Quy hoạch tuyến tính suy rộng luận án thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Đình Phước QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính 4 1.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính và tính chất . . . . . . . 4 1.1.1 Nội dung bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Cặp bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Các quan hệ đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Ví dụ bài toán đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Phương pháp đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Các bước thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Ví dụ về thuật toán đơn hình . . . . . . . . . . . 13 2 Qui hoạch tuyến tính suy rộng 15 2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng . . . . . . . . . 15 2.1.1 Mô hình toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Bài toán suy rộng tương đương . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Ví dụ về bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng 20 2.1.4 Trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Phương pháp Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Cơ sơ phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . 24 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2.2 Ví dụ minh họa phương pháp Wolfe . . . . . . . 29 2.2.3 Trường hợp D j không bị chặn . . . . . . . . . . 33 2.2.4 Sự hội tụ hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ của GS.TS Trần Vũ Thiệu (Viện Toán học Việt Nam). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học khóa 5 (2011 - 2013) đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 01 năm 2013. Người viết Luận văn Phạm Đình Phước 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) là bài toán tối ưu đơn giản nhất. Đó là bài toán tìm cực tiểu (hay cực đại) của một hàm tuyến tính với các ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính. Qui hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết và thực tiễn. Phương pháp đơn hình (do G. B. Dantzig đề xuất năm 1947) là phương pháp quen thuộc, có hiệu quả để giải bài toán qui hoạch tuyến tính và các bài toán đưa được về qui hoạch tuyến tính. Mô hình toán học của bài toán qui hoạch tuyến tính như sau: Tìm các biến số x j = (1, 2, . . . , n) sao cho: c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n → min với điều kiện a i1 x 1 + a i2 x 2 + . . . + a in x n = b i , i = (1, 2, . . . , m) x j ≥ 0, j = (1, 2, . . . , n) trong đó a ij , b i , và c j là các hằng số cho trước (m, n nguyên dương). Có thể giải thích ý nghĩa thực tiễn của bài toán qui hoạch tuyến tính như sau: Có n phương thức sản xuất, ký hiệu j = 1, , n. Phương thức sản xuất j hoạt động ở cường độ đơn vị sẽ cho ra a ij đơn vị sản phẩm i (i = 1, , m) và tốn một chi phí là c j . Giả thiết số các sản phẩm làm ra và chi phí tỉ lệ thuận với cường độ hoạt động của mỗi phương thức sản xuất (giả thiết tuyến tính). Hỏi cần sử dụng những phương thức sản xuất nào và với cường độ bao nhiêu để có thể sản xuất ra được các sản phẩm với số lượng định trước tương ứng là b 1 , . . . , b m , và sao cho tốn ít chi phí nhất? 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Khi mô hình hóa các hệ thống sản xuất thực tiễn, ta thường gặp các hệ số đầu vào của một hay nhiều phương thức hoạt động không nhận các giá trị cố định (giống như trong bài toán qui hoạch tuyến tính đã mô tả) mà mỗi cột hệ số thứ j (véctơ  A j = (c j , a 1j , , a mj ) T ) trong bài toán được lựa chọn một cách tùy ý từ một tập lồi đa diện D i ⊂ R n cho trước. Lớp bài toán này được gọi là bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng (Generalized Linear Programming)(GLP). Philip Wolfe là người đầu tiên đã nghiên cứu bài toán này (xem [6], trang 267) và bài toán đã được