bài giảng hình học tam giác hsg

HẦN MỞ ĐẦU ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC Kiến thức về bộ môn toán nói chung, bộ môn hình học nói riêng được xây dựng theo một hệ thống chặt chẽ : Từ hệ thống Tiên đề đến Đònh nghóa các khái niệm – Đònh lý – và Hệ quả . Đối với những bài toán thông thường, học sinh chỉ cần vận dụng một vài khái niệm, đònh lý, hệ quả để giải. Đối với những bài toán khó, để xác đònh hướng giải ( cũng như để giải được ) học sinh cần nắm được không những hệ thống kiến thức ( lý thuyết ) mà c

PHẦN MỞ ĐẦU ĐẶC ĐIỂM CHUNG CỦA BỘ MÔN HÌNH HỌC

Kiến thức về bộ môn toán nói chung, bộ môn hình học nói riêng được xây dựng theo một hệthống chặt chẽ : Từ hệ thống Tiên đề đến Định nghĩa các khái niệm – Định lý – và Hệ quả

Đối với những bài toán thông thường, học sinh chỉ cần vận dụng một vài khái niệm, định lý, hệquả để giải

Đối với những bài toán khó, để xác định hướng giải ( cũng như để giải được ) học sinh cần nắm được không những hệ thống kiến thức ( lý thuyết ) mà cóùøn cần nắm chắc cả hệ thống bài tập , sử dụng chúng như những “Bổ đề “.

Do đó để giải tốt các bài toán hình học, học sinh cần :

a/Nắm chắc hệ thống kiến thức về lý thuyết

b/Nắm chắc hệ thống bài tậP

c/Biết cách khai thác giả thiết nhằm :

-Đọc hết những thông tin tiềm ẩn trong giả thiết, nắm chắc, nắm đầy đủ cái ta có, cái ta chưa có.Từø đó giúp ta xây dựng hướng giải, vẽ được đường phụ cũng như giúp ta có thể giải được bài toán bằngnhiều cách

d/Biết cách tìm hiểu câu hỏi ( kết luận ) :

+Nắm chắc các phương pháp chứng minh từøng dạng toán ( trong đó cần hết sức lưu ý định nghĩa các khái niệm )

+Biêt đưa bài toán về trường hợp tương tự

+Nắm được ý nghĩa của câu hỏi để cóùù thể chuyển sang dạng tương đương Ví dụ để chứng minh biểu thức M không phụ thuộc vị trí của cát tuyến d khi d quay quanh điểm O ta cần chứng minh

M = hằng số

Từø đó căn cứ vào điều ta cóùù và điều ta phải chứng minh để định hướng giải và giải bài toán Các bài toán nâng cao trong tập tài liệu này được phân loại , sắp xếp hệ thống theo “Hìnhnền “ mà đầu bài cho và trên cơ sở đó phân thành nhiều nhóm khác nhau, qua đó giúp cho chúng ta cóthể tìm hiểu chuyên sâu từng chủ đề và giúp cho chúng ta có thể thực hiện được những yêu cầu nêu

trên cũng như giúp tra cứu dễ dàng hơn

PHẦN A : TAM GIÁC

I.TAM GIÁC THƯỜNG

1/ Tam giác tổng quát

2/ Tam giác – Phân giác

3/ Tam giác – Đường cao

4/ Tam giác – Đường cao - Phân giác

5/ Tam giác - Trung tuyến

6/ Tam giác – Trung tuyến – Phân giác

7/ Tam giác – Đường cao – Trung tuyến

8/ Tam giác – Đường cao – Trung tuyến – Phân giác

9/ Tam giác – Đường cao - Trung trực

II/ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :

MỘT SỐ VÍ DỤ

PHẦN A : TAM GIÁCI.TAM GIÁC THƯỜNG

CHỦ ĐỀ 1 : TAM GIÁC TỔNG QUÁT I/ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY DÙNG

1/ Các bất đẳng thức trong tam giác

2/ Bất đẳng thức Cô si ( Aùp dụng đối với các số không âm )

3/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

Cho 2n số a1 ; a2 ; … ; an ; b1 ; b2 ; … ; bn ta có :

( a1b1 + a2b2 + … + anbn )2  ( a1 + a2 + … + an ) ( b1 + b2 + … + bn )

