SKKN HH7

Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI CHO BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC TRONG MÔN HÌNH HỌC LỚP 7 I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn chuyên đề: Trong chương trình hình học THCS các bài tập yêu cầu chứng minh chiếm tỉ lệ lớn nên yêu cầu giáo viên giảng dạy cần hướng dẫn học sinh tìm cách chứng minh bài toán chứ không đơn thuần là giúp học sinh có được lời giải bài toán. Thông qua việc hướng dẫn của giáo viên giúp học sinh tự đúc kết được phương pháp chứng minh, tiến tới có được phương pháp học tập bộ môn hình học. Với chương trình hình học 6, học sinh mới chỉ làm quen với các khái niệm mở đầu về hình học. Học sinh được tiếp cận kiến thức bằng con đường quy nạp không hoàn toàn, từ quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi dần đến kiến thức mới. Học sinh nhận thức các hình và mối liên hệ giữa chúng bằng mô tả trực quan với sự hỗ trợ của trực giác, của tưởng tượng là chủ yếu. Lên lớp 7 học sinh bước đầu làm quen với các mối quan hệ vuông góc, song song, bằng nhau… Với yêu cầu về kĩ năng từ thấp đến cao đòi hỏi phải có sự suy luận lôgíc hợp lý, khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác thông qua các bài tập chứng minh. Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đại đa số học sinh chưa biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu. Nếu vấn đề này không được khắc phục ngay từ lớp 7 thì HS sẽ không thể tiếp thu được kiến thức hình học ở các lớp trên. Do vậy vai trò của giáo viên giảng dạy lúc này rất quan trọng. Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm ra cách chứng minh bài toán hình học từ đó hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và kĩ năng trình bày lời giải. Từ đó hình thành phương pháp học toán cho HS. Với các lý do trên nên tôi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7”. Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 2 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ 2. Cơ sở lí luận của đề tài: Trong trường THCS môn toán được coi là môn khoa học luôn được chú trọng nhất và cũng là môn có nhiều khái niệm trừu tượng. Đặc biệt phải khẳng định là phân môn hình học có nhiều khỏi niệm trừu tượng nhất, kiến thức trong bài tập lại phong phú, rất nhiều so với nội dung lý thuyết mới học. Bên cạnh đó yêu cầu bài tập lại cao, nhiều bài toán ở dạng chứng minh đòi hỏi phải suy diễn chặt chẽ lô gíc và có trình tự. SGK hình học 7, các kiến thức được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy diễn, lập luận. Bằng đo dạc, vẽ hình, gấp hình, quan sát …học sinh dự đoán các kết luận hình học và tiếp cận các định lý. Nhờ đó giúp HS có hứng thú học tập, chịu khó tìm tòi khám phá kiến thức. Sách giáo khoa hình học 7 tiếp tục bổ sung kiến thức mở đầu của hình học phẳng lớp 6. làm quen với các khái niệm mới: Hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, quan hệ bằng nhau của hai tam giác, tam giác cân, tam giác đều, định lí Pitago, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy trong tam giác. Chương trình hình học 7 là bước chuyển tiếp quan trọng về tư duy để giúp HS học tốt được chương trình hình học 8 và 9. Hệ thống các bài tập đa dạng phong phú được thể hiện dưới nhiều hình thức, phần lớn là các bài tập chứng minh, từ đó đòi hỏi HS phải có phương pháp phân tích hợp lí để tìm được lời giải cho bài toán. Vì vậy việc hướng dẫn học sinh cách phân tích tìm lời giải cho bài toán là hết sức quan trọng để khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết quả tốt hơn. 3. Cơ sở thực tiễn của chuyên đề a)Đối với giáo viên: Cơ bản là có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao trỡnh độ chuyên môn nghệp vụ. Có trách nhiệm đối với học sinh, đối với trường lớp Phương pháp giảng dạy đó có sự đổi mới hơn theo hướng tích cực hóa hoạt động của người học, từng bước áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy. Tuy nhiên một bộ phận