Một số phương pháp dựng hình trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM MINH TUẤN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60. 46. 01. 13 Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUN - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 Mục lục Mở đầu 4 LỜI CẢM ƠN 6 1 Một số vấn đề chung 7 1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tại sao dựng hình lại chỉ dùng hai dụng cụ là thước và compa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Giải một bài tốn dựng hình là gì? . . . . . . . . 8 1.2.2 Tại sao chỉ dùng thước và compa? . . . . . . . . . 9 1.2.3 Giải một bài tốn dựng hình là gì? . . . . . . . . 9 1.2.4 Dựng hình bằng các dụng cụ khác . . . . . . . . . 10 1.2.5 Giá trị lí luận và thực tiễn của các dụng cụ dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Các phép dựng hình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Loại đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Loại đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 Loại tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4 Loại diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Các bước giải một bài tốn dựng hình . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Bước phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Bước cách dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.3 Bước chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.4 Bước biện luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 2 Một số phương pháp dựng hình bằng thước và compa 20 2.1 Dựng hình bằng các phương pháp biến hình . . . . . . . 20 2.1.1 Dựng hình bằng phương pháp tịnh tiến . . . . . . 20 2.1.2 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng tâm . . . 22 2.1.3 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng trục . . . 24 2.1.4 Dựng hình bằng phương pháp vị tự . . . . . . . 27 2.1.5 Dựng hình bằng phương pháp quay . . . . . . . 29 2.1.6 Dựng hình bằng phương pháp đồng dạng . . . . 30 2.2 Dựng hình bằng phương pháp nghịch đảo . . . . . . . . . 32 2.3 Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích . . . . . . . . . . 33 2.4 Dựng hình bằng phương pháp đại số . . . . . . . . . . . 36 2.5 Dựng hình bằng phương pháp trải phẳng . . . . . . . . . 42 3 Dựng hình chỉ bằng compa 46 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Mở đầu Tốn học là một mơn học có vai trò rất quan trọng trong đời sống xã hội. Tốn học được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành nghề khác nhau. Hình học là một phần của tốn học. Dựng hình là chủ đề rất quan trọng trong hình học phẳng, đóng vai trò then chốt trong việc hình thành kĩ năng giải tốn hình học. Để giải tốt loại tốn này u cầu cần nắm vững kiến thức cơ bản, có kĩ năng dự đốn, phân tích và kĩ năng chứng minh hình học. Ngược lại, nắm vững dựng hình sẽ phục vụ rất tốt cho các bài tốn chứng minh, tính tốn hình học, cực trị. 1. Lý do chọn đề tài Các bài tốn dựng hình nói chung có vai trò quan trọng trong hệ thống kiến thức của mơn hình học ở trường THCS. Đặc biệt khi giải tốn quỹ tích, muốn xác định hình dạng, vị trí và độ lớn của quỹ tích ta phải vẽ được quỹ tích đó. Đây là vấn đề khó của bài tốn quỹ tích nếu học sinh khơng nắm rõ được phương pháp dựng hình. Như vậy phép dựng hình giúp ta giải được bài tốn quỹ tích dễ hơn. Qua thực tế giảng dạy mơn hình học liên tục trong nhiều năm tơi thấy có nhiều học sinh ngại và lo sợ khi giải bài tốn dựng hình, khi giải tốn quỹ tích lúng túng khi vẽ hình do khơng nắm vững phương pháp giải bài tốn dựng hình. Để giải các bài tốn dựng hình có rất nhiều phương pháp như: Dựng hình bằng phương pháp đại số, dựng hình bằng phương pháp biến hình, dựng hình bằng dụng cụ hạn chế (phương pháp dựng hình Steiner) Nhận thức rõ được tầm quan trọng của việc giảng dạy và học tập tốn dựng hình ở cấp THCS nói chung, việc bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng nên tơi chọn đề tài "Một số phương pháp dựng hình trong hình học phẳng". Vì dựng hình có rất nhiều phương pháp, Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 trong khn khổ của đề tài này tơi sẽ tìm hiểu về phương pháp dựng hình chỉ bằng compa. Tơi mong muốn rằng đề tài tơi nghiên cứu sẽ là tài liệu cho các bạn đồng nghiệp có thể sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lượng của bộ mơn Tốn. Là tài liệu tham khảo cho các bạn u thích bộ mơn Tốn và nhất là hình học dựng hình. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài là tổng quan về các phương pháp dựng hình, định lí, các bài tốn dựng hình cơ bản trong hình học phẳng. Tìm hiểu phương pháp dựng hình chỉ bằng com pa 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trình bày các phương pháp dựng hình trong hình học phẳng. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ các loại sách, báo, tạp chí có liên quan đến đề tài. Các cơng trình nghiên cứu các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chun đề ) 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học cơ sở, trung học phổ thơng. Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy bộ mơn Tốn. 6. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương Chương 1: Một số vấn đề chung Chương 2: Một số phương pháp dựng hình bằng thước và compa Chương 3: Dựng hình chỉ bằng com pa. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 LỜI CẢM ƠN Trong q trình học tập và làm luận văn, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ của Khoa Tốn, Phòng Đào Tạo trường ĐHKH - ĐHTN. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ q báu đó. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hồn thành luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các bạn học viên lớp tốn K5A trường ĐHKH - ĐHTN, cùng các thầy cơ trong Nhà trường và Ban Giám Hiệu trường THCS Lương Thơng, huyện Thơng Nơng, tỉnh Cao Bằng đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả hồn thành luận văn này. Đặc biệt tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến thầy TS Nguyễn Văn Minh đã trực tiếp hướng dẫn chỉ bảo tận tình trong q trình làm luận văn để tác giả hồn thành tốt luận văn của mình. Thái Ngun, tháng 5 năm 2013 Tác giả Đàm Minh Tuấn Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 Chương 1 Một số vấn đề chung 1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình Vào các thế kỉ thứ tư và thứ năm trước cơng ngun các nhà tốn học Hi lạp nổi tiếng đã quan tâm đến hình học dựng hình như Pitago, Hipocrat, Ơclit, Acsimet, Apơlơniut. Trường phái Pitago đã thành cơng trong một số bài tốn tương đối phức tạp như dựng ngũ giác đều. Vào thế kỉ thứ năm trước cơng ngun có ba bài tốn nổi tiếng: - Chia ba một góc: "Chia ba một góc cho trước thành ba phần bằng thước và compa". - Gấp đơi hình lập phương: "Dựng cạnh của một hình lập phương có thể tích gấp đơi thể tích của một hình lập phương đã cho". - Cầu phương hình tròn: "Tìm một đoạn thẳng x sao cho diện tích hình vng cạnh x bằng diện tích hình tròn bán kính r tức là x 2 = πr 2 ". Các bài tốn trên khơng giải được bằng thước và compa. Đến thế kỉ thứ sáu trước cơng ngun các nhà tốn học Hi lạp đã khảo sát q trình giải một bài tốn dựng hình với bốn bước: Phân tích, cách dựng, chứng minh và biện luận được sử dụng cho đến ngày nay. Ba trăm năm trước cơng ngun, Ơclit người sáng lập hệ hình học đầu tiên đã nêu lên những tiền đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vai trò của dựng hình trong tốn học như: - Có thể vẽ một đường thẳng khi biết hai điểm. - Biết tâm và bán kính có thể vẽ được một đường tròn. Các nhà hình học cổ Hilap đã giải được những bài tốn dựng hình khó Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 bằng thước và compa, chẳng hạn Apơlơni Pecxki đã giải được bài tốn nổi tiếng mang tên ơng: “Dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước”. Họ lại gắn đại số với dựng hình như: Giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai bằng dựng hình. Từ thế kỉ thứ 17 đến nay, lí thuyết về dựng hình đã tiến xa hơn và đang phát triển một cách căn bản dựa vào sự thành lập những phân khoa tốn học mới: Hình học giải tích, hình học xạ ảnh, lí thuyết phương trình đại số, lí thuyết về hàm số giải tích, về đại số và số siêu việt. Những người sáng lập ra tốn học hiện đại đã quan tâm nhiều đến các bài tốn dựng hình. Đê Cac và Niutơn đã giải bài tốn chia ba góc bằng các thiết diện hình nón, giải được bài tốn Apơlơni. Từ khi xuất hiện mơn hình học Lơbasepxki đã có một hệ tiên đề khác và lí thuyết dựng hình khác với hình học Ơclit về nhiều điểm. Năm 1832 nhà tốn học Hungari Bơliai đã giải một loạt bài tốn dựng hình quan trọng trong mặt phẳng phi Ơclit. Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đã dựa vào phép dựng hình, đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại chẳng hạn sự tồn tại tâm của một đường tròn nội tiếp trong tam giác sự tồn tại của những đường thẳng song song , . đều được chứng minh bằng phép dựng hình. 1.2 Tại sao dựng hình lại chỉ dùng hai dụng cụ là thước và compa? 1.2.1 Giải một bài tốn dựng hình là gì? Giải một bài tốn dựng hình là tìm được một hình thỏa mãn những điều kiện của bài tốn. Nói như vậy là chưa đủ vì điều quan trọng là dùng những dụng cụ gì để dựng hình. Ví dụ với bài tốn “ Cho một tia làm cạnh, hãy dựng một góc bằng 20 0 ,”, nếu dùng thước đo góc thì bài tốn rất đơn giản, nhưng nếu chỉ dùng thước và compa thì bài tốn này khơng giải được. (Người ta đã chứng minh được rằng chỉ dùng thước và compa thì khơng dựng được góc 20 0 ). Ví dụ khác “Dựng một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn”. Nếu Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 dùng thước đo góc thì thật dễ chỉ việc chia góc ở tâm làm năm phần bằng nhau mỗi góc 72 0 này chắn một cung bằng 1 5 đường tròn, nếu sử dụng thước và compa thì bài tốn sẽ khó hơn. 1.2.2 Tại sao chỉ dùng thước và compa? Các nhà tốn học cổ Hilap chỉ xem phép dựng dùng thước và compa là hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và khơng cơng nhận việc sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình. Quan niệm đó vẫn tồn tại đến ngày nay. Họ cũng đã thành cơng trong việc giải những bài tốn dựng hình khó bằng thước và compa. Họ coi thước kẻ là vơ hạn vì chỉ có một cạnh, coi compa có tính chất dùng để vẽ những đường tròn có bán kính tùy ý. Cơ sở lí luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau: 1. Tất cả những dữ kiện của bài tốn dựng hình đã cho như điểm, đường thẳng, đường tròn, . đều coi như dựng được. 2. Những điểm lấy tùy ý trong mặt phẳng đều coi như là dựng được. 3. Nếu hai đường thẳng dựng được mà cắt nhau thì thì giao điểm của chúng coi như dựng được. 4. Một đường thẳng xác định bởi hai điểm dựng được thì coi như dựng được. 5. Một đường tròn xác định bởi một tâm dựng được, một bán kính dựng được thì coi như dựng được. 1.2.3 Giải một bài tốn dựng hình là gì? Giải một bài tốn dựng hình bằng thước và compa là chỉ rõ thứ tự áp dụng các tiên đề 1, 2, 3, 4, 5 ở trên để đưa những yếu tố chưa biết về những yếu tố dựng được. Tuy nhiên nhiều khi người ta khơng nêu hai tiên đề 1, 2 mà phát biểu như sau: Giải một bài tốn dựng hình bằng thước và compa là thực hiện một số hữu hạn ba phép dựng hình cơ bản sau: - Kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đã biết. - Dựng đường tròn có tâm và bán kính đã biết. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 10 - Lấy giao điểm của hai đường đã biết. 1.2.4 Dựng hình bằng các dụng cụ khác Nếu ta khơng dựng hình bằng thước và compa mà vẫn dùng những dụng cụ khác để dựng như: Thước thẳng có hai biên, ê ke, thì ta vẫn dùng ba tiên đề 1, 2 , 3 nêu trên còn hai tiên đề 4, 5 được thay bằng các tiên đề khác phản ánh tính chất của những dụng cụ mới. a, Dựng hình bằng thước hai biên: Có ba tiên đề về thước hai biên: - Tiên đề về thước thường dùng( một biên). - Một đường thẳng song song với một đường thẳng dựng được và cách nó một khoảng d thì xem như dựng được ( hằng số d ứng với bề rộng của thước hai biên) (*) - Nếu có hai điểm dựng được A và B và AB > d thì hai cặp đường thẳng cách nhau một khoảng d và theo thứ tự đi qua A và B được xem như dựng được. Ví dụ 1.1. Ví dụ: Dựng phân giác của góc  xOy. Hình 1.1 Cách dựng: - Dựng x// x’ và cách x một khoảng d (tiên đề (*)) - Tương tự dựng y// y’ (theo tiên đề (*)) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tốn giải được bằng phương pháp này hay phương pháp khác Mỗi phương pháp đều có giá trị riêng của nó Các phương pháp thường sử dụng là: dựng hình bằng phương pháp biến hình (Phương pháp đối xứng, phương pháp tịnh tiến, phương pháp quay, phương pháp đồng dạng ) phương pháp quỹ tích, phương pháp đại số 2.1 Dựng hình bằng các phương pháp biến hình Dựng hình bằng các phương pháp biến hình là áp dụng các... 1.3.4 Loại diện tích a Dựng hình vng có diện tích bằng tổng diện