Dấu “ = “ xảy ra 

n

n b

a b

a b

4/ Giá trị lớn nhất của tổng hai số

a2 + b2  ½ ( a + b ) 2  a + b  2 (a 2 b2 ) Dấu “=” xảy ra  a = b

5/ Giá trị lớn nhất của tích hai số

a/

2.b a2 b2

a   Dấu bằng xảy ra  a = b

b/ ( a + b )2  2 ab Hay

2

)(a b 2

ab  Dấu “=” xảy ra  a = b6/ a/ a2 + b2 + c2 < 2 ( ab + bc + ca )

1

b p

ca a p

bc c p

1111

r

4

91112

II/ DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Gọi a , b , c là độ dài các cạnh ; ha , hb , hc là độ dài các đường cao , ma , mb , mc là độ dài các đường trung tuyến hạ từ đỉnh A , B , C ; p là chu vi ; R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp  ABC

6

1 ( cha + bhc + ahb ) 5/ Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của tam giác , S là diện tích của tam giác đó Chứng minh :

III/ CHU VI TAM GIÁC

1/ Trong tất cả các tam giác cùng cạnh đáy và cùng góc ở đỉnh đối diện với cạnh ấy , tìm tam giác cóùù chu vi lớn nhất

2/ Trong tất cả các tam giác cóùù chung đáy và đỉnh thuộc đường thẳng song song với đáy , tìm tam giác cóùù chu vi nhỏ nhất

3/ Tìm một tam giác cóùù chu vi nhỏ nhất sao cho một đỉnh là điểm A cho trước , còn hai đỉnh B và C nằm trên 2 đường thẳng d1 , d2 cho trước

IV/ TAM GIÁC - THÊM MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN

1/ Cho  ABC Từ đỉnh A, về phía BC kẻ hai đường thẳng, đường thẳng AD tạo với AB một góc C,đường thẳng AE tạo với AC một góc bằng góc B Chứng minh  ADE cân

Xét  ADB : ADB = 1800 – ( B + C ) = A

Xét AEC : AEC = 1800 – ( B + C ) = AADE = B + C ; AED = B + C ; C – B = 2D = 600

 AED = ADE  ADE cân

b/Nếu góc A tù

Xét hai tam giác ABD và AEC : ADE = B + C ; AED = B + C   AED cân

 Suy ra :

 CAB ~  CBD  CBA = CDB ; CAB = CBD = CBA + ABD

Nhưng A = 2 ABD ( theo cách dựng )  ABC = ABD

IJ AM

4/  ABC có tính chất : tồn tại P trong tam giác sao cho PAB = 100 ; PCA = 300 ; PBA = 200 ; PAC =

400 Tính các góc B và C

A

B M

D

J

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BP Suy ra APA’ = 600 và  APA’ đều

Gọi E là giao điểm của PC VÀ BA’ , ta có :

PEA’ = 1200 = EA’C + ECA’  Tứ giác AA’EP nội tiếp đường tròn

Từ đó ta có : AEA’ = APA’ = 600 và do CEA’ = 600 nên ta suy ra BA’ là đường trung rtực của

AC Vậy A = C = 500 , B = 800

BÀI TOÁN SUY LUẬN

Ví dụ : Cho 7 đoạn thẳng , mỗi đoạn thẳng có độ dài m với 1  m < 13 và m nguyên Chứng minh rằng có thể chọn được 3 trong 7 đoạn thẳng ấy để dụng tam giác Mệnh đề trên còn đúng hay không nếu chỉ có 6 đoạn thẳng ?

HƯỚNG DẪNNếu a , b , c là ba cạnh của một tam giác thì bao giờ cũng có a < b + c ( 1 ) ; b < c + a ( 2 );

c < a + b (3) Giả sử a  b  c thì (2) , (3) nghiệm đúng như vậy chỉ còn điều kiện ( 1 ) Vậy ta rút

ra nhận xét sau :

Ba số dương được xem như số đo của ba cạnh của một tam giác khi số lớn nhất trong

ba số đó nhỏ hơn tổng của hai số còn lại

Gọi 7 đoạn thẳng đã cho là m1 ; m2 ;… ; m7 Giả sử m1  m2  …  m7 < 13

Nếu không chọn được 3 trong 7 đoạn thẳng đó để làm cạnh của tam giác thì từ nhận xét trên ta có :

CHỦ ĐỀ 2 : TAM GIÁC – PHÂN GIÁC

1/ Cho  ABC với AB > AC Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác trong và N ( khác A ) thuộc đường phân giác ngoài của góc A Chứng minh rằng :

a/ AB – AC > MB – MC

b/ AB + AC < NB + NC

2/ Ba đường phân giác trong AD , BE , CF của  ABC gặp nhau tại O Từ O dựng OG vuông góc với

BC

a/Chứng minh góc BOD = góc COG b/Tính góc BOC theo A

c/Tính góc GOD theo góc B và góc C

3/ Cho  ABC , các đường phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi L là giao điểm của AA’ và B’C’ , K là giao điểm của CC’ và A’B’ Chứng minh : BB’ là phân giác của góc KBL

4/ Cho  ABC có dộ dài 3 cạnh là a,b,c và la , lb , lc là độ dài 3 đường phân giác ứng với các cạnh

BC , CA , AB Chứng minh :

c b

a l l l

c b a

111111

1

b c bc

c b

CE AD

2

12

12

1

b c bc

c b



Chứng minh tương tự ta có : (2)

2

12

11

c a

12

11

a b

Lấy (1) + (2) +(3) suy ra điều phải chứng minh

5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX Chứng minh rằng :

HƯỚNG DẪNNhận xét và chú ý :+ Bài toán cho các đường phân giác nên hãy chú

ý đến tính chất đường phân giác của tam giác

+ Bài toán yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức

nên hãy chú ý đến các BĐT trong đó chú ý đến

BY XB

AX

;

; ta có :Theo tính chất đường phân giác : 33

ZA

CZ YC

BY XB

AX ZA

CZ YC

BY XB

c a

b ZA

CZ YC

BY XB AX

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c tức  ABC đều 6/ Cho  ABC , ba đường phân giác trong AD , BE , CF Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là SDEF = ¼ SABC

8/ Cho  ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c Vẽ các phân giác AD , BE , CF Chứng minh

SDEF  ¼ SABC , dấu “=” xảy ra   ABC đều

TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC

1/ Cho  ABC , các đường phân giác trong BD , CE Tính số đo các góc của tam giác nếu BDE = 240 , CED = 180

2/ Cho  ABC , các góc B và C cóùù tỉ lệ 3 : 1 , phân giác của góc A chia diện tích tam giác theo tỉ số2: 1 Tính các góc của tam giác

BY XB AX

A E

A

Z X

a

b c

c

HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC

1/ Cho  ABC có hai đường phân giác trong BD , CE cắt nhau tại I Biết ID = IE Chứng minh rằng hoặc  ABC cân tại A hoặc BAC = 600

HƯỚNG DẪN A

E’

D E

I

AI là đường phân giác của góc A Khi đó hai  IEA và  IDA có thể xảy ra hai trường hợp :

a/  IEA =  IDA Khi đó :

BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA   ABD =  ACE ( g – c – g )  AB = AC 

 ABC cân tại A

b/  IEA và  IDA không bằng nhau   ABC không cân ở A

Không mất tính tổng quát ta giả sử : C > B Lấy điểm E’ trên AB sao cho IE’ = IE = ID 

 IE’E cân  IE’E = IEE’  BEI = IE’A = IDA

Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800  A + DIE = 1800  A + BIE = ICB + IBC

 2A = 2ICB + 2IBC = C + B Mà BIE + DIE = 180 0 và A + B + C = 1800  A + 2A =

1800  A = 600

CỰC TRỊ

1/ Cho  ABC với AB  AC và AD là đường phân giác trong Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC sao cho BM.CN = k không đổi ( k < AB2 ) Xác định vị trí của M , N sao cho diện tích củatứ giác AMDN là lớn nhất

HƯỚNG DẪN

Nhận xét : 1/ BM + CN  2 BM CN 2/ SAMDN = SAMD + SADN3/ M

B E

Hạ DH , DK vuông góc với AB và AC Ta có : DH = DK = hằng số ( AD là phân giác của góc A )

2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN )

= DH [AB+AC – (BM+CN)] (1)Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN :

BM + CN  2 BM.CN  2 k , dấu “ = “ xảy ra  BM = CN Thay vào (1) ta được :

