Chứng minh phƣơng trình bậc 4 và phƣơng trình bậc 6 vô nghiệm Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trƣờng THPT chuyên Quốc Học - Huế A- PHƢƠNG TRÌNH BẬC 4: Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 4 3 2 6 16 22 16 0x x x x vô nghiệm. (1) Giải: Đặt 4 3 2 6 16 22 16f x x x x x . Ta sẽ nhóm 43 6xx thành hằng đẳng thức như sau: 2 2 4 3 2 2 3 6 2 9 6x x m x x m x mx m . Lúc này 2 2 2 2 3 7 2 6 22 16f x x x m m x m x m . Đặt 22 7 2 6 22 16g x m x m x m . Ta sẽ chọn m sao cho nó nghiệm đúng hệ sau: () 32 32 () 7 0 7 2 0 2 0 8 64 136 36 0 8 64 136 36 0 (*) gx gx a m m m m m m m m Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay có thể tìm được một giá trị 7 2 m thỏa (*), chẳng hạn với 3m thì () () 10 12 0 gx gx a . Vậy 0,g x x nên 2 2 3 ( ) 0,f x x x m g x x hay phương trình (1) vô nghiệm. Chú ý: Có thể trình bày vào bài giải ngắn gọn như sau: Ta có 22 2 4 3 2 2 2 2 6 16 22 16 3 3 4 7 3 3 2 3 0,x x x x x x x x x x x x . Suy ra phương trình (1) vô nghiệm. Ví dụ 2: Chứng minh phương trình 4 3 2 12 108 312 183 119 0x x x x vô nghiệm. (2) Ta có 4 3 2 61 119 2 9 26 0 4 12 x x x x Giải: Đặt 4 3 2 61 119 9 26 4 12 f x x x x x . Ta sẽ nhóm 43 9xx thành hằng đẳng thức như sau: 2 2 4 3 2 2 9 81 9 2 9 24 x x m x x m x mx m . Lúc này 2 2 2 2 9 23 61 119 29 2 4 4 12 f x x x m m x m x m . Đặt 22 23 61 119 29 4 4 12 g x m x m x m . Ta sẽ chọn m sao cho nó nghiệm đúng hệ sau: () 3 2 3 2 () 23 23 20 0 48 0 1171 215 1171 215 8 104 0 8 104 0 (*) 6 48 6 48 gx gx mm a m m m m m m Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay có thể tìm được một giá trị 23 8 m thỏa (*), chẳng hạn với 2m thì () () 7 0 4 1625 0 48 gx gx a . Chứng minh phƣơng trình bậc 4 và phƣơng trình bậc 6 vô nghiệm Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trƣờng THPT chuyên Quốc Học - Huế Vậy 0,g x x nên 2 2 9 ( ) 0, 2 f x x x m g x x hay phương trình (2) vô nghiệm. Chú ý: Có thể trình bày vào bài giải ngắn gọn như sau: 4 3 2 61 119 9 26 4 12 x x x x 2 2 2 2 2 2 9 7 11 71 9 7 11 1625 22 2 4 4 12 2 4 14 336 x x x x x x x nên 4 3 2 61 119 9 26 0, 4 12 x x x x x , do đó phương trình (2) vô nghiệm. Bài tập: Chứng minh phương trình 4 3 2 2 3 0x x x x vô nghiệm. B- PHƢƠNG TRÌNH BẬC 6: Ví dụ : Chứng minh phương trình 6 5 4 3 2 2 4 4 8 3 1 0x x x x x x vô nghiệm. (1) Giải: Đặt 6 5 4 3 2 2 4 4 8 3 1f x x x x x x x . Ta sẽ nhóm 65 2xx thành hằng đẳng thức như sau: 2 3 2 6 5 4 3 2 2 2 2 1 2 2 2 2x x mx n x x m x n m x m n x mnx n . Do đó: 2 3 2 4 3 2 2 2 5 2 2 2 4 8 2 3 2 1f x x x mx n m x m n x m n x mn x n . Đặt 4 3 2 2 2 0 4 3 1 2 5 2 2 2 4 8 2 3 2 1 a a a a a g x m x m n x m n x mn x n . Ý tưởng của ta ngang đây là tìm m và n để hai trong năm hệ số 0 1 2 3 4 ; ; ; ;a a a a a của g(x) bằng 0. Sau đó ta sẽ chứng minh 0,g x x . Có tất cả là bảy trường hợp sau: 4 3 0 0 a a hoặc 3 2 0 0 a a hoặc 3 1 0 0 a a hoặc 3 0 0 0 a a hoặc 2 1 0 0 a a hoặc 2 0 0 0 a a hoặc 1 0 0 0 a a Trường hợp 1: 4 3 5 0 5 2 0 2 0 2 2 4 0 1 2 m a m a m n n Lúc này 2 2 3 1 3 3 1 2 0, 4 2 4 4 3 3 g x x x x x nên 0,f x x . Do đó phương trình (1) vô nghiệm. Vậy là được cách giải thứ nhất! Chú ý: Như vậy, ta có thể trình bày bài giải ngắn gọn như sau: Vì 22 6 5 4 3 2 3 2 5 1 3 1 2 2 4 4 8 3 1 0, 2 2 4 3 3 f x x x x x x x x x x x x