nghiên cứu sự hội tụ của dv - amart

Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Chơng I::Những kiến thức chuẩn bị: 4 I. Các khái niệm cơ bản 4 II. Một số kết quả: 8 Chơng II: Amart: 11 I. Sự hội tụ của Amart 11 II. Tính ổn định của Amart 15 III. Khai triển Riesz của Amart 18 Chơng III: D v Amart: 23 I. Xây dựng không gian D v 23 II. Sự hội tụ của D v - Amart 25 Chơng IV: Amart điều kiện: 44 I. Một số khái niệm và kết quả liên quan 44 II. Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn 47 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Lời nói đầu Từ những thập niên đầu của thế kỷ XX, lý thuyết xác suất đã đợc phát triển mạnh mẽ. Một trong những hớng nghiên cứu mới của nó là lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên nói chung và lý thuyết Martingale nói riêng trở thành những bộ phận không thể thiếu đợc của lý thuyết xác suất. Theo Doob và Never, đó là những công cụ hữu hiệu đợc áp dụng rộng rãi trong nhiều ngành toán học hiện đại và trong thực tế. 1 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 Việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các đại lợng ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất đợc thực hiện bằng nhiều phơng pháp khác nhau. Chẳng hạn, trong quá trình dừng (theo nghĩa rộng) sự phụ thuộc của dãy các đại lợng ngẫu nhiên đợc nghiên cứu thông qua hàm tơng quan. Đối với quá trình Markov, đặc trng cơ bản của sự phụ thuộc là hàm xác suất chuyển. Đối với quá trình Martingale, sự phụ thuộc đợc nghiên cứu dựa trên tính chất của kỳ vọng điều kiện. Một trong những hớng nghiên cứu cơ bản của lý thuyết Martingale là các định lý giới hạn của các quá trình ngẫu nhiên. Trong luận văn này chúng ta nghiên cứu về sự hội tụ và sự khai triển Riesz của Amart và sự mở rộng trên các lớp tổng quát hơn: D v - Amart và Amart điều kiện: Luận văn gồm bốn chơng: Chơng I: Những kiến thức chuẩn bị: I. Các khái niệm cơ bản II.Một số kết quả Chơng II: Amart : I. Sự hội tụ của Amart II. Tính ổn định của Amart III. Khai triển Riesz của Amart Chơng III: D v - Amart: I. Xây dựng không gian D v II.Sự hội tụ của D v - Amart Chơng IV: Amart điều kiện: I. Một số khái niệm và kết quả liên quan II.Các định lý đặc trng cho sự hội tụ hầu chắc chắn Do có những khó khăn nhất định về tài liệu tham khảo và khả năng còn hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót, tác giả mong thầy cô và bạn đọc thông cảm góp ý thêm. 2 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận đợc sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy trong tổ Toán ứng dụng - Khoa toán tin - Trờng đại học S phạm Hà Nội để hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Hắc Hải và các thầy cô giáo ./. 3 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 Chơng I. Những kiến thức chuẩn bị I. Các kháI niệm cơ bản Định nghĩa I.1.1: Phần tử ngẫu nhiên. Giả sử không gian xác suất (, , P); (E, ) là không gian Mêtric đầy đủ, khả ly. Một ánh xạ đo đợc từ E đợc gọi là phần tử ngẫu nhiên, ký hiệu là X. Khi đó : X: E sao cho X -1 (B) , với mọi B . Khi E = R (E = R n ) ta có X là biến ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên. Giả sử {X n } n N là dãy các đại lợng ngẫu nhiên tơng thích với họ { n }, nghĩa là X n đo đợc đối với n với mọi n. Khi đó ta nói rằng: {(X n , n )} n