Maple và các bài toán ứng dụng

Maple và các bài toán ứng dụng

Phạm Minh Hoàng

Maple

và các bài toán ứng dụng

Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật

Lời nói đầu

Tôi còn nhớ cách đây không lâu, một học sinh lớp 9 đặt cho tôi một bài toán như sau:

Hai đội công nhân làm chung một công việc trong 2g24' Nếu mỗi đội chia

nhau làm nửa công việc thì thời gian hoàn tất là 5g Hỏi thời gian mỗi đội

làm xong công việc của mình?

Loay hoay một lúc tôi mới tìm ra phương trình của bài toán và phải khó khăn lắm tôi mới cắtnghĩa được cho em, rồi lại phải mất thêm một ít thời gian mới có thể tự mình tìm được phươngtrình của bài toán Nhưng đến khi thay số vào em lại làm sai, phải đợi đến khi em dùng máytính thì mọi chuyện mới xong

Bất chợt tôi đặt câu hỏi: tìm ra được phương trình bài toán là co như đã đi được 3/4 đoạnđường, phần còn lại chỉ là thay số, vậy mà em học sinh này lại làm sai, thật uổng Nếu là ngườichấm điểm, tôi có thể châm chước và cho em 7/10, nhưng nếu chỉ căn cứ vào kết quả hoặc thibằng trắc nghiệm có thể em bị 0 điểm Vậy thì rõ ràng máy tính đã thay đổi tất cả

Ngày nay, ở Việt Nam tất cả các kỳ thi cấp trung học trở lên đều được phép dùng máy tính(không lập trình), điều đó có nghĩa là xã hội đã chấp nhận cho các em miễn làm tính bằng tay,

mà chẳng ai đặt vấn đề ''mất tư duy'' Toán học cả Lên đến bậc đại học, công cụ này còn trởlên tối cần thiết hơn cho sinh viên khoa học tự nhiên Bắt sinh viên tính các bước trong phươngpháp Runge-Kutta không máy tính là các em chịu thua ngay mặc dù tất cả đều hiểu bài Và lêncao hơn nữa, các nhà nghiên cứu còn phải hoàn toàn dựa vào những máy tính siêu mạnh vớinhững phần mềm thích ứng để hỗ trợ họ trong các bài toán phức tạp Như thế, họ đã ''khoán''tất cả những tính toán tầm thường cho máy tính và để hết tâm trí của mình vào những chủ đềchuyên sâu của họ

Vị trí và vai trò của máy tính đã ngày một trở nên quan trọng, nhất là trong lãnh vực giáodục Tin học hầu như là một môn bắt buộc cho các sinh viên ngay từ bước đầu vào đại học, vàcàng lên cao, càng đi sâu vào một lãnh vực nào đó, con người bắt buộc phải dùng đến máy tính.Bước ra ngoài đời, bước vào kỹ nghệ, công nghiệp, vai trò của máy tính lại trở nên quan trọnghơn, đến nỗi chúng ta có thể khẳng định rằng: ngày nay nếu không có máy tính, con người sẽkhông làm gì được cả

Không máy tính, ngày hôm nay con người không thể xây dựng những cây cầu hiện đại,không thể dự đoán được thời tiết, không thể vẽ được các vỏ tàu, cánh máy bay, không thể đo độrung của một chiếc tên lửa vốn là những vật dụng, những phương tiện gần gũi với chúng ta

Lý do là máy tính có một khả năng tính toán và một bộ nhớ gần như vô hạn

Tuy nhiên, cho dù có mạnh đến đâu đi chăng nữa, tất cả các máy tính đền tính toán trên

các con số Chúng có thế tính một triệu số lẻ của số π trong nháy mắt nhưng không tai nào tìm

ra°8

n=0

(
1)n

2n+1 = π4 Điều này gây ít nhiều khó khăn cho những nhà khoa học vốn đã quen với

các ký hiệu như x, BxB f (x, s), ln[sin(x2+ 1)] nên họ vẫn ao ước có một công cụ thích ứng để

làm việc, một phần mềm không chỉ thao tác các con số, mà phải làm được điều này trên các ký

hiệu quen thuộc Đó là một phần mềm tính toán hình thức1 Và phải đợi tới năm 1980 đại họcWaterloo (Canada) mới hoàn tất công trình đồ sộ của mình và cho ra đời Maple.

Maple được viết ra từ mục đích đó

Vào năm 1867, nhà thiên văn Delaunay đã bỏ ra 20 năm đằng đẵng để thiết lập và tính toánquĩ đạo của mặt trăng dưới tác dụng của mặt trời Biểu thức hoàn toàn bằng ký tự (hình thức)này dài gần 2000 trang giấy Một thế kỷ sau, năm 1970, nhà toán học A Deprit chỉ mất 9 tháng

để viết một chương trình để tính toán lại2 Ngày nay, có lẽ chúng ta chỉ mất khoảng nửa giờ!Maple quả là tiết kiệm cho người dùng một khoảng thời gian khổng lồ

Nhưng Maple có thể còn làm nhiều hơn thế

Tôi còn nhớ một trong những ''kinh nghiệm xương máu'' của mình hồi học lớp 12 Thầy

dạy chúng tôi tính diện tích hình tròn bán kính r bằng cách chia nhỏ nó ra thành từng mảnh nhỏ

và xem như đó là những hình chữ nhật rồi cộng diện tích chúng lại để có được kết quả là πr2

Nhưng tôi mãi lấn cấn cái chuyện phải xem như đó là những hình chữ nhật Vì nếu ''xem như''

thì rõ ràng đã có sai số, và nếu cộng hết các hình chữ nhật là cộng hết cả các sai số thì đâu thể

ra một cái gì tròn trịa như πr2 Chính cái lấn cấn ấy đã làm điểm toán của tôi sút giảm nghiêmtrọng Mãi đến khi có được Maple tôi mới nghiệm ra ''chân lý'' của vấn đề khi vẽ thật nhiều hìnhchữ nhật để thấy rằng rõ ràng là nó tiến về diện tích hình tròn

Đến đây , tôi nghĩ có nhiều thầy (thậm chí có cả các bạn sinh viên) phì cười cho rằng tôithuộc loại ''chậm tiêu'' Tôi nghĩ điều ấy không sai, nhưng riêng tôi, tôi lại nhìn vấn đề cách

khác Cái gì đã làm cho mình hiểu ra vấn đề? câu trả lời là hình ảnh Ngày xưa tôi không ''tiêu''

