Một số phương pháp dựng hình trong hình học phẳng

Để giải các bài toán dựng hình có rất nhiều phươngpháp như: Dựng hình bằng phương pháp đại số, dựng hình bằng phươngpháp biến hình, dựng hình bằng dụng cụ hạn chế phương pháp dựnghình St

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀM MINH TUẤN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH

TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mã số : 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN MINH

THÁI NGUYÊN - 2013

Mục lục

1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình 7

1.2 Tại sao dựng hình lại chỉ dùng hai dụng cụ là thước và compa? 8

1.2.1 Giải một bài toán dựng hình là gì? 8

1.2.2 Tại sao chỉ dùng thước và compa? 9

1.2.3 Giải một bài toán dựng hình là gì? 9

1.2.4 Dựng hình bằng các dụng cụ khác 10

1.2.5 Giá trị lí luận và thực tiễn của các dụng cụ dựng hình 11

1.3 Các phép dựng hình cơ bản 12

1.3.1 Loại đường thẳng 12

1.3.2 Loại đường tròn 12

1.3.3 Loại tỉ lệ 13

1.3.4 Loại diện tích 13

1.4 Các bước giải một bài toán dựng hình 13

1.4.1 Bước phân tích 13

1.4.2 Bước cách dựng 15

1.4.3 Bước chứng minh 16

1.4.4 Bước biện luận 17

2 Một số phương pháp dựng hình bằng thước và compa 20

2.1 Dựng hình bằng các phương pháp biến hình 20

2.1.1 Dựng hình bằng phương pháp tịnh tiến 20

2.1.2 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng tâm 22

2.1.3 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng trục 24

2.1.4 Dựng hình bằng phương pháp vị tự 27

2.1.5 Dựng hình bằng phương pháp quay 29

2.1.6 Dựng hình bằng phương pháp đồng dạng 30

2.2 Dựng hình bằng phương pháp nghịch đảo 32

2.3 Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích 33

2.4 Dựng hình bằng phương pháp đại số 36

2.5 Dựng hình bằng phương pháp trải phẳng 42

Mở đầu

Toán học là một môn học có vai trò rất quan trọng trong đời sống

xã hội Toán học được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành nghề khácnhau Hình học là một phần của toán học Dựng hình là chủ đề rấtquan trọng trong hình học phẳng, đóng vai trò then chốt trong việc hìnhthành kĩ năng giải toán hình học Để giải tốt loại toán này yêu cầu cầnnắm vững kiến thức cơ bản, có kĩ năng dự đoán, phân tích và kĩ năngchứng minh hình học Ngược lại, nắm vững dựng hình sẽ phục vụ rấttốt cho các bài toán chứng minh, tính toán hình học, cực trị

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán dựng hình nói chung có vai trò quan trọng trong hệ thốngkiến thức của môn hình học ở trường THCS Đặc biệt khi giải toán quỹtích, muốn xác định hình dạng, vị trí và độ lớn của quỹ tích ta phải vẽđược quỹ tích đó Đây là vấn đề khó của bài toán quỹ tích nếu học sinhkhông nắm rõ được phương pháp dựng hình Như vậy phép dựng hìnhgiúp ta giải được bài toán quỹ tích dễ hơn

Qua thực tế giảng dạy môn hình học liên tục trong nhiều năm tôi thấy

có nhiều học sinh ngại và lo sợ khi giải bài toán dựng hình, khi giải toánquỹ tích lúng túng khi vẽ hình do không nắm vững phương pháp giảibài toán dựng hình Để giải các bài toán dựng hình có rất nhiều phươngpháp như: Dựng hình bằng phương pháp đại số, dựng hình bằng phươngpháp biến hình, dựng hình bằng dụng cụ hạn chế (phương pháp dựnghình Steiner) Nhận thức rõ được tầm quan trọng của việc giảng dạy vàhọc tập toán dựng hình ở cấp THCS nói chung, việc bồi dưỡng học sinhgiỏi nói riêng nên tôi chọn đề tài "Một số phương pháp dựng hìnhtrong hình học phẳng" Vì dựng hình có rất nhiều phương pháp,

trong khuôn khổ của đề tài này tôi sẽ tìm hiểu về phương pháp dựnghình chỉ bằng compa.

