bất phương trình logarit có lời giải p2

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 I. PP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH (tiếp theo) Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a) ( ) ( ) 5 5 log 1 2 1 log 1 − < + + x x b) ( ) 2 9 log 1 2log 1 − < x c) 1 2 3 1 2 log log 0 1 +   >   +   x x d) 3 2 log 1 2 +   >   +   x x x Hướng dẫn giải: a) ( ) ( ) ( ) 5 5 log 1 2 1 log 1 , 1 . − < + +x x Điều kiện: 1 1 2 0 1 1 . 2 1 0 2 1  − > <   ⇔ →− < <   + >   > −  x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 5 5 5 1 log 1 2 log 5 2log 1 log 1 2 log 5 1 1 2 5 2 1   ⇔ − < + + ⇔ − < + ⇔ − < + +   x x x x x x x 2 6 2 14 5 5 12 4 0 6 2 14 5  − + >   ⇔ + − > ⇔  − − <   x x x x Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 6 2 14 1 . 5 2 − + < < x b) ( ) ( ) 2 9 log 1 2log 1, 2 . − <x Đ i ề u ki ệ n: 9 3 0 0 0 0 3. 1 2log 0 1 log 0 3 > > >    ⇔ ⇔ → < <    − > − > <    x x x x x x x ( ) 9 3 3 1 2 1 2log 2 1 log 2 og 1 3 ⇔ − < ⇔ − < ⇔ > − ⇔ > x x l x x K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là 1 3. 3 < < x c) ( ) 1 2 3 1 2 log log 0, 3 . 1 +   >   +   x x Điều kiện: 2 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 log 0 1 1 1     + ≠ ≠ − ≠ −  ≠ − ≠ −     >  + +      > ⇔ > ⇔ ⇔ ⇔ → >  +       < − + + > >        < − + +     + +   > >   + +   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Do ( ) 0 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 0 1, 3 log 1 log 1 2 0 1 0 1. 3 1 3 1 1 1 x x x x x x x x x + + + −   < < ⇔ < = ⇔ < ⇔ < ⇔ < → + > ⇔ > −   + + + +   Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là x > 0. d) ( ) 3 2 log 1, 4 . 2 +   >   +   x x x Đ iều kiện: 0 0 1 1 0 2 2 0 1 2 3 2 0 3 2 2 >  >   ≠   ≠   > ≠ −   ⇔ → + ≠   ≠     > − +    >    +  < −    x x x x x x x x x x x x 08. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P2 Th ầy Đặng Việt H ùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Do (4) chứa ẩn ở cơ số, ta chưa xác định được cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1 nên có hai trường hợp xảy ra: TH1: ( ) 2 1 1 1 1 4 1 2. 1 2 3 2 3 2 2 log 1 0 2 2 2 2 >  > >  >       ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ → < < − < <  + +      − − > > <        < − + +  +       x x x x x x x x x x x x x x x x TH2: ( ) 2 0 1 0 1 0 1 0 1 4 2 3 2 3 2 2 log 1 0 2 1 2 2 2 < <  < < < <  < <       ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ → >  + +      − − > < >        − < < − + +  +       x x x x x x x x x x x x x x x vô nghi ệ m. V ậ y t ậ p nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình đ ã cho là 0 < x < 1. Ví dụ 2. Gi ả i các b ấ t ph ươ ng trình sau a) 2 3 1 log 9 1 3   − − + ≤ −     x x b) ( ) 2 1 1 3 3 1 1 log 1 log 2 3 1 > + − + x x x H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) ( ) 2 3 1 log 9 1, 1 . 3   − − + ≤ −     x x Đ i ề u ki ệ n: ( ) 2 2 2 3 9 0 3 1 9 0 1 9 , (*) 3 3  ≥   − ≥   ≤ −   ⇔   − − + >   − > −    x x x I x x x x 2 2 1 1 0 3 3 1 1 1 3 0 (*) 3 41 3 41 1 3 9 3 3   − < <      <      − ≥ ⇔ ⇔ ⇔  ≥         >            > − > −             x x x x x x x x x Khi đ ó h ệ ( ) 3 3 3 1 41 3 3 41 3  ≥    ≤ −   ≤ −     ⇔ →  <   >       >     x x x I x x x ( ) 2 1 2 2 2 0 1 1 9 3 9 0 3 9 , − ≥  ⇔ − − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ → ≥  − ≤ ∀  x x x x x x x x x K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình đ ã cho là 41 . 3 >x b) ( ) ( ) 2 1 1 3 3 1 1 , 2 . log 1 log 2 3 1 > + − + x x x Điều kiện: ( ) 2 2 1 3 2 1 3 1 1 1 0 1 1 2 3 1 0 1 1 2 log 2 3 1 0 2 0 2 3 1 1 3 log 1 0 1 1 2 > −   > + >       >   − + >    − < <        < ⇔ ⇔    − + ≠  ≠         − + ≠ + ≠  ≠     + ≠     x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 , * . log 1 log 1 log 2 3 1 log 2 3 1 ⇔ > ⇔ > − + + − − + − + x x x x x x LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 TH1: ( ) ( ) 3 2 2 2 3 0 log 1 0 1 1 0 3 * 0 . 3 2 0 2 3 0 2 3 1 1 log 2 3 1 0 2 >   + > + >  >     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ → < <     < < − < − + < − + <        x x x x x x x x x x x x K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c nghi ệ m trong tr ườ ng h ợ p này là 1 0 2 3 1 2  < <    < <   x x TH2: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 0 log 1 0 1 1 0 3 * log 2 3 1 0 2 3 1 1 2 3 0 ; 0 2 2 3 1 2 1 1 2 3 1 log 1 log 2 3 1 5 0 >   + > + >  >         ⇔ − + > ⇔ − + > ⇔ − > ⇔ > <         − + > + + + < − + + < − +      − >   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 3 ; 0 5. 