Phương pháp đơn giản hóa đường cong và đa giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG  LÊ NHẬT HUYẾN PHƢƠNG PHÁP ĐƠN GIẢN HÓA ĐƢỜNG CONG VÀ ĐA GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG  LÊ NHẬT HUYẾN ĐƠN GIẢN HÓA ĐƢỜNG CONG VÀ ĐA GIÁC Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Ngô Quốc Tạo Thái Nguyên - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 PHẦN MỞ ĐẦU Hiện nay, cùng với sự phát triển của xã hội, vấn đề về tìm kiếm, lƣu trữ và truyền tải thông tin đang rất đƣợc quan tâm tại mọi quốc gia trên thế giới. Đặc biệt là đối với thông tin dạng hình ảnh. Các hệ thống thu, nhận và xử lí hình ảnh đƣợc ra đời với độ chính xác ngày càng cao. Một trong các bài toán về xử lí ảnh là giảm dung lƣợng của hình ảnh mà vẫn giữ đƣợc hình ảnh gần nhƣ ban đầu. Vì giảm dung lƣợng hình ảnh sẽ giúp cho việc thu, nhận, xử lí thông tin đƣợc nhanh chóng và hiệu quả hơn. Bên cạnh đó, việc thu thập, xử lý và lƣu trữ thông tin qua ảnh đang đƣợc quan tâm và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Với phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong số này chúng ta có thể thu nhận đƣợc các thông tin hình ảnh nhƣ mong muốn. Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính đã tạo môi trƣờng thuận lợi cho bài toán đơn giản hóa đƣờng cong. Một số các thuật toán đơn giản hóa đã ra đời và có độ chính xác cao, tuy nhiên tùy vào từng thuật toán và giá trị ngƣỡng cụ thể mà cho ra những kết quả khác nhau. Ngày nay việc xử lý tự động đƣợc ứng dụng ngày càng nhiều trong các hệ thống điều khiển. Nhận dạng, xử lý ảnh, đồ hoạ, tổng quát hoá bản đồ và cụ thể là phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong rất cần để thu gọn dữ liệu tăng tốc độ xử lý giảm bớt không gian lƣu trữ. Mục đích của việc đơn giản hóa đƣờng cong là giảm bớt các điểm dƣ thừa mà vẫn giữ đƣợc hình dạng vốn có của nó. Một số thuật toán có thể tự động đơn giản hóa giúp cho công việc trở nên nhanh chóng và dễ dàng hơn. Tuy nhiên, mỗi thuật toán có những ƣu nhƣợc điểm khác nhau. Chính vì lý do đó, tôi đã quyết định chọn đề tài “Phương pháp đơn giản hóa đường cong và đa giác” là hƣớng nghiên cứu chính cho luận văn của mình. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn đƣợc tổ chức thành ba chƣơng với bố cục nhƣ sau: Chương I: Khái quát về xử lý ảnh và đơn giản hóa đƣờng cong. Giớí thiệu khái quát bài toán đơn giản hóa đƣờng cong và đa giác. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nƣớc về lĩnh vực. Các ứng dụng của việc đơn giản hóa. Chƣơng II: Các phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong và đa giác Thu thập và tìm hiểu các kết quả đã đƣợc nghiên cứu để phục vụ cho việc so sánh thử nghiệm. Trình bày các giải pháp kỹ thuật, thuật toán nhằm nâng cao chất lƣợng và độ chính xác cho kết quả. Chƣơng III: Chƣơng trình thử nghiệm Xây dựng và cài đặt chƣơng trình thử nghiệm, bao gồm mô tả bài toán, tập dữ liệu thử nghiệm, thiết kế hệ thống, cài đặt thuật toán và đánh giá kết quả thử nghiệm. Các kết quả đạt đƣợc:  Trình bày tổng quan về tổng quát hóa đƣờng cong và những ứng dụng trong xử lý ảnh.  Trình bày nội dung chi tiết về các phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong nhƣ: Phƣơng pháp điểm thứ n, phƣơng pháp khoảng cách vuông góc, phƣơng pháp Angularity, phƣơng pháp Reuman-Witkam, phƣơng pháp Bandwith, phƣơng pháp hình tam giác, phƣơng pháp Lang, phƣơng pháp Douglas-Peuker và ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số khó khăn trong quá trình xử lý và hiện thị bản đồ.  Đánh giá các ƣu nhƣợc điểm của các phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong tự động. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5  Chƣơng trình đƣợc viết bằng ngôn ngữ Visual C ++ 6.0 chủ yếu là mô phỏng các thuật toán bẵng dữ liệu là các đƣờng cong đã có sẵn với ba thuật toán đơn giản hóa. Đơn giản hóa đƣờng cong đƣợc ứng dụng rất có hiệu quả trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm các hệ thống thông tin địa lý (GIS), đồ họa, xử lý ảnh, và nén dữ liệu. Một trong những ứng dụng quan trọng nhất là để khái quát hóa bản đồ. Các thuật toán này trong tƣơng lai khi đƣợc áp dụng vào tệp dữ liệu ảnh bản đồ sinh ra từ các tệp chuẩn sẽ thu đƣợc kết quả rất tốt phục vụ cho công việc xử lý tự động hóa ảnh bản đồ Việt Nam. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 CHƢƠNG I KHÁI QUÁT VỀ XỬ LÝ ẢNH VÀ ĐƠN GIẢN HÓA ĐƢỜNG CONG 1.1. Giới thiệu chung về xử lý ảnh. Trong thực tế ảnh là một vùng liên tục về không gian và giá trị độ sáng, màu sắc đƣợc đƣa vào máy tính là một ma trận hai chiều tập của các số nguyên mô tả ảnh. Nhƣ vậy trƣớc khi đƣa vào máy tính ta phải rời rạc hóa ảnh bằng cách biến đổi tín hiệu liên tục sang tín hiệu rời rạc thông qua quá trình lấy mẫu và lƣợng hóa thành phần giá trị. Trong quá trình này, ngƣời ta sử dụng khái niệm đơn vị ảnh cơ sở mà ta quen gọi là Pixel (điểm ảnh). Nhƣ vậy, ảnh là một tập hợp các điểm ảnh. Khi đƣợc số hóa, nó sẽ đƣợc biểu diễn bởi một ma trận hai chiều mà trong đó mỗi phần tử là một giá trị nguyên hoặc một vectơ cấu trúc màu. Xử lý ảnh là dùng các kỹ thuật xử lý để biến đổi một ảnh sang ảnh mới theo mục đích của ngƣời sử dụng. Xử lý ảnh bao gồm các phƣơng pháp và kỹ thuật biến đổi, truyền tải hoặc mã hóa các ảnh tự nhiên nhƣ dịch, xoay, làm rõ, xóa lỗi Cũng nhƣ xử lý dữ liệu bằng đồ hoạ, xử lý ảnh số là một lĩnh vực của tin học ứng dụng. Tuy nhiên, xử lý dữ liệu bằng đồ hoạ đề cập đến những ảnh nhân tạo, các ảnh này đƣợc xem xét nhƣ là một cấu trúc dữ liệu và đƣợc tạo ra bởi các chƣơng trình. Đồ hoạ máy tính chủ yếu là tổng hợp các hình ảnh, trong khi xử lý ảnh là phân tích các ảnh tìm ra các dấu hiệu cơ bản đặc trƣng cho ảnh. Các vấn đề cơ bản của xử lý ảnh gồm: biểu diễn ảnh, tăng cƣờng chất lƣợng ảnh, khôi phục ảnh, biến đổi ảnh, phân tích ảnh, nhận dạng ảnh, nén ảnh 1.1.1. Tổng quan về một hệ thống xử lý ảnh. Con ngƣời thu nhận thông tin qua các giác quan, trong đó thị giác đóng vai trò quan trọng nhất. Những năm trở lại đây với sự phát triển của phần Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 cứng máy tính, xử lý ảnh và đồ hoạ đó phát triển một cách mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Xử lý ảnh và đồ hoạ đóng một vai trò quan trọng trong tƣơng tác ngƣời máy. Quá trình xử lý ảnh đƣợc xem nhƣ là quá trình thao tác ảnh đầu vào nhằm cho ra kết quả mong muốn. Kết quả đầu ra của một quá trình xử lý ảnh có thể là một ảnh “tốt hơn” hoặc một kết luận. Hình 1.1: Quá trình xử lý ảnh Ảnh có thể xem là tập hợp các điểm ảnh và mỗi điểm ảnh đƣợc xem nhƣ là đặc trƣng cƣờng độ sáng hay một dấu hiệu nào đó tại một vị trí nào đó của đối tƣợng trong không gian và nó có thể xem nhƣ một hàm n biến P(c1, c2, , cn). Do đó, ảnh trong xử lý ảnh có thể xem nhƣ ảnh n chiều. Một hệ thống xử lý ảnh hoàn chỉnh bao gồm: thu nhận ảnh, tiền xử lý, nhận dạng, phân tích ảnh, ra quyết định (Hình1.2). Hình 1.2: Cấu trúc của một hệ xử lý ảnh. Ảnh đƣợc số hóa thông qua camera, scaner, máy chụp X-quang, máy ảnh số,… Ảnh cũng có thể đƣợc thu nhận từ vệ tinh qua các bộ cảm ứng. Thu nhận ảnh Số hoá Phân tích ảnh Nhận dạng CAMERA SENSOR Lƣu trữ Lƣu trữ Hệ quyết định Ảnh XỬ LÝ ẢNH Ảnh “tốt hơn” Kết luận Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Tiếp theo là quá trình số hóa để biến đổi tín hiệu tƣơng tự sang tín hiệu rời rạc. Sau đó ảnh đƣợc lƣu trữ dƣới dạng tệp tin trên máy tính theo một định dạng ảnh chuẩn. Tiền xử lý là công việc tăng cƣờng ảnh để nâng cao chất lƣợng ảnh. Các thao tác tiền xử lý bao gồm: xóa nhiễu, làm trơn biên, khôi phục ảnh, làm nổi ảnh, tách cạnh, Sau đó, ảnh có thể đƣợc nén để giảm không gian lƣu trữ do kích thƣớc ảnh thông thƣờng là rất lớn. Trích chọn dấu hiệu: mỗi đối tƣợng trong ảnh có các đặc trƣng riêng. Các đặc trƣng này đƣợc trích chọn phụ thuộc vào phƣơng pháp nhận dạng. Trong một ứng dụng có nhiều phƣơng pháp nhận dạng, mỗi phƣơng pháp nhận dạng lại có nhiều phƣơng pháp chọn dấu hiệu khác nhau. Trích chọn dấu hiệu có thể là phát hiện các đặc tính nhƣ biên, phân vùng ảnh, trích chọn các đặc tính Từ đó có thể nhận dạng đƣợc ảnh thông qua những dấu hiệu đã trích ra với sai số cho phép. Nhận dạng là quá trình nhận biết và đánh giá các nội dung của ảnh qua việc phân tích một hình ảnh thành những phần có nghĩa đề phân biệt đối tƣợng này với đối tƣợng khác. Dựa vào đó ta có thể mô tả cấu trúc của hình ảnh ban đầu. Có thể liệt kê một số phƣơng pháp nhận dạng cơ bản nhƣ nhận dạng biên của các một đối tƣợng trên ảnh, tách cạnh, trích xƣơng ảnh, phân đoạn hình ảnh, Kỹ thuật này đƣợc dùng nhiều trong y học (xử lý tế bào, nhiễm sắc thể), nhận dạng chữ trong văn bản, nhận dang vân tay, Hậu xử lý là giai đoạn cuối của quá trình xử lý ảnh dựa trên kết quả ta có thể so sánh, phân tích đƣa ra các kết quả nhận dạng, ví dụ ta nhận ra những khuôn mặt của tội phạm, đồ vật mẫu, bản đồ địa hình, Kết quả ra của việc nhận dạng là giúp cho con ngƣời trong các xử lý tự động cần chính xác, kịp thời, nhanh chóng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 1.1.2. Các vấn đề cơ bản của xử lý ảnh 1.1.2.1. Biểu diễn ảnh Ảnh có thể biểu diễn dƣới dạng tín hiệu tƣơng tự hoặc tín hiệu số. Trong biểu diễn số của các ảnh đa mức xám, một ảnh đƣợc biểu diễn dƣới dạng một ma trận hai chiều. Mỗi phần tử của ma trận biểu diễn cho mức xám hay cƣờng độ của ảnh tại vị trí đó. Mỗi phần tử trong ma trận đƣợc gọi là một phần tử ảnh, thông thƣờng kí hiệu là PEL (Picture Element) hoặc là điểm ảnh (Pixel). Trong quá trình xử lý ảnh, một ảnh thu nhập vào máy tính phải đƣợc mã hóa. Hình ảnh khi lƣu trữ dƣới dạng tập tin phải đƣợc số hóa. Tiêu chuẩn đặt ra là ảnh phải đƣợc lƣu trữ thế nào sao cho các ứng dụng khác nhau có thể thao tác trên các loại dữ liệu này. Một số dạng ảnh đã đƣợc chuẩn hóa nhƣ GIF, BMP, PCX, ICO, JPG Ảnh trên máy tính là kết quả thu nhận theo các phƣơng pháp số hoá đƣợc nhúng trong các thiết bị kỹ thuật khác nhau. Quá trình lƣu trữ ảnh nhằm 2 mục đích: • Tiết kiệm bộ nhớ • Giảm thời gian xử lý Việc lƣu trữ thông tin trong bộ nhớ có ảnh hƣởng rất lớn đến việc hiển thị, in ấn và xử lý ảnh đƣợc xem nhƣ là 1 tập hợp các điểm với cùng kích thƣớc nếu sử dụng càng nhiều điểm ảnh thì bức ảnh càng đẹp, càng mịn và càng thể hiện rõ hơn chi tiết của ảnh ngƣời ta gọi đặc điểm này là độ phân giải. Việc lựa chọn độ phân giải thích hợp tuỳ thuộc vào nhu cầu sử dụng và đặc trƣng của mỗi ảnh cụ thể, trên cơ sở đó các ảnh thƣờng đƣợc biểu diễn theo 2 mô hình cơ bản. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Mô hình Raster Đây là cách biểu diễn ảnh thông dụng nhất hiện nay, ảnh đƣợc biểu diễn dƣới dạng ma trận các điểm (điểm ảnh). Thƣờng thu nhận qua các thiết bị nhƣ camera, scanner. Tuỳ theo yêu cầu thực thế mà mỗi điểm ảnh đƣợc biểu diễn qua 1 hay nhiều bít Mô hình Raster thuận lợi cho hiển thị và in ấn. Ngày nay công nghệ phần cứng cung cấp những thiết bị thu nhận ảnh Raster phù hợp với tốc độ nhanh và chất lƣợng cao cho cả đầu vào và đầu ra. Một thuận lợi cho việc hiển thị trong môi trƣờng Windows là Microsoft đƣa ra khuôn dạng ảnh DIB (Device Independent Bitmap) làm trung gian. Hình 1. thể hình quy trình chung để hiển thị ảnh Raster thông qua DIB. Một trong những hƣớng nghiên cứu cơ bản trên mô hình biểu diễn này là kỹ thuật nén ảnh các kỹ thuật nén ảnh lại chia ra theo 2 khuynh hƣớng là nén bảo toàn và không bảo toàn thông tin nén bảo toàn có khả năng phục hồi hoàn toàn dữ liệu ban đầu còn nếu không bảo toàn chỉ có khả năng phục hồi độ sai số cho phép nào đó. Theo cách tiếp cận này ngƣời ta đã đề ra nhiều quy cách khác nhau nhƣ BMP, TIF, GIF, PCX… Hiện nay trên thế giới có trên 50 khuôn dạng ảnh thông dụng bao gồm cả trong đó các kỹ thuật nén có khả năng phục hồi dữ liệu 100% và nén có khả năng phục hồi với độ sai số nhận đƣợc. Hình 1.3: Quá trình hiển thị và chỉnh sửa, lưu trữ ảnh thông qua DIB Một số mô hình thƣờng đƣợc dùng trong biểu diễn ảnh: Mô hình toán, mô hình thống kê. Trong mô hình toán, ảnh hai chiều đƣợc biểu diễn nhờ các hàm hai biến trực giao gọi là các hàm cơ sở. Với mô hình thống kê, một ảnh [...]... [Visvalingam và Whyatt năm 1993] và thuật toán của Wang và Müller [Wang và Müller 1998] 1.3.1 Khái niệm Đơn giản hóa đa giác là hành vi chuyển đổi một mô hình đa giác thành một phiên bản đơn giản hơn Nó làm giảm số lƣợng đa giác cần thiết để đại diện cho một mô hình trong khi cố gắng để giữ lại một hình dạng gần nhất với hình xuất hiện ban đầu Đơn giản hóa đa giác nhƣ xấp xỉ đa giác bởi các hình cơ sở, Đơn giản. .. Phƣơng pháp đơn giản hóa đa giác Tổng quát hóa là một thủ tục đƣợc sử dụng rộng rãi trong GIS để làm giảm dữ liệu, trong đó việc tổng quát hóa hình dạng của đa giác đƣợc coi là phức tạp nhất Vì hầu hết các phƣơng pháp đơn giản hóa đa giác cần phải chuyển đổi đa giác thành hình có nhiều nét hay các đƣờng cong Kết quả của việc đơn giản hóa sẽ bị ảnh hƣởng rất nhiều bởi sự lựa chọn điểm bắt đầu Đa giác. .. diễn 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG II PHƢƠNG PHÁP ĐƠN GIẢN HÓA ĐƢỜNG CONG VÀ ĐA GIÁC 2.1 Các phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong Đơn giản hóa đƣờng cong là một chức năng quan trọng trong bản đồ, đại diện cho hình học topo và cũng đƣợc sử dụng rộng rãi trong các gói phần mềm thƣơng mại (GIS) Hầu hết các thuật toán đơn giản hóa đƣờng cong đều yêu... sở, Đơn giản hóa đa giác của các hình ảnh 3D nhƣng trong luận văn này thì đa giác có thể 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hiểu là một đƣờng cong có trùng điểm đầu và điểm cuối, có thể phân chia đa giác thành hai đƣờng cong bằng cách nối hai đỉnh xa nhất của đa giác Đa giác đƣợc nêu ở đây có thể chỉ là một tam giác nhƣng cũng có thể là một đa giác gồm n... đa giác 2.2 Phân tích lỗi và cải tiến thuật toán Đơn giản hóa đƣờng cong luôn đi kèm với vị trí hình ảnh không chính xác ở phiên bản đơn giản Là một sản phẩm của quá trình đơn giản hóa, đơn giản trong một hình có nhiều nét thƣờng khác so với hình ban đầu, do đó gây ra sự bóp méo về hình dạng Trong phần này các phép đo lỗi đƣợc thực hiện để kiểm tra và kết luận độ chính xác của các phƣơng pháp đơn giản. .. là đơn giản hóa vùng, là trong một thời điểm dòng duy nhất đƣợc đơn giản hóa cùng với sự xem xét trong vùng lân cận của nó Cuối cùng sẽ thu đƣợc một tập các dòng đƣợc đơn giản hóa và chúng đƣợc tái thiết lại để trở thành bản đồ đƣợc đơn giản hóa Đơn giản hóa đa giác có hai ứng dụng chính Thứ nhất là làm sạch biểu hiện nhiễu của một đa giác, có thể thu đƣợc bằng cách quét một hình ảnh của một đối tƣợng... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 2.7c: Tiến trình sẽ lặp đi lặp lại cho đến đỉnh cuối cùng Hình 2.7: Thuật toán hình tam giác Thuật toán hình tam giác dựa trên các phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong bằng đo lƣờng toán học Vùng diện tích thay thế giữa đƣờng cong ban đầu và đƣờng cong đƣợc đơn giản đƣợc xác định nhƣ một tiêu chí đo lƣờng của đơn giản hóa. .. mức độ đơn giản hóa đƣợc áp dụng Ngoài ra các thuật toán cũng có thể tự động đƣa ra các giá trị ngƣỡng và có thể đó là sự tự động lựa chọn giá trị ngƣỡng tối ƣu tùy thuộc vào các biến thể trên tập dữ liệu Phần lớn các thuật toán đơn giản hóa đều không hoạt động bằng cách xác định giá trị ngƣỡng dự phòng này để tính toán và giữ lại các đặc điểm nổi bật của đa giác Hầu hết các Phƣơng pháp đơn giản hóa đều... quan về đơn giản hóa đa giác Đa giác là các bản vẽ cơ bản nhất trong đồ họa máy tính Chuyên ngành đồ họa phần cứng máy tính có thể vẽ chúng một cách rất nhanh chóng và đa giác có thể đại diện gần nhƣ giống nhất cho bất kỳ một mô hình nào Nhƣng để đại diện cho một mô hình ba chiều thƣờng đòi hỏi một số lƣợng lớn các đa giác Ví dụ trong lĩnh vực tìm kiếm làm mịn có thể cần đến ít nhất vài nghìn đa giác. .. biên của đa giác sẽ làm giảm số lƣợng các phân đoạn (điểm trùng hoặc giao tiếp nhau)  Giảm thời gian dựng hình Với nhiều lý do khác quy định đƣợc nêu trên, đã có rất nhiều phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong và chúng đều có những ƣu nhƣợc điểm khác nhau với các điều kiện cụ thể Các thuật toán đơn giản hóa có thể đƣợc nhóm lại nhƣ sau:  Phƣơng pháp điểm độc lập  Phƣơng pháp xử lý vùng  Phƣơng pháp xử . đƣờng cong và đa giác. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nƣớc về lĩnh vực. Các ứng dụng của việc đơn giản hóa. Chƣơng II: Các phƣơng pháp đơn giản hóa đƣờng cong và đa giác Thu thập và tìm. 1.3. Đơn giản hóa đa giác và ứng dụng. Đơn giản hóa đa giác là một trong những đối tƣợng nghiên cứu kỹ lƣỡng nhất trong khái quát bản đồ. Nó làm giảm số lƣợng các đỉnh của một chuỗi các đa giác. [Visvalingam và Whyatt năm 1993] và thuật toán của Wang và Müller [Wang và Müller 1998]. 1.3.1. Khái niệm Đơn giản hóa đa giác là hành vi chuyển đổi một mô hình đa giác thành một phiên bản đơn giản