Tôi mong muốn rằng đề tài tôi nghiên cứu sẽ là tài liệu cho các bạn đồngnghiệp có thể sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chấtlượng của bộ môn Toán Là tài liệu tham khảo cho các bạn yêu thích bộmôn Toán và nhất là hình học dựng hình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tổng quan về các phương pháp dựnghình, định lí, các bài toán dựng hình cơ bản trong hình học phẳng Tìmhiểu phương pháp dựng hình chỉ bằng com pa

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trình bày các phương pháp dựng hình trong hình học phẳng

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu trực tiếp từ các loại sách, báo, tạp chí có liên quan đến đềtài Các công trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài(các luận văn, luận án, chuyên đề )

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏicấp trung học cơ sở, trung học phổ thông Đề tài có thể dùng làm tàiliệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy bộ môn Toán

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chươngChương 1: Một số vấn đề chung

Chương 2: Một số phương pháp dựng hình bằng thước và compa

Chương 3: Dựng hình chỉ bằng com pa

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sựquan tâm giúp đỡ của Khoa Toán, Phòng Đào Tạo trường ĐHKH -ĐHTN Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm động viên

và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các bạn học viên lớp toán K5Atrường ĐHKH - ĐHTN, cùng các thầy cô trong Nhà trường và Ban GiámHiệu trường THCS Lương Thông, huyện Thông Nông, tỉnh Cao Bằng

đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này

Đặc biệt tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến thầy TS NguyễnVăn Minh đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình trong quá trình làmluận văn để tác giả hoàn thành tốt luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013

Tác giảĐàm Minh Tuấn

số bài toán tương đối phức tạp như dựng ngũ giác đều Vào thế kỉ thứnăm trước công nguyên có ba bài toán nổi tiếng:

- Chia ba một góc: "Chia ba một góc cho trước thành ba phần bằngthước và compa"

- Gấp đôi hình lập phương: "Dựng cạnh của một hình lập phương có thểtích gấp đôi thể tích của một hình lập phương đã cho"

- Cầu phương hình tròn: "Tìm một đoạn thẳng x sao cho diện tích hìnhvuông cạnh x bằng diện tích hình tròn bán kính r tức là x2 = πr2".Các bài toán trên không giải được bằng thước và compa

Đến thế kỉ thứ sáu trước công nguyên các nhà toán học Hi lạp đã khảosát quá trình giải một bài toán dựng hình với bốn bước: Phân tích, cáchdựng, chứng minh và biện luận được sử dụng cho đến ngày nay

Ba trăm năm trước công nguyên, Ơclit người sáng lập hệ hình học đầutiên đã nêu lên những tiền đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏvai trò của dựng hình trong toán học như:

- Có thể vẽ một đường thẳng khi biết hai điểm

- Biết tâm và bán kính có thể vẽ được một đường tròn

Các nhà hình học cổ Hilap đã giải được những bài toán dựng hình khó

bằng thước và compa, chẳng hạn Apôlôni Pecxki đã giải được bài toánnổi tiếng mang tên ông: “Dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đườngtròn cho trước” Họ lại gắn đại số với dựng hình như: Giải phương trìnhbậc nhất và phương trình bậc hai bằng dựng hình.

Từ thế kỉ thứ 17 đến nay, lí thuyết về dựng hình đã tiến xa hơn và đangphát triển một cách căn bản dựa vào sự thành lập những phân khoa toánhọc mới: Hình học giải tích, hình học xạ ảnh, lí thuyết phương trình đại

số, lí thuyết về hàm số giải tích, về đại số và số siêu việt

Những người sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều đến cácbài toán dựng hình Đê Cac và Niutơn đã giải bài toán chia ba góc bằngcác thiết diện hình nón, giải được bài toán Apôlôni

Từ khi xuất hiện môn hình học Lôbasepxki đã có một hệ tiên đề khác

và lí thuyết dựng hình khác với hình học Ơclit về nhiều điểm Năm 1832nhà toán học Hungari Bôliai đã giải một loạt bài toán dựng hình quantrọng trong mặt phẳng phi Ơclit

Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đã dựa vào phép dựng hình, đặcbiệt đối với cách chứng minh sự tồn tại chẳng hạn sự tồn tại tâm củamột đường tròn nội tiếp trong tam giác sự tồn tại của những đườngthẳng song song , đều được chứng minh bằng phép dựng hình

thước và compa?