không nhỏ giáo viên còn lúng túng trong việc phân tích, hướng dẫn cho HS tìm ra lời giải cho bài toán. GV thường phân tích xuôi chiều từ giả thiết đến kết luận, khiến HS không hiểu tại sao và nguyên nhân nào đưa đến lời giải của bài toán vì thế không vận dụng được vào giải các bài toán khác, do đó HS không biết cách học toán, cụ thể là cách suy nghĩ để tìm lời giải Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 3 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ cho một bài toán. Đặc biệt là các bài toán chứng minh trong môn hình học, khiến HS tiếp thu một cách thụ động, thiếu tự nhiên, thiếu tính sáng tạo, dẫn đến kết quả học tập thấp. b)Đối với học sinh: Một bộ phận học sinh, khoảng 20% rất tích cực học tập, rèn luyện, có động cơ học tập đúng đắn nên đó c kết quả học tập tốt. Một bộ phận lớn học sinh, khoảng 35% cú kết quả học tập trung bình, trong số này có khoảng 15% nếu có phương pháp học phù hợp thì sẽ đạt mức khá . Số còn lại (45%) học yếu, trên lớp hầu như không tiếp thu được bài học,. trong đó phần lớn là do các em không có phương pháp học toán phù hợp, không có kĩ năng phân tích, tìm lời giải cho bài toán. Qua tìm hiểu tôi thấy nguyên nhân do trong quá trình dạy học thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ chức các hoạt động dạy học trong giờ học chưa phong phú nên chưa kích thích được học sinh hứng thú học tập. II. Mục tiêu, phạm vi và đối tượng của chuyên đề: 1.Mục tiêu Thông qua chuyên đề tôi muốn trao đổi thêm về phương pháp giảng dạy hình học 7 để có hiệu quả giảng dạy cao nhất. Giúp cho học sinh có hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải cho một bài toán chứng minh hình học, nhằm dần hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức, Giúp phát triển tư duy và rèn khả năng tự học cho HS, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục. 2.Phạm vi Có rất nhiều con đường, nhiều phương pháp để tìm lời giải cho một bài toán hình học, nhưng vì điều kiện thời gian chuyên đề chỉ đề cập đến một phương pháp quan trọng và phổ biến trong việc tìm cách chứng minh bài toán hình học: Phương pháp phân tích ngược trong môn hình học 7. 3. Đối tượng HS khối 7, môn hình học 7. III.NỘI DUNG Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 4 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ 1. Các bài toán chứng minh trong hình học 7 thường gồm: - Chứng minh bằng nhau: Đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tam giác bằng nhau…ứng dụng để: So sánh góc, đoạn thẳng, CM trung điểm của đoạn thẳng, tia phân giác của góc… - Chứng minh song song: - Chứng minh vuông góc. - Chứng minh thẳng hàng. - Chứng minh các đường thẳng đồng quy - Chứng minh các yếu tố cố định, 2. Phương pháp chung để tìm lời giải bài toán a) Tìm hiểu nội dung bài toán + Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng kí hiệu như thế nào? + Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán. + Dạng toán nào? + Kiến thức cơ bản cần có là gì? b) Xây dựng chương trình giải: Chỉ rõ các bước giải theo một trình tự thích hợp. c) Thực hiện chương trình giải: Trình bày bài làm theo các bước đã được chỉ ra. Chú ý các sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi. d) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải + Xem xét có sai lầm không, có phải biện luận kết quả không + Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn để, 3. Phương pháp chứng minh bài toán hình học theo hướng phân tích đi lên * Ngoài việc tuân thủ theo bốn bước chung, ta đi sâu vào hai bước: Tìm hiểu và xây dựng chương trình giải. - Bài toán yêu cầu phải chứng minh điều gì? ( Kết luận A) - Đề chứng được kết luận A ta phải chứng minh được điều gì? ( Kết Luận X) Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 5 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ - Để chứng minh được kết luận X ta dựa vào dấu hiệu nào, chứng minh điều gì? ( Kết luân Y)…. -Quá trình phân tích trên dừng lại khi