2SAMDN  DH(AB+AC-2 k )Diện tích tứ giác AMDN lớn nhất khi BM = CN = k < AB  AC

Lúc đó SAMDN = ½ (AB+AC - 2 k ) Dễ dàng dựng được các đoạn thẳng BM , CN theo hệ thức BM2 = CN2 = k.1 ( trong đó 1 chỉ 1 đơn vị dài )

Cách dựng : Trên BC lấy E sao cho BE = 1 trên BF lấy H sao cho BH = k Dựng đường tròn đường kính BE , dựng tia Hx vuông góc với BE cắt đường tròn tại M BM có độ dài cần dựng

CHỦ ĐỀ 3 : TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO

1/ Cho  ABC có a > b > c Chứng minh :

2/ Cho  ABC có ba cạnh là a , b , c và ba đường cao là ha , hb , hc Chứng minh rằng nếu

)(

1)

(

1)

(

11

1

1

c p p b p p a p p h

4/ Cho  ABC có các đường cao AA’ , BB’ , CC’ Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ và CC’ tại I ,

J , K , L Chứng minh 4 điểm I , J , K , L thẳng hàng

5/ Cho  ABC , đường cao AH Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB Gọi B’ là điểm đối xứngcủa H qua AC Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K Chứng minh BI và CK là đường caocủa  ABC

ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC

1/ Chứng minh rằng mọi  ABC ta đều có : p2  ha + hb + hc2 ( p là nửa chu vi tam giác ABC )

2/ Cho  ABC Xác định các điểm M , N , P theo thứ tựï thuộc các cạnh BC , CA , AB sao cho chu vi  MNP là nhỏ nhất

ĐƯỜNG CAO - BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ

1/ Cho 2 điểm A , B cóùá định và điểm M di động sao cho  MAB cóùù 3 góc nhọn Gọi H là trực tâm của  AMB , K là chân đường cao vẽ từ M Tìm giá trị lớn nhất của KH.KM

CHỦ ĐỀ 4: TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC 1/ Đường cao và đường phân giác vẽ từ đỉnh A của ABC tạo thành một góc Tính góc đo theo các

góc B và C của tam giác ABC ( hoặc chứng minh góc đó bằng nửa hiệu của hai góc B và C )

HƯỚNG DẪN

+ D luôn nằm giữa H và trung điểm M ( sẽ chứng minh

ở phần sau ) + Tìm cách tạo ra một góc bằng B – C hoặc tính B-C

B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = 2 HAD

1.1/ Cho  ABC và đường phân giác CE Từø C kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt cạnh AB kéo dài

tại D Chứng minh rằng góc EDC bằng nửa hiệu của các góc A và B

1.2/ Đuờng phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A của  ABC tạo với cạnh BC một góc 300 Tìm hiệu của cácgóc C và B ( Cho AB  AC )

1.3/ Chứng minh rằng trong một tam giác nếu hiệu các góc ở đáy bằng 900 thì đường phân giác trongvà đường phân giác ngoài của góc ở đỉnh bằng nhau

CHỦ ĐỀ 5: TAM GIÁC - TRUNG TUYẾN

1/ Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có :

A

P N

G

3a2  b2 c2

Nên ( 1 )  2(mamb + mbmc + mcma ) <

4

2 2

2 b c

+ 2 ( ab + bc + ca ) <

2

ca bc

3

1

ma ; 3

1

mb ; 31

mc và 3 trung tuyến là

4

a

; 4

b

; 4

c

Aùp dụng bất đẳng thức ( * ) vào  PQG ta có :

.44

.4

a c c b b a

1

mb + 3

1

mb 3

1

mc + 3

1

mc 3

3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của  ABC , cắt cáccạnh AB , AC lần lượt tại E , F Hãy xác định vị trí điểm E sao cho AE + AF đạt giá trị nhỏ nhất ( Mở rộng bài trên )

4/ Cho  ABC , trung tuyến AD Từø điểm M bất kỳ trên BD vẽ đường thẳng song song với AD cắt ABtại E , cắt AC tại F Chứng minh : 2AD = ME + MF