Giải một bài toán dựng hình là tìm được một hình thỏa mãn nhữngđiều kiện của bài toán Nói như vậy là chưa đủ vì điều quan trọng làdùng những dụng cụ gì để dựng hình

Ví dụ với bài toán “ Cho một tia làm cạnh, hãy dựng một góc bằng 200,”,nếu dùng thước đo góc thì bài toán rất đơn giản, nhưng nếu chỉ dùngthước và compa thì bài toán này không giải được (Người ta đã chứng

Ví dụ khác “Dựng một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn” Nếu

dùng thước đo góc thì thật dễ chỉ việc chia góc ở tâm làm năm phần

dụng thước và compa thì bài toán sẽ khó hơn

Các nhà toán học cổ Hilap chỉ xem phép dựng dùng thước và compa

là hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc

sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình Quan niệm đó vẫn tồn tại đếnngày nay Họ cũng đã thành công trong việc giải những bài toán dựnghình khó bằng thước và compa Họ coi thước kẻ là vô hạn vì chỉ có mộtcạnh, coi compa có tính chất dùng để vẽ những đường tròn có bán kínhtùy ý

Cơ sở lí luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau:

1 Tất cả những dữ kiện của bài toán dựng hình đã cho như điểm, đườngthẳng, đường tròn, đều coi như dựng được

2 Những điểm lấy tùy ý trong mặt phẳng đều coi như là dựng được

3 Nếu hai đường thẳng dựng được mà cắt nhau thì thì giao điểm củachúng coi như dựng được

4 Một đường thẳng xác định bởi hai điểm dựng được thì coi như dựngđược

5 Một đường tròn xác định bởi một tâm dựng được, một bán kính dựngđược thì coi như dựng được

Giải một bài toán dựng hình bằng thước và compa là chỉ rõ thứ tự

áp dụng các tiên đề 1, 2, 3, 4, 5 ở trên để đưa những yếu tố chưa biết vềnhững yếu tố dựng được Tuy nhiên nhiều khi người ta không nêu haitiên đề 1, 2 mà phát biểu như sau: Giải một bài toán dựng hình bằngthước và compa là thực hiện một số hữu hạn ba phép dựng hình cơ bảnsau:

- Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đã biết

- Dựng đường tròn có tâm và bán kính đã biết

- Lấy giao điểm của hai đường đã biết.

Nếu ta không dựng hình bằng thước và compa mà vẫn dùng nhữngdụng cụ khác để dựng như: Thước thẳng có hai biên, ê ke, thì ta vẫndùng ba tiên đề 1, 2 , 3 nêu trên còn hai tiên đề 4, 5 được thay bằng cáctiên đề khác phản ánh tính chất của những dụng cụ mới

a, Dựng hình bằng thước hai biên: Có ba tiên đề về thước hai biên:

- Tiên đề về thước thường dùng( một biên)

- Một đường thẳng song song với một đường thẳng dựng được và cách

nó một khoảng d thì xem như dựng được ( hằng số d ứng với bề rộngcủa thước hai biên) (*)

- Nếu có hai điểm dựng được A và B và AB > d thì hai cặp đường thẳngcách nhau một khoảng d và theo thứ tự đi qua A và B được xem nhưdựng được

- Lấy giao điểm A của x’và y’ (tiên đề 3)

- Vẽ đường thẳng đi qua O và A (tiên đề 4)

b Dựng hình bằng êke

- Đường thẳng đi qua một điểm dựng được và tạo với một đường thẳngdựng được một góc bằng 900, 600, 300 hoặc 900 và 450 thì xem như dựngđược.(**)

- Một điểm của một đường thẳng dựng được mà từ đó ta thấy hai điểmdựng được dưới một góc α thì ta xem như dựng được(***)

Ê ke thường có ba góc 900, 600, 300 hoặc 900 và 450

Ví dụ 1.2 Gấp đôi một đoạn thẳng AB bằng êke

đường vuông góc với AB (tiên đề (**))

- Lấy giao điểm của hai đường vừa dựng ( tiên đề 3)

- Trên BA kéo dài dựng điểm C nhìn BD dưới góc 600 (tiên đề (***))hoặc

Bốn dụng cụ dựng hình: Compa, thước, thước hai biên và êke đềuquan trọng như nhau về giá trị lí luận chặt chẽ, chính xác và giá trị thực

tế của chúng trong đời sống và sản xuất

Năm 1787 nhà khoa học Ý Maxkêrôni đã chứng minh được rằng : Bất

kì bài toán nào giải được bằng thước và compa đều giải được bằng mộtmình compa

Năm 1890 Ađơle đã chứng minh được rằng: Bất kì bài toán nào giải đượcbằng thước và compa đều có thể giải được chỉ bằng thước hai biên hoặcchỉ bằng êke