được chẳng qua là vì thầy không đủ sức vẽ thật nhiều những hình chữ nhật như Maple Vậy tạisao chúng ta không tận dụng những khả năng vượt trội của máy tính để tiết kiệm thời gian?.Tôi nghĩ không cần dài dòng để thuyết phục về ưu điểm của máy tính trong một bài thuyếttrình (chứ không riêng gì việc học) Một diễn giả ngồi đọc lê thê sẽ không cuốn hut bằng chiếucùng một nội dung ấy lên màn hình Mà đã không cuốn hút thì khó đưa nội dung ''vào đầu'' thínhgiả Đặc biệt nếu những nội dung ấy là những trừu tượng như toán thì lại càng phải cụ thể hóa,sinh động hóa

Tôi còn nhớ khi dạy toán bằng Maple vào một ngày không có máy chiếu Sinh viên ngồinhìn bảng đen mà tôi cứ nghĩ tâm hồn các bạn đang lượn lờ ở ''chốn bồng lai'' nào (vì các kháiniệm ấy các em đều đã học qua) Nhưng khi có máy chiếu, tôi thấy các em háo hức mừng lộ ra

mặt Cặp mắt lờ đờ khi nãy bỗng sinh động khác thường, cứ mỗi khi thay slide là khuôn mặt

các em cũng thay đổi theo Rồi đến khi thực hiện những bài tập lớn cuối học kỳ, rất nhiều bạn

đã làm nhiều hơn những gì chủ đề đòi hỏi Lý do là các bạn ấy đã hiểu rõ hiện tượng mà khôngngần ngại sử dụng sức mạnh của máy tính để khai triển xa hơn Điều đó là việc ''xưa nay hiếm''.Vậy thì rõ ràng Maple đã giúp ích cho việc học toán

Trên đây tôi vừa nhắc đến những hình chữ nhật xấp xỉ hình tròn Điều ấy nếu là một người

có ''hoa tay'', thầy tôi có thể vẽ được Nhưng khi đó là những hình trong không gian, những

hình co-nic 3 chiều thì không dễ dàng đề vẽ Tôi còn nhớ khi dạy phương pháp đường dốc nhất (steepest descent) trong môn Tối Ưu hóa hàm nhiều biến, để cắt nghĩa phương pháp, tôi cứ phải

liên tục làm những động tác một người đang lao xuống vực để các bạn hiểu ý nghĩa hình học

của gradient Nhưng đến khi hiển thị bằng máy tính thì tối chắc chắn các bạn sinh viên đã hiểu tại sao phương pháp steepest ascent (nghĩa là dốc lên) mà tối không cần phải làm động tác nào

khác

Maple không chỉ giúp bằng hình ảnh mà còn kích thích óc sáng tạo Chúng ta đã dạy chohọc sinh làm thế nào để viết phương trình một đường thẳng qua hai điểm; vậy thì các em có thể

1 Tiếng Anh là formal computation tiếng Pháp là calcul formel.

2 và đã tìm thấy chỉ một chỗ sai trong 2000 trang của Delaunay!

dùng Maple xác định được đường cao, đường trung tuyến, sau đó xác định được trực tâm, trọngtâm rồi viết phương trình đường thẳng Euler Tất cả các công đoạn ấy làm bằng máy tính đâu

có làm ''nhụt'' tư duy toán học của các em đâu, trái lại nó làm cho các em có cơ hội sử dụng một

vũ khí sắc bén của trí tuệ là trí tưởng tượng3 Rồi ở bậc đại học, chúng ta đã dạy cho sinh viên

điều kiện để chéo hóa một ma trận M và áp dụng nó để tính M n Nếu làm bằng tay sẽ rất ''oải'',

dễ chán, thậm chí mới chỉ là ma trận bậc 3; nhưng với Maple, sinh viên có thể ''vui chơi'' và tựtạo cho mình những trường hợp cực kỳ phức tạp và như thế các bạn sẽ hiểu rõ vấn đề Các thí

dụ như thế còn rất nhiều và trong mọi lãnh vực như lý, hóa, sinh, kỹ thuật, kiến trúc Rõ ràng

là nó giúp chúng ta học hiệu quả hơn

Tôi thực sự chưa bao giờ nghĩ rằng Maple có thể thay thế người thầy vì để đánh một lệnhMaple để tính diện tích hình tròn thì ai cũng có thể làm được, thậm chí là một học sinh cấp II!nhưng nếu hiểu được ý nghĩa hình học của nguyên hàm (và các vấn đề sau sa hơn) thì không thểthiếu thầy được Maple chỉ cung cấp cho chúng ta một công cụ để hiểu rõ vấn đề và khơi nguồnsáng tạo mà thôi Nhưng đó lại là yếu tố rất cần trong cuộc đời sinh viên kể cả khi đã ra trường

Với tất cả những tâm tình đó, tôi đã viết cuốn Maple và các bài toán ứng dụng này Sau

lần xuất bản thứ nhất tác giả bỏ đi những chủ đề phức tạp đồng thời thêm một số chương ích lợihơn cho việc học Maple, trong đó có một chương nói về cú pháp dành cho các độc giả chưa cókinh nghiệm với phần mềm này Tác giả cũng chân thành xin lỗi bạn đọc về những sơ sót đãmắc phải trong lần phát hành đầu tiên

Mọi ý kiến đóng góp xin chuyển về địa chỉ: Nhà xuất bản Khoa Học và Kỹ Thuật, 28 ĐồngKhởi, phường Bến Nghé, quận I, TPHCM ĐT: 822.50.62-829.66.28

Ước mong của tác giả là cuốn sách nhỏ bé này sẽ giúp bạn đọc có một cái nhìn mới về vũtrụ vô tận của Toán học

Sài Gòn Xuân Mậu Tí 2008

về tịn học quản lý và tin học kỹ nghệtại Paris Năm 2000 trở về Việt Nam

và hiện công tác tại Bộ Môn ToánỨng Dụng, Khoa Khoa HọcỨng Dụng, Trường Đạihọc Bách KhoaTPHCM

3 Kiến thức không quan trọng bằng trí tưởng tượng Kiến thức thì giới hạn nhưng trí tưởng tượng có thể vây quanh nhân loại (Albert Einstein)