N tạo thành dãy ngẫu nhiên. Định nghĩa I.1.2: Thời điểm dừng bị chặn. ánh xạ : N () thoả mãn 2 điều kiện: (i) P[() < ] = 1 (ii) [:() = n ] = [=n] n đợc gọi là điểm dừng bị chặn. Trong đó: n là họ tăng các - đại số con của . Ký hiệu: T = tập các thời điểm dừng bị chặn. Với T, ta xác định: X : E X () = X ( ) () = {B : B [=n] n } là - đại số trên 4 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 là - đại số con của X là biến ngẫu nhiên X là - đo đợc. Chứng minh: + F là - đại số: Với mỗi T: = {B : B [ = n] n } a. [ = n] = [ = n] n (vì là - đại số) [ = n] = n b. A A c = \A Xét A c [ = n] = (\A) [ = n] = ( [ = n]) \ (A [ = n]) n A c c. {A i } i I mà A i , A i A j = , với mọi i j [ ] i i i i nn === ])[( n i i Vậy là - đại số trên . + X là biến ngẫu nhiên: Với a R 1 , ta phải chứng minh: [ X < a] n . Ta có: [X < a] [ = n] = [X n < a] [ = n] n X n là biến ngẫu nhiên [X n < a] n là thời điểm dừng nên [ = n] n [X < a] n X là biến ngẫu nhiên. 5 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 Định nghĩa I.1.3: Dãy dự báo. Dãy ngẫu nhiên (X n , n ) n N đợc gọi là dãy dự báo nếu với mỗi n N thì các biến ngẫu nhiên X n là n -1 - đo đợc, ở đó 0 = 1 . Định nghĩa I.1.4: Martingale (Sub Martingale). Dãy ngẫu nhiên (X n , n ) n N gọi là Martingale (Sub Mart) nếu với mọi n 1 các điều kiện sau thoả mãn: (i) E(|X n |) < + (ii) E(|X n+1 | n ) = X n (E(X n+1 / n ) X n ) (a.s) Định nghĩa I.1.5: Khả tích đều. Dãy ngẫu nhiên (X n ) n N tơng thích với họ { n } n N đợc gọi là khả tích đều nếu: { } 0 > c cX n dPXSup n hay: [ ] ( ) 0. > c cX n n IXSupE Định nghĩa I.1.6: T - Khả tích đều. Dãy ngẫu nhiên (X n ) n N tơng thích với họ { n } n N đợc gọi là T - khả tích đều nếu: {EX } T là khả tích đều. Nghĩa là: với mọi > 0, 0 sao cho: sup E(|X |.I [ | Xn | > ] ) < với mọi > 0 . Định nghĩa I.1.7: Hội tụ theo xác suất. XX P n nếu > 0: lim P[|X n -X| ] = 1 n n Định nghĩa I.1.8: Hội tụ hầu chắc chắn. 6 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 XX sa n . nếu P[ : lim X n ()=X()] = 1 n n Định nghĩa I.1.9: Hội tụ theo luật. XX D n nếu P Xn P X n Định nghĩa I.1.10: Hội tụ căn bản theo luật. XX ED n nếu với mọi tập X - liên tục A ta có: n P(lim sup [X n A]) = P(lim inf [X n A]) = P(X A) n n (tập A đợc gọi là X - liên tục nếu P[X A] = 0. A là biên của tập A, A ) Mêtric Levy Prokhorop xác định trên tập P E gồm tất cả các độ đo xác suất trên (E, ) nh sau: L(P X , P Y ) = inf { : P X (A) < P Y (A ) + ; P Y (A) < P X (A) + , A } Trong đó: P X là phân phối xác suất của phần tử ngẫu nhiên X P X (B) = P[X B], B A = {x E; (x,A) < } Ngời ta có thể viết: L(X,Y) = L(P X , P Y ) Định nghĩa I.1.11: Hội tụ ngẫu nhiên theo luật. XX D nếu > 0, 0 T, T, > 0 : L(X , X) < (a.s) Định nghĩa I.1.12: Hội tụ vô hớng. Dãy { } = 1n n X đợc gọi là hội tụ vô hớng (a.s) đến X nếu mọi toán tử tuyến tính liên tục f, f E * thì : f(X n ) f(X). Trong đó : E * là không gian Banach đối ngẫu của E. 7 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 II. Một số kết quả Bổ đề I.2.1. Nếu dãy các phần tử ngẫu nhiên {X n } n N hội tụ theo xác suất tới phần tử ngẫu nhiên X thì tồn tại một dãy con (n k ) sao cho dãy { } = 1k n k X hội tụ a.s tới X khi k Bổ đề I.2.2. Dãy các phần tử ngẫu nhiên { } = 1n n X hội tụ a.s tới phần tử ngẫu nhiên X nếu với mọi dãy { n } T, n (a.s) ta có: {X n } = 1n hội tụ a.s tới X khi n Bổ đề I.2.3. Giả sử {X n } n N là một Amart L 1 - bị chặn Khi đó: (i) < Xsup (ii) XX n Nn > supsup. (iii) < n Nn Xsup (a.s) Bổ đề I.2.4. Giả sử {X n } = 1n là dãy các phần tử ngẫu nhiên, X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (i) nXX ED n , (ii) TXX D , (ii) nXX sa n ,' . Trong đó: X là phần tử ngẫu nhiên nào đó, sao cho P X = P X Bổ đề I.2.5. 