B i 5: à 4 điểm Chuyên Hng Yên-Hng Yên Trên mặt phẳng, cho một số điểm màu đỏ và một số điểm màu xanh.. Ngời ta nối các điểm khác màu với nhau sao cho điều kiện sau đây đồng thời thoả mã
Trang 1KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG CHUYấN
VÙNG DUYấN HẢI BẮC BỘ NĂM 2009
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mụn: TOÁN Lớp 11 Thời gian 180 phỳt
Bài 1: (4 điểm) (Nguyễn Trói-Hải Dương)
Giải hệ phương trỡnh:
+
= +
=
+
2 ln
ln /1
2
y x e
e e
y x
y y x x e
Bài 2: (4 điểm) (Trần Phỳ - Hải Phũng)
Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và A B C1, ,1 1 là các điểm thuộc các đoạn thẳng AI, BI, CI Trung trực các đoạn thẳng AA BB CC1, 1, 1 cắt nhau tại các điểm A B C2, ,2 2
Chứng minh rằng: tâm đờng tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và A B C2 2 2 trùng nhau khi và chỉ khi I là trực tâm của tam giác A B C1 1 1
Bài 3: (4 điểm) (Lờ Hồng Phong - Nam Định)
Cho dãy số (an) (n ≥ 1) đợc xác định bởi:
a1 = 2009; an+1 = 2
n
a
a
+ , ∀n ≥ 1 a) Chứng minh rằng an≤ ,
2
1
n ∀n ≥ 2 b) Chứng minh rằng dãy số (n 2
n
a ) (n ≥1) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ Tìm nlim (n→+∞ 2
n
Bài 4: (4 điểm) (Lương Văn Tuỵ - Ninh Bỡnh)
Cho số thực α thuộc khoảng ( 1;1)− Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc không vợt quá hai thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
(1) 1; ( 1) 1; ( ) 1
f ≤ f − ≤ f α ≤ và
2 [ ;1]
( )
4( 1)
Max f x
α
α
+ +
=
+ .
B i 5: à (4 điểm) (Chuyên Hng Yên-Hng Yên)
Trên mặt phẳng, cho một số điểm màu đỏ và một số điểm màu xanh Ngời ta nối các điểm khác màu với nhau sao cho điều kiện sau đây đồng thời thoả mãn:
1) Mỗi điểm màu đỏ đợc nối ít nhất với một điểm màu xanh
2) Mỗi điểm màu xanh đợc nối với một hoặc hai điểm màu đỏ
Chứng minh rằng có thể xoá đi không quá một nửa số điểm (trong số các điểm đã cho ) sao cho với các điểm còn lại, mỗi điểm màu xanh đợc nối với đúng một điểm màu đỏ