sơ lược về lý thuyết xác suất

Thí nghiệm ngẫu nhiên Random experiment Một TN ngẫu nhiên thỏa 2 đặc tính: • Không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra • Nhưng biết được các kết quả sẽ xảy ra 1.2.. Không gian mẫu Sample sp

Chương Hai

SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

1 Thí nghiệm ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố:

1.1 Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random experiment)

Một TN ngẫu nhiên thỏa 2 đặc tính:

• Không biết chắc kết quả nào sẽ xảy ra

• Nhưng biết được các kết quả sẽ xảy ra

1.2 Không gian mẫu (Sample space)

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên, ký hiệu là S

Ví dụ:

Tung một con xúc sắc:

Tung một đồng xu:

Tuổi thọ hoạt động của một chiếc xe:

1.3 Biến cố (Event)

Biến cố: Tập hợp con của không gian mẫu, ký hiệu là E

Biến cố sơ đẳng: Biến cố chỉ chứa một phần tử của S

Ví dụ:

Tung một con xúc sắc

Biến cố mặt chẵn:

Biến cố mặt lẻ:

Biến cố sơ đẳng:

Ghi chú:

Biến cố không: Tập hợp rỗng ∅, (∅⊂ S)

Biến cố chắc chắn: Tập hợp S, (S⊂ S)

1.4 Các phép tính về biến cố

Cho 2 biến cố E và F, E ⊂ S, F ⊂ S

a Biến cố hội (Uninon event)

Ký hiệu: E∪F

b Biến cố giao (Intersection event)

Ký hiệu: E∩F hoặc EF

Lưu ý: Các định nghĩa về hội và giao của 2 biến cố có thể mở rộng

cho nhiều biến cố: E1, E2, E3 …En

c Phần bù của một biến cố (Complement)

Ký hiệu: EC hoặc E

EC xảy ra ⇔ E không xảy ra

S

F

E

S

F

E

S

E

d Sự xung khắc tương hỗ (Mutually exclusive)

E xung khắc F ⇔ E ∩ F = ∅

Lưu ý: • Một biến cố và phần bù của nó là xung khắc

• Sự xung khắc không có tính kéo theo

• Tập hợp các biến cố gọi là xung khắc nếu từng cặp trong đó xung khắc nhau

e Tập hợp đầy đủ các biến cố (Collectively exhaustive)

Tập hợp các biến cố F1, F2, F3, … Fk được gọi là tập đầy đủ nếu:

• F1, F2, F3, … Fk là các biến cố xung khắc

• F1∪F2∪F3∪…∪Fk = S

Ví dụ:

Thí nghiệm tung xúc sắc: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Gọi: A = {1, 3, 5} (biến cố mặt lẻ xuất hiện)

B = {3, 6} (biến cố mặt là bội số của 3)

C = {4}

Thì: AC = {2, 4, 6}

A∩B = {3}

A∪B = {1, 3, 5, 6}

A∩C = ∅

S

F

E

2 Xác suất (Probability):

Xét N lần thử một thí nghiệm ngẫu nhiên trong đó biến cố E xảy ra

NE lần, ta có

Tỷ lệ xuất hiện biến cố E trong N lần thử = NN E

Khi N tăng đủ lớn ⇒ tỷ lệ này gần như không đổi ⇒ khái niệm tần

suất tương đối của xác suất (relative frequency of probability)

2.1 Định nghĩa

Gọi NE là số lần xuất hiện của biến cố E trong N phép thử lặp lại, theo khái niệm tần suất tương đối của xác suất, xác suất để E xảy ra là tỷ số NE/N khi số lần thử N lớn vô hạn

Các định đề:

1 Nếu E là biến cố bất kỳ trong không gian mẫu S, và ký hiệu P(E) là xác suất của biến cố E thì

0 ≤ P(E) ≤ 1

2 Gọi E là một biến cố trong không gian mẫu S, gọi Oi là các biến cố sơ đẳng

P(E) = ∑

2.2 Các tính chất mang tính hệ quả

1 Nếu không gian mẫu S có n biến cố sơ đẳng O1, O2, On thì

P(Oi) = 1/n (i = 1, 2, , n)

2 Nếu không gian mẫu S có n biến cố sơ đẳng, biến cố E có nE biến cố sơ đẳng, E⊂S thì

P(E) = nn E

3 Với bất kỳ một tập hợp biến cố xung khắc E1, E2, E3, …, EN thì

=

1

i

N 1

4 P(E) + P(EC) = 1

5 P(∅) = 0

6 P(E∪F) = P(E) + P(F) – P(EF)

Trường hợp 3 biến cố:

