phương pháp đơn hình

Nội dung của phương pháp đơn hình2... Nội dung của phương pháp đơn hình 3.. Một số ví dụ... Giải b.toán tìm p.án tối ưu... B.toán chính tắc có nhiều p.án tối ưu.

IV Nội dung của phương pháp đơn hình

2 Bảng đơn hình

AJ CJ XJ c1 cr cs cn

0

Ar cr x0

0

∆ f(X0) ∆1 0 [ ∆s] ∆n

+ Nhập số liệu.

+ Tính f(X) và các ước lượng ∆k (k = 1,n).

+ Chuyển đổi p.án (sang bảng mới):

- Chọn A s (vào);

- Chọn A r (ra);

- Xác định phần tử xoay (z rs )

AJ CJ XJ c1 cr cs cn

0

Ar cr x0

0

∆ f(X0) ∆1 0 [ ∆s] ∆n + Tính toán số liệu trên bảng mới:

AJ CJ XJ c1 cr cs cn

0

Ar cr x0

0

∆ f(X0) ∆1 0 [ ∆s] ∆n

As cs

0

s

r r

x z

1 s

r r

z

s

1

r

s

rn r

z z

IV Nội dung của phương pháp đơn hình

3 Một số ví dụ

Ví dụ 2.4.1 Cho bài toán qhtt chính tắc:

f(X) = 2x 1 + x 2 + 4x 3 + x 4 – x 5 → min

3x 1 – x 2 + 2x 3 + x 4 - x 6

= 26

4x 2 – x 3 + 2x 5 + x 7

= 20

x 1 + 2x 2 – 2x 3 + x 5

= 13

x j ≥ 0, ∀ j = 1 7,

Hãy tìm p.án tối ưu của bài toán bằng

phương pháp đơn hình.

Giải.

+ Cho X 0 = (3, 5, 0, 22, 0, 0, 0) là p.án cực biên của bt.

+ Xác định cơ sở: J 0 = {1, 2, 4}

+ Tính ma trận Z:

3 1 2 1 0 1 0

( ) ( )

A

Z

J0 = {4, 2, 1}

+ Bảng đơn hình:

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7

∆

+

A J C J X J 2 1 4 1 -1 0 0

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7

+ Thuật toán dừng sau 2 bước lặp vì f → min và ∆k

≤ 0 ∀ k = 1 7,

P.án c.biên t.ưu X * = (3, 0, 0, 17, 10, 0, 0); J * = {4, 5,

1}; f min = 13.

Ví dụ 2.4.2 Cho bài toán qhtt chính tắc:

f(X) = x 1 – x 2 + 2x 3 + x 4 - 5x 5 → min

2x 1 + x 2 - x 3 + x 5 + x 6 = 2

- x 1 - x 2 + x 3 + x 4 - x 5 =

1

5x 1 - x 2 + 2x 3 - 2x 4 - 3x 5 - x 7 =

1

x j ≥ 0, ∀ j = 1 7 ,

Giải bài toán tìm p.án tối ưu bằng phương pháp

đơn hình.

+ Cho X 0 = (0, 0, 3/4, 1/4, 0, 11/4, 0) là p.án cực biên.

+ Cơ sở J 0 = {3, 4, 6}.

+ Tính ma trận Z

0

;

⇒ ⇒

11/ 4 1/ 4 0 0 1/ 4 1 1/ 4

7 / 4 1/ 4 0 1 1/ 4 0 1/ 4 ;

3 / 4 3 / 4 1 0 5 / 4 0 1/ 4

+ Bảng đơn hình:

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A

A 6 0 11/

4

11/

4

A 4 1 1/4 -7/4 -1/4 0 1 (1/4) 0 1/4

∆ 7/4 -5/4 -3/4 0 0 [11/4] 0 -1/4

A 6 0 3 1 0 0 1 0 1

+ Thuật toán dừng sau 2 bước lặp vì f →

min; ∆2 = 2 > 0, Z 2 ≤ 0.

f → - ¥ trên miền ràng buộc, bài toán có p.á

và không có p.án tối ưu.

Ví dụ 2.4.3 Cho bài toán qhtt chính tắc:

f(X) = 4x 1 + 4x 2 - 3x 3 + x 4 → max

x 1 + 2x 2 - x 3 + x 4

= 1

2x 1 - 2x 2 + 3x 3 + 3x 4 + x 5

= 9

x 1 - x 2 + 3x 3 - x 4 +

x 6 = 1

x j ≥ 0, ∀ j = 1 6 ,

Cho X 0 = (0, 0, 1, 2, 0, 0) là p.án c.biên

Giải b.toán tìm p.án tối ưu.