Trong thực tế ta thấy ba dụng cụ compa, thước và ê ke là những dụng

cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho người vẽ

1.3 Các phép dựng hình cơ bản

Có thể sắp xếp và phân loại các phép dựng hình cơ bản thành 4 loại

về đường thẳng, đường tròn, tỉ lệ và diện tích

a Dựng một đoạn thẳng có độ dài cho trước trên một đường thẳngnhất định

b Dựng một góc bằng một góc cho trước trên một cạnh đã biết

c Dựng phân giác của một góc cho trước

d Dựng trung trực của một đoạn thẳng cho trước

đ Tìm trung điểm của một đoạn thẳng cho trước

e Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với mộtđường thẳng cho trước

g.Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng song song với mộtđường thẳng cho trước

h Chia một đoạn thẳng cho trước ra nhiều phần bằng nhau

i Dựng tam giác biết ba cạnh(c.c.c), biết hai góc và cạnh kề hai góc đó(g.c.g), biết hai cạch và góc xen giữa(c.g.c)

k Dựng tam giác đều hoặc hình vuông khi biết một cạnh của nó

l Dựng hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau

300

a Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cho trước

b Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác cho trước

c Lấy một đoạn thẳng cho trước làm bán kính dựng một dường tròn

d Chia đôi một cung cho trước

đ Từ một điểm cho trước ở ngoài hoặc ở trên đường tròn dựng tiếptuyến của đường tròn đó

e Dựng cung chứa góc

1.3.3 Loại tỉ lệ

a Cho trước ba đoạn thẳng dựng đoạn tỉ lệ thứ tư

b Chia một đoạn thẳng cho trước thành hai phần sao cho tỉ số của

Ngay từ thế kỉ thứ tư trước công nguyên, các nhà hình học cổ Hi Lạp

đã tìm ra cách chung để giải một bài toán dựng hình Giải một bài toándựng hình gồm 4 bước: Phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận

Phân tích là bước quan trọng nhất nó giúp ta lập phương án dựng đểtìm ra lời giải của bài toán trên cơ sở xác định được mối quan hệ giữacác yếu tố đã cho và các yếu tố phải tìm làm cơ sở để tiến hành các bướcdựng

- Trước hết ta vẽ phác hình giả sử dựng được như trên (yêu cầu của bàitoán), có thể vẽ thêm những hình phụ

- Tìm mối tương quan giữa cái đã biết và cái chưa biết để đưa việc

F2, ,Fn Trong đó Fn là hình cơ bản đã biết cách dựng Hình là một tậpđiểm, hình cơ bản đôi khi là những điểm chốt, từ đó ta đưa ra đường lốidựng

Như vậy trước hết ta phải vẽ một hình tương ứng với hình phải dựng(Tức là giả sử hình vẽ đã dựng được thỏa mãn điều kiện của bài toán)

Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho trước và những yếu tố phảidựng.

Hình 1.2

với đáy và tổng của hai cạnh kia AB + BC = s ”

Trước hết ta giả sử tam giác ABC đã dựng được Trên hình vẽ ta đã

(Chú ý rằng nếu ta thể hiện tổng s bằng cách kéo dài cạnh CB trên

Bước này gồm hai bước:

a Kể theo thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thực hiệnđược suy ra từ bước phân tích

b Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ thước và compa khôngphải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó

Với bài toán trên, cách dựng như sau:

- Trên đường thẳng bất kì xy dựng đoạn AC = b

- Dựng ∆AC0C (biết góc A và hai cạnh ACb 0, AC)

và hai đường chéo AC = d và BD = e”.

Giả sử đã dựng được hình bình hành ABCD Vì các đường chéo cắtnhau tại trung điểm của mỗi đường nên có thể dựng được ngay ∆ABD

2d.

Dựng được ∆ABD này ta hoàn thiện nó thành hình bình hành ABCD

Ta suy ra cách dựng như sau:

- Trên đường thẳng bất kì xy dựng đoạn BD bằng đường chéo nhỏ eứng với góc nhọn cho trước α

- Dựng cung chứa góc α vẽ trên đoạn BD

2.