8 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 Giả sử {X n } = 1n là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach E. Khi đó: XXnXX vohuong n sa n , . (a.s), n Và tập {X n ()} là compact tơng đối (a.s) Bổ đề I.2.6. Giả sử {X n } n N là dãy các phần tử ngẫu nhiên và X là phần tử ngẫu nhiên. Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (i) 1]),(sup[lim =< > XXP m nm n (ii) Với mọi dãy ( n ), n T, n n, n N, ta có: 1]),(sup[ =<XXP n n Bổ đề I.2.7. Giả sử {X n , n } n N và {Y n , n } n N là Amart L 1 - bị chặn. Khi đó: {X n Y n , n } n N và {X n Y n , n } n N cũng là Amart L 1 - bị chặn. Chơng II. Amart Martingale tiệm cận (Amart) đợc mở rộng trực tiếp từ khái niệm martingale: Dãy ngẫu nhiên {X n , n } n N gọi là Amart nếu lới (EX ) T hội tụ. I. Sự hội tụ của Amart: Bổ đề II.1.1. Giả sử Y là biến ngẫu nhiên - đo đợc sao cho với mọi : Y() là điểm dính của dãy {X n ()} n N . Khi đó tồn tại dãy thời điểm dừng ( n ) n N , n T N , với n+1 n và n n sao cho: nYX sa n , . 9 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 Chứng minh: Lấy n 0 và > 0, tồn tại n n 0 và biến ngẫu nhiên Y sao cho Y là n - đođợc và: 3 1 3 ' > YYP Vì Y() là điểm dính của dãy {X n ()} n N nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ', 3 2': 3 ': nnYXYY n và tồn tại n n sao cho ( ) 3 21 > AP Trong đó: ( ) ( ) = ''', 3 2': nnnYXA n Ta xác định thời điểm dừng : = 3 2 )(')(''':min YXvannnn n nếu A n nếu A Do Y là - đo đợc và = ( Nn n ) Y là n - đo đợc với mọi n N [ = n] n , với mọi n N T N ( ) =+ >+ >> 33 2 3 ' 3 2 ' YYYXYX ,YX P Theo bổ đề I.2.1. tồn tại dãy ( n ) T N sao cho nYX sa n , . bổ đề đợc chứng minh. Định lý II.1.2. 10 [...]... Vậy X v 0 , + (Xn, n)n N là Dv - Amart với v I thoả mãn điều kiện (3.1) II Sự hội tụ của Dv - Amart Định lý III.2.1: (Tính hội tụ làm trội trong Dv) Cho {Xn}nN là dãy biến ngẫu nhiên hội tụ tới X (a.s) trên và Y Dv: |Xn| Y (a.s) trên lim Khi đó: X, Xn Dv, n 1 và: n X n X v =0 Các mệnh đề dới đây chỉ ra tập hội tụ của D v - Amart là sự mở rộng thực sự các kết quả đã có đối với lớp các... là Dv - Amart Dới đây chúng ta sẽ nghiên cứu và chứng minh một số định lý về sự hội tụ của Dv - Amart mà các định lý này đã đợc chứng minh với Amart Định lý sau đây tơng đơng với định lý II.1.2 của Amart: Định lý III.2.5 Giả sử {Xn}nN là dãy biến ngẫu nhiên tơng thích với họ ( n)n sup X n Dv , v I n1 Khi đó các điều kiện sau là tơng đơng: (i) (Xn)nN hội tụ (a.s) trên (ii) {Xn, n}n N là Dv - Amart. .. gọi là Dv - Amart nếu với Xn Dv , v I, n 1 và với bất kỳ > 0, tồn tại một thời điểm dừng 0 T sao cho X X Với , > 0 , , T ta có: v Nhận xét: Amart Dv - Amart Ví dụ: Dãy biến ngẫu nhiên là Dv - Amart nhng không phải là Amart: Lấy = [0, 1] X2n = 0 X2n + 1 = 2n với [0, 2-n] 0 với [0, 2-n] P: độ đo Lebegue Ta thấy rằng: Xn 0; X n 1, lim X n = 0 (a.s) trên n + (EX) T không hội tụ {Xn}nN... Tel : 0918.775.368 : R R là hàm liên tục sao cho lim x ( x) ( x) và lim không tồn tại hữu x x x hạn Nếu {Xn}nN là L1 - bị chặn và {(X)} T là khả tích đều thì {(Xn), n}nN là Amart L1 - bị chặn Chứng minh: Theo định lý hội tụ của Amart: Xn hội tụ a.s khi n liên tục (Xn) hội tụ a.s khi n {(Xn), n}nN là Amart Định lí đợc chứng minh III Khai triển Riesz của Amart : Năm 1953 Doob đã thành công... nghĩa III.1.1: Không gian Dv P( X > ) =0 v ( ) - Biến ngẫu nhiên X thuộc không gian Dv nếu: lim Hiển nhiên nếu X Dv thì: X v < + - Nếu S (,) = Tập hợp các biến ngẫu nhiên bị chặn hầu khắp nơi trên thì ta sẽ có: S (,) = Dv vI Ta nhận thấy Dv là một không gian Metric đầy đủ khả ly và sự hội tụ trong không gian này mạnh hơn sự hội tụ theo xác suất Định nghĩa III.1.2: Dv - Amart 20 Website: http://www.docs.vn... Amart bị chặn trong Dv t- ơng thích với { n}n N lim (ii) M ( ) = 0 và lim A( ) = 0 Chứng minh: (i) + Ta có {Xn, n}n N và {-Xn, n}n N là Dv - Amart X n = X n ( X n ) là Dv - Amart + Nếu = Yn , n = 1, thì Yn là Dv - Amart 29 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 X n+ = X n 0; X n = X n 0 và X n là những Dv - Amart bị chặn trong Dv tơng thích với{n}n... lim X n X v =0 Tức là:{Xn, n}n N là Dv - Amart Theo tính chất đầy đủ của không gian Dv X Dv Định lí đợc chứng minh Định lý III.2.9 Giả sử:{Xn, n}n N là Dv - Amart, v I ( k ) k N là một dãy không giảm những thời điểm dừng bị chặn tơng thích với{n}n N Đặt Yk = X k k = k Khi đó {Yk, k}k N là Dv - Amart Chứng minh: - đại số k đợc xác định sao cho Yk là - đo đợc Nếu là thời điểm dừng đối với... đó: E|Y - E(Y | )| = E|Y - E(X | )+ E(X | )- E(Y | )| E|Y - E(X | )|+ E|E(X -Y |)| + E|E(X -Y )||| + E|E(X |)-Y| 2 Y = E(Y | ), {Yn, n}nN là martingale Đặt Zn = Xn - Yn {Zn, n}nN là Amart + Zn là T -khả tích đều: Thật vậy với > 0, chon 0 và 0 sao cho bổ đề II.3.1 thoả mãn đối với (Z) T và (Y) T E|Y - E(X | )| E(Z | ) = E((X - Y)|) = E(X | ) Y E Z I [ Z > ] E Z = E|Z - E(Z |)... hồi tụ theo xác suất, hội tụ hầu khắp nơi đối với dãy Dv - Amart Định lý III.2.6 Cho {Xn, n}n 1 và {Yn, n}n 1 là các dãy biến ngẫu nhiên, Xn, Yn Dv, v I Khi đó: (i) Nếu thì (ii) ( X ) và ( Y ) ( X Y ) và ( X v T v T bị chặn v T Y ) v T cũng bị chặn Nếu {Xn, n}n 1 và {Yn, n}n 1 là các Dv - Amart đồng thời sup X , sup Y Dv thì {XnYn, n}n 1 và {XnYn, n}n T T Dv - Amart Chứng minh: 26... n0 v + X n0 X ' n0 v {Yk, k}k N là Dv - Amart Định lí đợc chứng minh Định lý III.2.10 Giả sử :{Xn, n}n N là Dv - Amart, v I Khi đó: (i) {Xn}n N là dãy hội tụ theo xác suất (ii) Nếu sup X v < + thì {Xn}n N hội tụ T 32 (a.s) trên 2 Website: http://www.docs.vn Email : lienhe@docs.vn Tel : 0918.775.368 Chứng minh: (i) Vì {Xn, n}n N là Dv - Amart lim X n X m =0 v Theo định nghĩa hàm . II: Amart : I. Sự hội tụ của Amart II. Tính ổn định của Amart III. Khai triển Riesz của Amart Chơng III: D v - Amart: I. Xây dựng không gian D v II .Sự hội tụ của D v - Amart Chơng IV: Amart. II: Amart: 11 I. Sự hội tụ của Amart 11 II. Tính ổn định của Amart 15 III. Khai triển Riesz của Amart 18 Chơng III: D v Amart: 23 I. Xây dựng không gian D v 23 II. Sự hội tụ của D v - Amart. L 1 - bị chặn và {(X )} T là khả tích đều thì {(X n ), n } n N là Amart L 1 - bị chặn. Chứng minh: Theo định lý hội tụ của Amart: X n hội tụ a.s khi n liên tục (X n ) hội tụ a.s