đã sử dụng được giả thiết của bài toán và các kiến thức đã học trước đó. Sơ đồ phân tích bài toán như sau: Để chứng minh A Phải cm X Phải cm Y Phải cm Phải cm Z (CM được từ GT) Lưu ý: Khi trình bày lời giải, học sinh phải tiến hành theo hướng ngược lại. 4. Kết quả đạt được sau khi thực hiện chuyên đề Trước khi xây dựng chuyên đề này tôi tiến hành khảo sát học sinh khối 7 về chứng minh bài toán hình học, kết quả là: Số lượng học sinh được kiểm tra Tỉ lệ học sinh biết chứng minh (mức độ chuẩn KTKN) 67 35 HS chiếm 52,2% Sau khi thực hiện chuyên đề kết quả đạt được như sau: Số lượng học sinh được kiểm tra Tỉ lệ học sinh biết chứng minh (mức độ chuẩn KTKN) 67 47 HS chiếm 70,1% 5. Các ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng a) AB = CE b) AC // BE. Hướng dẫn tìm lời giải: Sau khi hướng dẫn học sinh vẽ hình và ghi gt, kl giáo viên yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau: a) Để chứng minh AB = CE ta phải chứng minh điều gì? ( GV gợi ý: Dựa vào các tam giác bằng nhau có chứa hai cạnh là hai đoạn thẳng trên). Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 6 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ ( ABM ECM ∆ = ∆ ) - Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên bằng nhau chưa? tại sao? ( ABM ECM∆ = ∆ (c – g – c)) - Sau đó giáo viên cho học sinh trình bày theo hướng ngược lại b) Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dựa vào các dấu hiệu nào? ( Học sinh nêu các dấu hiệu – giáo viên hướng cho học sinh nên sử dụng cặp góc so le trong bằng nhau). Để chứng minh AC//BE Ta chứng minh cặp góc nào bằng nhau? ( góc CAE bằng góc BEA hoặc góc ACB bằng góc CBE). - Muốn chứng minh góc ACB bằng góc CBE ta chứng minh hai tam giác nào bằng nhau?( AMC EMB ∆ = ∆ ) - Từ GT ta đã CM được hai tam giác trên bằng nhau chưa ? Tại sao? ( AMC EMB ∆ = ∆ (c – g - c)). Sau đó học sinh trình bày cách chứng minh theo hướng ngược lại. Sơ đồ phân tích: AC // BE  c/m góc ACB bằng góc CBEc/m AMC EMB ∆ = ∆ Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, K là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B kẻ Ax vuông góc với AC và lấy M ∈ Ax sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm C kẻ Ay vuông góc với AB và lấy N thuộc Ay sao cho AN = AB. Lấy P trên tia đối của tia KA sao cho AK = KP. CMR: a) AC//BP b) AMN BPA∆ = ∆ c) AK ⊥ MN. Hướng dẫn tìm lời giải. Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT, KL a) Hướng dẫn như VD 1: b) GV: Hai tam giác đã có những yếu tố nào bằng nhau? (c-c) Ta sẽ CM hai tam giác bằng nhau theo trường hợp Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 7 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ nào? Khi đó cần CM thêm điều kiện gì? ( · · MAN ABP= ) - Góc MAN và góc BAC có quan hệ gì với nhau? (bù nhau) Vậy để CM: · · MAN ABP= ta phải CM đều gì? (Góc ABP và góc BAC bù nhau) - Ta CM được góc ABP và góc BAC bù nhau dựa vào yếu tố nào? (AC//BP) - Sơ đồ phân tích: Để CM ∆MAN=∆BPA · · · · · · ta cm ta cm MAP ABP MAN BAC ABP BAC→ = → + = + (CM được từ AC//BP c) Giáo viên hướng dân học sinh chứng minh bằng hệ thống câu hỏi như sau: - Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta dựa vào các dấu hiệu nào ( Học sinh nhớ lại các dấu hiệu đã học ) - Giáo viên hướng cho học sinh sử dụng dấu hiệu hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc vuông). -Nếu gọi H là giao điểm của AK và MN thì để chứng minh AK ⊥ MN ta phải chỉ ra điều gì? ( · 0 90AHM = hoặc · 0 90AHN = ). - Hãy chỉ ra các cách chứng minh · 0 90AHN = (HS nêu: · · AHM AHN= hoăc µ · 0 1 90A HNA+ = ). – Giáo viên hướng cho học sinh chứng minh µ · 0 1 90A HNA+ = . - Tính µ ¶ 1 2 A A+ ( = 90 0 ). - Vậy để chứng tỏ µ µ 0 1 90A N+ = ta phải chỉ ra được góc N và góc A 2 cos quan hệ gí với nhau? ( bằng nhau). CM được vì: AMN BPA ∆ = ∆ . - Sơ đồ phân tích: Để CM AK⊥MN · µ µ µ µ 0 0 1 2 90 90 ta cm ta cm ta cm AHN N A N A→ = → + = → = (CM được vì AMN BPA∆ = ∆ ) - Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày lời giải bài toán trên theo hướng ngược lại Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 8 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, các điểm D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Trên đường thẳng DE lấy điểm F sao cho E là trung điểm của DF. CMR: a) BD=CF b) DE//BC Sơ đồ phân tích. a) Để CM BD=CF cm cm CF AD ADE CFE→ = →∆ = ∆ (CM được từ GT) b) Cách1: Để CM DE//BC · · · · cm cm cm CDF BCD BDC FCD BDC DCF→ = →∆ = ∆ → = Cách 2: Để CM DE//BC · · · · cm cm cm DFB FBC BDF FCD DBF BFC→ = →∆ = ∆ → = (CM được từ GT và phần a.) Ví dụ 4: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên các cạnh AC và BD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE=BF. CMR các điểm E, O, F thẳng hàng. Sơ đồ phân tích: CM: E, O, F thẳng hàng µ µ µ µ µ 0 1 2 3 1 4 180 ta cm ta cm ta cm O O O O O AOE BOF → + + = → = →∆ = ∆ (CM được vì GT) Ví dụ 5: Tam giác ABC cân tại A. Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. M là một điểm nằm giữa A, D. CMR: ∆BMD = ∆CMD. Sơ đồ phân tích: Để CM ∆BMD=∆CMD ¶ ¶ 1 2 , ta cm ta cm MB MC M M ABM ACM→ = = →∆ = ∆ ( CM từ GT) Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 9 Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ Ví dụ 6. Cho Tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân ABD, ACE ( · · 0 90ABD ACE= = ). Qua điểm C vã đường thẳng vuông góc với BE, cắt đường thẳng HA tại K. CMR các đường thẳng AH, BE, CD đồng quy. Sơ đồ phân tích. Để CM: AH, BE, CD đồng quy taCM: CD chứa đường cao của ∆BKC. · µ µ µ · · 0 1 1 1 90 ta cm ta cm ta cm cm cm cm cm BK DC KBC C C K BAK DBC KA BC KAC BCE KAC BCE → ⊥ → + = → = →∆ = ∆ → = →∆ = ∆ → = Ví dụ 7. Tam giác ABC có góc A bằng 90 0 và AB=AC. Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho xy không cắt đoạn Thẳng BC. Kẻ BD và CE vuông góc với xy. CMR: DE=BD+CE Sơ đồ phân tích. Để CM: DE=BD+CE Ta CM: µ · · µ µ µ 1 2 1 2 , cm cm cm DA BD AE EC ABD CAE A ACE ACE A A A= = →∆ = ∆ → = → + = + (CM được từ GT) Bằng cách làm tương tự giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chứng minh nhiều bài tập chứng minh khác bằng cách phân tích ngược như trên. Các ví dụ cụ thể được minh hoa trong tiết dạy như sau: TIẾT 33: LUYỆN TẬP VỀ BA TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC . Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 10 D C B A Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán chứng minh bằng phương pháp phân tích ngược trong môn hình học lớp 7 ================================================================ Nội dung bài dạy được thể hiện như sau:  Dạng1: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau Bài1.Cho ∆ABC có AB=AC. Chứng minh rằng góc B bằng góc C Giáo viên cho học sinh vẽ hình ghi GT,KL và tìm hướng chứng minh của bài toán. Theo hệ thống câu hỏi - Góc B và Góc C trong cùng 1 tam gíac, lại chưa biết số đo Vậy muốn c/m µ µ B C= ta nên làm thế nào? ( HS Tạo ra hai tam giác chứa hai góc đó bằng cách kẻ thêm đường phụ) - GV: Yêu cầu học sinh chứng minh hai tam giác đó bằng nhau theo nhóm. Bài 2. Cho góc xOy khác góc bẹt Ot là tia phân giác của góc xOy, trên tia Ot lấy điểm H. Kẻ đường thẳng vuông góc với Ot tại H, đường thẳng này cắt tia Ox, Oy lần lựt tại A và B. a) CMR: 0A=0B b) Trên tia Ot lấy điểm C. Chứmg minh Ot là đường phângiác của góc ACB. GV: cho học sinh ghi GT; KL và chứng minh phân phần a) . b) GV: Hướng dẫn bằng hệ thống câu hỏi: - Để C/m Ot là đường phân giác của góc ACB ta phải chứng điều gì? ( HS : góc ACH bằng góc BCH) -Muốn chỉ ra góc ACH bằng góc BCH Ta làm như thế nào? HS: AOC BOC∆ = ∆ hoặc AHC BHC∆ = ∆ Hai tam giác trên bằng nhau chưa? tai sao? GV: Trình chiếu lời giải chi tiết của bài toán Giáo viên chốt lại sơ đồ tìm hướng chứng minh phần b) như sau: Ot là phân giác của góc ACB - · · ACO BCO=  AOC BOC ∆ = ∆ hoặc AHC BHC∆ = ∆ Phạm Thị Nhài THCS Hồng Thuận 11 2 1 t H y x O C B A