P(E∪F∪G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) +

P(EFG)

Trường hợp n biến cố: Xem tài liệu

Ví dụ:

1 Tìm xác suất của biến cố các mặt xuất hiện giống nhau trong thí nghiệm tung 3 đồng tiền

3 Lấy 2 viên bi từ 1 bình gồm 4 bi đỏ và 3 bi vàng, tính xác suất để được 2 viên bi này cùng màu

2 Trong 1 lớp học có 25% học sinh đã học môn toán, 15% học sinh đã học thống kê và 10% đã học cả thống kê và toán Nếu chọn ngẫu nhiên 1 học sinh, tìm xác suất để học sinh này không học gì cả

2.3 Xác suất có điều kiện

2.3.1 Định nghĩa, công thức

Xác suất của biến cố E khi biến cố F đã xảy ra:

P(E/F) = P(E∩F)P(F)

Ví dụ:

1 Trong 1 bình đựng 3 bi xanh và 4 bi vàng, lấy lần lượt 2 viên bi Tính xác suất để viên bi sau màu vàng biết rằng viên bi đầu màu xanh

2 Tung lần lượt 2 con xúc sắc, tìm xác suất để tổng 2 mặt bằng 6 biết rằng mặt đầu tiên là 4

3 Một sinh viên chọn học hoặc môn máy tính hoặc môn hóa học dựa trên kết quả tung 1 đồng tiền đồng nhất Nếu SV học máy tính, xác suất đạt điểm A là 1/2 Ngược lại, nếu SV học hóa thì xác suất này là 1/3 Tìm xác suất để SV đạt điểm A trong môn hóa học

2.3.2 Biến cố độc lập

Biến cố E và F là độc lập thống kê nếu

P(EF) = P(E)P(F)

• Nói khác đi, biến cố E được gọi là độc lập với biến cố F nếu P(E) không thay đổi cho dù biến cố F đã xảy ra và ngược lại

P(E/F) = P(E) P(F/E) = P(F)

• Tổng quát, các biến cố E1, E2, , En được gọi là các biến cố độc lập nếu với mọi r≤ n, ta có:

P(E1E2 Er) = P(E1)P(E2) P(Er)

Ví dụ:

Trong những người có bằng cử nhân có 48% là nữ, và 17,5% là cử nhân thuộc lĩnh vực kinh doanh Số liệu thống kê cũng cho biết có 4,7% cử nhân vừa thuộc lĩnh vực kinh doanh vừa là nữ Biến cố “Cử nhân thuộc lĩnh vực kinh doanh” và biến cố “Cử nhân là nữ” có phải là 2 biến cố độc lập?

2.3.3 Công thức xác suất đầy đủ – công thức Bayes

a Công thức xác suất đầy đủ

Cho không gian mẫu S và tập hợp đầy đủ biến cố Fi (i=1, 2, , n) xung khắc từng đôi một

Gọi E là một biến cố bất kỳ trong không gian mẫu S Biến cố E được biểu diễn như sau

F1 F2 Fi Fn

S

EFi E

E = EF1∪EF2∪ ∪EFi∪ ∪EFn

P(E) = P(EF1) + P(EF2) + + P(EFn) = n P(EFi)

1 i

∑

=

Mặt khác: P(E/Fi) = P(EFP(F i)

i)

⇒ P(E) = n P(E/Fi)P(F)

1

∑

=

Lưu ý: ở đây biết P(F i ) và P(E/F i ) ⇒ tìm P(E)

Ví dụ:

Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm

PX I sản xuất 1/3 tổng sản lượng của nhà máy

PX II sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy

PX III sản xuất 1/4 tổng sản lượng của nhà máy

PX IV sản xuất 1/6 tổng sản lượng của nhà máy

Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng I, II, III và IV lần lượt là 15%, 8%, 5% và 1%

Nếu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy, tính xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm

b Công thức Bayes

Lưu ý: ở đây biết P(F i ), P(E/F i ) và P(E) ⇒ tìm P(F i /E)

Ví dụ:

Lấy lại ví dụ các phân xưởng sản xuất của một nhà máy

Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho của nhà máy và thấy nó là phế phẩm, tìm xác suất để sản phẩm này thuộc phân xưởng I