tích của hai hình vng cho trước b Dựng hình vng có diện tích bằng hiệu diện tích của hai hình vng cho trước 1.4 Các bước giải một bài tốn dựng hình Ngay từ thế kỉ thứ tư trước cơng ngun, các nhà hình học cổ Hi Lạp đã tìm ra cách chung để giải một bài tốn dựng hình Giải một bài tốn dựng hình gồm 4 bước: Phân tích, dựng hình, chứng minh và... việc dựng hình F1 về dựng hình F2 , ,Fn Trong đó Fn là hình cơ bản đã biết cách dựng Hình là một tập điểm, hình cơ bản đơi khi là những điểm chốt, từ đó ta đưa ra đường lối dựng Như vậy trước hết ta phải vẽ một hình tương ứng với hình phải dựng (Tức là giả sử hình vẽ đã dựng được thỏa mãn điều kiện của bài tốn) Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 Qua hình vẽ phát hiện những yếu... ABCD là hình bình hành cần dựng 1.4.4 Bước biện luận Trong bài tốn dựng hình chúng ta thường đặt ra những câu hỏi như: Với những yếu tố cho trước như thế nào thì bài tốn dựng được hay khơng dựng được? Vì mỗi bài tốn là một u cầu về dựng một hình thỏa mãn các điều kiện xác định, các điều kiện này thường được cho bởi các giá trị và vị trí của một số yếu tố của hình đó Việc giải một bài tốn dựng hình chỉ... giữa(c.g.c) k Dựng tam giác đều hoặc hình vng khi biết một cạnh của nó l Dựng hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau m Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh dựng một góc 600 hoặc 300 1.3.2 Loại đường tròn a Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cho trước b Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác cho trước c Lấy một đoạn thẳng cho trước làm bán kính dựng một dường tròn d Chia đơi một cung cho... phép quay, phép đồng dạng Ta quy việc dựng một hình về việc dựng một điểm M Dựng trực tiếp điểm M đơi khi gặp khó khăn Trong trường hợp này ta chọn một phép biến hình là một song ánh f ( để có f −1 (M ) = M )) 2.1.1 Dựng hình bằng phương pháp tịnh tiến Ví dụ 2.1 Cho hai đường tròn tâm (O) và tâm (O ) Dựng một đoạn thẳng AB có độ dài a cho biết song song với một đường thẳng d cho trước, sao cho hai... thể dựng được hai đường tròn (C ) nên cũng có hai đường tròn (C) Bài tốn có hai nghiệm hình 2.3 Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích Thơng thường việc dựng các hình được quy về việc dựng các điểm, chẳng hạn muốn dựng một đa giác ta dựng các đỉnh của nó, muốn dựng đường tròn có bán kính cho trước ta dựng tâm của nó Một điểm thường có thể coi là giao điểm của hai đường hay nói một cách khác là một điểm... dựng được ta có một nghiệm Khi: a=d b=c Bài tốn có vơ số nghiệm Nếu: a=d b=c a=d b=c Bài tốn vơ nghiệm Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 Chương 2 Một số phương pháp dựng hình bằng thước và compa (Để cho thuận tiện trong luận văn này ta kí hiệu C(O; r) là đường tròn tâm O, bán kính r) Đứng trước một bài tốn dựng hình muốn xác định xem có thể giải bằng phương pháp nào cần biết... tuyến CD = m Ta quay tồn bộ hình vẽ hình vẽ xung quanh Hình 2.9 điểm D một góc 1800 sẽ được hình bình hành ACBC trong đó đã biết các cạnh và một đường chéo CC = 2m Do đó cách dựng như sau: Dựng ∆ACC biết ba cạnh rồi bổ xung nó thành hình bình hành ACBC Nối A với B được ∆ABC phải dựng Điều kiện để dựng được ∆ACC là |a − b| < 2m < a + b Bài tốn có một nghiệm hình Ví dụ 2.10 Dựng một tam giác đều sao cho... b Dựng hình bằng êke - Đường thẳng đi qua một điểm dựng được và tạo với một đường thẳng dựng được một góc bằng 900 , 600 , 300 hoặc 900 và 450 thì xem như dựng được.(**) - Một điểm của một đường thẳng dựng được mà từ đó ta thấy hai điểm dựng được dưới một góc α thì ta xem như dựng được(***) Ê ke thường có ba góc 900 , 600 , 300 hoặc 900 và 450 Ví dụ 1.2 Gấp đơi một đoạn thẳng AB bằng êke - Qua B dựng . Các phương pháp thường sử dụng là: dựng hình bằng phương pháp biến hình (Phương pháp đối xứng, phương pháp tịnh tiến, phương pháp quay, phương pháp đồng dạng ) phương pháp quỹ tích, phương pháp. việc bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng nên tơi chọn đề tài " ;Một số phương pháp dựng hình trong hình học phẳng& quot;. Vì dựng hình có rất nhiều phương pháp, Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 trong. ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM MINH TUẤN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60. 46.