HSG toán 11 chuyên Vĩnh Phúc 2007

sở giáo dục & đào tạo vĩnh phúc _____________ đề chính thức kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 vòng tỉnh năm học 2006-2007 ______________________________ môn thi : toán Đề dành cho học sinh trờng THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu1: Cho hai phơng trình sau: x 3 a.sina).sinxsin(1x 7 2sin ++= (1) 3 1)2(ax 2 2sinx 6 2sinx) 2 cos1)(1(a +=++ (2) 1) Giải các phơng trình trên với a = 2. 2) Tìm tất cả các giá trị của a để hai phơng trình (1) và (2) tơng đơng. Câu2: Giải hệ phơng trình: =++ =++ 2 3 coszcosycosx 2 33 sinzsinysinx Câu 3: Xét tập hợp các đa thức P(x) khác 0, có hệ số thực và thoả mãn điều kiện P(x 2 - 1) = P(x).P(-x), Rx . Hãy tìm trong tập hợp đó một đa thức có bậc bé nhất, nhng có nghiệm lớn nhất. Câu4: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB 1 , BC 1 , CD 1 , DA 1 tơng ứng lần lợt tại các điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất. Câu 5: Cho dãy { } n u xác định nh sau: 2,3,n,21) n (u n u 1n u2007, 2 u2006, 1 u =+= + == Chứng minh rằng: 11) 2 2007 1) (u 2 2 1).(u 2 1 (u +++ là số chính phơng. Hết Chú ý : Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh : Số báo danh: sở giáo dục - đào tạo vĩnh phúc _____________ kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 vòng tỉnh năm học 2006-2007 ______________________________ hớng dẫn chấm đề thi chính thức môn toán cho học sinh trờng thpt chuyên I/ Hớng dẫn chung : - Hớng dẫn chấm chỉ trình bày sơ lợc một cách giải . Nếu học sinh có cách giải đúng, khác đáp án thì các giám khảo thống nhất và vận dụng thang điểm để chấm. - Khi chấm , các ý cho từ 0,5 đ trở lên có thể chia nhỏ tới 0,25 đ. Điểm của toàn bài là tổng điểm của tất cả các câu, làm tròn đến 0,25đ. II/ Đáp án và biểu điểm: Câu1 (3,5đ): 1) (2,0đ) - Với a = 2, ta có 0)1sin2sin2(sinsin2sinsin2)1( 2637 =+= xxxxxx == = = = = kkxx VNxx x xx x ,0sin )(01)1(sinsin2 0sin 01sin2sin2 0sin 4226 1,0đ - Với a = 2, ta có 2sin2sin2cos1)2( 262 +=++ xxx == = = = kkxx VNx x xx ,0sin )( 2 3 sin 0sin 0)3sin2.(sin 4 42 1,0đ 2) (1,5đ) :Giả sử (1) và (2) tơng đơng. Do phơng trình (1) có nghiệm x = 0 với mọi a, suy ra x = 0 cũng phải là nghiệm của phơng trình (2) = = = = 2 1 0 )1(2)1(2 3 a a a aa 0,5đ - Với a = 0, ta có = = = 2 1 sin 0sin sinsin2)1( 6 7 x x xx . Khi đó = = ==++ 2 1 sin 0sin 0)1sin2.(sin2sin2sin2)cos1()2( 4 42262 x x xxxxx Do vậy (1) và (2) không tơng đơng. Suy ra a= 0 không thích hợp. 0,25đ - Với a = 1, ta có 0)1sinsin2(sinsinsinsin2)1( 2637 =+= xxxxxx = = =++ 1sin 0sin 0)1sin2sin2).(1.(sin(sin 2 242 x x xxxx . Khi đó = = == 1sin 0sin 0sin2sin2)2( 2 26 x x xx Do vậy (1) và (2) tơng đơng. Suy ra a= 1 thích hợp. 0,25đ - Với a = 2 theo phần 1) ta có hai phơng trình tơng đơng 0,25đ Vậy có hai giá trị a =1 và a = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán. 0,25đ Câu2) (1, 5đ): Ta có =++ =++ 2 3 coszcosycosx 2 33 sinzsinysinx =++ =++ )2( 4 3 cosz)cosy(cosx 2 1 )1( 4 9 sinz)siny(sinx 2 3 0,5đ Cộng theo vế của (1) và (2) ta đợc 3)cos 2 1 (sin 2 3 ()cos 2 1 (sin 2 3 ()cos 2 1 (sin 2 3 ( =+++++ zzyyxx 3) 3 cos() 3 cos() 3 cos( =++ zyx (3) 0,5đ Mặt khác ta luôn có 1) 3 cos(,1) 3 cos(,1) 3 cos( zyx Suy ra 3) 3 cos() 3 cos() 3 cos( ++ zyx 2 Do đó phơng trình (3) có nghiệm += += += = = = 2 3 2 3 2 3 1) 3 cos( 1) 3 cos( 1) 3 cos( nx mx kx z y x (nghiệm này thoả mãn hệ) Vậy nghiệm của hệ phơng trình đã cho là += += += 2 3 2 3 2 3 nx mx kx 0,5đ Câu 3(1,5đ): Giả sử x 0 là một nghiệm cuả P(x). Khi đó ta có )().()1( 00 2 0 xPxPxP = = 0 1 2 01 = xx là một nghiệm của P(x). Nếu 2 51 101 2 51 0 2 010 2 00 + >>=> + > xxxxxx Tơng tự ta có 2 51 1 1 2 12 + >>= xxx là nghiệm của (Px), 0,5đ Thành thử từ một nghiệm 2 51 0 + >x ta xây dựng đợc một dãy vô hạn các nghiệm phân biệt của P(x). Điều này vô lý, vì P(x) là đa thức khác 0 nên có số nghiệm hữu hạn. Nh vậy, nếu x 0 là một nghiệm của P(x) thì 2 51 0 + x . 0,5đ Xét 2 51 )( + += xxP có nghiệm 2 51 + =x . Ta có = )().( xPxP 2 53 ) 2 51 () 2 51 ).( 2 51 ( 222 + += + = + + + + xxxx = + += 2 51 )1()1( 22 xxP 2 53 2 + + x Vậy 2 51 )( + += xxP là đa thức thoả mãn yêu cầu bài toán. 0,5đ Câu4(2,0đ): Giả sử (P) cắt các cạnh bên 1111 ,,, DDCCBBAA Tơng ứng tại A, B, C, D. Khi đó ta có x DD DD CC CC BB BB AA AA ==== 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' Đặt s(ABCD)= S, theo định lí Ta-lét ta có x AA AA AB AM BA MA === 1 ' 1 '' ' x AA AA DA QA DA QA === 1 1 ' 1 1 1 '' ' 0,5đ Do đó ta đợc )().1()()1(. )( )( '''' '' ' '' ' ''' ' DBAsxxMQAsxx DA QA BA MA DBAs MQAs === (1) 3 D C' B N M Q B' B C A C D A A' D' P Chứng minh tơng tự ta có : )().1()( '''' CABsxxMNBs = (2) )().1()( '''' DBCsxxNPCs = (3) )().1()( '''' ACDsxxPQDs = (4) 0,5đ Từ (1), (2), (3), (4) ta có s(MNPQ) = s(ABCD)- s(AMQ)-s(BMN)-s(CNP)-s(DPQ) = S -x(1-x) )(( ''' DBAs )( ''' CABs+ + )( ''' DBCs + )( ''' ACDs ) = S -x(1-x).2S = S(2x 2 - 2x +1) = SxS . 2 1 2 1 ) 2 1 (2. 2 + 0,5đ Vậy s(MNPQ) đạt Min bằng 2 S = 2 1 x A là trung điểm của AA 1 Mặt phẳng (P) song song cách đều 2 đáy đã cho. 0,5đ Câu 5(1,5đ): Đặt = k S 11) 2 k 1) (u 2 2 1).(u 2 1 (u +++ . Ta chứng minh 1,)1( 2 1 = + kuS kk (1) 0,5đ Thật vậy với k = 1 ta có 2 2 222 1 2 11 )1()12007(20061)1( ====+= uuuS Vậy đúng khi k = 1. Giả sử (1) đúng khi k = n tức là ta có ,)1( 2 1 = +nn uS (2) Ta có 1)1)(1(1)1)(1) (1)(1( 2 1 2 1 22 2 2 11 ++=++++= +++ nnnnn uSuuuuS (3) Theo giả thiết quy nạp (2) và từ (3) có : [ ] 1)1(12)1(1)1)(1)1(( 2 11 2 1 2 1 2 11 +++=++= ++++++ nnnnnn uuuuuS = 2 11 2 1 22 1 )1(2)1( ++++ +++ nnnn uuuu = 2 2 2 1 2 1 )1())1(( =+ +++ nnn uuu Vậy (1) đúng với k = n +1. Suy ra (1) đợc chứng minh. 0,5đ Nói riêng S 2007 = 11) 2 2007 1) (u 2 2 1).(u 2 1 (u +++ = 22 2008 )1( u (4) Vì u 1 , u 2 nguyên, nên từ 1) n (u n u 1n u = + suy ra u n nguyên với mọi n. Vậy từ (4) suy ra S 2007 là số chính phơng. 0,5đ _____________________________________________ 4 . tạo vĩnh phúc _____________ đề chính thức kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 vòng tỉnh năm học 2006 -2007 ______________________________ môn thi : toán Đề dành cho học sinh trờng THPT chuyên Vĩnh Phúc Thời. tạo vĩnh phúc _____________ kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 vòng tỉnh năm học 2006 -2007 ______________________________ hớng dẫn chấm đề thi chính thức môn toán cho học sinh trờng thpt chuyên I/. = + += 2 51 )1()1( 22 xxP 2 53 2 + + x Vậy 2 51 )( + += xxP là đa thức thoả mãn yêu cầu bài toán. 0,5đ Câu4(2,0đ): Giả sử (P) cắt các cạnh bên 111 1 ,,, DDCCBBAA Tơng ứng tại A, B, C, D. Khi đó ta có x DD DD CC CC BB BB AA AA ==== 1 ' 1 ' 1 ' 1 ' Đặt