Giải.

+ X 0 suy biến.

+ Chọn cơ sở J 0 = {3, 4, ? } = {3, 4, 5 }?

+ Kiểm tra {A 3 , A 4 , A 5 } đltt?

1 1 0

D

-⇒ {A 3 , A 4 , A 5 } đltt.

⇒ J 0 = {3, 4, 5 } là một cơ sở của X 0

+ Tính Z:

Z =

2 5 2 0 1 0 1 2

1 1 2 1 0 0 1 2

; J0 = {4, 5, 3}

+ Bảng đơn hình:

∆ 4 0 0 13/3 1/3 0 4/3 + T.toán dừng sau 3 bước lặp vì f → max và

∆k ≥ 0, ∀ k = 1 6 ,

X * = (1, 0, 0, 0, 7, 0); J * = {2, 5, 1}; f max = 4.

• Chú ý : J 1 = {4, 5, 1} là cơ sở không tối ưu

của X *

Ví dụ 2.4.4 Cho b.toán qhtt:

f(X) = - 4x 1 + 5x 2 - 3x 3 + 5x 4 → min

- x 1 + 3x 2 - x 3 + x 4 = -2 (1)

3x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 ≥ 14 (2)

2x 1 + x 2 + x 3 - 3x 4 ≤ 30 (3)

x j ≥ 0, ∀ j = 1 4 , (4, 5, 6, 7)

Cho X 0 = (0, 2, 8, 0).

a) Chứng tỏ X 0 là p.án, p.án cực biên

của b.toán trên?

b) Xuất phát từ X 0 , giải b.toán tìm p.án

tối ưu bằng phương pháp đơn hình.

c) P.án tối ưu tìm được có duy nhất

không, vì sao?

Giải.

a) + Kiểm tra p.án:

+ Kiểm tra p.án cực biên:

4 4 3 1

( )

( )

-.

b) + Chính tắc b.toán gốc:Không cần đổi

biến Thêm 2 biến bù x 5 và x 6

f(X) = - 4x 1 + 5x 2 - 3x 3 + 5x 4 → min

- x 1 + 3x 2 - x 3 + x 4 =

-2 (1)

3x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 - x 5 =

14 (2)

2x 1 + x 2 + x 3 - 3x 4 + x 6 =

30 (3)

x j ≥ 0, ∀ j = 1 6,

+ Từ X 0 = (0, 2, 8, 0) của b.toán gốc, tìm X 0

= (0, 2, 8, 0, x 5 , x 6 ) của b.toán c.tắc?

Tìm x 5 ? Tìm x 6 ?

X 0 = (0, 2, 8, 0, 0, 20 ) là p.á cực biên của bt

c.tắc.

+J 0 = {2, 3, 6}.

+ Tính ma trận Z:

8 5 0 1 2 5 3 5 0

Z

; J 0 = {3,

2, 6}.

+ Bảng đơn hình:

+ T.toán dừng sau 2 bước lặp vì f → min và

∆k ≤ 0, ∀ k = 1 6,

X * = (0, 7, 23, 0, 25, 0); Cơ sở t.ưu: J * = {3, 2,

5}.

P.án t.ưu ( cực biên? ) của b.toán gốc: X * = (0,

7, 23, 0); f min = - 34

c) + ∆1 = 0 (1∉ J * ), θ0 = 92/7 > 0 hoặc ∆4 = 0 (4∉J * ), Z 4 < 0 B.toán chính tắc có nhiều p.án tối ưu.

+ s = 1, X 1 (θ) = (θ, 7 - 1/4θ, 23 - 7/4θ, 0, 25 - 1/4θ, 0); 0 ≤ θ ≤ 92/7.

+ s = 4, X 2 (θ) = (0, 7 + 1/2θ, 23 + 5/2θ, θ, 25 + 7/2θ, 0); ∀ θ ≥ 0.

+ Các phương án tối ưu của bài toán gốc:

+ s = 1, X 1 (θ) = (θ, 7 - 1/4θ, 23 - 7/4θ, 0); 0 ≤ θ

≤ 92/7.

+ s = 4, X 2 (θ) = (0, 7 + 1/2θ, 23 + 5/2θ, θ); ∀ θ

≥ 0.

0 0 0

0

0

s

j

js j

j s J

x

ïï ïï

ïï

ïïî