S h s + − = = − 4 Đặt ( ) 4 3 2 f x ax bx cx dx e= + + + + liên tục trên ¡ . Khi đó ( ) ( ) ( ) 4 2 3 2 2 2 2 2f x ax b c x d e bx bx dx d= + + + + + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2ax b c x d e bx d x + + + + + + − Phương trình ( ) ( ) 2 2 2 0ax b c x d e+ + + + = có nghiệm 0 4x ≥ nên ta có: ( ) ( ) 2 0 0 2 2 0ax b c x d e+ + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 0 0 2 2 0a x b c x d e⇒ ± + + ± + + = Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 . 2 2f x f x bx d x bx d x− = + − + − − = ( ) ( ) 2 0 0 4 0bx d x− + − ≤ Vậy phương trình ( ) 0f x = có nghiệm 0 0 ;x x x ∈ − 5.0 điểm 5 Đặt: , ,a y z b z x c x y= + = + = + Khi đó: , ,a b c là ba cạnh của một tam giác ABC. Ta có: 2 2 ( )( ) ( ) ( )( ) 4 4 xy b c a c a b c a b z x z y ab ab + − + − − − = = + + 2 2 2 1 1 1 cos 4 2 2 2 c a b C ab − − = + = − + Tương tự ta có: 1 1 cos ( )( ) 2 2 yz A x y x z = − + + + 1 1 cos ( )( ) 2 2 zx B y z y x = − + + + Suy ra: 3 7 cos cos cos 2 2 P C A B = − + + + ÷ Ta có: 2 2 3 3 cos cos cos 2cos cos cos 2 2 2 2 3 3 2sin cos (1 2sin ) 3sin 2sin 2 2 2 2 2 2 2 A C A C C A B B B A C B B B + − + + = + − = + − ≤ − + + 2 2 2 1 11 2 11 11 3 sin sin 3 sin 2 3 2 9 6 2 3 6 6 B B B = − − + + = − − + ≤ ÷ ÷ 4,0 điểm 0,5 0,5 1điểm 1 điểm Trang: 4 - Đáp án Toán 11 Suy ra: 7 11 5 2 6 3 P ≥ − = . Dấu bằng xảy ra và chỉ khi 2 4 sin 2 2 3 3 B b a x z y A C a c = = ⇔ ⇒ = = = = Lưu ý: Có thể giải bài này bằng biến đổi đại số. Trang: 5 - Đáp án Toán 11 . − + + 2 2 2 1 11 2 11 11 3 sin sin 3 sin 2 3 2 9 6 2 3 6 6 B B B = − − + + = − − + ≤ ÷ ÷ 4,0 điểm 0,5 0,5 1điểm 1 điểm Trang: 4 - Đáp án Toán 11 Suy ra: 7 11 5 2 6 3 P ≥. 2 011 n n n n x x x x n + = + + > ∀ ∈ ¥ nên ( ) n x là dãy số tăng. Giả sử ( n x ) là dãy số bị chặn trên khi đó nó có giới hạn hữu hạn lim 0 n x a= > . Ta có: 2 2 30 3 2 011 29 3 2 011. lí) Do đó: lim n x = +∞ Ta có: 1 2 3 2 011 lim lim 30 30 n n n n x x x x + = + + = 2,0 điểm 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 3 6,0 điểm Trang: 2 - Đáp án Toán 11 a) Ta có: ( ) ( )ABC MN α ∩ = , ( )