chuyên đề tổng hợp BDHSG toán 7 hình+đại

Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1 : Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) ( 1) 2 n n  d) 1+n 2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) ( 3) 2 n n  h) ( 1)( 2) 2 n n   i)   ( 1)( 2) 3 n n n Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3 : Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com Hướng dẫn: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4 : Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5 : Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 2 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7 : Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 1 0: Tính: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +(n-1) 2 +n 2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 12: Tính: A = 1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 13 : Tính: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + +99 2 -100 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) Bài 14: Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com A = (1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 )+2(1+3+5+ +97+99) Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 )+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 1 3 +2 3 +3 3 + +99 3 +100 3 Hướng dẫn: A = 1 2 (1+0)+2 2 (1+1)+3 2 (2+1)+ +99 2 (98+1)+100 2 (99+1) A = (1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 +99.100 2 )+(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) Bài 18: Tính: A = 2 3 +4 3 +6 3 + +98 3 +100 3 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 1 3 +3 3 +5 3 + +97 3 +99 3 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 + +99 3 -100 3 Hướng dẫn: Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số d c b a  (hoặc a : b = c : d). Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu d c b a  thì bcad  Tính chất 2: Nếu bcad  và a, b, c, d 0  thì ta có các tỉ lệ thức sau: d c b a  , d b c a  , a c b d  , a b c d  Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ d c b a  suy ra: d b ca d b ca d c b a       -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: f e d c b a  suy ra:          fdb cba fdb cba f e d c b a (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). * Chú ý: Khi có dãy tỉ số 5 3 2 cba  ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. Ví dụ 1 : Tìm hai số x và y biết 3 2 yx  và 20   yx Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt k yx  3 2 , suy ra: kx 2  , ky 3  Theo giả thiết: 4205203220          kkkkyx Do đó: 84.2   x 124.3   y KL: 12,8   yx Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4 5 20 3 2 3 2     yxyx Do đó: 84 2  x x 124 3  y y KL: 12,8   yx Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết 3 2 3 2 y x yx  mà 1260520 3 2 20  yyy y yx Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com Do đó: 8 3 12.2 x KL: 12,8   yx Ví dụ 2 : Tìm x, y, z biết: 4 3 yx  , 5 3 zy  và 632    zyx Giải: Từ giả thiết: 12 9 4 3 yxyx  (1) 20 12 5 3 zyzy  (2) Từ (1) và (2) suy ra: 20 12 9 zyx  (*) Ta có: 3 2 6 20 36 18 32 20 36 3 18 2 20 12 9      zyxzyxzyx Do đó: 273 9  x x 363 12  y y 603 20  z z KL: 60,36,27    zyx Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k zyx  20 12 9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: 5 3 5 3 z y zy  20 9 4 5 3 .3 4 3 4 3 z z y x yx  mà 6060 10 6 5 3 .3 20 9 .2632  z z z zz zyx Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com Suy ra: 36 5 60.3 y , 27 20 60.9 x KL: 60,36,27    zyx Ví dụ 3 : Tìm hai số x, y biết rằng: 5 2 yx  và 40.  yx Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt k yx  5 2 , suy ra kx 2  , ky 5  Theo giả thiết: 244010405.240. 22  kkkkkyx + Với 2  k ta có: 42.2   x 102.5   y + Với 2   k ta có: 4)2.(2     x 10)2.