biết đến trong [5] và sau đó trong [3]. Tên gọi của bài toán xuất phát từ nhận xét là bài toán này trở thành bài toán qui hoạch tuyến tính thông thường khi  A 1 ,  A 2 , . . . ,  A n là các véctơ hằng, nghĩa là khi mỗi tập D j chỉ gồm duy nhất một phần tử. Còn bây giờ là các véctơ biến cần được xác định, vì thế hàm mục tiêu và các ràng buộc trong bài toán (GLP) là ràng buộc song tuyến tính và (GLP) là một bài toán toàn phương không lồi (xem [2], [3]). Tuy nhiên, sự giống nhau giữa hai bài toán này gợi ra ý tưởng xây dựng thuật toán hiệu quả giải bài toán (GLP). Thuật toán ban đầu do Wolfe (xem [6]) đề xuất có thể xem như một sự mở rộng trực tiếp của phương pháp đơn hình cổ điển. Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu và trình bày các kết quả đã có về bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng, đặc biệt là về phương pháp giải bài toán. Luận văn gồm lời nói đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1 với tiêu đề "Kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính" trình bày nội dung và các tính chất cơ bản của bài toán qui hoạch tuyến tính, khái niệm bài toán đối ngẫu và các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính. Phương pháp đơn hình Dantzig giải bài toán qui hoạch tuyến tính được nhắc lại ở chương này, với đầy đủ cơ sở lý luận và ví dụ bằng số để minh họa. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 2 với tiêu đề "Qui hoạch tuyến tính suy rộng" đề cập tới bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng. Giới thiệu mô hình toán học của bài toán và nêu cách đưa bài toán về bài toán quy hoạch tuyến tính suy rộng tương đương, gọi là bài toán chủ, dễ xử lý hơn. Bài toán chủ với số ràng buộc như cũ nhưng có rất nhiều biến. Cột hệ số của các biến này sẽ được tìm dần khi cần, nhờ giải các bài toán phụ trên các tập D j . Trình bày thuật toán Wolfe giải bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng, thông qua giải các bài toán phụ thu hẹp. Chứng minh tính hữu hạn của phương pháp giải và xây dựng các ví dụ bằng số để minh họa. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tôi tiếp tục hoàn thiện luận văn này. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Kiến thức cơ sở về qui hoạch tuyến tính Chương này trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản cần thiết về qui hoạch tuyến tính, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, các quan hệ đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính và phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính. Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1] và [2]. 1.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính và tính chất 1.1.1 Nội dung bài toán Quy hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu hay cực đại của một hàm tuyến tính f(x) trên một khúc lồi R n được xác định bởi một hệ phương trình hay bất phương trình tuyến tính cho trước. Bài toán này có dạng: tìm các biến số x 1 , x 2 , . . . , x n thỏa mãn điều 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 kiện:                 n j=1 a ij x j ≤ b i , i = 1, . . . , m 1 , (1.1)  n j=1 a ij x j ≥ b i , i = m 1 + 1, . . . , m 1 + m 2 , (1.2)  n j=1 a ij x j = b i , i = m 1 + m 2 + 1, . . . , m, (1.3) x j ≥ 0, j = 1, . . . , n 1 , x j ≤ 0, j = n 1 + 1, . . . , n 1 + n 2 ≤ n, (1.4) và hàm số f(x) =  n j=1 c j x j đạt cực tiểu. Ở đây a ij , b i , c j là các hằng số cho trước. Trong bài toán trên, f gọi là hàm mục tiêu, mỗi hệ thức ở (1.1), (1.4) gọi là một ràng buộc. Mỗi ràng buộc (1.1), (1.3) gọi là một ràng buộc chính (dạng đẳng thức hay bất đẳng thức), mỗi ràng buộc x j ≥ 0 hay x j ≤ 0 là một ràng buộc về dấu. Điểm x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R n thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là một điểm chấp nhận được hay một phương án. Tập hợp tất cả các phương án, ký hiệu là D, gọi là miền ràng buộc hay miền chấp nhận được. Một phương án đạt cực tiểu của hàm mục tiêu gọi là một phương án tối ưu hay một lời giải của bài toán đã cho. Bài toán có ít nhất một phương án tối ưu gọi là bài toán có lời giải. Bài toán không có phương án (miền ràng buộc rỗng D = ∅) có phương án nhưng không có phương án tối ưu, do hàm mục tiêu giảm vô hạn (bài toán tìm min) hoặc tăng vô hạn (bài toán max), gọi là bài toàn không có lời giải. • Dạng chuẩn tắc: min  f(x) = c T x : Ax ≥ b, x ≥ 0  , trong đó A ∈ R m×n (ma trận cấp m × n), b ∈ R n + . Trong bài toán tập ràng buộc D = {x ∈ R n : Ax ≥ b, x ≥ 0} là một tập lồi đa diện. • Dạng chính tắc: max  f(x) = c T x : Ax = b, x ≥ 0  , 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 trong đó A ∈ R m×n (ma trận cấp m × n), b ∈ R n + . Trong bài toán tập ràng buộc D = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} là một tập lồi đa diện. Trong các bài toán trên f(x) được gọi là hàm mục tiêu. Mỗi bất phương trình (Ax) i ≥ b i hay phương trình (Ax) i = b i gọi là một ràng buộc chính, x j ≥ 0, j = 1, . . . , n, gọi là các ràng buộc không âm hay ràng buộc về dấu. Véctơ (điểm) x ∈ D gọi là một phương án hay lời giải chấp nhận được của bài toán. Một phương án đạt cực tiểu của hàm mục tiêu f(x) gọi là một phương án tối ưu hay lời giải tối ưu của bài toán. 1.1.2 Các tính chất Định lý sau nêu điều kiện để một qui hoạch tuyến tính có lời giải tối ưu. Định lý 1.1. Nếu một qui hoạch tuyến tính có lời giải chấp nhận được và hàm mục tiêu bị chặn dưới trên tập ràng buộc (đối với bài toán min) thì qui hoạch đó chắc chắn có lời giải tối ưu. Định lý 1.2. Nếu x 0 là một phương án tối ưu của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng bất kỳ và nếu x 1 , x 2 (x 1 = x 2 ) là hai phương án thỏa mãn x 0 = λx 1 + (1 − λ)x 2 , 0 < λ < 1 thì x 1 , x 2 cũng là các phương án tối ưu của bài toán. Định nghĩa 1.3. Một lời giải chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời là đỉnh của D gọi là một phương án cực biên hay một lời giải cơ sở, nghĩa là x không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của bất kỳ hai phương án (lời giải chấp nhận được) khác của D. Định lý sau nêu một tính chất đặc trưng cho phương án cực biên (lời giải cơ sở) của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc với giả thiết m ≤ n và rank(A) = m. Định lý 1.4. Để một lời giải chấp nhận được ¯x = {¯x 1 , ¯x 2 , . . . , ¯x n } của qui hoạch tuyến tính chính tắc là lời giải cơ sở thì cần và đủ là các véctơ 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... 2 Qui hoạch tuyến tính suy rộng Chương này đề cập tới bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng và trình bày thuật toán Wolfe giải bài toán với đầy đủ cơ sở lý luận của phương pháp và các ví dụ minh họa bằng số cụ thể Nội dung của chương được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [5], [6] và [3] 2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng 2.1.1 Mô hình toán học Qui hoạch tuyến tính suy rộng là bài toán có... với (GLP) 2.1.2 Bài toán suy rộng tương đương Định lý sau đây cho thấy sự tương đương giữa hai bài toán qui hoạch suy rộng Định lý 2.1 Bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng (2.1) tương đương với bài toán suy rộng (2.2) sinh ra ở một vòng lặp nào đó của thuật toán Wolfe Bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng ban đầu: n cj xj → min j=1 với điều kiện n aij xj = bi , i = 1, , m, (2.1) j=1 xj ≥ 0, j =... 1.2 Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu Đối ngẫu là phương pháp mà ứng với mỗi qui hoạch tuyến tính đã cho (gọi là qui hoạch gốc), ta có thể thiết lập một qui hoạch khác (gọi là qui hoạch đối ngẫu) sao cho từ lời giải của bài toán này ta sẽ thu được thông tin về lời giải của bài toán kia 1.2.1 Cặp bài toán đối ngẫu Sau đây là hai dạng cặp bài toán đối ngẫu thường gặp • Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng... đơn hình Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính do G.B Dantzig đề xuất năm 1947 dựa trên hai tính chất quan trọng sau đây của bài toán qui hoạch tuyến tính: a) Nếu qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối ưu thì cũng có phương án cực biên tối ưu, nghĩa là có ít nhất một đỉnh của miền ràng buộc là lời giải b) Mỗi điểm cực tiểu địa phương của hàm tuyến tính (cũng là hàm lồi) trên một tập... phương án cực biên 1.3.2 Các bước thuật toán Thuật toán đơn hình dựa trên hai tính chất quan trọng sau: a) Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án tối ưu thì cũng có phương án cực biên (lời giải cơ sở) tối ưu b) Mỗi điểm cực tiểu địa phương của hàm tuyến tính trên một tập hợp lồi là một điểm cực tiểu toàn cục Thuật toán đơn hình bắt đầu từ một phương án cực biên tùy ý của bài toán mà... ≤ 0, ∀i ∈ J thì bài toán đã cho có trị tối ưu vô cực (−∞ đối với bài toán min) 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Định lý sau khẳng định tính hữu hạn của thuật toán đơn hình Định lý 1.14 Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính có phương án và mọi phương án cực biên của bài toán đều không suy biến thì thuật toán đơn hình sẽ cho phương án tối ưu (hữu hạn hay... hàm song tuyến tính và (GLP) là một bài toán toàn phương không lồi (xem [2], [3]) Tuy nhiên, sự giống nhau giữa hai bài toán này gợi ra ý tưởng xây dựng thuật toán hiệu quả giải bài toán (GLP) Thuật toán ban đầu do Wolfe đề xuất (xem [6]) có thể xem như một sự mở rộng trực tiếp của phương pháp đơn hình cổ điển Trong mục sau ta sẽ nêu bài toán suy rộng tương đương với (GLP) 2.1.2 Bài toán suy rộng tương... thành phần xj > 0 là độc lập tuyến tính Người ta phân ra hai loại lời giải cơ sở: không suy biến nếu lời giải đó có số thành phần dương bằng m và suy biến nếu trái lại (số thành phần dương nhỏ hơn m) Định lý sau cho thấy qui hoạch tuyến tính chính tắc có phương án cực biên Định lý 1.5 Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc có ít nhất một phương án thì nó cũng có phương án cực biên, nghĩa là tập... qui hoạch tuyến tính suy rộng (GLP) dưới dạng một qui hoạch tuyến tính theo các biến xj và uij bằng cách nhân các hệ thức xác định tập Dj với xj ≥ 0 và đổi biến uij = yij xj Xem uij như các biến mới không có ràng buộc về dấu Nếu sự đổi biến này tạo ra bài toán qui hoạch tuyến tính theo xj và uij cho nghiệm tối ưu có tính chất: xj = 0 kéo theo uij = 0 với mọi i = 0, 1, , m Khi đó, có thể dùng tính. .. (qui hoạch gốc): (P ) min = f (x) = cT x : Ax ≥ b, x ≥ 0 là bài toán qui hoạch tuyến tính (qui hoạch đối ngẫu): (Q) max = g(y) = bT y : AT y ≥ c, y ≥ 0 (AT là ma trận chuyển vị của ma trận A) • Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc (qui hoạch gốc): (P ) min = f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ 0 11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 là bài toán qui hoạch tuyến . "Qui hoạch tuyến tính suy rộng& quot; đề cập tới bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng. Giới thiệu mô hình toán học của bài toán và nêu cách đưa bài toán về bài toán quy hoạch tuyến tính suy rộng. toán suy rộng tương đương Định lý sau đây cho thấy sự tương đương giữa hai bài toán qui hoạch suy rộng. Định lý 2.1. Bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng (2.1) tương đương với bài toán suy rộng. http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Chương 2 Qui hoạch tuyến tính suy rộng Chương này đề cập tới bài toán qui hoạch tuyến tính suy rộng và trình bày thuật toán Wolfe giải bài toán với đầy đủ cơ sở lý luận của phương pháp