- Lấy giao điểm của cung chứa góc và đường tròn (có hai giao điểm)

Có thể bổ sung tam giác thành hình bình hành (tức là xác định đỉnhthứ tư C của hình bình hành ) bằng nhiều phương pháp, chẳng hạn:

- Qua B dựng BC//AD, qua D dựng DC//AB

- Trên BD dựng tam giác biết hai cạnh BC = AD và CD = AB

- Kéo dài AO về phía O và đặt OC = AO , nối C với các điểm B và D,

- Các bước dựng phải theo một thứ tự xác định, tránh lộn xộn

- Số các bước dựng phải hữu hạn

Sau khi đã dựng được hình cần phải xác nhận xem hình đó đã thỏamãn các điều kiện của bài toán hay chưa? Tức là phải chứng minh rằnghình dựng được thỏa mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứngminh này phụ thuộc vào cách dựng Nói cách khác nếu không biết rõ haibước phân tích và cách dựng thì không thể nói rằng chứng minh đúng

hay sai, vì có thể có những phương pháp giải bài toán khác nhau và ngay

cả khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau đểthực hiện, tức là có cách dựng khác nhau Nếu cách dựng đã rõ ràng thìbước chứng minh cũng đơn giản

Với bài toán dựng tam giác ở trên ( bước phân tích), ta chứng minh nhưsau:

Vậy tam giác này thỏa mãn các điều kiện của bài toán nên tam giác

∆ABC là tam giác cần dựng

Với bài toán dựng hình bình hành ( bước cách dựng) cách chứng minhphụ thuộc vào cách xác định đỉnh C Nếu cách xác định đỉnh C bằngcách dựng BC//AD và qua D dựng DC//AB thì bước chứng minh sẽnhư sau:

- Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có hai cặp cạnh song song(AD//BC, AB//DC)

2AO = d (theo cách dựng ∆ABD)

Vậy hình bình hành này thỏa mãn các điều kiện của đầu bài nên ABCD

là hình bình hành cần dựng

Trong bài toán dựng hình chúng ta thường đặt ra những câu hỏi như:Với những yếu tố cho trước như thế nào thì bài toán dựng được haykhông dựng được? Vì mỗi bài toán là một yêu cầu về dựng một hìnhthỏa mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này thường được cho bởicác giá trị và vị trí của một số yếu tố của hình đó

Việc giải một bài toán dựng hình chỉ được coi là xong nếu nêu được cácđiều kiện để lời giải tìm được đáp án của bài toán Một bài toán dựnghình có thể có một nghiệm hình, hai hoặc hơn hai nghiệm hình, có vô

số nghiệm hình (vô định) hoặc không có nghiệm nào (vô nghiệm).Nếu một bài toán mà các giả thiết đối với yếu tố cho trước được thu hẹp

thì phạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp đi và bướcbiện luận sẽ đơn giản đi.

Tóm lại bước biện luận là bước khi nào bài toán có nghiệm và nếu có thì

có bao nhiêu nghiệm, hay là để xét xem những yếu tố nào đã cho phảithỏa mãn điều kiện nào để có thể dựng được hình phải tìm, nếu dựngđược thì có bao nhiêu nghiệm hình Biện luận theo cách dựng hình là

ở mỗi bước dựng đó xét xem phải thỏa mãn điều kiện gì thì bước dựngnày thực hiện được và nếu dựng được thì có bao nhiêu nghiệm

Xét ví dụ sau: “Dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước

và với một đường tròn cho trước”

Vì đề bài cho hai đường thẳng bất kì nên chúng có thể cắt nhau, hoặcsong song với nhau Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạpnhưng nếu chúng song song thì sẽ đơn giản hơn

Ví dụ:

“Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạch đó”Thì góc đã biết có thể là góc nhọn, vuông hoặc tù, vì thế khi biện luậnphải xét đến các trường hợp ấy, để đơn giản bước biện luận có thể giớihạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một trong haicạnh ấy, hay có thể hạ thấp hơn mức độ bằng cách cho góc nhọn đốidiện với cạnh nhỏ

Ví dụ 1.4 Dựng tứ giác ABCD biết AB = a, BC = b, CD = c,

Phân tích: Giả sử tứ giác ABCD đã dựng được Giả sử d < a ta lấy

Cách dựng:

và D0C = c

ii, Trên tia BD0 lấy A sao cho D0A = d

D0AC hay AC là phân giác Ab

Vậy ABCD là tứ giác thỏa mãn những điều kiện của đầu bài

Dựng hình bằng các phương pháp biến hình là áp dụng các phép đốixứng, phép tịnh tiến, phép quay, phép đồng dạng Ta quy việc dựngmột hình về việc dựng một điểm M Dựng trực tiếp điểm M đôi khigặp khó khăn Trong trường hợp này ta chọn một phép biến hình là mộtsong ánh f ( để có f−1(M0) = M )).

thẳng AB có độ dài a cho biết song song với một đường thẳng d chotrước, sao cho hai mút lần lượt nằm trên hai đường tròn đã cho

- Giao điểm của đường tròn (O1) và đường tròn (O0) cho ta điểm B.