Do đó : DCA < DAC ; DBA < DAB  DCA + DBA < DAC + DAB 

1800 – CAB < CAB  CAB tù nên CE > AC Điều này mâu thuẫnvới giả thiết , vậy không tồn tại tam giác thỏa mãn bất đẳng thức : CE + AD < ½ ( AB + BC)

3/Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ta cóùù :

22

c b m a c b

A

C

1/ Tìm tỉ số diện tích của tam giác ABC với diện tích của tam giác khác có cạnh bằng các trung tuyến của  ABC

2

)2

3(

 S’ = 9/4 SCDO Mặt khác 6 tam giác nhỏ OBF , OFA … có diện tích

ABC ABC ABC

S

S

2/ Cho  ABC cóùù diện tích bằng đơn vị Trung tuyến CF Vẽ AD ( D nằm trên cạnh BC ) cắt

CF tại M sao cho FM = ¼ CF Tính diện tích của  ABD

CHỦ ĐỀ 6: TAM GIÁC – TRUNG TUYẾN – PHÂN GIÁC

1/ Cho tam giác trong đó cóùù một góc tù Thành cho rằng trung tuyến kẻ từø đỉnh của góc nhọn của tamgiác đồng thời cóùù thể là đường phân giác của góc nhọn đó Cóùâng cho rằng điều đó không thể cóùùđược Hỏi bạn nào nói đúng ? Vì sao ?

Vậy Công nói đúng

Cách 2 : Giả sử Thành nói đúng tức là DB AB 1

DC  AC   AB = AC điều này vô lý vì trái giả thiết , do đó Thành nói sai

DH

K

2/ Cho  ABC có BC < BA , đường trung tuyến BD , đường phân giác BE Đường thẳng qua Cvuông góc với BE ở F và cắt BD ở G Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của đoạn thẳng GE

EA

EC BA

11

AE DE

DE AE DE

AD DE

DC DE

DE DC DE

BK DF

AK AB DF

DF AB

KC Biết BAC = 1050 Tính các góc ABC , ACB

HƯỚNG DẪN

Dựng AH  BC , nối HM Khi đó MH = MA = MC suy ra MHC = MCH = 2BCK Theo giả thiết KB = KC  KBC = KCB Vậy có MHC = 2KBC (1) Mặt khác MHC = KBC + HMB (2) TưØ (1 ) và (2) suy ra KBC = HMB hay  HMB cân tại H  MH = HB

Giả sử HA > HB , lúc đó ABH > BAH  BAH < 450 và ABH >450 Vì BAH + CAH = 1050

nên CAH >600 Tam giác AMH cân đỉnh M suy ra AHM = HAM > 600  AMH < 600 Do đ1o HA

< MH = HB ( mâu thuẫn ) Tương tự nếu HA < HB ta cũng gặp điều mâu thuẫn Vậy HA = HB  AHB vuông cân tại H Từ đó ABC = 450 ; ACB = 300

D

M K

A

B

K G

F

2/ Cho  ABC với AB  AC Gọi AD , AM lần lượt là đường phân giác , đường trung tuyến của  ABC Chứng minh rằng :

22

AC AB AM AD BC AC

CHỦ ĐỀ 7: TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO – TRUNG TUYẾN

1/ Tính các góc của một tam giác biết đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh chia góc

ở đỉnh ra làm 3 phần bằng nhau

2/ Cho  ABC cóùù 3 góc nhọn Gọi AH là đường cao lớn nhất trong 3 đường cao của tam giác BE làtrung tuyến kẻ từø đỉnh B Biết rằng AH = BE Chứng minh góc B nhỏ hơn hoặc bằng 600 Khi nàothì góc B = 600

Từ E hạ EK’  BC , EK’’  AB Ta có EK’ = ½ AH MaØ AH = BE ( gt )

 EK’ = ½ BE   BK’E là nửa tam giác đều

 góc BEK’ = 600 , góc EBK’ = 300

Hạ CI  AB , ta có : EK’’//=1/2 CI

EK’’  ½ AH ( AH là đường cao lớn nhất )

EK’’  ½ BE

 góc EBA  300 Và góc B = EBC + EBA  600

Muốn góc B = 600 thì AH = CI   ABC cân và góc B = 600   ABC là tam giác đều

3/ Gọi P là trung điểm cạnh BC của  ABC và BE , CF là hai đường cao Đường thẳng qua A vuônggóc với PF cắt đường thẳng CF tại M Đường thẳng qua A vuông góc với PE cắt đường thẳng BE tại N Gọi K và G lần lượt là trung điểm của BM , CN Gọi H là giao điểm của đường thẳng KF và GE Chứng minh rằng AH  EF

