chuyên đề “20 cách chứng minh định lý py-ta-go”

Giải được một bài toán hình học là rất khó, hầu như ai cũng “ngại” học môn hình học.. Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy rằng người học sinh muốn học tốt môn hình học

A- ĐẶT VẤN ĐỀ.

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN.

Trong chương trình phổ thông, môn toán là môn chiếm nhiều thời gian về

số tiết dạy trên lớp Được đưa ngay vào năm đầu tiên của cấp tiểu học, nhưng đến năm cấp THCS mới đưa phần hình học vào chương trình “ Hình học” có nghĩa là “ đạc điền”, “ đo đạc”, nhưng không phải người học sinh nào cũng hiểu được như vậy Giải được một bài toán hình học là rất khó, hầu như ai cũng “ngại” học môn hình học.

Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy rằng người học sinh muốn học tốt môn hình học thì ngoài kiến thức sẵn có và ý thức học tập tốt cần phải xác định đúng đắn động cơ và phương pháp học tập tốt, đắc biệt là kích thích được sự “ hứng thú” học bộ môn này.

2 CƠ SỞ THỰC TẾ.

Thực tế tháy rằng hầu như học sinh nào cũng trả lời rằng thích học đại số hơn hình học, có em còn cho rằng rất ngại học môn này và còn cho rằng rất không thích học.

Qua thực tế đó để kích thích sự hứng thú học bộ môn hình học, từ đó hiểu sâu hơn bộ môn, tôi viết chuyên đề “ 20 cách chứng minh định lý

Py-ta-go”, một là giúp các em nắm chác hơn về một định lý hình học nổi tiếng, hai là qua chuyên đề giúp các em ôn lại các cách suy luận một bài toán hình học, ba là giúp học sinh thấy được sự phong phú của toán học.

Từ đó học sinh sẽ thấy hứng thú học môn hình học nói riêng và học môn toán nói chung.

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

Pythagore sinh vào khoảng năm 580 TCN tại Samos-Hi lạp Ông nghiên cứu nhiều môn khoa học như Triết học, Khoa học tự nhiên, Âm nhạc và đặc biệt là Toán học Trong toán học ông đặc biệt thích thú với môn Hình học Định lý Pythagore có một vị trí đặc sắc trong Hình học và đời sống, không những nó có

nhiều ứng dụng cụ thể trong Toỏn học, trong cỏc mụn khoa học khỏc, trong thực

tế mà ngay việc khai thỏc cỏc bài toỏn xung quanh định lý này cũng đúng gúp cho Toỏn học núi chung nhiều kết quả quan trọng.

Tuy định lý mang tờn ụng , nhưng trước đú 2 ngàn năm người Trung Quốc và người Ấn Độ cũng đó phỏt hiện ra nú và đó ứng dụng vào việc đo đạc, nhất là khi xõy cất cỏc lõu đài, đỡnh chựa, miếu mạo Thời đú, người ta chứng minh định

lý Pythagore bằng cỏch ghộp hỡnh Đến nay, người ta đó sưu tập được khoảng

367 cỏch chứng minh Trong chuyờn đề này tụi xin đưa ra 20 cỏch chứng minh chủ yếu tập chung vào hai cỏch là ghộp hỡnh và suy luận toỏn học, giới hạn trong chương trỡnh toỏn THCS.

20 cách chứng minh định lí Py-ta-go

A GHẫP HèNH Cách 1.

Xếp các tam giác vuông bằng nhau như hình vẽ

Ta có: SBCDE = SAMPN + 4.SABC

=> a2 = ( c – b )2 + 4 bc/2

<=> a2 = c2 – 2.bc + b2 + 2.bc

XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh­ h×nh vÏ

XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng nhau nh­ h×nh vÏ

Ta cã: ABED lµ h×nh thang vu«ng, BCE lµ tam gi¸c vu«ng c©n

SABED = 2.SABC + SBCE

XÕp c¸c tam gi¸c vu«ng b»ng tam gi¸c ABC nh­ h×nh vÏ

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

<=> AB.AC + AB.AC’ = BC.CA’ (*)

Ta có: AC’ =

Và CA’B ~ ABC => CA’.CA = BA.BC

=> CA’ =

Thay vào (*) được:

Cách 10.

Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt AC ở D

Ta có: SABD + SABC = SBDC

AB.AD + AB.AC = BD.BC ( * )

Do AB2 = AD.AC => AD = AB2/AC

ABD và BDC đồng dạng => AB.DC = BD.BC => BD = AB.DC/BC

Thay vào (*) ta được: AB (AB2/AC) + AB.AC = BC (AB.DC/BC)

<=> AB2/AC + AC = DC

<=> AB2 + AC2 = DC.AC = BC2

Cách 11.

Dùng tam gi¸c EDF = tam gi¸c ABC ( h×nh vÏ )

Trªn BC lÊy D, E sao cho: CD = CE = CA = b

=> ADE vu«ng ë A ( v× cã AC = DE/2, CD = CE )

Ta cã: BAD ~ BEA ( g.g )

(V× cã gãc B chung, vµ gãc BAD = gãc EAC = E)

C¸ch 14.

Gäi (I;r) lµ ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi c¸c canh AB, BC,

CA t¹i D, E, F

DÔ c/m ADIF lµ h×nh vu«ng => AD = AF = r

Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau ta cã: BD = BE = c – r

<=> b2 + c2 = a2

C¸ch 15.

Trªn AC lÊy F sao cho CF = CB

Gäi D, E lµ trung ®iÓm cña BF, AF => CD BF, DE AF

BFA ~ CD2E ( g.g)

=>

Ta cã: AF = CF – AC = CB – CA

CE = CA + AE = AC + AF/2 = AC +

Thay vµo (*) ta ®­îc:

C¸ch 16.

Mặt khác: SAMP = 1/2.AM.PR = PR.a/4

Tương tự: SAMQ = b2/4 và SAMQ = QR.a/4

=>

Cách 19.

Dựng các hình vuông ABGF, ACDE, BCIJ

Dựng tam giác vuông KIJ = tam giác vuông ABC ( hình vẽ )

Dễ c/m G, A, D thẳng hàng và GA là phân giác góc G

A, O, K thẳng hàng và AK là phân giác góc A

Các hình ABIK, ACJK, BGDC, FGDE có diện tích bằng nhau (1)

Tõ (1) vµ (2) => SABIK + SACJK = SBGDC + SFGDE

<=> SBCJI + 2.S = SABGF + SACDE + 2.S

<=> BC2 = AB2 + AC2

C¸ch 20.

Dùng c¸c h×nh vu«ng ABKH, ACFG, BCKD

=> CBF = CKA ( c.g.c)

KÎ AM vu«ng gãc víi BC c¾t DK t¹i L

Ta cã: SCBF = 1/2 SACFG ( chung c¹nh CF vµ chung ®­êng cao)

SCKA = 1/2 SCKLM ( chung c¹nh CK vµ chung ®­êng cao )

- Phạm vi chuyên đề được áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh từ

khối lớp 7 – 9, các em có thể nghiên cứu và tìm thêm các cách chứng minh khác.

- Ngoài ra các đồng nghiệp cũng có thể nghiên cứu và bổ sung thêm cho

chuyên đề được hoàn chỉnh hơn.

· Kiến nghị:

- Phòng giáo dục cần thường xuyên tổ chức viết chuyên đề trong toàn

huyện để kích thích phong trào dạy học trong tất cả giáo viên bộ môn.

- Trường sở tại cần tạo điều kiện để giáo viên ai cũng viết chuyên đề, và

www.VNMATH.com