Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 1 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu). Hai khai triển thường dùng: n 0 1 2 2 k k n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x 1 n k n 0 1 2 2 k k n n n n n n n 1 x C C x C x 1 C x 1 C x 2 i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2). ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp. Ví dụ 7. Tính tổng 1 2 2 3 2 8 2 9 29 30 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 S C 2 .2C 3 .2 C 2 9 .2 C 3 0 .2 C . Giải Ta có khai triển: 30 0 1 2 2 29 29 30 30 30 30 30 30 30 1 x C C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 1 2 29 28 30 29 30 30 30 30 C 2C x 29C x 30C x 30 1 x 2 Thay x = – 2 vào (2) ta được: 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2 . Vậy S 30 . Ví dụ 8. Rút gọn tổng 1 2 3 4 5 26 27 28 29 30 30 30 30 30 S C 3.2 C 5.2 C 27.2 C 29.2 C Giải Ta có khai triển: 30 0 1 2 2 29 29 30 30 30 30 30 30 30 1 x C C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 29 1 2 29 28 30 29 30 30 30 30 C 2C x 29C x 30C x 30 1 x 2 Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được: 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2 3 29 1 2 2 3 28 29 29 30 30 30 30 30 30 C 2.2C 3.2 C 29.2 C 30.2 C 30 1 2 4 Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được: 1 2 3 4 5 26 27 28 29 29 30 30 30 30 30 2(C 3.2 C 5.2 C 27.2 C 29.2 C ) 30 3 1 Vậy 29 S 15 3 1 . Ví dụ 9. Rút gọn tổng 0 1 2 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 S 2008C 2007C 2006C 2C C . Giải Ta có khai triển: 2007 0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 x 1 C x C x C x C x C Nhân 2 vế (1) với x ta được: 2007 0 2008 1 2007 2 2006 2006 2 2007 2007 2007 2007 2007 2007 x x 1 C x C x C x C x C x 2 Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 2 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2008C x 2007C x 2006C x 2C x C 2006 (1 2008x) x 1 (3) Thay x = 1 vào (3) ta được: 0 1 2 2006 2007 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2008C 2007C 2006C 2C C 2009.2 . Cách khác: Ta có khai triển: 2007 x 1 0 2007 1 2006 2 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 C x C x C x C x C 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 2006 0 2006 1 2005 2 2004 2005 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007C x 2006C x 2005C x 2C x C 2007 x 1 2 Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được: 0 1 2 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 C C C C C 2 3 0 1 2 2007 2007 2007 2006 2006 2007 2007C 2006C 2005C C 2007.2 4 Cộng (3) và (4) ta được: 0 1 2 2006 2007 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2008C 2007C 2006C 2C C 2009.2 . Vậy 2006 S 2009.2 Ví dụ 10. Cho tổng 0 1 2 n 1 n n n n n n S 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C với n . Tính n, biết S 320 . Giải Ta có khai triển: n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x 1 Nhân 2 vế (1) với x 2 ta được: n 0 2 1 3 2 4 n 1 n 1 n n 2 2 n n n n n C x C x C x C x C x x 1 x 2 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: n 0 1 2 2 3 n 1 n n n 1 2 n 1 n n n n n 2C x 3C x 4C x (n 1)C x (n 2)C x 2x 1 x nx (1 x) 3 Thay x = 1 vào (3) ta được: 0 1 2 n 1 n n 1 n n n n n 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (4 n).2 4 . n 1 S 320 (4 n).2 320 n 6 . Cách khác: Ta có khai triển: n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: n 1 1 2 3 2 n n 1 n n n n C 2C x 3C x nC x n 1 x 2 Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được: 0 1 2 3 n 1 n n n n n n n n C C C C C C 2 3 1 2 3 n 1 n n 1 n n n n n C 2C 3C (n 1)C nC n.2 4 Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được: Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 3 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 0 1 2 n 1 n n 1 n n n n n 2C 3C 4C (n 1)C (n 2)C (4 n).2 . n 1 S 320 (4 n).2 320 . Vậy n 6 . 2.2. Đạo hàm cấp 2 Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 1 2 đến n 2 (không kể dấu). Xét khai triển: n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: n 1 1 2 3 2 4 3 n n 1 n n n n n C 2C x 3C x 4C x nC x n 1 x 2 i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 2 3 4 2 n n 2 n n n n 1.2C 2.3C x 3.4C x (n 1)nC x n 2 n(n 1)(1 x) (3) ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được: n 1 1 2 2 3 3 4 4 n n n n n n n C x 2C x 3C x 4C x . nC x nx 1 x 4 Đạo hàm 2 vế của (4) ta được: 2 1 2 2 2 3 2 2 n n 1 n 2 n n n n 1 C 2 C x 3 C x n C x n(1 nx)(1 x) 5 Ví dụ 11. Tính tổng 2 3 4 15 16 16 16 16 16 16 S 1.2C 2.3C 3.4C 14.15C 15.16C . Giải Ta có khai triển: 16 0 1 2 2 3 3 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 1 x C C x C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 15 1 2 3 2 15 14 16 15 16 16 16 16 16 C 2C x 3C x 15C x 16C x 16 1 x 2 Đạo hàm 2 vế của (2) ta được: 2 3 4 2 16 14 14 16 16 16 16 1.2C 2.3C x 3.4C x 15.16C x 240(1 x) 3 Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được: 2 3 4 15 16 16 16 16 16 16 1.2C 2.3C 3.4C 14.15C 15.16C 0 . Vậy S = 0. Ví dụ 12. Rút gọn tổng 2 1 2 2 2 3 2 2006 2 2007 2007 2007 2007 2007 2007 S 1 C 2 C 3 C 2006 C 2007 C . Giải Ta có khai triển: 2007 0 1 2 2 2006 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 1 x C C x C x C x C x 1 Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 2006 1 2 3 2 2007 2006 2007 2007 2007 2007 C 2C x 3C x 2007C x 2007 1 x 2 Nhân x vào 2 vế của (2) ta được: 2006 1 2 2 3 3 2006 2006 2007 2007 2007 2007 2007 2007 2007 C x 2C x 3C x 2006C x 2007C x 2007x 1 x 2 Đạo hàm 2 vế của (3) ta được: Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 4 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 2 1 2 2 2 3 2 2 2006 2005 2 2007 2006 2005 2007 2007 2007 2007 2007 1 C 2 C x 3 C x 2006 C x 2007 C x 2007(1 2007x)(1 x) 4 Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được 2 1 2 2 2 3 2 2007 2005 2007 2007 2007 2007 1 C 2 C 3 C 2007 C 2007.2008.2 . Vậy 2005 S 2007.2008.2 . Bài 1a Chứng minh rằng: 0 1 1 3 4 ( 3) 2 (6 ) n n n n n C C n C n ( k n C là tổ hợp chập k của n phần tử.) HD Ta có (1+x) n = 0 1 n n n n n C xC x C nhân cả 2 vế với x 3 ta được 3 3 0 4 1 3 (1 ) n n n n n n x x x C x C x C lấy đạo hàm hai vế và thay x = 1 ta có điều phải chứng minh. Bài 1b Tính tổng 2 1 2010 2 2 2009 2 3 2008 2 2011 0 2001 2001 2001 2001 1 2 2 2 3 2 2011 2 S C C C C Bài 2 Cho n là số tự nhiên , 2 n tính 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 . .2 2 .2 3 . .2 .2 n k k n n n n n n n k S k C C C C n C Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 5 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Bài 3 CMR 2, n n nguyên dương 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 3 1 2 n n n n n n C C C n C n n Bài 4 Tìm số nguyên dương n biết: 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200 k k k n n n n n n C C k k C n n C HD * Xét 1n21n2 1n2 kk 1n2 k22 1n2 1 1n2 0 1n2 1n2 xC xC)1( xCxCC)x1( (1) Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có: n21n2 1n2 1kk 1n2 k2 1n2 1 1n2 n2 xC)1n2( xkC)1( xC2C)x1)(1n2( (2) Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 1n21n2 1n2 2kk 1n2 k3 1n2 2 1n2 1n2 xC)1n2(n2 xC)1k(k)1( xC3C2)x1)(1n2(n2 Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C Phương trình đã cho 100n020100nn240200)1n2(n2 2 Bài 5 Tính giá trị biểu thức sau: 20102011 2011 20082010 2011 2006 3 2011 2008 2 .2011 2010 1 2011 2 20112 2010 2 1 .3 2 1 .2 2 1 CCCCCT HD XÐt: 2011 0 1 2011 2011 2011 1 2011 2011 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . . . . . . . 2 2 2 2 2 i k i i k k i f x x x x x x C C C C C LÊy ®¹o hµm cña f(x) 2 vÕ ta ®îc: (*) 2011 2 1 1. 2 1 .) 2 1 (2011 2010 2011 2011 1 2011 2011 2010 1 2011 2010 xxkx CCC k k k Cho x = 2 vµo 2 vÕ cña (*) ta ®îc 20102010 ) 2 5 .(2011)2 2 1 (2011 T Bài 6 Chứng minh rằng với n N * , ta có: n n n n n n C C nC 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 . Xét n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x 2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1) n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x 2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (2) Từ (1) và (2) n n n n n n n n x x C C x C x C x 2 2 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 Lấy đạo hàm 2 vế ta được: n n n n n n n C x C x nC x n x x 2 4 3 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 (1 ) (1 ) Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 6 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Với x = 1, ta được: n n n n n n n C C nC n 2 4 2 2 1 2 2 2 2 4 2 2 4 2 . Bài 7 Tính tổng: 0 2009 1 2008 2 2007 2007 2 2008 2008 2008 2008 2008 2008 2010 2 2009 2 2008 2 3 2 2 2 S C C C C C Bài 8 Khai triển 30 2 30 0 1 2 30 1 5 x a a x a x a x Tính tổng 0 1 2 30 2 3 30 S a a a a Bài 9 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 100 2 x x , chứng minh rằng: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100C 101C 199C 200C 0. 2 2 2 2 Bài 10 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 3 2 0 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 0 2 2 2 2 2 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . (2 1).3 .2 . 7 3 n n n n n n n n n n n n C C C C C HD Ta cã 0 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 0 2 2 2 2 (2 ) 2 .2 .2 .2 n n n n n n n n n n n x x x x C C C C (1) Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x 0 ®îc 0 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 2 2 2 2 (2 ) 2 .2 .2 .2 n n n n n n n n n n n x x x x x x C C C C (2) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc 0 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 (2 ) 2 (2 ) 1.2 2 2 2 2 n n n n n n n n n x nx x x nx C C C 2 2 0 2 (2 1) 2 n n n n x C Thay x=3 vµo ®îc 0 1 2 3 0 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 0 2 1 6 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . (2 1).3 .2 . 73 1 6 73 12 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C Bài 11. Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2.2 3.2 2 .2 2 1 .2 2013 n n n n n n n n n n n C C C C C Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 7 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 HD Ta có 0 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x x x x x C C C C C nhân hai vế với x khác 0 0 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x x x x x x xC C C C C lấy đạo hàm hai vế được 0 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n x x nx n x x nx x C C C C C Thay x=2 vào 2 vế của (2) được 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2.2 3.2 2 .2 2 1 .2 1+4n n n n n n n n n n n n C C C C C Theo giả thiết 1+4n =2013 2012 : 4 53 n Bài 12 Tìm số nguyên dương n biết: 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.2.2 ( 1) ( 1)2 2 (2 1)2 40200 k k k n n n n n n C C k k C n n C HD Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 1n21n2 1n2 2kk 1n2 k3 1n2 2 1n2 1n2 xC)1n2(n2 xC)1k(k)1( xC3C2)x1)(1n2(n2 Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 k k 2 k 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n(2n 1) 2C 3.2.2C ( 1) k(k 1)2 C 2n(2n 1)2 C Phương trình đã cho 100n020100nn240200)1n2(n2 2 Bài 13 Tính tổng S = 1 3 5 2009 2010 2010 2010 2010 2C 6C 10C 4018C . Tính tổng 2011 2012 2009 2012 5 2012 3 2012 1 2012 2012.20112010.2009 30122 CCCCCS . Tính tổng 2011 2011 2011 2010 2011 2010 3 2011 2 2011 1 2011 0 2011 2 2012 2 2011 2 1 4 3 CCCCCCS Bài 14 Tính tổng 2011 2011 2 2011 1 2011 0 2011 2012 32 CCCCS HD Xét đa thức: 2011 0 1 2 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 ( ) (1 ) ( ) f x x x x C C x C x C x 0 1 2 2 3 2011 2012 2011 2011 2011 2011 . C x C x C x C x Ta có: 0 1 2 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 ( ) 2 3 2012 f x C C x C x C x 0 1 2 2011 2011 2011 2011 2011 (1) 2 3 2012 ( ) f C C C C a Mặt khác: 2011 2010 2010 ( ) (1 ) 2011(1 ) . (1 ) (1 2012 ) f x x x x x x / 2010 (1) 2013.2 ( ) f b Từ (a) và (b) suy ra: 2010 2013.2 . S Bài 14 Tính giá trị biểu thức: 2 4 6 100 100 100 100 100 4 8 12 200 A C C C C . Ta có: 100 0 1 2 2 100 100 100 100 100 100 1 x C C x C x C x (1) 100 0 1 2 2 3 3 100 100 100 100 100 100 100 1 x C C x C x C x C x (2) Lấy (1)+(2) ta được: 100 100 0 2 2 4 4 100 100 100 100 100 100 1 1 2 2 2 2 x x C C x C x C x Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được 99 99 2 4 3 100 99 100 100 100 100 1 100 1 4 8 200 x x C x C x C x Thay x=1 vào => 99 2 4 100 100 100 100 100.2 4 8 200 A C C C Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 8 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 Bài 15 Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của 100 2 x x , chứng minh rằng: 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100C 101C 199C 200C 0. 2 2 2 2 Bài 16 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 3 2 0 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 0 2 2 2 2 2 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . (2 1).3 .2 . 7 3 n n n n n n n n n n n n C C C C C HD Ta cã 0 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 0 2 2 2 2 (2 ) 2 .2 .2 .2 n n n n n n n n n n n x x x x C C C C (1) Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x 0 ®îc 0 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 2 2 2 2 (2 ) 2 .2 .2 .2 n n n n n n n n n n n x x x x x x C C C C (2) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc 0 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 (2 ) 2 (2 ) 1.2 2 2 2 2 n n n n n n n n n x nx x x nx C C C 2 2 0 2 (2 1) 2 n n n n x C Thay x=3 vµo ®îc 0 1 2 3 0 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 0 2 1 6 1.3 .2 . 2.3.2 . 3.3 .2 . 4.3 .2 . (2 1).3 .2 . 73 1 6 73 12 n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C Bài 17 Hãy tìm số tự nhiên n thoả mãn: 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2.2 3.2 2 .2 2 1 .2 2013 n n n n n n n n n n n C C C C C HD Ta có 0 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x x x x x C C C C C nhân hai vế với x khác 0 0 1 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 n n n n n n n n n n x x x x x x xC C C C C lấy đạo hàm hai vế được 0 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n x x nx n x x nx x C C C C C Thay x=2 vào 2 vế của (2) được 0 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2.2 3.2 2 .2 2 1 .2 1+4n n n n n n n n n n n n C C C C C Theo giả thiết 1+4n =2013 2012 : 4 53 n Bài 18 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 2 2 3 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2005 n n n n n n n C C C C n C HD ta cã 2 1 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 n n n n n n n x C C x C x C x §¹o hµm hai vÕ ta cã 2 1 0 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 2 1 n n n n n n n n x C C x C x n C x Cho x=-2 ta ®-îc n=1002 Bài 19 DB_A1-2006 Ứng dụng khai triển nhị thức Newtơn của 100 2 , x x CMR Luyện thi đại học - Chun đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 9 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 99 100 198 199 0 1 99 100 100 100 100 100 1 1 1 1 100 101 199 200 0 2 2 2 2 C C C C HD Bài 20 DB_D1-2007 Chứng minh với mọi n ngun dương ln có 0C1C1 C1nnC 1n n 1n 2n n 2n 1 n 0 n HD Với mọi n N ta có n n n 1n n 1n 1n1 n n0 n n C1xC1 xCxC1x Lấy đạo hàm hai vế ta có 1n n 1n 2n1 n 1n0 n 1n C1 xC1nxnC1xn Cho x = 1 ta có 1n n 1n 1 n 0 n C1 C1nnC0 Bài 21 Tính tổng 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 100 100 100 2.3. 3.3 . 4.3 . 100.3 . S C C C C C Bài 22 Chứng minh: 0 2001 1 2000 2001 2001 0 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002 1 . . . . 1001.2 k k k C C C C C C C C HD Ta có: 1n C n n do đó điều chứng minh trở thành: 0 1 2001 2002 2002. 2001. 1. 10001.2 2002 2002 2002 C C C Ta lại có: 2002 0 2002 1 2001 2001 2002 ( 1) 2002 2002 2002 2002 x C x C x C x C Lấy đạo hàm 2 vế ta được : 2001 0 2001 1 2000 2001 2002.( 1) 2002. 2001. . 1. 2002 2002 2002 x C x C x C Cho x = 1 và lưu ý 2001 2002 2002.2 1001.2 ta được điều phải chứng minh. Bài 23 CMR 1 2 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3.2 2 1 2 2 1 2 3 1 k k n n n n n n n C C k C n C n Luyện thi đại học - Chuyên đề : Ứng dụng đạo hàm và tích phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 10 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 PHẦN B. Áp tích phân vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu nhận biết: Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến 1 n 1 hoặc tăng dần từ 1 n 1 đến 1. Xét khai triển: n 0 1 2 2 n 1 n 1 n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x 1 Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được: b b b b b n 0 1 n 1 n 1 n n n n n n a a a a a 1 x dx C dx C xdx C x dx C x dx b n 1 b b b b 2 n n 1 0 1 n 1 n n n n n a a a a a 1 x x x x x C C C C n 1 1 2 n n 1 2 2 n n n 1 n 1 n 1 n 1 0 1 n 1 n n n n n b a b a b a b a (1 b) (1 a) C C C C 1 2 n n 1 n 1 Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng n 1 n 1 n n b a C n 1 . Ví dụ 13. Rút gọn tổng 2 2 3 3 9 9 10 10 0 1 2 8 9 9 9 9 9 9 3 2 3 2 3 2 3 2 S C C C C C 2 3 9 10 . Giải Ta có khai triển: 9 0 1 2 2 8 8 9 9 9 9 9 9 9 1 x C C x C x C x C x 1 3 3 3 3 3 9 0 1 8 8 9 9 9 9 9 9 2 2 2 2 2 1 x dx C dx C xdx C x dx C x dx 3 10 3 3 3 3 3 2 3 9 10 0 1 2 8 9 9 9 9 9 9 2 2 2 2 2 2 1 x x x x x x C C C C C 10 1 2 3 9 10 10 10 2 2 9 9 10 10 0 1 8 9 9 9 9 9 4 3 3 2 3 2 3 2 C C C C 10 2 9 10 .Vậy 10 10 4 3 S 10 . Ví dụ 14. Rút gọn tổng 2 3 4 n n 1 0 1 2 3 n 1 n n n n n n n 2 2 2 2 2 S 2C C C C C C 2 3 4 n n 1 . Giải Ta có khai triển: n 0 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x C x [...]... 2 3 4 n 1 10 Bi 2 Tìm hệ số a4 của x 4 trong khai triển Niutơn đa thức f ( x ) ( x 2 x 1)n với n là số tự nhiên thỏa 0 mãn: 3Cn 32 1 33 2 3n 1 n 411 1 Cn Cn Cn 2 3 n 1 n 1 Ngi son: V Trung Thnh 11 Trng THPT Bỡnh Giang LH 0979791802 Luyn thi i hc - Chuyờn : ng dng o hm v tớch phõn vo khai trin nh thc Newtn n 2 Bi 3 Tỡm h s ca x trong khai trin Newton ca biu thc 3 x5 bit rng: x 1 1... Chuyờn : ng dng o hm v tớch phõn vo khai trin nh thc Newtn n 2 Bi 3 Tỡm h s ca x trong khai trin Newton ca biu thc 3 x5 bit rng: x 1 1 1 2 1 1 0 n Cn Cn Cn (1) n Cn 2 3 n 1 13 20 0 2 n HD Theo Newton thỡ: (1 x )n Cn C1 x Cn x 2 (1)n Cn x n B n 1 1 Vỡ (1 x) dx , n 1 0 n Li cú: ( 2 x 3 1 1 1 2 0 12 5 n 1 0 Bdx Cn 2 Cn 3 Cn (1) x ) k 0 2 k C12 ( 3 ) n 1 n Cn n 1 13 n 12 n... 1 2n 1 2n 1 3 1 2 x 2 C 2 n x C 2n 0 0 3 2n 2n 12 Trng THPT Bỡnh Giang LH 0979791802 Luyn thi i hc - Chuyờn : ng dng o hm v tớch phõn vo khai trin nh thc Newtn n 1 Bi 5 Tỡm h s ca s hng cha x trong khai trin x 4 bit n l s nguyờn dng tho món: 2 x 2 2 1 23 2 2 n1 n 6560 0 2.C n C n C n C n 2 3 n 1 n 1 n 0 1 2 2 3 n HD Ta cú (1 x ) C n C n x C n x C n x 3 C n x n 2 2 2 x n... thc New tn 0 10 1 9 9 1 10 0 10 Bi 1 Chng minh: C10 C20 C10 C20 C10 C20 C10 C20 C30 Ta cú (1 x)30 (1 x )10 (1 x) 20 , x (1) n k Mt khỏc: (1 x)30 C30 x k , x k 1 10 10 Vy h s a10 ca x trong khai trin ca (1 x )30 l a10 C30 Do (1) ỳng vi mi x nờn a10 b10 Suy ra iu phi chng minh 1 1006 1 1 1 ( 0 1 2010 ) C C C 2011 C2010 C2010 C2010 n 4 2n Bi 3 Chng minh rng: 2C22n 4C2 n 2nC2... thỡ h s ca x3 bng 458 HD P(x) = [5 +2x + 5x2 + 2x3]n = (1 + x2)n(5 + 2x)n 0 3 1 1 3 H s x3: Cn Cn 5n 3 23 Cn Cn 5n 1.2 = 5n-2.2( 4Cn 25n 2 ) = 458 ==> n = 3 n 1 2 n 1 Bi 9 Tỡm s h s ca s hng cha x trong khai trin 2 x , bit rng An Cn 1 4n 6 x 6 2 n 1 Gii phng trỡnh An Cn 1 4n 6 ; iu kin: n 2 ; n N (n 1)! n(n 1) 4n 6 n(n 1) Phng trỡnh tng ng vi n(n 1) 4n 6 2!(n 1)! 2 n2 ... cha x 6 l: 24 3k 12 2 1 4 2 2k k 200 100 Bi 1 Tớnh giỏ tr biu thc: A C100 3 C100 2 k 1 C100 999 C100 3 3 3 3 4 C12 28 n 1 x Bi Cho khai triển a0 a1 x a2 x 2 an x n Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 , , an biết 2 3 2 n n n 1 n rằng n là số tự nhiên thỏa mãn Cn Cn 2 2Cn 2 Cn 1 Cn Cn 1 11025 HD Ta có C 2 C n 2 2C n 2 C n1 C 1 C n 1 11025 (C 2 C 1 ) 2 105 2 n n n n . phân vào khai triển nhị thức Newtơn Người soạn: Vũ Trung Thành 1 Trường THPT Bình Giang LH 0979791802 BÀI GIẢNG – NHỊ THỨC NEWTƠN PHẦN A. Áp dụng đạo hàm vào bài toán nhị thức NewTơn Dấu hiệu. . Bài 17 Với mỗi số tự nhiên n hãy tính tổng: 1 1 1 0 1 1 2 2 .2 .2 .2 2 3 1 n n n n S C C C C n n n n n . PHẦN C. Áp dụng số phức vào bài toán nhị thức NewTơn Bài 1 Tính. 100n020100nn240200)1n2(n2 2 Bài 13 Tính tổng S = 1 3 5 2009 2010 2010 2010 2010 2C 6C 10C 4018C . Tính tổng 2011 2012 2009 2012 5 2012 3 2012 1 2012 2012.20112010.2009 30122 CCCCCS . Tính tổng 2011 2011 2011 2010 2011 2010 3 2011 2 2011 1 2011 0 2011 2 2012 2 2011