skkn_hướng dẫn học sinh khai thác có hiệu quả bài toán về ba đường cao trong tam giác

PHÒNG GDĐT VINH TRƯỜNG THCS LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC CÓ HIỆU QUẢ BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC” Vinh, ngày 04 tháng 04 năm 2011 PHẦN I: ĐẶT VẤ

PHÒNG GDĐT VINH TRƯỜNG THCS LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC CÓ HIỆU QUẢ BÀI TOÁN VỀ BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC”

Vinh, ngày 04 tháng 04 năm 2011

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Học toán gắn liền với hoạt động giải toán Thông qua việc hướng dẫn học sinh giải toán, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy, tính

độc lập, linh hoạt, sáng tạo nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo con người mới Việc khai thác hiệu quả các bài toán là một trong những cách bồi dưỡng cho học sinh những năng lực đó Ngoài ra, việc khai thác có hiệu quả bài toán còn đem lại cho học sinh những giờ học thú vị, lòng say mê hứng thú môn học, bởi tâm lý học sinh nói chung luôn muốn biết và tìm tòi cái mới Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, một phương pháp hữu hiệu là từ một bài toán ban đầu và cách giải bài toán đó, ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác để phát biểu và giải được nhiều bài toán khác

Để khai thác và phát triển một bài toán, ta có thể sử dụng các cách sau:

- Sử dụng triệt để kết quả chứng minh được, lật ngược vấn đề và khai thác bài toán đảo

- Sử dụng kết quả bài toán và một số phép biển đổi hình học như đối xứng tâm, đối xứng trục để tạo ra bài toán mới chứng minh được bằng cách sử dụng kết quả bài toán đã có

- Khái quát hoá đi đến bài toán tổng quát

- Đặc biệt hoá để khai thác bài toán cực trị

- Tương tự, mở rộng bài toán…

Việc hướng dẫn học sinh cách khai thác một bài toán là một trong những vấn đề khó khăn đối với giáo viên, đòi hỏi người giáo viên cần phải có vốn kiến thức sâu rộng, kiên trì và cần nhiều thời gian Đối với học sinh, việc rèn luyện

kỹ năng khai thác là rất cần thiết, nhằm nâng cao khả năng tự học, sáng tạo, tư duy độc lập và đặc biệt là gây được hứng thú học tập

Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy rằng bài tập về đường tròn là rất quan

trọng đối với học sinh, đặc biệt là chương III hình học 9: “Góc với đường tròn”.

Mặt khác lượng kiến thức và bài tập về đường tròn tương đối nhiều và đa dạng nên học sinh khá khó khăn trong việc hệ thống dạng bài tập cũng như cách giải

Vì vậy, nếu từ một bài toán đơn giản ban đầu, nếu biết cách hướng học sinh tìm lời giải rồi từ đó tạo ra được một số bài toán nhằm củng cố lại hệ thống kiến thức đã học thì việc thu nhận và hệ thống kiến thức của chương trở nên dễ dàng

hơn đối với học sinh đại trà nói chung và phát triển tư duy cho học sinh khá giỏi nói riêng

Nhằm khắc phục những khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh cách tự học

và cách khai thác bài toán có hiệu quả, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm để củng

cố và phát triển tư duy cho học sinh Trong đề tài này tôi xin trình bày việc

“Hướng dẫn học sinh khai thác có hiệu quả bài toán về ba đường cao trong tam giác” để củng cố và nâng cao kiến thức chương III, Hình học

9 cho học sinh; đặc biệt là kỹ năng chứng minh tứ giác nội tiếp và khai thác các tính chất của tứ giác nội tiếp để giải toán

PHẦN II: NỘI DUNG

Bài toán 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE Chứng minh rằng:

a Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn

b DE < BC

Phân tích bài toán: Đây là bài toán thuộc

Chương II “Đường tròn” của chương trình Hình

học 9 Là bài tập nhằm củng cố lại định nghĩa

đường tròn và mối liên hệ giữa đường kính và

dây của đường tròn, nên để giải bài tập ta cần

chỉ rõ cho học sinh phương pháp Cụ thể:

a) Để chứng minh 4 điểm B, E, C, D cùng thuộc một đường tròn ta có thể:

- Chỉ ra một điểm cách đều cả 4 điểm B, E, C, D (đó là trung điểm I của đoạn BC) hoặc

- Chỉ ra có một đường tròn đi qua cả 4 điểm B, E, C, D là đường tròn đường kính BC.

b) Từ kết quả chứng minh ở câu a) => ED và BC là hai dây của một đường tròn và BC là đường kính của đường tròn đó => ED < BC (Định lí liên hệ giữa dây và đường kính).