HƯỚNG DẪN Chứng minh :  AMI cân  KF là ĐTB của  MBI

 ANI cân  EG là ĐTB của  NIC

 FH  AC ; EH  AB

CHỦ ĐỀ 8: TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO – TRUNG TUYẾN – PHÂN GIÁC

1/ Cho  ABC với các trung tuyến , phân giác , đường cao dựng từ một đỉnh chia góc ở đỉnh đó thành 4phần bằng nhau Tính các góc của  ABC

B H D M C

Bước 1 : Chứng minh D nằm giữa H và M Bước 2 : Tính các góc của tam giác

2/ Ký hiệu la , lb , lc , ma , mb , mc , ha , hb , hc tương ứng là độ dài các đường phân giác , đường trung tuyến , đường cao được kẻ tới các cạnh a , b , c của tam giác ABC Chứng minh :

b b b

a

l h

m l h

m l h m

Ix E

Từ đó ta được ha + la  2ma

Chứng minh tương tự ta được : hb + lb  2mb ; hc + lc  2mc

Để ý rằng hi + li = 2mi  hi = li = mi   A1A2A3 cân tại đỉnh AI

Suy ra chứng minh tương tự ta được 2 bất đẳng thức tương tự

Cộng từng vế các bất đẳng thức đó và áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta được :

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  ABC là tam giác đều suy từ các đẳng thức

hi + li = 2mI ( i = 1 , 2 , 3 ) và

3/ Cho tam giác nhọn ABC không đều Kẻ đường cao AH , trung tuyến BM , phân giác CL của ACB Trung tuyến BM cắt AH và CL lần lượt tại P và Q CL cắt AH tại R Chứng minh rằng  PQR không phải là tam giác đều

CHỦ ĐỀ 9 : TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - TRUNG TRỰC

1/ Cho  ABC , O là giao điểm các đường trung trực của 3 cạnh , H là trực tâm của tam giác , M làtrung điểm của BC

a/ Chứng minh : AH = 2 OM

b/ Chứng minh ba điểm H , O , G thẳng hàng ( đường thẳng Ơ Le )

2/ Cho tam giác ABC nhọn có A = 600 Gọi H là trực tâm của  ABC Gọi M , N lần lượt là giao điểm của đường trung trực của BH và CH với AB và AC Chứng minh rằng ba điểm M , N , H thẳnghàng

b

a b

b

a

m

m l

3.2

1)(

c c b b a a

a c c

c b b

b

a

m

m m

m m

m m

m m

m m

m l

h

m l

h

m l

h

m

a

c c

b b

a

m

m m

m m

3 2 1 1

3 3

2 2

m m m m

m m

m m m

P

N

3/ Cho  ABC có ABC = 300 ; ACB = 200 Đường trung trực của AC cắt BC ở E , cắt tia BA ở F Chứngminh rằng AF = EF và AC = BE

TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC

1/ Cho  ABC Dựng đoạn thẳng BD sao cho ABD = 600 , BD = BA và tia BA nằm giữa hai tia BC ,

BD Dựng đoạn thẳng BE sao cho CBE = 600 , BE = BC và tia BC nằm giữa hai tia BA , BE Gọi M là trung điểm của DE , P là giao điểm của hai đường trung trực của các đoạn thẳng BA và BD Tính các góc của  CMP

HƯỚNG DẪN

Từ giả thiết ta suy ra các  ABD và  BCE đều nằm phía ngoài  ABC trên tia đối của tia MPlấy điểm N sao cho MN = MP Ta có  PMD =  NME ( c.g.c)  PD = NE và PD // NE , mà PD 

AB  EN  AB Hạ EH  BC ta có NEH = ABC  PBC = NEC Từ đó  PBC =  NEC (c.g.c ) 

CP = CN Mặt khác PCB = NCE  PCN = BCE 600   CPN là tam giác đều Vì M là trung điểm của

PN nên PMC = 900 ; MPC = 600 ; PCM = 300

CA

E

NM