(5     y KL: 10,4   yx hoặc 10,4     yx Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x 0  Nhân cả hai vế của 5 2 yx  với x ta được: 8 5 40 5 2 2  xyx 4 16 2   x x + Với 4  x ta có 10 2 5.4 5 2 4  y y + Với 4   x ta có 10 2 5.4 5 2 4     y y KL: 10,4   yx hoặc 10,4     yx Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com a) 21 6 10 zyx  và 2825    zyx b) 4 3 yx  , 7 5 zy  và 12432    zyx c) 5 4 4 3 3 2 zyx  và 49    zyx d) 3 2 yx  và 54  xy e) 3 5 yx  và 4 22  yx f) zyx yx z xz y zy x       211 Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 21 6 10 zyx  và 2825    zyx b) 4 3 yx  , 7 5 zy  và 12432    zyx c) 5 4 4 3 3 2 zyx  và 49    zyx d) 3 2 yx  và 54  xy e) 3 5 yx  và 4 22  yx f) zyx yx z xz y zy x       211 Bài 3 : Tìm các số x, y, z biết rằng: a) zyyx 57,23   và 32    zyx b) 4 3 3 2 2 1      zyx và 5032    zyx c) zyx 532   và 95    zyx d) 5 3 2 zyx  và 810  xyz e) zyxz yx y xz x zy           1321 f) yx 610  và 282 22  yx Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) zyyx 57,23   và 32    zyx b) 4 3 3 2 2 1      zyx và 5032    zyx c) zyx 532   và 95    zyx d) 5 3 2 zyx  và 810  xyz e) zyxz yx y xz x zy           1321 f) yx 610  và 282 22  yx Bài 5: Tìm x, y biết rằng: x yyy 6 61 24 41 18 21      Bài 6: Tìm x, y biết rằng: Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com x yyy 6 61 24 41 18 21      Bài 7: Cho 0     dcba và c b a d d b a c d c a b d c b a        Tìm giá trị của: c b ad b a dc d a cb d c ba A             Giải: 1 3( ) 3 a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d                    ( Vì 0     dcba ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8 : Tìm các số x; y; z biết rằng: a) x 7 y 3  và 5x – 2y = 87; b) x y 19 21  và 2x – y = 34; b) 3 3 3 x y z 8 64 216   và x 2 + y 2 + z 2 = 14. c) 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5 7 6x       Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10 : Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z 2 – 3x 2 – 2y 2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11 . Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai . Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a b c , , b c c a a b    . Biết a+b+c 0  .Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ? Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14 : Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [...]... tỉ số đều có nghĩa) 3a  5b 3c  5d 1)  3a  5b 3c  5d 2 ab a2  b2 2)     2 c d2 cd  3) ab cd  ab cd 4) ab a  b   cd c  d 2 5) 2a  5b 2c  5d  3a  4b 3c  4d 6) 2005a  2006b 2005c  2006d  2006c  2007d 2006a  2007b www.doimoigiaoduc.com 2 Các chuyên đề 7) Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 a c  ab cd Bài 2: Cho tỉ lệ thức: 8) 7a 2  5ac 7b 2  5bd  7a 2  5ac 7b 2 ...  1  0 d) x  y  5  20 07 y  32008  0 Bài 7. 6: Tìm x, y thoả mãn : www.doimoigiaoduc.com Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 5 a) x  12   y  32  0 c) 3 x  2 y 2004  4 y  b) 2x  54  5 2 y  7  0 1 0 2 d) x  3 y  1   2 y  1    2000 2  0 Bài 7. 7: Tìm x, y thoả mãn: 7 a) x  20 07  y  2008  0 c) 13 1  x  24 2 2006  b) 20 07 4 6 y 0 2008 5 25 5 3 x... Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 7 Dạng 7: A  B  0 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức * Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0 * Cách giải chung: A  B  0 B1: đánh giá: A  0   A  B 0 B  0  A  0 B  0 B2: Khẳng định: A  B  0   Bài 7. 1:... chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 Bài 23: So sánh: A 2 2 2 2     60.63 63.66 1 17. 120 2006 và B 5 5 5 5     40.44 44.48 76 .80 2006 Hướng dẫn: Bài 24 Tính 2 2 2 2 2     15 35 63 99 143 3 3 3 3 b B = 3+     1 2 1 2  3 1 2  3  4 1  2   100 a A = Hướng dẫn: Bài 25: Tính giá trị các biểu thức: 1 1 1 1     3 5 97 99 a) A = 1 1 1 1 1      1.99 3. 97 5.95 97. 3... www.doimoigiaoduc.com ; c 2  bd và b 3  c 3  d 3  0 Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 Chứng minh rằng: Bài 27: Cho P  a3  b3  c3 a  b3  c3  d 3 d a b c ax 2  bx  c Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P   2 a1 b1 c1 a1 x  b1 x  c1 không phụ thuộc vào x Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a  13b 2 c  1 3d  3a  7 b 3c  7 d Bài 29: Cho dãy tỉ số : bz  cy cx  az ay  bx   a b c... 2x-6 0 Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp * Nếu x . b a dc d c ba 20 07 2006 20062005 20 07 2006 20062005      Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com 7) d c c b a a    8) bd b bdb ac a aca 5 7 57 5 7 57 2 2 2 2      . 1.3+3.5+5 .7+ + 97. 99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ + 97( 97+ 2)+99(99+2) Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com A = (1 2 +3 2 +5 2 + + 97 2 +99 2 )+2(1+3+5+. 6060 10 6 5 3 .3 20 9 .2632  z z z zz zyx Các chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 www.doimoigiaoduc.com Suy ra: 36 5 60.3 y , 27 20 60.9 x KL: 60,36, 27    zyx Ví dụ 3 : Tìm hai số