( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com A- ĐẶT VẤN ĐỀ. 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN. Trong chương trình phổ thông, môn toán là môn chiếm nhiều thời gian về số tiết dạy trên lớp. Được đưa ngay vào năm đầu tiên của cấp tiểu học, nhưng đến năm cấp THCS mới đưa phần hình học vào chương trình. “ Hình học” có nghĩa là “ đạc điền”, “ đo đạc”, nhưng không phải người học sinh nào cũng hiểu được như vậy. Giải được một bài toán hình học là rất khó, hầu như ai cũng “ngại” học môn hình học. Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy rằng người học sinh muốn học tốt môn hình học thì ngoài kiến thức sẵn có và ý thức học tập tốt cần phải xác định đúng đắn động cơ và phương pháp học tập tốt, đắc biệt là kích thích được sự “ hứng thú” học bộ môn này. 2. CƠ SỞ THỰC TẾ. Thực tế tháy rằng hầu như học sinh nào cũng trả lời rằng thích học đại số hơn hình học, có em còn cho rằng rất ngại học môn này và còn cho rằng rất không thích học. Qua thực tế đó để kích thích sự hứng thú học bộ môn hình học, từ đó hiểu sâu hơn bộ môn, tôi viết chuyên đề “ 20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”, một là giúp các em nắm chác hơn về một định lý hình học nổi tiếng, hai là qua chuyên đề giúp các em ôn lại các cách suy luận một bài toán hình học, ba là giúp học sinh thấy được sự phong phú của toán học. Từ đó học sinh sẽ thấy hứng thú học môn hình học nói riêng và học môn toán nói chung. ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. Pythagore sinh vào khoảng năm 580 TCN tại Samos-Hi lạp. Ông nghiên cứu nhiều môn khoa học như Triết học, Khoa học tự nhiên, Âm nhạc và đặc biệt là Toán học. Trong toán học ông đặc biệt thích thú với môn Hình học. Định lý Pythagore có một vị trí đặc sắc trong Hình học và đời sống, không những nó có ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com nhiu ng dng c th trong Toỏn hc, trong cỏc mụn khoa hc khỏc, trong thc t m ngay vic khai thỏc cỏc bi toỏn xung quanh nh lý ny cng úng gúp cho Toỏn hc núi chung nhiu kt qu quan trng. Tuy nh lý mang tờn ụng , nhng trc ú 2 ngn nm ngi Trung Quc v ngi n cng ó phỏt hin ra nú v ó ng dng vo vic o c, nht l khi xõy ct cỏc lõu i, ỡnh chựa, miu mo. Thi ú, ngi ta chng minh nh lý Pythagore bng cỏch ghộp hỡnh. n nay, ngi ta ó su tp c khong 367 cỏch chng minh. Trong chuyờn ny tụi xin a ra 20 cỏch chng minh ch yu tp chung vo hai cỏch l ghộp hỡnh v suy lun toỏn hc, gii hn trong chng trỡnh toỏn THCS. 20 cách chứng minh định lí Py-ta-go A. GHẫP HèNH Cách 1. Xếp các tam giác vuông bằng nhau nh hình vẽ Ta có: S BCDE = S AMPN + 4.S ABC => a 2 = ( c b ) 2 + 4. bc/2 <=> a 2 = c 2 2.bc + b 2 + 2.bc <=> a 2 = c 2 + b 2 . ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com C¸ch 2. XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ Ta cã: S ADEF = S BCPQ + 4.S ABC => ( b + c ) 2 = a 2 + 4. bc/2 <=> b 2 + 2.bc + c 2 = a 2 + 2.bc <=> b 2 + c 2 = a 2 C¸ch 3. ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ Ta cã: S BCPQ = S EFGH + 4.S ABC => a 2 = ( c – b ) 2 + 4.bc/2 (1) MÆt kh¸c: S ADMN = S BCPQ + 4.S ABC => S BCPQ = S ADMN – 4.S ABC <=> a 2 = ( b + c ) 2 – 4.bc/2 (2) Céng (1) vµ (2) ta ®îc: 2a 2 = ( c – b ) 2 + ( b + c ) 2 = 2b 2 + 2c 2 <=> a 2 = b 2 + c 2 C¸ch 4. ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh h×nh vÏ Ta cã: ABED lµ h×nh thang vu«ng, BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n. S ABED = 2.S ABC + S BCE => <=> ( b + c) 2 = 2.bc + a 2 <=> b 2 + 2.bc + c 2 = a 2 + 2.bc <=> b 2 + c 2 = a 2 C¸ch 5. ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng tam gi¸c ABC nh h×nh vÏ => BDEF lµ h×nh thang => S BDEF = 1/2.( 2b + 2c ). ( b + c ) = ( b + c ) 2 (1) S ECF + S BCD + S ECD + S BCF = = 2bc + a 2 (2) Tõ (1) vµ (2) => ( b + c ) 2 = 2bc + a 2 <=> b 2 + c 2 = a 2 B. Dùng h×nh-suy luËn ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com C¸ch 6. KÎ AH vu«ng gãc víi BC. Ta cã c¸c tam gi¸c vu«ng ABC, HAC, HBA ®ång d¹ng => AB 2 = BC.BH Vµ AC 2 = BC.HC => AB 2 + AC 2 = BC.( BH + HC ) = BC 2 C¸ch 7. Dùng h×nh vu«ng BCDE. KÎ AH vu«ng gãc víi BC, c¾t DE t¹i F. ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: c 2 = a.x b 2 = ( a x ).x Mặt khác: S BHFE = BH.BE = x.a = c 2 S CDFH = CH.CD = ( a x ).a = b 2 => S BHFE + S CDFH = c 2 + b 2 <=> S BCDE = c 2 + b 2 <=> a 2 = c 2 + b 2 Cách 8. Qua B dung đờng thẳng vuôn góc với BC cắt AC ở C Dựng các hình bình hành ABCB, BCCA => ABC = ABC S ABC + S ABC = S BCC = S BCA <=> AB.AC + AB.AC = BC.CA (*) Ta có: AC = Và CAB ~ ABC => CA.CA = BA.BC => CA = Thay vào (*) đợc: ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com AB.AC + AB. = BC. <=> AC + = <=> AC 2 + AB 2 = BC 2 Cách 9. Vẽ đờng tròn ( B; a ). Gọi DE là đờng kính qua B. Ta có : AE = a c ; BD = BC = a; AD = a + c Tam giác CDE vuông ở C => AC 2 = AD.AE <=> b 2 = ( a + c ).( a c ) <=> b 2 = a 2 c 2 <=> b 2 + c 2 = a 2 [...]... = a2 + c2 b2 c2 + b2 = a2 Cách 18 Dựng các hình vuông ABNP; ACMQ ABC = APQ ( c.g.c) => PQ = BC = a Gọi M là trung điểm BC; MA cắt PQ ở R Dễ c/m MA PQ tại R Do khoảng cách từ M đến AP = AB/2 = c/2 => SAMP = 1/2.c.c/2 = c2/4 ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com Mặt khác: SAMP = 1/2.AM.PR = PR.a/4 Tương tự: SAMQ = b2/4 và SAMQ = QR.a/4 => Cách 19 Dựng các hình vuông ABGF,... SABKH = SCKLM + SBDLM = SBCKD AC2 + AB2 = BC2 C- KT LUN V KIN NGH Trờn õy l 20 cỏch chng minh nh lý Py-ta-go, ngoi ra cũn nhiu cỏch khỏc mong cỏc ng nghip b sung chuyờn c phong phỳ hn na Phm vi chuyờn c ỏp dng cho tt c cỏc i tng hc sinh t khi lp 7 9, cỏc em cú th nghiờn cu v tỡm thờm cỏc cỏch chng minh khỏc Ngoi ra cỏc ng nghip cng cú th nghiờn cu v b sung thờm cho chuyờn c hon chnh hn Kin... Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com b2 + c2 = a2 Cách 15 Trên AC lấy F sao cho CF = CB Gọi D, E là trung điểm của BF, AF => CD BF, DE AF BFA ~ CD2E ( g.g) => Ta có: AF = CF AC = CB CA CE = CA + AE = AC + AF/2 = AC + DE = AB/2 ( t/c đường trung bình ) ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com Thay vào (*) ta được: Cách 16 ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com.. .Cách 10 Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt AC ở D Ta có: SABD + SABC = SBDC AB.AD + AB.AC = BD.BC ( * ) Do AB2 = AD.AC => AD = AB2/AC ABD và BDC đồng dạng => AB.DC = BD.BC => BD = AB.DC/BC Thay vào (*) ta được: AB (AB2/AC) + AB.AC = BC (AB.DC/BC) AB2/AC + AC = DC AB2 + AC2 = DC.AC = BC2 Cách 11 ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com... Ta có: CAF ~ DEF => => BF = BA + AF = c + SBDF = a.a = c.( c + ) a2 = c2 + b2 Cách 12 Trên BC lấy D, E sao cho: CD = CE = CA = b => ADE vuông ở A ( vì có AC = DE/2, CD = CE ) Ta có: BAD ~ BEA ( g.g ) (Vì có góc B chung, và góc BAD = góc EAC = E) ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com Cách 13 Vẽ đường tròn (C;b) cắt BC ở D, E Vẽ đường tròn (B;c) cắt BC ở G, F Ta có: BA... ở G, F Ta có: BA là tiếp tuyến, BDE là cát tuyến với đường tròn (C) => BA2 = BD.BE c2 = ( a b ).( a + b ) = a2 b2 c2 + b2 = a2 ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com Cách 14 Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các canh AB, BC, CA tại D, E, F Dễ c/m ADIF là hình vuông => AD = AF = r Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: BD = BE = c r CE = CF... SABC = SKJI = SAFE = S (1) (2) ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com Từ (1) và (2) => SABIK + SACJK = SBGDC + SFGDE SBCJI + 2.S = SABGF + SACDE + 2.S BC2 = AB2 + AC2 Cách 20 Dựng các hình vuông ABKH, ACFG, BCKD => CBF = CKA ( c.g.c) ( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.comEbooktoan.com Kẻ AM vuông góc với BC cắt DK tại L Ta có: SCBF = 1/2 SACFG ( chung cạnh... ) cắt AB ở D; H, cắt BC ở E Kẻ AL EC Có: BD.BH = BE.BC ( c b ).(c + b ) = a.( a 2 CL ) (*) Mà AC2 = CL.CB => CL = AC2/BC = b2/a Thay vào (*) được: c2 b2 = a.( a 2.b2/a ) = a2 2b2 c2 + b2 = a2 Cách 17 Dựng tam giác vuông AEK = tam giác ABC như hình vẽ Dựng hình bình hành BKEF => BK = EF = c b; BF = EK = a Và SBKEF = BK.AE = c.( c b ) Ta có: SBCEF = SABC + SAKE + SBKEF = b.c + c.( c b ) (1) . bộ môn, tôi viết chuyên đề “ 20 cách chứng minh định lý Py-ta-go”, một là giúp các em nắm chác hơn về một định lý hình học nổi tiếng, hai là qua chuyên đề giúp các em ôn lại các cách suy luận một. cỏch l ghộp hỡnh v suy lun toỏn hc, gii hn trong chng trỡnh toỏn THCS. 20 cách chứng minh định lí Py-ta-go A. GHẫP HèNH Cách 1. Xếp các tam giác vuông bằng nhau nh hình vẽ Ta có: S BCDE = S AMPN . chựa, miu mo. Thi ú, ngi ta chng minh nh lý Pythagore bng cỏch ghộp hỡnh. n nay, ngi ta ó su tp c khong 367 cỏch chng minh. Trong chuyờn ny tụi xin a ra 20 cỏch chng minh ch yu tp chung vo hai cỏch