- Tịnh tiến điểm B ngược trở lại với phép tịnh tiến ban đầu ta đượcđiểm A

Ví dụ 2.2 Có hai làng A và B ở hai phía của một con sông, hãy dựngmột cầu nối hai bờ sông sao độ dài đi từ làng A đến làng B là ngắn nhất

và cầu phải vuông góc với bờ sông Cho biết chiều rộng con sông là h.Cách dựng:

Hình 2.2

- Nối A0B cắt d0 tại D Dựng DC⊥d cắt d tại C

Đoạn CD chính là vị trí cây cầu phải dựng

Chứng minh:

Ví dụ 2.3 Ví dụ: Dựng đa giác n đỉnh biết n trung điểm của n cạnh

Phân tích:

Giả sử đa giác đã dựng được với các đỉnh A1, A2, , An với các trungđiểm:

Hình 2.3

M1 là trung điểm của A1A2

M2 là trung điểm của A2A3

Mn−1 là trung điểm của An−1An

Mn là trung điểm của AnA1

Điểm B3 đối xứng với B2 qua M2

Điểm Bn−1 đối xứng với Mn qua Bn

Do đó: A1B1 song song và bằng A1Bn−1 Hay A1 là trung điểm của đoạnthẳng B1Bn+1

Cách dựng:

- Dựng B1 tùy ý từ đó ta dựng được các điểm B2, B3, , Bn+1

Nếu Bn+1 trùng B1 thì bài toán có vô số nghiệm

Ví dụ 2.4 Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm ngoài đường thẳng

d (A,B nằm cùng nửa mặt phẳng bờ d).Tìm điểm C nằm trên d saocho chu vi ∆ABC nhỏ nhất

Hình 2.4

Cách dựng:

cần dựng.

Chứng minh:

mà AC +B0C > AB0 (độ dài đường gấp khúc luôn lớn hơn đường thẳng).Vậy điểm C ở vị trí như trên hình 2.3 thì chu vi ∆ABC nhỏ nhất

Ví dụ 2.5 Cho xOy (d xOy < 90d 0), một điểm M cố định nằm trong xOydtìm điểm A ∈ Ox, B ∈ Oy sao cho chu vi ∆ABM nhỏ nhất

Ví dụ 2.6 Cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng AB Tìm trên d một điểm

Gọi A0 là điểm đối xứng của A qua trục d ta có: AN = AN0 và

A0B với đường thẳng d

Bài toán có một nghiệm hình nếu khoảng cách từ A và B đến d khôngbằng nhau Nếu các khoảng cách này bằng nhau nhưng hai điểm A và

B không đối xứng qua d thì bài toán vô nghiệm (vì A’B // d) Nếu A

và B đối xứng nhau qua d thì bài toán vô định: Bất cứ điểm nào trên dđều thỏa mãn

Ví dụ 2.7 Cho xOy (d xOy < 90d 0), trong góc cho hai điểm M và N Cho A ∈ Ox, AM cắt Oy tại B, AN cắt Oy tại C Tìm vị trí điểm Asao cho ∆ABC cân tại A

Phân tích:

- Giả sử đã dựng được ∆ABC cân tại A Hạ đường cao AH

\

M0AN = 2OAH = 2(90\ 0 − α) > 0

Cách dựng:

- Dựng cung chữa M\0AN = 1800− 2α cung này cắt Ox tại đâu đó chính

Hình 2.7

là điểm A

- Từ A kẻ hai đường thẳng AM và AN cắt Oy tại B và C

∆ABC là tam giác cần dựng

tròn C(A; d) và đường tròn vị tự của đường tròn C(A; b).

Kí hiệu đường tròn vị tự trên là: C(I; bc

b + c), tâm của đường tròn vị tự

b + c)Cách dựng: