2 Qui hoạch tuyến tính suy rộng
2.2Phương pháp Wolfe
Trong mục này ta trở lại xét qui hoạch tuyến tính suy rộng (GLP) với giả thiết:
c∗j A∗j
!
= Yj = (y0j, y1j, . . . , ymj)T
được chọn là một điểm tùy ý thuộc tập lồi đa diện Dj ⊆ Rm+1 (j = 1,. . . , n) cho trước, trong đó mỗi tập Dj được xác định bởi một hệ bất đẳng thức tuyến tính theo các hệ số biến thiên yij (i = 0, 1,. . . , m) và có thể theo cả các biến phụ ym+1,j, ym+2,j, . . . , ym+p,j, độc lập với phần còn lại của hệ.
Có thể phát biểu lại qui hoạch tuyến tính suy rộng (GLP) dưới dạng một qui hoạch tuyến tính theo các biến xj và uij bằng cách nhân các hệ thức xác định tập Dj với xj ≥ 0 và đổi biến uij = yijxj. Xem uij như các biến mới không có ràng buộc về dấu. Nếu sự đổi biến này tạo ra bài toán qui hoạch tuyến tính theo xj và uij cho nghiệm tối ưu có tính chất: xj = 0 kéo theo uij = 0 với mọi i = 0, 1,. . . , m. Khi đó, có thể dùng tính chất này để tìm nghiệm tối ưu của bài toán (GLP) ban đầu: với xj 6= 0 bằng cách đổi biến ngược lại yij = uij
xj ta sẽ nhận được nghiệm tối ưu của bài toán ban đầu.
Tuy nhiên, cách làm trên không phải lúc nào cũng đem lại kết quả, vì thế ta không nên dùng biện pháp qui bài toán suy rộng về bài toán tuyến tính như một kỹ thuật giải.
tương đương với qui hoạch tuyến tính (2.3). Tuy nhiên, ta không thể giải trực tiếp (2.3) để suy ra nghiệm tối ưu của (2.1), bởi vì bài toán (2.3) có rất nhiều biến và véctơ hệ số của các biến trong bài toán lại không cho ở dạng tường minh. Vì thế, thay cho (GLP) ta sẽ giải bài toán suy rộng tương đương, tức bài toán chủ (2.2).
Phương pháp Wolfe giải bài toán suy rộng (2.2) bằng kỹ thuật điều chỉnh dần các giá trị, dựa trên việc giải các bài toán phụ theo các biến yij. Theo Wolfe, bài toán tuyến tính cỡ lớn với các hệ số biến thiên được phân rã thành nhiều bài toán tuyến tính cỡ nhỏ hơn, mỗi bài toán được giải dễ dàng hơn.