LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 I. PP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH (tiếp theo) Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a) ( ) ( ) 5 5 log 1 2 1 log 1 − < + + x x b) ( ) 2 9 log 1 2log 1 − < x c) 1 2 3 1 2 log log 0 1 + > + x x d) 3 2 log 1 2 + > + x x x Hướng dẫn giải: a) ( ) ( ) ( ) 5 5 log 1 2 1 log 1 , 1 . − < + +x x Điều kiện: 1 1 2 0 1 1 . 2 1 0 2 1 − > < ⇔ →− < < + > > − x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 5 5 5 5 1 log 1 2 log 5 2log 1 log 1 2 log 5 1 1 2 5 2 1 ⇔ − < + + ⇔ − < + ⇔ − < + + x x x x x x x 2 6 2 14 5 5 12 4 0 6 2 14 5 − + > ⇔ + − > ⇔ − − < x x x x Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 6 2 14 1 . 5 2 − + < < x b) ( ) ( ) 2 9 log 1 2log 1, 2 . − <x Đ i ề u ki ệ n: 9 3 0 0 0 0 3. 1 2log 0 1 log 0 3 > > > ⇔ ⇔ → < < − > − > < x x x x x x x ( ) 9 3 3 1 2 1 2log 2 1 log 2 og 1 3 ⇔ − < ⇔ − < ⇔ > − ⇔ > x x l x x K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là 1 3. 3 < < x c) ( ) 1 2 3 1 2 log log 0, 3 . 1 + > + x x Điều kiện: 2 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 2 log 0 1 1 1 + ≠ ≠ − ≠ − ≠ − ≠ − > + + > ⇔ > ⇔ ⇔ ⇔ → > + < − + + > > < − + + + + > > + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Do ( ) 0 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 0 1, 3 log 1 log 1 2 0 1 0 1. 3 1 3 1 1 1 x x x x x x x x x + + + − < < ⇔ < = ⇔ < ⇔ < ⇔ < → + > ⇔ > − + + + + Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là x > 0. d) ( ) 3 2 log 1, 4 . 2 + > + x x x Đ iều kiện: 0 0 1 1 0 2 2 0 1 2 3 2 0 3 2 2 > > ≠ ≠ > ≠ − ⇔ → + ≠ ≠ > − + > + < − x x x x x x x x x x x x 08. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P2 Th ầy Đặng Việt H ùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Do (4) chứa ẩn ở cơ số, ta chưa xác định được cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1 nên có hai trường hợp xảy ra: TH1: ( ) 2 1 1 1 1 4 1 2. 1 2 3 2 3 2 2 log 1 0 2 2 2 2 > > > > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ → < < − < < + + − − > > < < − + + + x x x x x x x x x x x x x x x x TH2: ( ) 2 0 1 0 1 0 1 0 1 4 2 3 2 3 2 2 log 1 0 2 1 2 2 2 < < < < < < < < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ → > + + − − > < > − < < − + + + x x x x x x x x x x x x x x x vô nghi ệ m. V ậ y t ậ p nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình đ ã cho là 0 < x < 1. Ví dụ 2. Gi ả i các b ấ t ph ươ ng trình sau a) 2 3 1 log 9 1 3 − − + ≤ − x x b) ( ) 2 1 1 3 3 1 1 log 1 log 2 3 1 > + − + x x x H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) ( ) 2 3 1 log 9 1, 1 . 3 − − + ≤ − x x Đ i ề u ki ệ n: ( ) 2 2 2 3 9 0 3 1 9 0 1 9 , (*) 3 3 ≥ − ≥ ≤ − ⇔ − − + > − > − x x x I x x x x 2 2 1 1 0 3 3 1 1 1 3 0 (*) 3 41 3 41 1 3 9 3 3 − < < < − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ > > − > − x x x x x x x x x Khi đ ó h ệ ( ) 3 3 3 1 41 3 3 41 3 ≥ ≤ − ≤ − ⇔ → < > > x x x I x x x ( ) 2 1 2 2 2 0 1 1 9 3 9 0 3 9 , − ≥ ⇔ − − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ → ≥ − ≤ ∀ x x x x x x x x x K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình đ ã cho là 41 . 3 >x b) ( ) ( ) 2 1 1 3 3 1 1 , 2 . log 1 log 2 3 1 > + − + x x x Điều kiện: ( ) 2 2 1 3 2 1 3 1 1 1 0 1 1 2 3 1 0 1 1 2 log 2 3 1 0 2 0 2 3 1 1 3 log 1 0 1 1 2 > − > + > > − + > − < < < ⇔ ⇔ − + ≠ ≠ − + ≠ + ≠ ≠ + ≠ x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 2 , * . log 1 log 1 log 2 3 1 log 2 3 1 ⇔ > ⇔ > − + + − − + − + x x x x x x LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 TH1: ( ) ( ) 3 2 2 2 3 0 log 1 0 1 1 0 3 * 0 . 3 2 0 2 3 0 2 3 1 1 log 2 3 1 0 2 > + > + > > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ → < < < < − < − + < − + < x x x x x x x x x x x x K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n ta đượ c nghi ệ m trong tr ườ ng h ợ p này là 1 0 2 3 1 2 < < < < x x TH2: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 0 log 1 0 1 1 0 3 * log 2 3 1 0 2 3 1 1 2 3 0 ; 0 2 2 3 1 2 1 1 2 3 1 log 1 log 2 3 1 5 0 > + > + > > ⇔ − + > ⇔ − + > ⇔ − > ⇔ > < − + > + + + < − + + < − + − > x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 3 ; 0 5. 2 5; 0 > ⇔ > < → > > < x x x x x x Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm trong trường hợp này là x > 5. TH3: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 0 log 1 0 1 1 0 3 * log 2 3 1 0 2 3 1 1 2 3 0 0 2 2 3 1 2 1 1 2 3 1 log 1 log 2 3 1 5 0 < + < + < < ⇔ − + < ⇔ − + < ⇔ − < ⇔ < < − + > + + + < − + + < − + − < x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 3 0 2 0 5 < ⇔ < < → < < x x x hệ vô nghiệm. Hợp hai trường hợp 1 và 2 ta được nghiệm của bất phương trình là ( ) 1 3 0; 1; 5; . 2 2 ∈ ∪ ∪ +∞ x Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau a) ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 − + − < + + x x , (Đề thi ĐH khối B năm 2006). b) 2 0,7 6 log log 0 4 + < + x x x , ( Đề thi Đ H kh ố i B n ă m 2008). c) ( ) 3 log log 9 72 1 − ≤ x x , ( Đề thi Đ H kh ố i B n ă m 2002). H ướ ng d ẫ n gi ả i: a) ( ) ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 , 1 . − + − < + + x x ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 5 5 5 5 5 5 4 144 1 log 4 144 log 2 log 5 log 2 1 log log 5.2 5 16 − − + ⇔ + − < + + ⇔ < + x x x x 2 4 144 5.2 5 4 20.2 64 0 4 2 16 2 4. 16 − + ⇔ < + ⇔ − + < ⇔ < < → < < x x x x x x V ậ y nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình đ ã cho là 2 < x < 4. b) ( ) 2 0,7 6 log log 0, 2 . 4 + < + x x x Đ i ề u ki ệ n: 2 2 2 2 2 2 6 4 0 4 4 4 2 0 0 4 4 2 4 4 1 0 4 4 log 0 1 4 4 + ≠ ≠ − ≠ − ≠ − > + + > ⇔ > ⇔ ⇔ ⇔ + − − < < − + + > > + + + + > > + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Do 0,7 < 1 nên ( ) ( ) 2 2 2 2 0 6 6 8 6 24 2 log 0,7 log 1 6 0 4 3 4 4 4 4 > + + + + − − ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ − < < − + + + + x x x x x x x x x x x x x x x Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 8 4 3 > − < < − x x c) ( ) ( ) 3 log log 9 72 1, 3 . − ≤ x x Đ i ề u ki ệ n: ( ) 9 3 0, 1 0, 1 9 72 0 log 73 1, (*) 9 72 1 log 9 72 0 > ≠ > ≠ − > ⇔ ⇔ > > − > − > x x x x x x x x V ớ i đ i ề u ki ệ n (*) thì ( ) ( ) 3 3 8, 3 log 9 72 9 72 3 9 3 72 0 8 3 9 3 9 ≥ − ∀ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ x x x x x x x x x x T ừ đ ó ta đượ c x ≤ 2. K ế t h ợ p v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta đượ c nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là 9 log 73 2. < ≤ x Nhận xét: Trong ví d ụ trên, m ặ c dù c ơ s ố ch ứ a ẩ n x nh ư ng do đ i ề u ki ệ n ta xác đị nh đượ c ngay bi ể u th ứ c v ế trái đồ ng bi ế n nên bài toán không ph ả i chia 2 tr ườ ng h ợ p. Ví dụ 4. Giải bất phương trình sau: a) ( ) 2 1 4 3 log log 5 0 − > x b) 2 2 8 3 log −> − x x c) 032 2 loglog 1log 2 3 1 2 3 2 ≤ + + −x x d) 2 1 2 2 1 1 0 log (2 1) log 3 2 x x x + > − − + Ví dụ 5. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: a) 1)2log(loglog 2 4 13 <+− xx b) ( ) 165 2 2 <+− xx x log c) 0)(loglog 5,03 ≥x d) 3 1 6 5 log 3 − ≥ − x x x Ví dụ 6. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: a) 2 4 1 log ≥ −x x b) ( ) 154log 2 ≤+x x c) ( ) ( ) 03log7164 3 2 ≥−+− xxx d) ( ) [ ] 193loglog 9 <− x x Ví dụ 7. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: a) ( ) 13log 2 3 >− − x xx b) ( ) 12log 2 >−+ xx x c) ( ) 2385log 2 >+− xx x d) 2 1 2 54 log 2 ≤ − − x x x Ví dụ 8. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: a) ( ) [ ] 164loglog 2 ≤− x x b) 1 1 12 log > − − x x x c) 2 1 122log 2 1 2 <−− +− xx xx d) ( ) 2 3 log 5 18 16 2 x x x − + > Ví dụ 9. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình sau: LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 a) 2 2 1 1 log log 2 x x ≤ + b) 2 3 2 4 3 log 0 5 x x x x − + ≥ + − c) ( ) 2 3 3 log log 3 1 x − < d) 2 25 5 1 5 1 2log ( 1) log .log ( 1) 2 1 1 x x x − ≥ − − − . HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 I. PP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH (tiếp theo) Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau: a). hai trường hợp 1 và 2 ta được nghiệm của bất phương trình là ( ) 1 3 0; 1; 5; . 2 2 ∈ ∪ ∪ +∞ x Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau a) ( ) ( ) 2 5 5 5 log 4 144. − x x x x x x x x x x x x 08. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P2 Th ầy Đặng Việt H ùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH Học trực tuyến tại: www.moon.vn