Đề thi hsg năm học 211-2023

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011 -2012 MƠN: TỐN – LỚP: Thời gian làm bài: 120 phút Câu a) Cho tập hợp: A = 5; 0; 7; 8 Hãy viết tất tập hợp A cho tập hợp có phần tử b) Tìm chữ số tận B, biết B = 262011 + 32012 Câu a) Tìm x, biết: ( x + 1) + (x+ 2)+… + ( x+ 10) = 125 b) Cho S = + 10 + 13 + 16 + ……… + 397 + 400 Tìm số hạng thứ 100 S tính tổng S Câu Tìm x  Z biết: 1 1 2011       10 15 x (x  1) 2013 Câu số sách thư viện B Nếu chuyển 2200 23 sách từ thư viện B sang thư viện A số sách thư viện A số sách 17 Số sách thư viện A thư viện B Tính số sách lúc đầu thư viện Câu Cho  xOy  yOz hai góc kề bù Góc xOy có số đo 30 a) Vẽ tia phân giác Om  xOy tia phân giác On  yOz ; b) Tính số đo  mOn ? -Họ tên:……………………… ……… Số báo danh:………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011 – 2012 MƠN: TỐN - LỚP -Câu (4,5 điểm) a) (2 điểm) Các tập hợp A, có phần tử là: 5;0;7, 5;0;8, 5;7;8, 0;7;8 b) (2,5 điểm) Ta có 262011 = .6 (1 điểm) 32012 = (34)503 = 81503 = (1 điểm) 2011 2012 Do đó: B = 26 + = .6 + = Vậy B có chữ số tận (0,5 điiểm) Câu (4,5 điểm) a) (2,5 điểm) Ta có: ( x + 1) + (x+ 2)+… + ( x+ 10) = 125 10x + ( + + + 10) = 125 (0,75 điểm) (1  10).10 = 125 (0,75 điểm) 10x + 50 = 125  10x = 70  x = b) (2 điểm) Số hạng thứ : = 1.3 + Số hạng thứ hai : 10 = 2.3 + Số hạng thứ ba : 13 = 3.3 + Số hạng thứ 100 là: 100.3 + = 304 (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,75 điểm) 10x + Số số hạng S : (400 – 7) : + = 132 Vậy S = ( + 400) 132 : = 26862 Câu (4 điểm )  (0,75 điểm) 1 1 2011       10 15 x( x  1) 2013 2 2 2011       3 4 5 x( x  1) 2013  2.( (0,5 điểm) (1 điểm) 1 1 1 1 1 2011 (1 điểm)           ) 3 4 5 x x  2013  2011 1  2.    x   2013 1 2011     x  2.2013 2013  x   2013  x  2012 (0,75 điểm) (0,75 điểm) (0,5 điểm) Câu (3 điểm) Số sách thư viện A A 3 tổng số sách   10 số sách thư viện B, tức số sách thư viện (0,5 điểm) Khi chuyển 2200 sách từ thư viện B sang thư viện A số sách 23 thư viện A số sách thư viện B, tức số sách thư viện A 17 23 23 tổng số sách  17  23 40 (0,5 điểm) 23 11 = tổng số sách (0,5 điểm) 40 10 40 11 Vậy tổng số sách thư viện là: 2200 : = 8000 (cuốn) (0,5 điểm) 40 Số sách thư viện A là: 8000 = 2400 (cuốn) (0,5 điểm) 10 Do ta thấy 2200 sách Số sách thư viện B là: 8000 – 2400 = 5600 (cuốn) Câu (4 điểm ) a) (2 điểm ) (0,5 điểm) n y m x 30 O z b) (2 điểm) Vì Om On hai tia phân giác hai góc kề bù nên  mOn = 90 ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011 – 2012 MƠN: TỐN - LỚP: Thời gian làm bài: 120 phút Câu Tìm x, biết: a) 3x – (x – 5) = 19 b) x x + 2012 = 2012 x + x 10 2011  10 2010  Câu So sánh A B biết: A = 2011 ;B= 10 2012  10 1 Câu a) Tìm số nguyên x để biểu t hức: A = x   x  đạt giá trị nhỏ b) Cho số nguyên a, b, c, d thoả mãn: a + b = c + d ab + = cd Chứng minh rằng: c = d Câu Ba lớp 7A, 7B, 7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, học sinh lớp 7B trồng cây, học sinh lớp 7C trồng Hỏi lớp có học sinh tham gia trồng cây? Biết số lớp trồng Câu Cho tam giác ABC cân A,  A=108 Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C cho  CBO=12 Vẽ tam giác BOM (M A thuộc mặt phẳng bờ BO) a) Tính góc MOC b) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng c) Chứng minh tam giác AOB cân -Họ tên:……………………… ……… Số báo danh:………… HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012 MƠN: TỐN Câu 1: (4 điểm) a) (2 điểm) 3x – (x – 5) = 19 3x – x + = 19 2x = 14 X=7 b) (2 điểm) x x + 2012 = 2012 x + x (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) ( x x-2012 x )- (x-2012)=0 (0,5 điểm) x (x-2012)-(x-2012) = (0,5 điểm) (x-2012).( x -1)=0 (0,5 điểm) (0,5 điểm) Suy x=2012 x=  Câu 2: (3,5 điểm) 10 2011  10   2011 2011 10 1 10 1 (1) (1 điểm) 10 2012  10   2012 (2) 2012 10 1 10 1 9 Từ (1) (2) ta thấy : 2011 > 2012 (0,5 điểm) 10  10  (1 điểm) Ta có: 10A = Tương tự: 10B =  10A > 10B (0,5 điểm)  A>B (0,5 điểm) Câu 3: (4 điểm) a)(2 điểm) Xét trường hợp sau: (Mỗi trường hợp cho 0,5 điểm) Nếu x < A = – x +2 – x = – 2x Do x < nên 2x < 2, A = – 2x > – = 1(*) Nếu  x  A = x – + – x = (**) Nếu x > A = x – + x – = 2x – Do x > nên 2x > 4, A = 2x – > – = (***) Từ (*), (**), (***) suy A có giá trị nhỏ  x  mà x  Z nên x = 1; (0,5 điểm) b) (2 điểm) Từ a + b = c + d suy a = c + d – b (0,5 điểm) Thay vào ab + = cd ta có: (c + d – b).b + = cd cb + (d – b).b – cd = - (0,5 điểm) - c(d – b) – (d – b).b = - (d – b)(b – c) = - (0,5 điểm) Vì a, b, c, d nguyên nên d – b b – c nguyên, mà (d – b)(b – c) = - nên d – b b – c đối nhau, tức d – b = - (b – c) Suy d – b = - b + c Vậy c = d (0,5 điểm) Câu 4: (4 điểm) Gọi số học sinh trồng Lớp 7A,7B, 7C theo thứ tự x, y, z (x, y, z  Z+) Theo đề ta có: x + y + z = 94 (1) (0,5 điểm) 3x = 4y = 5z (2) (0,5 điểm) BCNN (3,4,5) = 60 Từ (2)  3x y z x y z = = hay = = 60 60 60 20 15 12 (1 điểm) áp dụng tính chất dãy tỷ số ta có : x y z x yz 94 = = = = =2 20 15 12 20  15  12 47 (1 điểm)  x = 40, y = 30 z = 24 Vậy số học sinh trồng lớp 7A,7B, 7C 0, 30 24 (1 điểm) Câu 5: (4,5 điểm) -Vẽ hình,ghi GT, KL (0,5 điểm) a) (1,5 điểm)  ABC cân A,  A =108 ,suy  B=  C=36 ,  OCA=  OCB=18 Xét  BOC có  BOC =150 ,  BOM=60 suy  MOC=150 b) (1,5 điểm) Ta có  BOC=  MOC(c-g-c) Suy  OCM=  OCB=18 mà  OCA=18 nên hai tia CM, CA trùng điểm C,A,M thẳng hàng c) (1 điểm)  CBM có CM=CB nên cân C,suy  CBM=  CMB=72 ,  BAM=72 Vậy  BAM cân B ,nên BA=BM=BO  AOB cân B ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012 MƠN: TỐN – LỚP: Thời gian làm bài: 120 phút Câu  1    x  Cho biểu thức: A    1   1  : 3    x   x  1  x  x  2x   x   a) Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A < c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu a) Giải phương trình: x3 – 3x2 + 3x – = b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: (x + y) = (x – 1)(y + 1) Câu Cho số x, y, z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1; x + y + z = x + y + z = Tính tổng: S = x2010 + y2011 + z2012 Câu a) Cho m, n, p số không âm thoả mãn m + n + p = Chứng minh: n + p  16mnp b) Cho x, y số thực không âm thỏa mãn x - 2xy + x – 2y  Tìm giá trị lớn biểu thức M = x – 5y2 + 3x Câu Cho góc xOy vng điểm I nằm góc Kẻ IC vng góc với Ox ; ID vng góc với Oy Biết IC = ID = a Đường thẳng kẻ qua I cắt Ox A cắt Oy B a) Chứng minh tích AC DB khơng đổi đường thẳng qua I thay đổi b) Chứng minh rằng: AC OA  BD OB 8a c) Biết S AOB = Tính CA ; DB theo a -Họ tên:……………………… ……… Số báo danh:………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012 MƠN TỐN Câu ( 4,5 điểm)  a) (2 điểm) A=   2x   x  1 x ( x  1) x ( x  1)( x  1) x x A= x 1 A= 2  x2 1 ( x  1) x  x 1 :  x  ĐKXĐ x  {0;1;-1} (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) b) (1,5 điểm) Ta có: - A = 1 > (0,5 điểm) x - < suy x < (0,5 x 1 điểm) Kết hợp với điều kiện xác định ta có:A 0) ( điểm) (0,5 điểm) 2 2 2 Do M = x – 5y + 3x  4y - 5y + 6y = -y + 6y = - (y - 3) +  M = y = 3; x = (1 điểm) Vậy M max = đạt x = 6; y = (0,5 điểm) Câu (4,5 điểm) a) (2 điểm) Ta có