Từ đó ta có cách giải bài toán như sau:

Giải:

a) Cách 1:

Gọi I là trung điểm của đoạn BC

∆ BEC vuông tại E (gt) => trung tuyến

EI = IB = IC = 1

2BC

∆ BDC vuông tại D (gt) => trung tuyến

DI = IB = IC = 1

2BC

Do đó IE = ID = IB = IC => 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn,

đó là đường tròn tâm I, bán kính 1

2BC

Cách 2:

A

D E

I

A

D E

0 90

BEC

  => E  đường tròn đường kính BC

BDC900=> D  đường tròn đường kính BC

Do đó E, D thuộc đường tròn đường kính BC => 4 điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

b Trong đường tròn đường kính BC: ED là dây, BC là đường kính

=> ED < BC (liên hệ giữa dây và đường kính trong một đường tròn)

* Nhận xét 1:

- Kết quả bài toán trên luôn đúng với mọi tam giác ABC.

- Nếu bài tập này được đưa ra sau bài “Tứ giác nội tiếp” của Chương III, Hình học 9, ta có thể phát biểu kết quả câu a) dưới hình thức khác: Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp và dấu hiệu được sử dụng là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau hoặc tứ giác

có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn Từ bài toán này ta có thể khai thác thành một số bài toán nhằm củng cố các kiến thức về góc với đường tròn và phát triển tư duy cho học sinh Cụ thể:

1 Đối với học sinh trung bình có thể cho học sinh nêu kết quả tương tự

- Nếu gọi H là giao điểm của BD và CE => H là trực tâm của tam giác ABC

và AH  BC tại K.

Chứng minh tương tự ta có các kết quả sau:

a Bốn điểm:

C, K, E, A cùng thuộc đường tròn đường

kính AC;

A, D, K, B cùng thuộc đường tròn đường

kính AB;

A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH;

C, D, H, K cùng thuộc đường tròn đường kính CH;

B, K, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính BH.

b DK < AB; EK < AC.

Ta cũng chứng minh được ED < AH; EK < BH; DK < HC.

C B

A

K H

2 Đối với học sinh khá giỏi có thể yêu cầu học sinh tiếp tục khai thác các

kết quả trên bằng cách sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để có các kết quả khác của bài toán, qua các câu hỏi gợi ý như: KH có là phân giác của góc EKD không? Vì sao? Kết quả tương tự là gì? Từ đó, có nhận xét gì về vị trí đặc biệt của điểm H đối với tam giác EKD?

- Trong trường hợp tam giác ABC nhọn => H nằm trong tam giác ABC Nối

EK, KD Từ kết quả chứng minh được ở trên suy ra các tứ giác BEHK và

CKHD là các tứ giác nội tiếp =>  EBH DCH EKH DKH



 

  hay  ABD ACE EKH DKH



 

 

Mà ABDACE (cùng phụ góc ABC) => EKH DKH

=> KH là phân giác của góc EKD

Chứng minh tương tự ta có : DH là phân giác góc EDK ; EH là phân giác góc DEK => H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác EDK

=> H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EDK.

Mặt khác, ta thấy EH hay EC là phân giác góc KED mà AE  EC

=> EA là phân giác góc ngoài tại E của tam giác EKD Ta lại có KA là phân giác góc EKD => A là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc K của tam giác EKD Tương tự => B; C lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp trong góc D; góc E của tam giác EKD Từ đó ta có bài toán sau có thể củng cố được kiến thức về tứ giác nội tiếp, khái niệm tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.

Bài toán 1.1 :

Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AK, BD, CE đồng quy tại H Chứng minh:

a) KH là phân giác góc DKE Nêu kết quả tương tự

b) H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DKE

c) A; B; C là tâm các đường tròn bàng tiếp tam giác DKE

* Nhận xét 2:

- Nếu gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Qua A vẽ tiếp tuyến

Ax với (O) Ta nhận thấy Ax //ED vì:

Trong (O): BAx=BCA (cùng bằng

1

2 sđ cung AB).

Mặt khác tứ giác BEDC nội tiếp

( bài toán 1)

=>BCAAED (cùng bù góc DEB)

Do đó BAxAED mà hai góc này

ở vị trí so le trong => Ax // ED

Ta lại có Ax OA (gt) => OA  ED.

Tương tự ta có: OB EK; OC DK

Như vậy bằng cách sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp và mối liên hệ giữa các góc trong đường tròn ta có thể giải bài toán sau:

Bài toán 1.2:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AK; BD; CE của tam giác ABC Chứng minh OA  ED; OB EK; OC DK

* Nhận xét 3:

- Gọi A’; B’; C’ lần lượt là giao điểm của AK, BD, CE với (O) Ta có:

A C

  (cùng phụ góc ABC)

A C

  (cùng bằng 1

2sđ

cung BA’ - góc nội tiếp)

=>C1C2 => CK là phân giác

góc HCA’ mà CK  HA’ (gt)

=> tam giác CA’H cân tại C

=> K là trung điểm của HA’.

Do đó BC là đường trung trực của

đoạn thẳng HA’ => H và A’ đối xứng nhau qua BC Chứng minh tương tự ta có: H và B’ đối xứng nhau qua AC; H và C’ đối xứng nhau qua AB.

x

O E

D

C B

A

K H

12 E

B'

C'

O

C B

A

K A' H 1

D

Mặt khác tứ kết quả chứng minh trên => HBCA BC' => bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC và A’BC bằng nhau mà tam giác A’BC nội tiếp đường tròn (O;R) => tam giác HBC nội tiếp đường tròn có bán kính bằng R Tương tự: các tam giác HBA; HAC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R Từ đó ta có bài toán mới khai thác tính chất trực tâm H của tam giác ABC.

Bài toán 1.3:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), các đường cao AK; BD;

CE đồng quy tại H Gọi A’; B’; C’ lần lượt là giao điểm của AK; BD; CE với đường tròn (O) Chứng minh:

a) A’; B’; C’ đối xứng với H qua BC, CA, AB

b) Các tam giác HBC; HCA; HAB có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau

* Nhận xét 4:

- Có thể phát biểu câu b) của bài toán trên bằng cách khác như sau: chứng minh các tam giác HBC; HCA; HAB; ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nhau Cách phát biểu này giúp ta định hướng cách giải dễ hơn so với cách phát biểu của bài toán 1.3.

- Từ kết quả bài toán 1.3, có thể đặt vấn đề nêu bài toán đảo của bài toán trên Nếu gọi A’; B’; C’ là các điểm đối xứng với H qua BC; CA; AB thì các điểm A; B; C; A’; B’; C’ có cùng thuộc một đường tròn được không? Ta xét bài toán đảo của bài toán 1.3.

Bài toán 1.4:

Cho tam giác nhọn ABC; các đường cao AK, BD, CE đồng quy tại H Gọi A’; B’; C’ lần lượt là các điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB Chứng minh:

a) Sáu điểm A; B; C; A’; B’; C’ cùng thuộc một đường tròn

b) Các tam giác HBC; HCA; HAB nội tiếp các đường tròn bằng nhau

D 1

H K

A

C'

B'

E

2 1

Hướng dẫn giải:

a) A’ đối xứng với H qua BC => C1 C2 mà A1C2 (cùng phụ góc ABC) => A1C2 => tứ giác ABA’C nội tiếp => 4 điểm A, B, C, A’ cùng thuộc một đường tròn => A’ thuộc đường tròn (ABC)

Chứng minh tương tự ta có B’, C’ thuộc đường tròn (ABC)

Vậy 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’ cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh tương tự bài toán 1.3

* Nhận xét 5:

- Ta nhận thấy rằng: kết quả trên chỉ đúng khi tam giác ABC nhọn Nếu tam giác ABC là tam giác tù (tại A chẳng hạn) thì A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DKE; còn H là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc K của tam giác DKE

- Sử dụng mối liên hệ giữa đường kính và dây trong đường tròn ta có thể hướng dẫn học sinh khai thác tiếp kết quả của bài toán như sau: Kẻ OF vuông góc với AC; ON vuông góc với BC

(F thuộc AC; N thuộc BC )

=> F; N lần lượt là trung điểm của AC; BC

=> FN là đường trung bình của tam

giác ABC => NF // AB và 1

2

NF

AB 

Mặt khác:

OF // BH (cùng vuông góc với AC)

ON // AH (cùng vuông góc với BC) => các tam giác ONF và HAB đồng

H

K

A

D

N O

F

dạng => ON AH NF AB 12 => AH = 2 ON.

Vậy nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có cạnh BC cố định thì ON không đổi => AH không đổi khi A di chuyển trên đường tròn (O) Ta có bài toán về yếu tố không đổi:

Bài toán 1.5:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); BC cố định Chứng minh rằng khi A di chuyển trên cung lớn BC thì khoảng cách từ điểm A đến trực tâm H của tam giác ABC là không đổi

* Nhận xét 6:

- Từ bài toán trên ta cũng chứng minh được các tam giác ADH và tam giác

BDC đồng dạng (g.g) => AH AD cotgA AH BC.cotgA

BC BD    không đổi khi B; C cố định và A chạy trên cung lớn BC của đường tròn (O) => cách giải khác cho bài toán 1.5 Với cách giải này ta có thể củng cố lại kiến thức

về tỉ số lượng giác của góc nhọn cho học sinh.

- Từ kết quả chứng minh của bài toán 1.5: AH có độ dài không đổi khi điểm

A chạy trên cung lớn BC của đường tròn (O); ta có thể đặt câu hỏi là: Vậy điểm H chạy trên đường nào khi điểm A chạy trên cung lớn BC của đường tròn (O)?

Nếu gọi I là điểm đối xứng với điểm O qua N

=> điểm I cố định và OI = 2.ON mà

AH = 2.ON (cmt) => OI = AH.

Mặt khác OI // AH (cùng vuông góc với BC)

=> tứ giác AHIO là hình bình hành

=> IH = OA = R không đổi (R là bán kính

đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC)

=> H thuộc đường tròn (I; R) cố định

Ta đã giải được bài toán về quỹ tích sau:

Bài toán 1.6:

I

O N

D

C B

A

K H

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R); BC cố định Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC khi A chạy trên cung lớn BC của đường tròn (O)

* Nhận xét 7:

- Có thể phát biểu bài toán 1.6 dưới hình thức khác như sau: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R); BC cố định Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC thuộc một đường tròn cố định khi A chạy trên cung lón BC của đường tròn (O).

- Từ kết quả chứng minh của bài toán 1.5:

AH = 2.ON => nếu gọi Q là giao điểm

của AO và HN thì ta cũng chúng minh được

AQ = 2.AO và HQ = 2.HN

=> Q thuộc (O; R) và N là trung điểm

của HQ Do đó, ta cũng có tứ giác BHCQ là

hình bình hành Như vậy, ta có thể phát biểu

thành các bài toán sau:

Bài toán 1.7:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp ( O; R) ; trực tâm H Gọi N là trung điểm của BC; Q là giao điểm của AO và HN Chứng minh rằng:

a) Điểm Q thuộc ( O )

b) Tứ giác BHCQ là hình bình hành

Bài toán 1.7.1:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R); trực tâm H Gọi Q là giao điểm của AO với (O); N là trung điểm của BC Chứng minh H; N; Q thẳng hàng

Bài toán 1.7.2:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R); trực tâm H; cạnh BC cố định kẻ đường kính AQ của (O) Chứng minh khi A di động trên cung lớn BC của (O) thì HQ luôn đi qua một điểm cố định

O N

D

C B

A

K H

Q

Bài toán 1.7.3:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R), trực tâm H; cạnh BC cố định Gọi N là trung điểm của BC; Q là giao điểm của HN với (O) Chứng minh rằng đường thẳng AQ luôn đi qua một điểm cố định

* Nhận xét 8:

- Rõ ràng với cùng một nội dung nhưng cách phát biểu khác nhau cho ta các bài toán có độ khó khác nhau, dạng khác nhau Bài tập 1.7 là bài tập có thể dành cho mọi đối tượng học sinh vì cách phát biểu dễ hiểu và rõ ràng nhưng các bài tập 1.7.1; 1.7.2; 1.7.3 thì chỉ nên dành cho đối tượng học sinh khá giỏi Từ đó rèn luyện được cho học sinh kỹ năng phát triển ngôn ngữ, biết cách lật ngược vấn đề để tạo ra các bài toán mới; biết cách diễn đạt một vấn

đề bằng nhiều hình thức khác nhau, hình thành thói quen xem xét và biết cách chuyển một bài toán nào đó về bài toán quen thuộc hoặc dễ tìm ra cách giải hơn, từ đó suy ra cách giải bài toán theo yêu cầu

- Ta tiếp tục khai thác các tính chất khác của trực tâm H Gọi giao điểm của

HO và trung tuyến AN của tam giác ABC là G Ta chứng minh được các tam giác AHG và NOG đồng dạng (g.g)

=> AH NO NG AG HG GO mà AH = 2.ON (cmt)

=> HG = 2.OG và AG = 2.NG.

Từ AG = 2.NG => G là trọng tâm của

tam giác ABC Từ đó ta có thể nêu bài

toán như sau:

Bài toán 1.8:

Chứng minh rằng trong một tam giác, trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm trên một đường thẳng (gọi là đường thẳng Ơle của tam giác đó)

* Nhận xét 9:

O N

D

C B

A

K H G