nên phương trình (1) vô nghiệm. Trường hợp 2: 3 2 2 2 2 4 0 0 1 13; 3 13 0 2 8 0 1 13; 3 13 mn a mn a nm mn Chọn 1 13; 3 13mn thì 4 2 13 7 8 13 29 6 13 21g x x x Chứng minh phƣơng trình bậc 4 và phƣơng trình bậc 6 vô nghiệm Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trƣờng THPT chuyên Quốc Học - Huế Để chứng minh 0,g x x ta sử dụng cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm đã nói ở phần B. 4 5 2 13 2 13 7 3 3 g x x x . Mà 2 4 2 2 5 2 13 5 2 13 3 1 2 2 33 x x x x x . Ta có 20 67 20 13 0 99 a nên 2 5 2 13 2 2 0, 3 x x x do đó 0,g x x nên 0,f x x . Do đó phương trình (1) vô nghiệm. Vậy là được thêm cách giải thứ hai! Chú ý: Vì g(x) là hàm số bậc 4 khuyết 32 ;xx nên có thể kháo sát hàm số để chứng minh 0,g x x . Trường hợp 3: 3 1 55 1 ; 1 0 2 2 4 0 22 0 3 2 0 55 1 ; 1 22 mn a mn a mn mn Chọn 55 1 ; 1 22 mn thì 42 13 5 10 3 2 10 10 22 g x x x . Vì () () 10 3 0 0 gx gx a nên 0,g x x nên 0,f x x . Do đó phương trình (1) vô nghiệm. Vậy là được thêm cách giải thứ ba! Trường hợp 4: 3 2 0 2 2 4 0 0 3; 1 0 1; 1 10 mn a mn a m n n Chọn 3; 1mn thì 42 33g x x x x . Ta có 1 5 0g nên trường hợp này không thỏa mãn 0,g x x . Trường hợp 5: 2 2 1 3 5 3 35 ; 24 3 5 3 0 2 8 0 35 ; 24 0 3 2 0 1 3; 2 mn a nm mn a mn mn Lúc này 4 3 2 0 43 5 2 2 2 4 1 a aa g x m x m n x n . Ta chọn m, n sao cho 4 5 0 2 am . Chỉ có 3 5 3 35 ; 24 mn là thỏa mãn. Lúc này 43 11 5 5 27 5 55 52 28 g x x x . Chứng minh phƣơng trình bậc 4 và phƣơng trình bậc 6 vô nghiệm Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trƣờng THPT chuyên Quốc Học - Huế Để chứng minh 0,g x x ta có thể sử dụng cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm. Ở đây ta sẽ dùng cách khảo sát hàm số [do dễ dàng tính được nghiệm của 'gx ]. Thật vây: 3 2 2 3 11 5 5 3 11 5 5 ' 4 5 2 4 5 2 22 g x x x x x . 9 3 5 ' 0 0 8 g x x x . Lập bảng biến thiên được 9 3 5 min 0,761199442 0 8 g x g . Do đó 0,g x x nên 0,f x x . Do đó phương trình (1) vô nghiệm. Vậy là có thêm một cách giải thứ tư! Trường hợp 6: 2 2 2 0 10; 1 0 8 2 0 10; 1 0 10 6; 1 6; 1 mn a m n m n a n mn mn Chọn 10; 1mn thì 43 2 10 5 2 2 10 2 10 3g x x x x có 1 2 10 10 0g nên trường hợp này không thỏa mãn 0,g x x . Trường hợp 7: 1 2 0 3 ;1 3 2 0 0 2 03 10 ;1 2 mn mn a a n mn Cả hai cặp nghiệm này đều làm cho 4 0a nên trường hợp này không thỏa mãn 0,g x x . Chú ý: Hai trường hợp 3 0 0 0 a a và 2 0 0 0 a a khó thỏa mãn 0,g x x . Vậy, khi thực hành ta chỉ xét 5 trường hợp là: 4 3 0 0 a a hoặc 3 2 0 0 a a hoặc 3 1 0 0 a a hoặc 2 1 0 0 a a hoặc 1 0 0 0 a a . Nếu cả năm trường hợp đều không tìm được m và n để cho 0,g x x thì phương pháp này không áp dụng được. Bài tập: Chứng minh phương trình 6 5 4 3 2 2 3 2 2 0x x x x x x vô nghiệm. HẾT . Chứng minh phƣơng trình bậc 4 và phƣơng trình bậc 6 vô nghiệm Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trƣờng THPT chuyên Quốc Học - Huế A- PHƢƠNG TRÌNH BẬC 4: Ví dụ 1: Chứng minh phương trình. nên 4 3 2 61 119 9 26 0, 4 12 x x x x x , do đó phương trình (2) vô nghiệm. Bài tập: Chứng minh phương trình 4 3 2 2 3 0x x x x vô nghiệm. B- PHƢƠNG TRÌNH BẬC 6: . hay phương trình (2) vô nghiệm. Chú ý: Có thể trình bày vào bài giải ngắn gọn như sau: 4 3 2 61 119 9 26 4 12 x x x x 2 2 2 2 2 2 9 7 11 71 9 7 11 162 5 22 2 4 4 12 2 4 14 3 36 x x