Mục lục

Trang

1.1 Tổng quan 1

1.2 Các thao tác trên một biểu thức 3

1.2.1 Lệnh simplify: đơn giản 3

1.2.2 Lệnh expand: khai triển 5

1.2.3 Lệnh factor: thừa số 5

1.2.4 Lệnh combine: gom 6

1.2.5 Lệnh convert: biến đổi 7

1.3 Mệnh đề và hàm mũi tên 8

1.4 Các thao tác trên một dãy 8

1.5 Giải tích 10

1.6 Đồ thị hai chiều 11

1.7 Giải phương trình 13

1.7.1 Phương trình đại số 13

1.7.2 Phương trình quy nạp 14

1.8 Phương trình vi phân 14

1.8.1 Cách giải giải tích 14

1.8.2 Cách giải số 16

1.9 Đại số tuyến tính 18

1.10 Lập trình trong Maple 20

1.10.1 Khai thác sau khi biên dịch 21

1.11 Nguyên hàm 23

1.12 Bài tập 26

1.12.1 Các lệnh cơ bản 26

1.12.2 Đại số 26

1.12.3 Phương trình vi phân 27

1.12.4 Nguyên hàm 27

1.12.5 Lập trình 27

1.13 Bài đọc thêm: Thalès 32

Mục lục

2.1 Tiết kiệm nhôm 33

2.2 Đoạn đường gần nhất 34

2.3 Góc nhìn của phi hành gia 36

2.4 Hình nón và hình cầu 37

2.4.1 Tính bằng thể tích 37

2.4.2 Tính bằng diện tích 40

2.5 Khúc cua gắt 42

2.5.1 Vấn đề 1 43

2.5.2 Vấn đề 2 44

2.6 Ellipsoid 47

2.6.1 Hình vẽ cho bài toán Ellipsoid 48

2.7 Cực trị của hàm hai biến: Thí dụ 2 48

2.8 Cực trị của hàm ba biến 50

2.9 Bài đọc thêm: Pythagore 53

Chương 3 Đồ thị ba chiều 54 3.1 Thí dụ 1 54

3.2 Thí dụ 2 57

3.3 Thí dụ 3 60

3.4 Thí dụ 4 63

3.5 Bài đọc thêm: Euclide 67

Chương 4 Hình học giải tích 69 4.1 Tìm và vẽ tiếp tuyến chung của hai vòng tròn 69

4.2 Diện tích phần giao của hai vòng tròn 71

4.3 Quỹ tích 1 73

4.4 Quỹ tích 2 74

4.5 Quỹ tích 3 77

4.5.1 Cách giải thứ nhất 77

4.5.2 Cách giải thứ hai 81

4.6 Giới hạn của Maple 81

4.6.1 Một thí dụ thuần hình thức 81

4.6.2 Một khúc mắc 84

4.6.3 Một thí dụ điển hình 85

4.7 Bài đọc thêm: Archimède 88

Chương 5 Bài toán mô phỏng 89 5.1 Cạnh tranh tay đôi 89

5.1.1 Giải bằng hàm tổ hợp 90

5.1.2 Gải bằng ma trận 90

Mục lục

5.1.3 Giải bằng hàm quy nạprsolve 91

5.1.4 Biểu diễn trong không gian 3-D 91

5.2 Kinh tế ASEAN 92

5.3 Lãi suất ngân hàng 93

5.3.1 Lập trình 93

5.3.2 Hàm số hợp 94

5.3.3 Dãy truy hồi (quy nạp) 94

5.3.4 Phương trình vi phân 95

5.4 Nuôi tằm 97

5.5 Bồn khuấy nước đều 102

5.6 Bài toán cân bằng môi sinh 103

5.7 S.A.R.S 105

5.7.1 Giải với các đại lượng rời rạc 105

5.7.2 Giải với các đại lượng liên tục 108

5.8 Bài đọc thêm: Eratosthene 112

Chương 6 Bài toán kích thước hình xoay 115 6.1 Diện tích, thể tích ellipse và ellipsoid 115

6.1.1 Diện tích một ellipse 115

6.1.2 Thể tích một ellipsoid 116

6.1.3 Diện tích một ellipsoid 117

6.2 Thể tích sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của một hàm 118

6.3 Thể tích sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy của một hàm 118

6.4 Trường hợp một hàm nội suy 119

6.5 Tìm thể tích sinh ra bởi phép quay của phần giao của hai hàm 120

6.5.1 Xoay quanh Ox 120

6.5.2 Xoay quanh Oy 121

6.6 Một trường hợp phức tạp 122

6.6.1 Xoay quanh Ox 122

6.6.2 Xoay quanh Oy 122

6.7 Bài đọc thêm: Galilée 125

Chương 7 Bài toán sức bền vật liệu 127 7.1 Tải trọng đều 127

7.1.1 Hai đầu gối đơn 128

7.1.2 Ngàm một đầu, đầu kia tự do 129

7.1.3 Ngàm hai đầu 129

7.1.4 Ngàm một đầu, đầu kia gối đơn (hệ siêu tĩnh) 131

7.1.5 Ngàm một đầu, đầu kia gối đơn ở một điểm bất kỳ u 131

7.2 Tải trọng tập trung 137

7.2.1 Ngàm một đầu, lực tập trung ở đầu kia [Hình 7.14 (a)] 137

Mục lục

7.2.2 Ngàm một đầu, lực tập trung ở x = u   l [Hình 7.14 (b)] 138

7.2.3 Hai gối đơn 140

7.3 Bài đọc thêm: Képler - Thái Dương hệ 142

Chương 8 Bài toán đạn đạo 145 8.1 Môi trường không có ma sát không khí 145

8.2 Môi trường có ma sát không khí 148

8.2.1 Thí dụ 1: nghiệm giải tích 149

8.2.2 Thí dụ 2 : nghiệm bằng phương pháp số 149

8.2.3 Tìm góc bắn xa nhất 151

8.2.4 Nối dài tầm bắn 154

8.2.5 Sức cản trong trường hợp phức tạp 156

8.2.6 Dưỡng Do Cơ thế kỷ XXI! 157

8.3 Bài đọc thêm: Shwerer Gustav 165

Chương 9 Bài toán dao động 1: Lò xo 168 9.1 Lò xo nằm ngang 168

9.1.1 Trường hợp 1 : Không có lực giảm xóc, λ = 0 170

9.1.2 Trường hợp 2 : Lực giảm xóc, λ ¡ 0 171

9.1.3 Khảo sát hiện tượng cộng hưởng 174

9.2 Hệ ba lò xo nằm ngang 177

9.3 Bài đọc thêm: Cầu Tacoma 180

Chương 10.Bài toán dao động 2: Con lắc toán học 183 10.1 Con lắc đơn 183

10.1.1 Trường hợp 1: góc quay nhỏ 184

10.1.2 Trường hợp 2: góc quay lớn không ma sát 185

10.1.3 Trương hợp 3: góc quay lớn với ma sát 188

10.2 Con lắc kép 189

10.2.1 Trường hợp 1: góc quay nhỏ, tính toán hình thức 191

10.2.2 Trường hợp 2: góc quay lớn - Tính toán số 193

10.2.3 Kiểm chứng 195

10.3 Con lắc đơn đàn hồi 198

10.3.1 Vẽ hình 198

10.3.2 Tính toán 199

10.4 Bài đọc thêm: Lịch sử số π 204

Chương 11.Số học và ứng dụng 209 11.1 Tóm tắt lý thuyết 209

11.1.1 Số học mô-đun 209

11.1.2 Phép chia Eculide trongZ /mZ 210

11.1.3 Ứng dụng của phép tính đồng dư 212

Mục lục

11.1.4 Định lý Trung Quốc 213

11.2 Mật mã 216

11.2.1 Mã César 217

11.2.2 Mã Khối 219

11.2.3 Mã RSA 222

11.3 Bài đọc thêm Bẻ khóa RSA: Con đường chông gai 229

Chương 12.Xử lý hình động 231 12.1 Chuyển động đơn giản 231

12.1.1 Thí dụ 231

12.1.2 Thí dụ 2 232

12.1.3 Thí dụ 3 233

12.2 Chuyển động phức tạp 234

12.2.1 Thí dụ 1 234

12.2.2 Thí dụ 2 238

12.3 Chuyển động có sự thay đổi vận tốc 240

12.3.1 Thay đổi đều 240

12.3.2 Thay đổi không đều - Thí dụ 1 241

12.3.3 Thay đổi không đều - Thí dụ 2 242

12.4 Chuyển động với một hay nhiều hình tĩnh 245

12.4.1 Thí dụ 1 245

12.4.2 Thí dụ 2 246

12.5 Đường lập lên bởi hình động 248

12.5.1 Viên bi lăn theo đường thẳng 248

12.5.2 Viên bi lăn theo một đường bất kỳ 250

12.5.3 Cycloid 252

12.5.4 Điểm động học 253

12.6 Bài đọc thêm 256

Danh mục hình minh họa

1.1 (a) Ba lời giải và (b) khi vẽ chung với tập hợp các lời giải 15

1.2 Lời giải phương trình vi phân phương pháp giải tích 16

1.3 Lời giải phương trình vi phân và phương pháp số 18

1.4 Sơ đồ tạo và sử dụng tập tin thực thi 22

2.1 34

2.2 35

2.3 36

2.4 (a) Hình nón nội tiếp (b) đương biểu diễn của thể tích theo h khi R = 3. 38

2.5 (a) hình nón ngoại tiếp (b) đường biểu diễn của thể tích theo h khi R = 3. 39

2.6 Đồ thị của diện tích theo h khi R = 3: (a) trường hợp nội tiếp; (b) ngoại tiếp 41

2.7 Hình nón nội tiếp và ngoại tiếp hình tròn 43

2.8 44

2.9 45

2.10 Hình hộp nội tiếp trong một ellipsoid 47

2.11 Hình khối cực đại trong một ellipsoid 49

2.12 49

2.13 50

3.1 55

3.2 Đường đồng mức của hàm f (x, y) 56

3.3 Cực trị hàm nhiều biến và hình chiếu của nó 58

3.4 Các điểm dừng của f (x, y) 59

3.5 Điểm cực đại và cực tiểu của f (x, y) 60

3.6 Điểm yên ngựa của hàm f (x, y) 61

3.7 Đồ thị gradient, đường đồng mức và chuyển động của P k 62

3.8 Chuyển động P ktrong không gian 63

3.9 Biểu diễn tham số của hàm ràng buộc g(x, y) trên f (x, y) 65

3.10 (a) Đường đồng mức và ellips 2D, (b) Véc-tơ gradient tại điểm cực trị 67

4.1 70

4.2 71

Danh mục hình minh họa

4.3 74

4.4 75

4.5 77

4.6 78

4.7 (a), (b) Vị trí tương đối của H; (c) Quỹ tích H 79

4.8 Quỹ tích của H với các vị trí M 80

4.9 Vòng tròn trực giao 83

4.10 84

4.11 87

5.1 91

5.2 Thương vụ với đồ thị 3-D 92

5.3 95

5.4 Sai biệt giữa phép giải rời rạc và liên tục 96

5.5 (a), (b) Phát triển ổn định sau 30 tháng và (c) phát triển không ổn định 98

5.6 101

5.7 102

5.8 Đường biểu diễn của lượng muốn (a) trường hợp 1⃝ và (b) trường hợp 2 ⃝ 104

5.9 105

5.10 Lây lan của bệnh dịch khi không có và khi có thuốc chữa 107

5.11 Lây lan của bệnh dịch với b = 1 10 và b = 1 2 109

5.12 Lây lan của bệnh dịch trường hợp c) và d) 110

5.13 Thuật toán "Sàng Eratosthene" và cách đo chu vi trái đất 114

6.1 ellipse và ellipsoid 116

6.2 Đồ thị y = f (x) = 1 2x 3và hình xoay quanh Ox 119

6.3 Đồ thị x = f
1(y) và hình xoay quanh Oy 120

6.4 Đồ thị một hàm nội suy và hình xoay quanh Ox 121

6.5 122

6.6 Phần giao của hai hàm và hình xoay quanh Ox, Oy 123

6.7 124

6.8 Phần giao của hai hàm trong một trường hợp phức tạp và (b),(c) cách vẽ để tính thể tích 125

7.1 127

7.2 128

7.3 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp hai gối đơn 130

7.4 131

7.5 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu 132

7.6 133

7.7 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm hai đầu 134

Danh mục hình minh họa

7.8 135

7.9 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu, đầu kia gối đơn 136

7.10 137

7.11 Chuyển vị, moment ngàm một đầu và gối đơn ở: (a) x = 8 và (b) x = 7 (cách giải thứ nhất) 137

7.12 138

7.13 Chuyển vị, moment trường hợp ngàm một đầu và gối đơn ở: (a) x = 8 và (b) x = 7 (cách giải thứ hai) 138

7.14 Các trường hợp tải trọng tập trung với ngàm 139

7.15 Chuyển vị, góc quay và moment trường hợp ngàm một đầu, lưu tập trung khi: (a) u = 4 và (b) u = 6 (các tỷ lệ được sửa đổi để dễ nhìn) 139

7.16 140

7.17 Lực tập trung, hai nối đơn qua hai cách giải 141

7.18 Thái Dương Hệ 143

8.1 145

8.2 Quỹ đạo trong trường hợp không ma sát với: (a) v0 = 300 và (b) v0 = 900m/s 147 8.3 Đạn đạo với hệ số ma sát bằng : (a) k = 1 (tối đa) và (b) k = 1 10 151

8.4 Đạn đạo 5 góc bắn αP [ π 10, 7π 30 ] với ma sát 153

8.5 154

8.6 Nối dài tầm bắn 155

8.7 (a), (b): Các hàm sức cản p(h) và (c) tầm bắn tương ứng với α = π 4 157

8.8 Đạn đọa của 6 góc bắn với độ gia tăng π 50 158

8.9 Các hàm nội suy ftd(d), fdt(d) và fad(t) 160

8.10 Các hàm nội suy ftd(t), fad(a) và fda(x) 161

8.11 Đạn đạo của 6 góc bắn với độ gia tăng π 60 162

8.12 Các hàm nội suy spline của fdt(t), fad(a), fda(x) 163

8.13 164

8.14 165

8.15 Hình 8.14: Đại bác Schwerer Gustav (hình mẫu trưng bày) 166

9.1 Lò xo và khối m trên trục hoành 169

9.2 170

9.3 Chuyển động với giảm xóc λ = df rac120 và 1 11 172

9.4 Chuyển động với độ giảm xóc lớn ∆¡ 0 và (b) giảm xóc tớn hạn (∆ = 0) 173

9.5 Chuyển động với ảnh hưởng ngoại lực 174

9.6 Chuyển động khi ngoại lực (a) cùng vận tốc góc và (b) không cùng vận tốc góc 176 9.7 Hệ ba lò xo trước và sau khi chuyển động 177

9.8 Chuyển động của hệ thống 179

Danh mục hình minh họa

9.9 Cầu Tacoma lúc sụp đổ 182

10.1 183

10.2 Con lắc đơn với góc quay nhỏ 185

10.3 Con lắc đơn với góc quay lớn 187

10.4 Con lắc đơn với góc quay lớn và lực ma sát 189

10.5 Con lắc kép 190

10.6 Chuyển động cùng chiều với góc quay nhỏ 194

10.7 Chuyển động ngược chiều với góc quay nhỏ 195

10.8 Chuyển động với u1(0) = u2(0) = 1 radian 196

10.9 Chuyển động với u1(0) = π 2, u2(0) = 1radian 197

10.10Đồ thị của động năng, thế năng và cơ năng của con lắc kép 197

10.11Con lắc đơn đàn hồi 198

10.12Khai báo con lắc đàn hồi và vài chuyển động 200

10.13(a) Quỹ đạo con lắc và (b) đồ thị năng lượng 201

10.14Con lắc kép đàn hồi 203

10.15 204

10.16 205

10.17Tukey 206

12.1 Hình tĩnh của hàm sin(x) và 4 chuyển động khác nhau 232

12.2 (a) Chong chóng ở vị trí đầu, (b) sau khi quay 30ovà (c) 4 chuyển động 5o 233

12.3 234

12.4 (a) Chuyển động tịnh tiến của bánh xe và (b) chuyển động quay của van 235

12.5 236

12.6 Chuyển động của van xe trong 3 vòng quay 237

12.7 4 chuyển động với khoảng cách thời gian (a) đều và (b) không đều 238

12.8 (a) Cả hai xe ngừng cùng lúc và (b) lần lượt ngừng 240

12.9 (a) Chuyển động với thay đổi đều và (b) thay đổi không đều 241

12.10Chuyển động theo định luật Képler 243

12.11Chuyển động của mặt trăng quanh trái đất theo định luật Képler 244

12.12Tiếp tuyến của hàm f (x) = e
x2sin(x 2) 246

12.13Sự hội tụ của°k n=1[1 n cos(x) n cos(nx)] 247

12.14Chuyển động thẳng của viên bi 249

12.15Đồ thị của hàm (a), sin x x , (b)f (x) và (c)f ( x 3) nhân lên 30 lần 250

12.16Chuyển động của viên bi (a) trước và (b) sau khi chỉnh vận tốc 251

12.17 252

12.18 254

12.19Biểu diễn của vận tốc và gia tốc ở hình (a) cardiod và (b) hình ốc sên 256

Danh mục hình minh họa

12.20Babylone 256

12.21Pythagore 257

12.22Thales 257

12.23Hippocrates 257

12.24Euclide 257

12.25Aristote 258

12.26Archimede 258

12.27Eratosthene 258

12.28Apollonius 258

12.29Ptoleme 259

12.30Liu Hui 259

12.31Diophante 259

12.32Hệ Thập Phân 259

12.33Abu-bin-Musa-al-Khwarizmi 260

12.34Fibonacci 260

12.35Qin Jinshao 260

12.36Nicolas 261

12.37Copernic 261

12.38Viète 261

12.39Kepler 261

12.40Neper 262

12.41Cavalieri 262

12.42Descartes 262

12.43Desargues 262

12.44Pascal 263

12.45Fermat 263

12.46Huygens 263

12.47Leibniz 263

12.48Seki Kowa 264

12.49Isaac Newton 264

12.50Jacques Bernoulli 264

12.51Rolle 265

12.52Jean Bernoulli 265

12.53De Moivre 265

12.54Jacapo Riccati 265

12.55Euler 266

12.56Simpson 266

12.57D'Alembert 266

12.58Lagrange 266

12.59Monge 267

Danh mục hình minh họa

12.60Legendre 267

12.61Gauss 267

12.62Fourier 267

12.63Poisson 268

12.64Laplace 268

12.65Bolzano 268

12.66Navier 268

12.67Green 269

12.68Galois 269

12.69Lobachevsky 269

12.70Cauchy 269

12.71Dirichlet 270

12.72Jacobi 270

12.73Cayley 270

12.74Boole 270

12.75Chebyshev 271

12.76Sylvester 271

12.77Venn 271

12.78Poincaré 271

12.79Frobenius 272

12.80Lyapunov 272

12.81RungeKutta 272

12.82Carmichael 272

12.83Borel 273

12.84Richardson 273

12.85Turing 273

12.86George Dantzig 273

12.87Shannon 274

12.88Schwartz 274

12.89Hall 274

12.90Edward Lorenz 274

12.91Tukey 275

12.92Mandelbrot 275

12.93Adleman, Rivest, and Shamir 275

12.94Wiles 275

Danh mục bảng biểu

1.1 Sắp xếp một dãy số thực 21

1.2 Sử dụng worksheet với tập tin thực thi làpgm1.m 22

1.3 Sử dụng worksheet với tập tin thực thi làpgm2.m 23

2.1 Kết quả theo V và theo S của hình nón nội tiếp hình cầu 42

5.1 100

5.2 106

5.3 107

5.4 110

5.5 111

5.6 113

7.1 Thái Dương hệ. 143

8.1 Chương trình của 5 góc bắn với độ gia tăng π 30 152

9.1 Các lệnh tạo hình động cho hệ ba lò xo có một đầu tự do 180

10.1 Các lệnh để tạo hình tĩnh chuyển động con lắc đơn 186

10.2 Các lệnh để tạo hình tĩnh chuyển động con lắc đơn với ma sát 188

10.3 193

11.1 Bảng hoán chuyển mẫu tựÐÑ số 217

11.2 Chương trình mã César 218

11.3 Kết quả mã khối 220

11.4 Chương trình mã khối 221

11.5 Chương trình mã RSA và phép bình phương liên tiếp 224

11.6 Chương trình mã RSA có ký tên và liên kết với phép bình phương liên tiếp. 228

12.1 Chương trìnhcine 255

12.2 Lịch sử các ký hiệu Toán học 277

Cú pháp Maple

Chương này tóm tắt một số lệnh Maple cơ bản[1] và được dùng nhiều trong cuốn sách này

Để có thêm chi tiết cách hay nhất vẫn là tham khảo phần trợ giúp

1.1 Tổng quan

Khi khởi động maple chúng ta sẽ có một màn hình đơn giản:

Ở trên cùng chúng ta có một menu với những chức năng quen thuộc của một phần mềm

Windows: File,Edit,View,Insert Cách sử dụng những chức năng này cũng khá dễdàng Phần lớn nhất của màn hình là một trang trắng, đó là nơi người sử dụng đánh các lệnhMaple và nhận kết quả Một lệnh Maple được đánh sau dấu ">" và mặc định có nét chữcouriermàu đỏ, một kết quả có màu xanh và nét chữtimes Thí dụ:

> p:=x+3;

p := x + 3

Trước khi vào từng câu lệnh Maple, một vài quy tắc chung cần nhớ:

ˆ Lệnh đầu tiên làrestart(không bắt buộc), để xoá sạch bộ nhớ và chuẩn bị cho nhữngđiều kiện làm việc tốt nhất cho Maple

> restart:

ˆ Maple phân biệt chữ thường và chữ hoa: thí dụsimplifykhác với Simplify TrongMaple đại đa số các câu lệnh đều là chữ thường những có một số rất ít có cả chữ thườnglẫn chữ hoa (và dĩ nhiên chức năng cũng khác) Thí dụexpandvàExphand, thậm chí

có những option toàn viết bằng chữ in

ˆ Trong Maple, để gán giá trị vào một biến phải dùng dấu := Nếu ta đánh dấu =, Maple sẽkhông thông báo sai Thí dụ:

ˆ Dấu %: Đây là một ký hiệu quan trọng trong Maple Dấu % biểu tượng cho kết quả vừathực hiện Thí dụ khi ta lấy nguyên hàm của3sin(x):

> int(3*sin(x),x);

3 cos(x)

Ở đây, % biểu tượng cho
3 cos(x) Nếu lấy đạo hàm của nó ta sẽ tìm lại được 3 sin(x).

Trong trường hợp này ta sẽ dùng dấu %:

3 sin(x)d(x) chấm dứt bằng dấu hai chấm, kết

quả (-3cos(x)) không được hiển thị nhưng nó đã gán vào biến % Lệnh đạo hàm chấmdứt bằng dấu chấm phẩy, kết quả được hiện ra

ˆ Maple cho phép kết hợp nhiều lệnh vào một lệnh:

1.2 Các thao tác trên một biểu thức

Lệnh tiếp theo bắt đầu bằng dấu %= có nghĩa là

»

3 sin(x)d(x) =, tiếp theovalue(%)

có tác dụng tính giá trị của biến % Và vì lệnh này chấm dứt bằng dấu chấm phẩy nên kếtquả của nó sẽ được in ra:

để ra khỏi dòng thuyết minh, nhấp vào nút > để trở lại với các lệnh Maple

ˆ Lưu vào ổ cứng: Tất cả các câu lệnh Maple và kết quả được gọi là một worksheet và được

lưu lại dưới 2 dạng: dạng cũ (MWS) và dạng mới (MW, kể từ phiên bản 9) Trong phạm

vi cuốn sách này, chúng ta chỉ làm việc với dạng MWS

ˆ Maple có trên 1500 lệnh (phiên bản 8), trong đó có những lệnh ít được dung Để tránhphải nhập tất cả các lệnh vào RAM của máy một cách vô ích, người ta gom những lệnh

có cùng một ứng dụng voà nhữngpackage(tạm dịch là gói) Những gói thường gặp làplots,linalg,geometry,plottools Khi cần sử dụng, dùng hàm with đểnhập:

> with(plots):

Ta cũng có thể dùng lệnh mà không cần nhập package bằng cách đánh

(thí dụ lệnh display trong gói plots):

> plots[display]( );

1.2 Các thao tác trên một biểu thức

Lệnh simplify: đơn giản

Đơn giản một biểu thức (expression) đại số Đây có thể là một đa thức, một biểu thức lượng

giác, logarithm, hàm mũ, hàm hữu tỷ

> p:=1/(a*(a-b)*(a-c))+1/(b*(b-a)*(b-c))+1/(c*(c-a)*(c-b)):

> %=simplify(%);

2 right hand side

3 Hàm rhs được dùng với 2 dấu %, vì sau khi thực hiện lệnh lhs(%);,biến % đã trở thành.phải thêm một dấu % thứ hai để có được đúng giá trị bên phải dấu bằng.

csgn(x) là hàm cho ra 1 nếu Re(x)¥ 0[4],và cho -1 nếu Re(x)  0.

Tại sao? Trước khi trả lời, chúng ta đừng bao giờ quên rằng đây là môi trường tính toánhình thức, điều đó có nghĩa là Maple phải làm việc trên các ký tự chứ không phải những con số

Khi ta viết ký tự x, trong đầu mình đã nghĩ ngay đến một con số (thậm chí là số dương) Nhưng

Maple không nghĩ như thế, nó sẽ hiểu đây là một biến bất kỳ, có thể là một số phức, một matrận, hay một đồ thị Và trong tất cả những "giả thuyết" này, số phức là hợp lý hơn cả và câu trả

lời của Maple (csgn(x)x) là hoàn toàn chính xác Để kiểm chứng, ta có thể "bảo" cho Maple rằng x là một số thực bằng cách dùng hàmassume:

> assume(x,real):

> sqrt(xˆ2):%=simplify(%);

?

x 2 =|x |

Dấu ˜được thêm khi một biến đượcassume Tuy nhiên kể từ bây giờ để dễ đọc chúng ta sẽ

bỏ qua và không hiển thị ký tự này Và khi x¡ 0:

> assume(x,real):

> sqrt(xˆ2):%=simplify(%);

?

x2 = x

Nói tóm lại, trước khi áp dụng một quy tắc đơn giản, Maple phải xét đến bản chất của biến

Nhưng trước khi đi vào các thí dụ, chúng ta sẽ giải phóng x trở lại tình trạng ban đầu đồng thời

để tránh lặp đi lặp lại chữsimplify, ta sẽ viết tắt thànhSpqua lệnhalias:

4 Trong Maple, phần thực củaxký hiệu là Re(x), phần phức là Im(x)

5 Dấu nháy đơn để tránh Maple tự động đơn giản khi x>0

1.2 Các thao tác trên một biểu thức

ˆ Khai triển đa thức (phá dấu ngoặc, hiểu theo nghĩa rộng)

ˆ Biểu diễn các hàm lượng giác theo nx thành hàm theo x

> sqrt((4+sqrt(3))*(4-sqrt(3))):%=expand(%);

b

(4 +?3(4
?3)) =?

Trong trường hợp các đa thức bậc cao (¡ 2) thường phải dùng lệnhsolve (giải phươngtrình) để tìm nghiệm trước khi thừa số hoá:

Qua kết quả này chúng ta thấy Maple rất "thông minh" Chỉ có?6

3 được khai báo nhưngtrong quá trình thừa số hoá, Maple cũng tìm ra được 32/3 Một chi tiết quan trọng cần lưu ý lànghiệm của đa thức là 3/2?6

3 nhưng ta chỉ khai báo?6

3 và phải bỏ qua thừa số 3/2:

1.2 Các thao tác trên một biểu thức

Lưu ý là khi dùng vớisymbolic, cần thiết phải xác định hàm toán học nào cần phải gom

Lệnh convert: biến đổi

Biến đổi một biểu thức toán học sang dạng khác Đây là lệnh phức tạp nhất(gần 100 cáchbiến đổi khác nhau):

Giống như trường hợpfactor, nếu đa thức có nghiệm vô tỷ hoặc phức, cần phải khai báo

các nghiệm này Giả sử muốn phân tích đa thức p = x2+ 8, phải thừa số hoá 1

p với I

?

2 trướckhi phân tích:

6 Ngược vớiSimplify

7 Giốngfactor, ngược vớiexpand

8 Ngược vớiexpand

ˆ Cho hàm số f(x) = sin(x), giá trị tại x = π

3 được viết như một ký hiệu quen thuộc: f (

ˆ Để biến một mệnh đề sang một hàm mũi tên:

> g:=unapply(p,x): g(2);

0

Đây là một lệnh quan trọng vì nó cho phép khai báo một hàm (mũi tên) từ một kết quảphức tạp

1.4 Các thao tác trên một dãy

ˆ Một dãy có thể được khai báo bằng cách khai báo từng phần tử hoặc bằng hàmseq Nó

có thể có hoặc không có dấu ngoặc vuông:

Lưu ý cách sử dụng khi dãy khai báo với ngoặc vuông hoặc không ngoặc vuông

ˆ Khai báo dãy bất kỳ bằng hàmrand(random):

> k:=rand(-15 15):

> X:=seq(k(),i=1 20); Y:=[seq(k(),i=1 17)];

1.4 Các thao tác trên một dãy

X := 8, 14,
11, 0, 14, 14,
6,
9, 4,
2, 2, 10, 0,
13, 15, 14,
8, ,
5, 5, 6

Y := [13, 15,
12,
13,
2,
9, 9, 7,
6,
7, 6,
10,
5,
11, 9,
14, 9]

ˆ Tìm các phần tử x i   4 và chia chẵn cho 3, các số nguyên tố trong Y :

> select(i
¡i>4 and i mod 3 = 0, [X]); select(i
¡isprime(i),Y);

p := x = sin(t), y = cos(t)2, z = 1 + cos(u)

Tìm những phần tử trong p không có cos(t):

> remove(has,[p],cos(t));

[x = sin(t), z = 1 + cos(u)]

Trong lệnh trên hàmdiff(p,x)dùng để lấy đạo hàm mệnh đề p theo x HàmDiff(với

chữ D hoa), được gọi là dạng tĩnh (inert form) của hàmdiff(p,x) Nó chỉ có tác dụngviết ký hiệu d

Trong trường hợp nguyên hàm của một mũi tên, phải biến đổi sang dạng mệnh đề (f (x)

là mệnh đề tương ứng với hàm mũi tên f ):

> Int(f(x),x):%=value(%);

»

sin(nx)dx =
cos(nx)

n

s := RootOf ( Z4
4 Z3+ 1, index = 1), RootOf ( Z4
4 Z3+ 1, index = 2)

Để thấy giá trị dạng đó lẻ (float), dùngevalf(ở đây hiển thị 5 số lẻ):

10 Đôi khi lệnhfsolvekhông cho ra hết các nghiệm thực, lúc đó phải xác định thêm (bằng đồ thị) khoảng cách

ly nghiệm Thí dụfsolve(f,x=a b)sẽ cho 1 nghiệm của f trong khoảng [a,b]

2 +

?52

)n

?55

(1

2

?52)n

> y0=y(x): y1=diff(y(x),x): y2:=diff(y(1),x): CB:='color=blue':

> eq:=y1-y0ˆ2+3*y0; dsolve(eq);(lệnhdsolvengoặc nhọn không bắt buộc)

s := proc(x rkf 45) end proc

Mặc định Maple dùng phương pháp Runge-Kutta 4 nút để giải phương trình vi phân [12].Kết quả cách giải số là một dãy nhiều phần tử Để hiển thị một phần tử (thí dụ ở hoành

Phép giải giải tích không cho kết quả Để giải bằng phương pháp số, điều quan trọng nhất

là phải gán trị số cho tất cả các biến:

118

8990

415

51841

45

215

29

v := [5, 1, t[1, 13/2,
2]u], [3, 1, t[1, 49/4,
13, 2]u], [
6, 1, t[1, 1,
2]u]

Kết quả là một dãy ba phần, mỗi phần gồm ba phần tử Phần tử thứ nhất là trị riêng, thứhai là số bội, thứ ba là véc-tơ riêng tương ứng Từ ba véc-tơ này có thể xây dựng ma trậnchuyển vị:

99
49

4

5211

14299

26

9
1611

Lưu ý: P tại (1.1) khác với P tại (1.2) vì hai ma trận đường chéo tương ứng không giống

nhau Tại (1.1), ma trận đường chéo làdiag(5,3,-6), tại (1.1) là(-6,5,3)

ˆ Khai báo ma trận bằng hàm mũi tên và kích thước động

Chương 1 Cú pháp Maple

Khai báo như trên, kích thước của ma trận luôn là 4 Cách hay nhất là tạo một hàm mũi

tên với tham số là n

> C:=n
¡matrix(n,n,(i,j)
¡if i=j then 0 elif i>j then -1 else

Lập trình Maple rất đơn giản, chỉ cần biết cú pháp và nhớ vài chi tiết:

ˆ Lệnh đầu tiên là tên chương trình:=proc(tham số) Lệnh sau cùng làend: Để xuốnghàng nhấn Shift+Enter

ˆ Không được sửa biến đầu vào Giả sử tham số đầu vào là u và a là một biến bất kỳ, ta có

thể viếtu:=a Trong trường hợp này Maple sẽ xuất ra một thông báo sai:

Error, (in pgm) illegal use of a formal parameter (1.10.1)

ˆ Kết quả của lênh sau cùng trướcend: (khác với lênhprint) có thể in ra và có thể đượcgán vào một biến

ˆ Chỉ có hai lệnh cần nhớ là lệnh{if fi}và{for do od}hay{for

while do od} fiviết tắt củaend if, odviết tắt củaend do

Chương trình sau có tênrsortcó công dụng sắp xếp một dãy số thực[13]

Ở dòng 3 nếu bỏ lệnhu:=u1: và làm việc trực tiếp trênu1, sẽ nhận được thông báo 1.3

Lý do là vì đã sửa biến đầu vào u1

Ở dòng 10, lệnhprint(k)xuất ra kết quả 10 [14] và lệnhu:xuất ra dãy đã được sắp xếp

Nhưng chỉ có dãy u mới có thể được gán và biến q.

Kiểm chứng: q[5] = ln(3).

13 Trong Maple có lệnhsort, nhưng lệnh này chỉ có tác dụng trên các dãy có phần tử hửu tỷ Các số dòng được thm vào để dễ cắt nghĩa.

14k = 10 tương ứng với số lần lặp = 5 4/2

Khai thác sau khi biên dịch

Mục đích của lập trình trước tiên là gom các dòng lệnh vào trong một thuật toán, nhưng còn

một tiện ích khác là sau khi biên dịch (compiler), chúng ta có thể lưu lại trong một f ile để dùng

về sau mà không cần biên dịch lại F ile này có dnagj nhị phân, còn được gọi là tập tin thực thi (executable) f ile Trong Maple, tập tin này có đuôi làm Lệnh tạo ra tập tin này là:

ˆ mslà tên của thuật toán (còn gọi là chương trình con)

ˆ pgm.mlà tên của tập tin thực thi của thuật toánms

ˆ work.mwslà tên của worksheet tạo ra thuật toánms

ˆ test.mwslà tên của worksheet gọi thuật toánms

2334

45







Hình 1.4: Sơ đồ tạo và sử dụng tập tin thực thi

Các phần tử p đều là những phân số nên cách viết này khá "tốn chỗ" Dưới đây chúng ta

sẽ thực hiện một chương trình có tênmsimplyđể đặt mẫu số chung msimplyđược viết trong

Bảng 1.2: Sử dụng worksheet với tập tin thực thi làpgm1.m

(Lệnh ilcm tính bội số chung nhỏ nhất của một dãy số, denom(x) là mẫu số của phân số x)

Sau khi tạopgm1.mtrong một worksheet mới ta làm:

> restart: read "D:/My path/pgm1.m":

2334

45

hai tham số: ma trận và bậc lũy thừa:

Sau khi tạopgm2.mtrong một worksheet mới ta sẽ lần lượt khai báo một ma trận m, gọi

hai thuật toánmsimplyvàmjorđể dùng một lúc tính và thu gọn m3:

> restart:

]3

= 172

[

444 642

214 123

]

Lưu ý: Thí dụ trên chỉ có mục đích nêu cách tạo và sử dụng tập tin thực thi Ở đây chúng

ta có thể tính m10dễ dàng, nhưng với một ma trận vuông bậc 3 có phân số, dùng các thuật toántrên là không khả thi vì kết quả quá phức tạp

Ngược lại, có những dạng không thể lấy được nguyên hàm dưới dạng giải tích hoặc kết quả

là những hàm siêu việt (transcendant) Trong trường hợp đó bắt buộc phải lấy giá trị gần đúng:

Trong kết quả 1.4, dấu nguyên hàm (

») của vế bên trái màu đen, đây là ký hiệu của lệnh tĩnhInt, còn dấu nguyên hàm vế trái màu xanh [15] Điều đó có nghĩa Maple không tính được vàcũng không thể biểu diễn kết quả dưới dạng các hàmSi, Ei, Elliptic, hypergeom Tuy nhiên, có nhiều trường hợp Maple "bó tay" như 1.4, nhưng với vài biến đổi, người tavẫn có thể tìm ra lời giải giải tích Hai cách biến đổi thông thường mà mọi người đều biết lànguyên hàm từng phần và biến đổi Dưới đây là một vài thí dụ đơn giản (mà Maple giải dễdàng):

Để phương pháp này (cũng như phương pháp đổi biến) thực sự có ý nghĩa, ta chỉ có thể

áp dụng lệnhvaluekhi biểu thức đó đơn giản và có thể nhìn ngay ra kết quả bằng cáccông thức quen thuộc

15 Kể từ phiên bản V9, tất cả đều mang màu xanh