2 5; 0 >    ⇔ > < → >   > <   x x x x x x Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm trong trường hợp này là x > 5. TH3: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 0 log 1 0 1 1 0 3 * log 2 3 1 0 2 3 1 1 2 3 0 0 2 2 3 1 2 1 1 2 3 1 log 1 log 2 3 1 5 0 <   + < + <  <         ⇔ − + < ⇔ − + < ⇔ − < ⇔ < <         − + > + + + < − + + < − +      − <   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 3 0 2 0 5 <    ⇔ < < →   < <   x x x hệ vô nghiệm. Hợp hai trường hợp 1 và 2 ta được nghiệm của bất phương trình là ( ) 1 3 0; 1; 5; . 2 2     ∈ ∪ ∪ +∞         x Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau a) ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 − + − < + + x x , (Đề thi ĐH khối B năm 2006). b) 2 0,7 6 log log 0 4   + <   +   x x x , ( Đề thi Đ H kh ố i B n ă m 2008). c) ( ) 3 log log 9 72 1   − ≤   x x , ( Đề thi Đ H kh ố i B n ă m 2002). H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) ( ) ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 , 1 . − + − < + + x x ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 5 5 5 5 5 5 4 144 1 log 4 144 log 2 log 5 log 2 1 log log 5.2 5 16 − −   + ⇔ + − < + + ⇔ < +     x x x x 2 4 144 5.2 5 4 20.2 64 0 4 2 16 2 4. 16 − + ⇔ < + ⇔ − + < ⇔ < < → < < x x x x x x V ậ y nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình đ ã cho là 2 < x < 4. b) ( ) 2 0,7 6 log log 0, 2 . 4   + <   +   x x x Đ i ề u ki ệ n: 2 2 2 2 2 2 6 4 0 4 4 4 2 0 0 4 4 2 4 4 1 0 4 4 log 0 1 4 4     + ≠ ≠ − ≠ − ≠ −     >  + +     > ⇔ > ⇔ ⇔ ⇔     + −  − < < − + + > >      + +     + + > >   + +   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Do 0,7 < 1 nên ( ) ( ) 2 2 2 2 0 6 6 8 6 24 2 log 0,7 log 1 6 0 4 3 4 4 4 4 >  + + + + − − ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔  − < < − + + + +  x x x x x x x x x x x x x x x Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 8 4 3 >   − < < −  x x c) ( ) ( ) 3 log log 9 72 1, 3 .   − ≤   x x Đ i ề u ki ệ n: ( ) 9 3 0, 1 0, 1 9 72 0 log 73 1, (*) 9 72 1 log 9 72 0  > ≠  > ≠   − > ⇔ ⇔ > >   − >   − >   x x x x x x x x V ớ i đ i ề u ki ệ n (*) thì ( ) ( ) 3 3 8, 3 log 9 72 9 72 3 9 3 72 0 8 3 9 3 9  ≥ − ∀  ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔  ≤   x x x x x x x x x x T ừ đ ó ta đượ c x ≤ 2. K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là 9 log 73 2. < ≤ x Nhận xét: Trong ví d ụ trên, m ặ c dù c ơ s ố ch ứ a ẩ n x nh ư ng do đ i ề u ki ệ n ta xác đị nh đượ c ngay bi ể u th ứ c v ế trái đồ ng bi ế n nên bài toán không ph ả i chia 2 tr ườ ng h ợ p. Ví dụ 4. Giải bất phương trình sau: a) ( ) 2 1 4 3 log log 5 0   − >   x b) 2 2 8 3 log −> − x x c) 032 2 loglog 1log 2 3 1 2 3 2 ≤       +         + −x x d) 2 1 2 2 1 1 0 log (2 1) log 3 2 x x x + > − − + Ví dụ 5. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: a) 1)2log(loglog 2 4 13 <+− xx b) ( ) 165 2 2 <+− xx x log c) 0)(loglog 5,03 ≥x d) 3 1 6 5 log 3 − ≥ − x x x Ví dụ 6. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: a) 2 4 1 log ≥       −x x b) ( ) 154log 2 ≤+x x c) ( ) ( ) 03log7164 3 2 ≥−+− xxx d) ( ) [ ] 193loglog 9 <− x x Ví dụ 7. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: a) ( ) 13log 2 3 >− − x xx b) ( ) 12log 2 >−+ xx x c) ( ) 2385log 2 >+− xx x d) 2 1 2 54 log 2 ≤       − − x x x Ví dụ 8. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: a) ( ) [ ] 164loglog 2 ≤− x x b) 1 1 12 log >       − − x x x c) 2 1 122log 2 1 2 <−− +− xx xx d) ( ) 2 3 log 5 18 16 2 x x x − + > Ví dụ 9. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 a) 2 2 1 1 log log 2 x x ≤ + b) 2 3 2 4 3 log 0 5 x x x x − + ≥ + − c) ( ) 2 3 3 log log 3 1 x − < d) 2 25 5 1 5 1 2log ( 1) log .log ( 1) 2 1 1 x x x   − ≥ −   − −   . HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 I. PP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH (tiếp theo) Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a). hai trường hợp 1 và 2 ta được nghiệm của bất phương trình là ( ) 1 3 0; 1; 5; . 2 2     ∈ ∪ ∪ +∞         x Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau a) ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144. −    x x x x x x x x x x x x 08. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P2 Th ầy Đặng Việt H ùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn